圓的有關(guān)性質(zhì)（講練）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習講練測（浙江專用）

2023年中考劇告總復(fù)習一給餅稼制（斷注專用）

專做23圓的彳關(guān)植質(zhì)（耕位）

1.了解圓的概念，理解與圓有關(guān)的概念；

2.理解不在同一直線上的三點上的三個點確定一個圓；

3.理解垂徑定理、圓心角定理、圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的有關(guān)性質(zhì);

4.會利用與圓有關(guān)的性質(zhì)進行圓中簡單的計算和證明.

一.選擇題（共5小題）

1.在OO中，/8OC=130°,點A在BAC上，則N84C的度數(shù)為（）

B.65°C.75°D.130°

【分析】根據(jù)同弧所對的圓周角等于圓心角的一半即可得出N2AC的度數(shù).

【解答】解：?.?/^。。二門。。，點4在BAC上,

ZBAC=AzBOC=-x130°=65°,

故選：B.

2.（2022?溫州）如圖，AB,AC是OO的兩條弦，于點。，OEJ_AC于點E,連結(jié)。8,OC.若N

￡>OE=130°,則/BOC的度數(shù)為（)

100°C.105°D.130°

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360°計算可得NBAC=50°,再根據(jù)圓周角定理得到/BOC=2/R4C,

進而可以得到答案.

【解答】解：'：OD1AB,OE1AC,

：.ZADO=90°,ZA￡O=90°,

130°,

84c=360°-90°-90°-130°=50°,

，NBOC=2NBAC=100°,

故選：B.

3.(2020?紹興)如圖，點A,B,C,D,E均在G)O上，ZBAC=\50,ZCED=30°,則NBOO的度數(shù)

B.60C.75D.90

【分析】首先連接BE,由圓周角定理即可得N8EC的度數(shù)，繼而求得NBEO的度數(shù)，然后由圓周角定

理，求得N80。的度數(shù).

【解答】解：連接BE,

ZBEC=ZBAC=\5°,ZCED=30°,

:.NBED=NBEC+NCED=45°,

：.ZBOD=2ZBED=90°.

故選：D.

4.（2020?杭州）如圖，已知2C是。。的直徑，半徑OAJ_2C,點。在劣弧AC上（不與點A,點C重合）,

8。與。4交于點E.設(shè)/AE￡>=a,/40￡>=0,則（）

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-0=90。D.2a-0=90。

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用a表示NCBD,進而由圓心角與圓周角關(guān)系，用a表示N

COD,最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果.

【解答】解：?.?0AJ_8C,

.../AOB=N4OC=90°,

：.ZDBC=90°-NBEO=90°-ZAED=90°-a,

AZCOD=2ZDBC=180°-2a,

VZAOD+ZCOD=90°,

Ap+180°-2a=90°,

；.2a-0=9O°,

故選：D.

c

5.（2020?湖州）如圖，已知四邊形4BC￡＞內(nèi)接于。0,ZABC=10°,則NAOC的度數(shù)是（）

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形A8CQ內(nèi)接于。0,NABC=70°,

...N49C=180°-乙48c=180°-70°=110°,

故選：B.

填空題（共4小題）

6.（2020?湖州）如圖，已知A8是半圓。的直徑，弦CQ〃AB,CD=S,48=10,則CD與AB之間的距離

【分析】過點O作OH1CD于H,連接OC,如圖，根據(jù)垂徑定理得到CH=DH=4,再利用勾股定理

計算出OH=3,從而得到C。與AB之間的距離.

【解答】解：過點。作O"，C￡＞于H,連接OC,如圖，則CH=￡＞H=上8=4,

2

在RtZXOC”中，。4=而匯m=3,

所以C。與A6之間的距離是3.

故答案為3.

HD

7.（2022?湖州）如圖，已知A8是00的弦，NAOB=120°,OCA.AB,垂足為C,OC的延長線交于

點。.若/AP。是眾所對的圓周角，則NAP若的度數(shù)是30°

【分析】由垂徑定理得出俞=箴，由圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得出NAOO=NB。。，進而得出NAO。

=60°,由圓周角定理得出NAPD=2>/AOO=30°,得出答案.

2

【解答】解：'：OCYAB,

AD=BD,

:.ZAOD=ZBOD,

；NAO3=120°,

AZAOD=ZBOD=^ZAOB=60a,

2

AZAPD=XZAOD=1.X60°=30°,

22

故答案為：30°.

8.（2019?臺州）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形ABC。的一條對角線，點。關(guān)于AC的對稱點E在邊8c上,

連接AE.若/ABC=64°,則/84E的度數(shù)為52°.

（分析】宜接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出答案.

【解答】解：?..圓內(nèi)接四邊形4BCD，

.".ZD=180°-ZABC=116°,

,/點D關(guān)于AC的對稱點E在邊8c上,

.*.ZD=ZXEC=116°,

.,.ZBAE=116°-64°=52°.

故答案為：52°.

9.（2019?嘉興）如圖，在。。中，弦AB=1,點C在AB上移動，連接OC,過點C作CCOC交。。于

點D,則CD的最大值為

【分析】連接O/），如圖，利用勾股定理得到C。，利用垂線段最短得到當OC,48時，OC最小，再求

22

:,CD=VOD-OC=Vr2-0C2,

當OC的值最小時，CD的值最大，

而OCLAB時，OC最小，此時。、B兩點重合,

:.CD=CB=^AB=1.X1=A,

222

即CO的最大值為工，

2

故答案為：1.

2

1.圓的有關(guān)概念

(1)圓：平面上到定息的距離等于定長的所有點組成的圖形叫做圓，定點叫做圓心，定長叫做圓的半徑.以點

0為圓心的圓，記做。0.

(2)弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧,簡稱弧.連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.經(jīng)過圓心的弦叫做

直徑，直徑是圓中最長的弦.

(3)與圓有關(guān)的角：

①圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角,圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù).

②圓周角：頂點在圓上,兩邊分別和圓相交的角叫做圓周角.圓周角的度數(shù)等于它所對弧上的圓心角度數(shù)的

一半.

(4)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心.外心也是三角形三邊史垂線的交點.

(5)圓的內(nèi)接四邊形：如果一個四邊形的左仝皿在同一個圓上，那么這個四邊形叫做圓的內(nèi)接四邊形，這

個圓叫做四邊形的外接圓.圓的內(nèi)接四邊形的對角互補,并且任何一個外角都等于它的內(nèi)對角.

2.圓的有關(guān)性質(zhì)：

(1)圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意?條過圓心的宜線.圓是中心對稱圖形,對稱中心為圓心,圓繞著它

的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度都能和原來的圓重合.

(2)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.

推論1：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧.

推論2：平分弧的直徑垂直平分弧所對的弦.

(3)在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對量相等,那么它們所對應(yīng)的其

余各組量都相等.

(4)圓心角與圓周角的關(guān)系：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的二生.

推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角和笠；相等的圓周角所對的弧也相等.

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直比，90。的圓周角所對的弦是直徑.

(5)確定圓的條件：①已知圓心、半徑；②已知直徑；③不在同?條宜線上的三點.

者魚一、圓的松鋼

例7(2022?南山區(qū)校級模擬)數(shù)學知識在生產(chǎn)和生活中被廣泛應(yīng)用，下列實例所應(yīng)用的最主要的幾何知識,

說法正確的是()

準呈缺口

A.學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“菱形的對角線互相垂直平分”

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓是中心對稱圖形”

C.射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”

D.地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形對邊相等”

【分析】根據(jù)兩點確定一條直線，圓的認識，菱形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)進行判斷即可.

【解答】解：A.學校門口的伸縮門由菱形而不是其他四邊形組成，應(yīng)用了“四邊形的不穩(wěn)定性”，故本

選項錯誤，不合題意：

B.車輪做成圓形，應(yīng)用了“圓上各點到圓心的距離相等”，故本選項錯誤，不合題意；

C.射擊時，瞄準具的缺口、準星和射擊目標在同一直線上，應(yīng)用了“兩點確定一條直線”，故本選項正

確，符合題意

。.地板磚可以做成矩形，應(yīng)用了“矩形四個內(nèi)角都是直角”的性質(zhì)，故本選項錯誤，不合題意.

故選：C.

【變式訓練】

1.（2022?路南區(qū)三模）在平面內(nèi)與點P的距離為1cm的點的個數(shù)為（）

A.無數(shù)個B.3個C.2個D.I個

【分析】在平面內(nèi)與點P的距離為1。”的點在“以點P為圓心，1cm為半徑的圓”上.

【解答】解：在平面內(nèi)與點P的距離為\cm的點的個數(shù)為：所有到定點P的距離等于\cm的點的集合，

故選:A.

2.（2022?元寶山區(qū)一模）生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里去，這是因為（）

A.圓的直徑是半徑的2倍

B.同一個圓所有的直徑都相等

C.圓的周長是直徑的皿倍

D.圓是軸對稱圖形

【分析】井蓋一般都做成圓形的是因為圓內(nèi)最長的線段是圓的直徑，而且都相等，所以井蓋不會掉到井

里面.

【解答】解：生活中經(jīng)常把井蓋做成圓形的，這樣井蓋就不會掉進井里，這是因為同一個圓里所有的直

徑都相等.

故選:B.

3.（2022?禮縣模擬）如圖，。。的直徑BA的延長線與弦。C的延長線交于點E,且CE=O8,已知/￡＞。2

=72°,則NE等于（）

D

c

A.36°B.30°C.18°D.24°

【分析】根據(jù)圓的半徑相等，可得等腰三角形；根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得關(guān)于/E的方程，根據(jù)解

方程，可得答案.

ZE=ZI.

由N2是的外角，得N2=NE+N1=2N￡.

由OC=OO,得NO=/2=2/E.

由N3是三角形△?！?gt;￡的外角，得N3=E+/￡>=/E+2NE=3NE.

由N3=72°，得3NE=72°.

解得NE=24°.

故選：D.

4.（2022?平泉市二模）如圖，計算機處理任務(wù)時，經(jīng)常會以圓形進度條的形式顯示任務(wù)完成的百分比.若

圓的半徑為1,當任務(wù)完成的百分比為x時，線段的長度記為d（x）,下列描述正確的是（）

A.d(25%)=1

B.當x>50%時，d(x)>1

C.當時，d(xi)>d(X2)

D.當xi+x2=100%時，d(xi)=d(X2)

【分析】A、求出MN的長，即可判斷；

8、錯誤，用反例說明即可；

C、錯誤，用反例說明即可；

D、正確.此時兩點關(guān)于OM對稱.

【解答】解：4、d(25%)=a，本選項錯誤，不符合題意；

8、當x>50%時，，d(x)>1,錯誤當x》三雙％時，d(x)W1,本選項錯誤，不符合題意；

3

C、當xi>X2時，d(XI)>d(X2)，當xi=25%,12=75%時，d(xi)=d(X2),本選項錯誤，不符合題

息、；

D、當用+12=100%時，d(xi)=d(12)，正確，本選項符合題意.

故選：D.

星直二、囊核炙理

例2(2022?橋西區(qū)模擬)如圖，某同學測試一個球體在水中的下落速度，他測得截面圓的半徑為5cm,假

設(shè)球的橫截面與水面交于A,8兩點，AB=Scm.若從目前所處位置到完全落入水中的時間為4s,則球

體下落的平均速度為()

A.0.5cm/sB.0.75cm/sC.\cmlsD.2cmls

【分析】設(shè)圓心為O，連接OB,過點。作OCLAB,交。。于點C,交AB于點Q,根據(jù)垂徑定理及勾

股定理可求出8。、O。、CO長，從而利用速度=路程+時間計算結(jié)果.

【解答】解：設(shè)圓心為。，連接。8,則。8=5,

B

4

過點。作0CL4B,交。。于點C,交AB于點。，則8。=/杷=4的，

在RtZXB。。中，OD=^52_42=3cm,

：.CD=OC-0D=5-3=2cm,

從目前所處位置到究全落入水中，球體下落的平均速度為2+4=0.5的/s.

故選：A.

【變式訓練】

1.(2022?吉陽區(qū)模擬)如圖，AB是。。直徑，弦CO_LAB,垂足為E,若AB=10,8=8,則AE等于

()

【分析】由CD的長根據(jù)垂徑定理可知CE的長，利用勾股定理可將弦心距OE的長求出，進而可求出

AE的長.

：.CE=4.

VAB=10,

：.OC=^AB=5.

2

在RtZXOCE中，C￡2+O￡2=OC2,即：42+O￡2=52,

解得：0E=3,

.?.A￡=OA+OE=5+3=8.

故選：C.

2.（2022?東西湖區(qū)模擬）如圖，正方形A8CQ和正方形BEFG的頂點分別在半圓。的直徑和圓周上，若

BG=4,則半圓。的半徑是（）

【分析】連接OC,OF,設(shè)OB=x,則4B=BC=2x,在Rt/XBCO和Rt△尸EO中利用勾股定理列出等式

計算x的值，進一步求出半徑即可.

【解答】解：連接OC,OF,

:四邊形ABCD是正方形且頂點。和C在圓上，

：.AB=BC=2x,/OBC=90°,

；8G=4,四邊形BEFG是正方形，

：.OE=x+4,EF=BE=BG=4,NFEB=90°,

在RtABCO中，"="+（2x）2g，

在Rt^FEO中，"=Y（X+4）2+42WX2+8X+32,

?：OF=OC,

???5/=/+8x+32,

解得x=4或x=-2（舍去）

當x=4時，0。=小而，

則半圓0的半徑是4^5.

故選：C.

3.（2022?雄縣一模）已知。0的直徑C￡>=10,8與。O的弦48垂直，垂足為且AM=4.8,則直徑

C￡>上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有（）

A.1個B.3個C.6個D.7個

【分析】利用勾股定理得出線段和AC的長，根據(jù)垂線段的性質(zhì)結(jié)合圖形判斷即可.

【解答】解：TC。是直徑，

0c=OQ=ko=2X10=5,

22

'."ABLCD,

，NAMC=NAMO=90°,

：AM=4.8,

；?OM=^52-4.82=14,

；.CM=5+1.4=64,M￡>=5-14=3.6,

.,MC=^4.82+6.42=8'AD=^.82+3.62=6>

：AM=4.8,

點到線段的最小距離為4.8,最大距離為6,則A點到線段M/5的整數(shù)距離有5,6,

A點到線段MC的最小距離為4.8,最大距離為8,則A點到線段MC的整數(shù)距離有5,6,7,8,

直徑8上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有6個，

故選：C.

4.（2022?溫州校級模擬）如圖，是一架無人機俯視簡化圖，MN與PQ表示旋翼,旋翼長為24c/n,A,B為

旋翼的支點，各支點平分旋翼，飛行控制中心。到各旋翼支點的距離均為30a”，相鄰兩個支架的夾角均

相等，當無人機靜止且支架與旋翼垂直時，M與尸之間的距離為（）

N

A.30-12我B.30-12A/5C.15-3百D.15A/5-24

【分析】如圖，延長8P交AM的延長線于點J,連接OP,OM,OJ,OJ交PM于點K.首先求出只/=

K/=1()J§-12,再求出PK,可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長8P交AM的延長線于點J,連接OP,OM,OJ,OJ交PM于點、K.

?：OJ=OJ,OA=OB,ZOAJ=ZOBJ,

.,.RtAOAJ^RtAOBJ(.HL),

：.JB=JA,ZJOA=ZJOB=1.ZAOB=30°,

2

'：OA=30cm,

：.AJ=BJ=OB'tan300=10我(cm),

'：PB^AM=\2cm,

:.PJ=JM=(l(y/3-12)cm,

,JOJLPM,

：.PK=KM=PJ-cos30°=(1()V3-12)X退=(15-6禽)cm,

2

:.PM=2PK=(30-12V3)cm.

故選：A.

5.(2022?賀州二模)一裝有某種液體的圓柱形容器，半徑為6c〃?，高為18cm.小強不小心碰倒，容器水平

靜置時其截面如圖所示，其中圓心。到液面A8的距離為3sb若把該容器扶正豎直，則容器中液體的

高度為()

A4兀-3aR12K-9V3-12K-9V3n12冗-9y

12兀n52cir

【分析】根據(jù)體積不變，利用扇形面積公式求解即可.

【解答】解：連接。4,OB,如圖,

根據(jù)題意得：0A=6cw,弦心距0C=3a”,

—人"=*號3

AZAOC=60°,則NAOB=120°,

.".AC=3^/3cm,AH=2AC=6'J^cm,

120萬X62

2

陰影南彩A-yX6V3X3=12H-9V3(cm).

?'?S=50AB-SOAB=~~360

設(shè)把該容器扶正豎直后容器中液體的高度為〃（C/77）,

依題意得：6?兀h=18（12兀-9時），

.,12兀

■*h=2H，

故選：B.

6.（2022?東?？h一模）我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線間的距離總是相等的，所以圓是“等

寬曲線”，除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如萊洛三角形（如圖1）,它是分別以等邊

三角形的每一個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧,三段圓弧圍成的曲邊三角形.圖

2是等寬的萊洛三角形和圓形滾木的截面圖.有下列4個結(jié)論：

圖1圖2

①萊洛三角形是軸對稱圖形；

②圖1中，點A到弧BC上任意一點的距離都相等；

③圖2中，萊洛三角形的周長、面積分別與圓的周長、面積對應(yīng)相等；

④使用截面的萊洛三角形的滾木搬運東西，會發(fā)生上下抖動.

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①??C.②??D.①②③

【分析】根據(jù)萊洛三角形、圓的性質(zhì)逐項進行判斷即可.

【解答】解：由萊洛三角形的畫法可知，萊洛三角形是軸對稱圖形，因此①正確；

弧BC是以點A為圓心，AB為半徑的弧，因此點A到弧BC上任意一點的距離都相等，所以②正確；

萊洛三角形的面與圓的面積不相等，因此③不正確；

由“萊洛三角形”對稱性可知，在轉(zhuǎn)動的過程其邊沿上的點到中心的距離相等，因此使用截面的萊洛三

角形的滾木搬運東西，不會發(fā)生上下抖動，因此④不正確：

綜上所述，正確的有①②，

故選：A.

考點三、圓芯魚

仰|3（2022?長安區(qū)二模）如圖，AB為。。的直徑，點C為。。上一點，且余=3最，則弦AC與弦BC

A.AC=3BCB.AC=MBCC.AC=(A/2+1)BCD.MAC=BC

【分析】如圖，過點。作OOJ_A8,交AC于。，連接8。，0C,證明△CD8是等腰直角三角形，且AD

=BD,設(shè)C￡>=CB=x,則AO=2O=&x,計算AC和BC的比可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點。作00,48,交AC于。，連接8。，OC,

,：AB是。0的直徑,

AZACB=90°,

VAC=3BC,

.\NA0C=135°,

'：OA=OC,

：.ZA=ZACO=22.5°,

是AB的垂直平分線，

：.AD=BD,

：.ZA=ZABD=22.5°,

；.NCDB=NCBD=45°,

設(shè)C￡）=C8=x,則

.BC_x_1

ACx+V2xV2+1

."C=（V2+1）BC.

故選：C.

【變式訓練】

.（2022?亭湖區(qū)校級一模）如圖.AB是的直徑，ZD=40°,則NB0C=（）

c

A.80°B.100°C.120°D.140°

【分析】根據(jù)圓周角定理即可求出/80C

【解答】解：???NO=40°,

AZBOC=2ZD=SO0.

故選：A.

2.（2022?鄭城縣一模）如圖，AB是。O的直徑，點C為圓上一點，AC=4\歷，。是弧AC的中點，AC與

BD交于點E.若E是8。的中點，則BC的長為（）

【分析】連接。。交AC于F,如圖，根據(jù)垂徑定理得到OOJLAC,則AF=CF,根據(jù)圓周角定理得到/

C=90°,所以O(shè)O〃8C,接著證明ABCE絲△DFE得到BC=O凡則0尸=工8（7,所以0尸=工0。，然

23

后設(shè)BC=x，則0￡>=3X,AB=2OD=3X,在RtZ\ABC中，然后利用勾股定理計算出x,從而得到BC

2

的長.

【解答】解：連接。。交AC于尸，如圖，

：￡）是弧AC的中點，

：.OD±AC,

：.AF=CF,

是宜徑，

/.ZC=90°,

OD//BC,

:.ND=NCBE,

是5。的中點,

：.BE=DE,

■:NBEC=NDEF,

:.△BCE-DFE(ASA),

：.HC=DF,

'：OF=1BC,

2

...OF=^DF,

2

OF=AOD,

3

設(shè)BC=x,則oo=3x,

2

；.AB=2O￡>=3x,

在RtZXABC中，AB2=AC2+BC2,

(3x)2—(4A/2)2+j?,

解得x=2,

BC=2.

故選：C.

3.（2022?萊州市一模）如圖，A8是半圓。的直徑，以弦4C為折痕折疊余后，恰好經(jīng)過點O,則N40C

等于（）

A.120°B.125°C.130°D.145°

【分析】根據(jù)翻折變換得出AC垂直平分。。,AQ=4。，求出△4。。是等邊三角形，求出NAO0=60°,

再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出NCOQ=NAO。，再求出答案即可.

【解答】解：。關(guān)于直線AC的對稱點是0,連接OQ,交AC于M,

則4c垂直平分0。

即AQ=A。，0M1.AC,

'/0Q=0Af

：.OQ=AQ=OA,

：./\AQO是等邊三角形，

ZAOQ=60°,

???OQJ_AC,OA=OC9

.'.ZCOQ=ZAOQ=60°,

AZAOC=60°+60°=120°,

故選：A.

4.（2022?武漢模擬）如圖，在扇形中，點C為弧A8的中點，延長AC交08的延長線于點連接

s

BC,若8。=4,CD=5,則^DCB的值為（）

SADA0

Dt

【分析】連接OC,先證明△AOC絲/XBOC,得到/A=N08C=/0CA=N0C8,從而證得△OBCs4

DCO,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DO,進而求出08,計算面積比即可.

【解答】解：連接OC,

,點C為弧A8的中點，

/.ZAOC=ZBOC,OA=OC=OB,

：.△AO*ZkBOC,

二/A=/O8C=/OC4=NOC8,

又NDBC=ZDCO,

：./\DBC^/\DCO,

?DB_DC

"DC"DO'

；Br>=4,CD=5,

■45

"5"D0，

解得：。0=空，

4

：.OB=OD-2。=詈_娉，

.S/iDCB二4二16

FDCO百可

4

.SADCB16

??------------------------------:Z1—?,

S四邊形M?BC18

...$2kDCB=16二8

^ADAO16+1817

故選：B.

5.（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，半圓的半徑為6,將三角板的30°角頂點放在半圓上，這個角的兩邊分

別與半圓相交于點A,B,則AB的長度為（）

A.3B.12C.2代D.6

【分析】連接04,0B,根據(jù)圓周角定理得出NA0B=2NACB,根據(jù)等邊三角形的判定得出△A08是等

邊三角形，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=OA即可.

【解答】解：連接。A,0B,

?：/AC8=30°,

AZAOB=6Q°,

"：OA=OB,

...△A08是等邊三角形，

：.AB=OA=OB,

的半徑為6,

：.AB=OA=6,

故選：D.

6.（2022?桂平市二模）如圖，在Rt^ACB中/ACB=60°,以直角邊AB為直徑的。。交線段AC于點E,

點M是弧AE的中點，QW交AC于點。，。。的半徑是6,則的長度為（）

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/A=30°,根據(jù)垂徑定理求出ODLAE,根據(jù)含30。角的直角三

角形的性質(zhì)求出0力，再求出即可.

【解答】解：VZABC=90°,NACB=60°,

ZA=30°,

為弧AE的中點，0M過圓心。,

J.OMLAD,

：.ZADO=90°,

.?.0D=_10A=LX6=3，

22

；.MD=OM-00=6-3=3,

故選：C.

思克四、圓周自

例4(2022?金東區(qū)二模)如圖，A8是。0的直徑，點C在上，血=黃，點。是正的中點，連結(jié)

0C,AD,交于點E,連結(jié)BE,BD.

(1)求NEBA的度數(shù).

(2)求證：AE=y[2BD.

(3)若OE=1,求。0的面積.

【分析】(1)連接AC,先求出NBOC=90°,根據(jù)圓周角定理求出/CAB的度數(shù)，再求出/E48即可；

(2)由(1)知，0C垂直平分AB,得出AE=BE,在直角三角形中8O=sin45°BE,從而得出

BD；

(3)在RtZVU?。中，先求出。解，然后代入圓的面積計算公式計算即可.

【解答】解：(I)連接4C,

???AC=BC，

???ZAOC=ZBOC=90Q

：.ZCAB=45°,

???點。是市的中點，

***CD=BD，

：.ZCAD=ZEAB=22.5°；

（2）由（1）知，。。垂直平分A8,

:.AE=BE,

：.ZDEB=2ZEAB=45°,

是直徑，

AZD=90°，

ABD=sin45°BE,

:.BE=42BD,

：.AE=y[2BD；

（3）VDE=1

：.BD=DE=1,

:.AE=BE=版,

在RtZXABO中，AD2+BD1=（20A）2,

（V2+1）2+1=4042,

.?Q2=2+\/^,

2

圓的面積為TTOA2=.2兀避兀.

2

【變式訓練】

1.（2023?小店區(qū)校級一模）4、B、C是。。上的點，若NAOB=70°,則NACB的度數(shù)為（）

A.70°B.50°C.145°D.35°或145°

【分析】分兩種情況：當點C在A、8兩點之外時；當點C在A、8兩點之間時，由圓周角定理即可計

算出NAC8.

【解答】解：當點C在4、8兩點之外時，如圖:

AZACB^1ZAOH=35°；

2

當點C在A、B兩點之間時，如圖:

ZACS=A（3600-NAOB）=145°,

2

故NACB的度數(shù)為35°或145°.

故選：D.

2.（2022?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，A8是半圓O的直徑，C,。是半圓上的兩點，若NBAC=20°.則NO

的大小為（）

【分析】由AB是半圓。的直徑，得/AC8=90°,由直角三角形的性質(zhì)求出/B,由圓內(nèi)接四邊形的性

質(zhì)即可求解.

【解答】解：是半圓。的直徑，

/.ZACZf=90°,

ZABC=900-ZBAC=90°-20°=70°,

8c=180°，

.*.ZD=180°-70°=110°.

故選：B.

3.（2022?東寶區(qū)校級模擬）如圖，CO是。。的弦，直徑垂足為G,C尸是的直徑.分別連

接AC,BF交CD于點H.若點G為08的中點，04=7,tan/ACF=3,則G/Z的長為（）

5

【分析】由圓周角定理得NACF=/48凡根據(jù)08=。4=7,點G為08的中點求得8G=工，在RtA

BGH'V,再根據(jù)?解答即可.

BG5

【解答】解：VZACF=ZABF,tanZACF=l,

5

tanZABF=—,

5

VOA=7,

08=7,

?.?點G為08的中點，

:.BG=L,

2

?.?直徑

AZBGH=90°,

在中，tanNA8F=@L二,

BG5

GH3

3HnT

2

解得GH=21.

IO

故選：B.

4.（2022?保定二模）如圖，已知BC是。。的直徑，半徑。4J_8C,點￡＞在劣弧AC上（不與點A,點C重

合），BD與OA交于點E.設(shè)NAE￡）=a,ZAOD=^,則（

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-a=90°D.2a-p=90°

【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用a表示進而由圓心角與圓周角關(guān)系，用a表示/

COD,最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果.

【解答】解：OALBC,

.?./AOB=4OC=90°,

8c=90°-NBEO=90°-ZAED=90a-a,

NCO￡>=2NO8c=180°-2a,

VZAOD+ZCOD=90°,

/.p+1800-2a=90°,

，2a-0=90°，

故選：D.

5.（2022?夏邑縣校級模擬）如圖，在Rt/XABC中，/ACB=90°,CD是斜邊AB上的中線，以CD為直徑

的OO分別交AC、8C于點M、N,交A8于點￡＞、尸（。、產(chǎn)可重合），過點N作NEJ_A8,垂足為E.

（1）求證：BN=CN；

（2）填空:

①當NOC4的度數(shù)為45°時,四邊形。ENO為正方形;

②當NQC4的度數(shù)為60°時,四邊形AFOM為菱形.

B

【分析】(1)連接DN,由直角三角形的性質(zhì)可得CD=BD=AD,由圓周角定理的推論可得N￡WC=90°,

由等腰三角形的性質(zhì)可得BN=CN；

(2)①當/OCA的度數(shù)為45°時一，根據(jù)正方形的判定可以證明四邊形。EM9為正方形;

②當NDCA的度數(shù)為60°時，根據(jù)菱形的判定可以證明四邊形AFOM為菱形.

【解答】(1)證明：連接。M

VZACZf=90°,CD是斜邊A8的中線,

：.CD=BD=AD.

；8是。。的直徑,

:.NDNC=90°,

:.BN=CN；

(2)解：①當NOC4的度數(shù)為45°時，四邊形OENO為正方形，理由如下:

連接ON,

；NAC8=90°,NDC4=45°,CO是斜邊A8的中線,

ZDCB=45°,

：C￡＞是斜邊A3的中線，

：.DC=BD,

：.ZB=ZBCD=45°,

AZODE=90°,

OC=ON,

：.ZONC=ZDCB=45°,

：.ZNOD=90Q,

■:NELAB,

:.NDEN=90°,

四邊形DENO為矩形,

"：OD=ON,

四邊形OENO為正方形，

故答案為：45°；

②當NOC4的度數(shù)為60°時，四邊形AFOM為菱形，理由如下:

連接0例，OF,

；CO是斜邊A8的中線，

：.DC=DA,

：。。4=60°,

...△DCA是等邊三角形，

AZA=60°,ZADC=60°,

OC=OM,

...△OCM是等邊二角形，

同理：△。。尸是等邊三角形,

ZOMC=ZA=ZDFO=60°,

J.OM//FA,OF//MA,

二四邊形OM4尸是平行四邊形，

"：OM=OF,

四邊形OM4F是菱形，

故答案為：60°.

6.(2022?興慶區(qū)校級一模)如圖在RtZkACB中，ZACB=90°,BC=2,AC=4,以直角邊AC為直徑作圓

O,作NACB的角平分線交圓。于點E,交于點尸，連接AE和8E.

(1)求BE的長.

(2)求毆的值.

AE

A

CB

【分析】(1)由條件可以證明四邊形OCBE是正方形，即可求出BE長：

(2)由尸得到EF：FC=1：2,推出EF：EC=1；3,由OE垂直平分AC得到AE=CE,

即可求解.

【解答］解(1)?.?(7￡平分NACB,ZACB=90°,

：.ACE=1ZACB=45°,

2

AZAOE=2ZACE=90°,

；/AC8=NAOE=90°,

：.OE//BC,

；BC=OC=OE=2,

，四邊形0C8E是正方形，

：.BE=OC=2-,

(2)垂直平分AC,

：.CE=AE,

\'BE//AC,

:?△EBFsXCAF,

?EF=BE=1

"FCAC

.EF=2,

',而T

.EF2

"AE=3"

A

CB

7.(2022?賽罕區(qū)校級一模)如圖，在銳角三角形ABC中，是BC邊上的高，以AO為直徑的。。交A8

于點E,交AC于點F,過點F作FGLA8,垂足為H,交于點G,交A。于點M,連接AG,DE,DF.

(1)求證：/GA。與尸互補；

(2)若NAC8=45°,AD=4,AD=2BD,求的長.

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理得出NAGF=N4OF,再根據(jù)角之間的互余關(guān)系及等量代換推出NG4O=

NEAF,最后利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)即可得證；

(2)作出輔助線0凡可得：XAHMS[\F0M,XAHMSXADB、根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到三角形邊

之間的關(guān)系，最后根據(jù)勾股定理求解即可.

【解答】(1)證明：山題可知NAGF=NAD尸(同弧所對的圓周角相等)，

,：GF±AB,A。為圓的直徑，

AZAGF+ZGAE=90°,ZADF+ZMD=90°,

ZGAE=ZFAD,

：.ZGAE+ZDAE=ZFAD+ZDAE,即ZGAD=ZEAF,

'：四邊形AEDF是圓的內(nèi)接四邊形，

：.ZEAF+ZEDF=ISO0,

：.ZGAD+ZEDF=ISO°.

(2)解：如圖,

連接OF,

是圓的直徑，且是△ABC的高，GFLAB,

：.ZAED=ZADB=ZAHM=ZAFD=90°,

,：ZHAM^ZDAB,

：.XAHMsMDB,

.AH=AD

"fflfBD'

"：AD=2BD,

.AH_9

HM

VZACB=45°,

：.ZDAC=ZADF=ZAFO=45°,

.?./A"=90°,

在RtAAHM與Rt△尸OM中，

VZAMH=ZFMO(對頂角)，

?FO_AH_9

OMHM

?.?AD=4,

：.OF=OA=2,

.&=2,解得0M=1,AM=0A-0M=\,

OM

設(shè)HM=x,則4，=2x,

在中有：AH2+HM2=AM2,

即（2x）2+/=[,解得X]=Y￡,X2=~（舍去），

55

5

8.（2022?倉山區(qū)校級模擬）如圖，A8CE）是。0的內(nèi)接四邊形，BD為直徑,連接OA,且OA〃BC.

（1）求證：AC=AD；

（2）過點B作8E_LAC于點E,延長BE交AO于點/，若tanNCB￡>=4,BE=9,請補全圖形并求4/

3

的長.

A

【分析】（1）延長A。交8于點從根據(jù)圓周角定理得出NBCO=90°,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到NA”。

=N8CD=90°,根據(jù)垂徑定理得到CH=O",則AH是線段CO的垂直平分線，根據(jù)垂直平分線的性

質(zhì)即可得解；

（2）根據(jù)題意補全圖形，根據(jù)圓周角定理得出/8AC=NBOC,ZCAD=ZCBD,解直角三角形求解即

可.

【解答】（1）證明：如圖，延長4。交CD于點H,

為。。的直徑,

AZBCD=90°,

'JOA//BC,

:.NAHD=NBCD=90°,

：.AH±CD,

：.CH=DH=^CD,

2

：.AH是線段CD的垂直平分線,

：.AC=AD；

（2）解：補全圖形如圖,

在RtZXBCD中，tan/CBr>=SD=a,

BC3

：.tanZBDC=^-=^-,

CD4

:NBAC=NBDC,

tanZBAC—tanZBDC=—,

4

'：BELAC,

：.ZAEB=ZAEF=90°,

在RtZXABE中，tan/BAC=^L=旦，BE=9,

AE4

?A=2

',前T

."E=12,

,：ZCAD^ZCBD,

tanZ￡4F=tanZCBD=—,

3

在Rt/XAE尸中，tanZE4F=^L=A,

AE3

：.EF=\6,

22

.,.AF=^Ag2+Ep2=yj12+16=20.

考立JI,圓佝接口邊形

例5（2022?鐵西區(qū)二模）如圖1,四邊形4BCO內(nèi)接于OO,8。為直徑，俞上點E,滿足褊=而，連結(jié)

8E并延長交CD的延長線于點RBE與A。交于點G,連結(jié)CE,EF=DG.

(1)求證：CE=BG；

(2)如圖2,連結(jié)CG,