圖形的相似（測(cè)試）（教師版含解析）-2023年中考一輪復(fù)習(xí)講練測(cè)（浙江專用）

2023耳中考裁君總象引一齡濟(jì)體例（新江專用，

4<28囹形的相招（泅祓J

興微:聯(lián)名，得臺(tái)，

注意事項(xiàng)：

本試卷滿分120分，試題共23題，其中選擇10道、填空6道、解答7道.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑

色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.本試卷所選題目為浙江地區(qū)中考真題、模擬

試題、階段性測(cè)試題.

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合

題目要求的.

1.（2023?寧波模擬）若三=工，則三也的值是（）

b3a-b

A.AB.-Ac.-2D.2

22

【分析】由包=工，可得。=3"，把6換成3a即可求出三也的值.

b3a-b

【解答】解：?二包=工，

b3

：.b=3a,

?a+ba+3a_?

a-ba-3a

故選：C.

2.（2022?諸暨市二模）如圖，如果NBAO=NCAE,那么添加下列一個(gè)條件后，仍不能確定△ABCS/\AOE

的是（）

A.NB=NDB.ZC=ZAEDC.嶇=些D.旭=^2.

ADBCADAE

【分析】根據(jù)已知及相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而得到最后答案.

【解答】解：；NHM）=NC4￡

/ZME=NBAC,

.,.A,B,。都可判定△ABCs△HOE

選項(xiàng)C中不是夾這兩個(gè)角的邊，所以不相似，

故選：C.

3.（2011?永嘉縣模擬）如圖，D、E為△ABC邊上的點(diǎn)，DE//BC,AD=5AB，△AQE的面積等于2,則四

3

邊形DBCE的面積等于（）

C.16D.25

【分析】根據(jù)題意，先求證△AZJESZVIBC,因?yàn)橄嗨迫切蔚拿娣e比是相似比的平方，則可得出SAADE：

S^ABC的比，則△ADE的面積：四邊形DBCE的面積可求；已知△4OE的面積等于2,則四邊形D8CE

的面積可求.

【解答】ft?：'.,DE//BC,

■：AD：AB=\-.3,相似三角形的面積比是相似比的平方，

?'.SA/IDE：SAABC=1：9,

.?.△AOE的面積：四邊形力8CE的面積=1：8,

又???△?）￡的面積等于2,

四邊形DBCE的面積等于16.

故選：C.

4.（2021?濱江區(qū)校級(jí)三模）如圖，在△ABC中，D、E分別在AB、AC上，DE〃BC,點(diǎn)、F在BC邊上,連

接AF交OE于點(diǎn)G,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

AADAEBAG—AEQBDCEpAG—CE

'ABEC'GFBD-ADAE'AFAB

【分析】由OE〃8C,結(jié)合平行線分線段成比例可得結(jié)論.

【解答】解：在△ABC中，DE//BC,

.AD=_^AG=AEBD=CEAG=AE=AD

"ABAC*GFEC"ADAE'CGACAB"

??.C選項(xiàng)符合題意.

故選：C.

5.（2023?寧波模擬）如圖，在RtZVlBC中，ZC=90°,過點(diǎn)。作CO,AB于點(diǎn)。，點(diǎn)M為線段AB的中

點(diǎn)，連結(jié)CM,過點(diǎn)。作。ELCM于點(diǎn)E.設(shè)D4=a,DB=b,則圖中可以表示&目的線段是（）

a+b

A.MCB.CEC.DED.ME

【分析】證明△ACCs△&?￡）,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得型普_,則CD2=ah,再證明

BDCD

可得出型WL則ca=CM?CE=ab,由點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)得CM=2AB=3也，即可得出CE

CECD

a+b

【解答】解：;["AB,

AZADC=ZCDB=90°,

VZACB=90Q,

AZA+ZB=ZBCD+ZB=90Q,

:.N4=N8CO,

:.AACDs^CBD,

??C?D=—AD一>

BDCD

：.CD2=AD-BD=ah,

同理得△MCDs/xocE,

?CDCM

"CE=CD，

：.CD2^CM'CE=ab,

;點(diǎn)M為線段A8的中點(diǎn)，

：.CM=^AB=^-,

22

.?”=也=2ab.

CMa+b

故選：B.

6.（2023?寧波模擬）矩形相鄰的兩邊長(zhǎng)分別為25和x（xV25）,把它按如圖所示的方式分割成五個(gè)全等的

小矩形，每一個(gè)小矩形均與原矩形相似，則x的值為（）

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)得出比例式，即可得到答案.

【解答】解：；原矩形的長(zhǎng)為25,寬為尤，

小矩形的長(zhǎng)為x,寬為空=5,

5

；小矩形與原矩形相似，

??x??^―^―5二,

25x

解得：x=5粕或-5代（舍去），

故選：B.

7.（2022?鹿城區(qū)校級(jí)三模）如圖，正方形A8C。由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，連結(jié)交OE于點(diǎn)

M.若迪」，則理的值為（）

AE2MF

9273

【分析】延長(zhǎng)CB,DE,交于點(diǎn)M設(shè)A4=l,AE=2,依據(jù)△AOEs/X&VE,即可得出BN=1.5；再根

據(jù)ADHMsANFM,即可得到卻1的值.

FM

【解答】解：如圖所示，延長(zhǎng)C8,DE,交于點(diǎn)N,設(shè)AH=1,AE=2,

..?正方形A8CO由四個(gè)全等的直角三角形拼接而成，

BE=1,DH=BF=2,

'."AD//BN,

：./\ADE^/\BNE,

?AD-AE即3—2

"BNBE''BN-T

，BN=1.5,

■；DH//NF,

:./XDHMs叢NFM,

.HM_DH=2=4

"FMNF3757

故選：c.

8.(2022?鹿城區(qū)校級(jí)模擬)如圖，兩個(gè)大小不等的正方形被切割成5部分，且②與⑤的面積之差為8,將

這5部分拼接成一個(gè)大正方形ABCD,連接AC交OF于點(diǎn)E,若理1，則大正方形ABC。的面積為

EF3

()

A.18B.25C.32D.50

【分析】如圖，根據(jù)拼圖性質(zhì)，結(jié)合兩個(gè)圖之間的邊角關(guān)系，利用正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與

性質(zhì)得到紅二，設(shè)GT=4x,用x表示出圖形②和⑤的面積，再由②-⑤=8求得x值，即可得GJ,

K.T3

KJ,再根據(jù)正方形的面積公式求解即可.

【解答】解：如圖，

D

?.?西邊形ABC。是正方形，

：.AD//BC,

：.2ADEs叢CEF,

.AE_AD_DE_4

'五F百萬’

'CAMLDM,CNLNF,

:.NAME=NCNE=90°,又乙AEM=NCEN,

：.MAMEsXCNE,

.AM_AE_4

"CN"CE

\"AM=HI=GT,CN=KJ,

.?包工

K.T3

設(shè)G7=4x,則KJ=3x=Q/=/J,HI=QT=4x,

：.HQ=HI-。/=4x-3x=x,

'.,RQ//JI,

:AHQRS/XHIL

?QR_HQgpQR___x

‘亍元，、豆W，

?3

,,QRqx，

.'.S@=S^HQTG-SAH￡>/?=-^-(X+4X),4x—^-X-^-x=-^-X2,Sg)=_l_(yT￡+3x),3x=-^-x2,

■:S②~S⑤=8,

?7724520

??瓦X-X=8'

解得f=2,

x=V2(負(fù)值舍去)，

，GT=4&,K.T=3V2,

2

■,■S正方彩ABCD=S正方修GPQ7+S正方形KQ77=（4點(diǎn)）+（&近）2=50,

故選：D.

9.（2022?吳興區(qū)校級(jí)二模）如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC與BQ相交于點(diǎn)E,NBAD=60°,AB=

1.按下列步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，與的兩邊分別交于M、N兩點(diǎn)；②

分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于」MN長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P；③過B,P兩點(diǎn)作射線BP,分別

2

A.AF=DFB.BFVBCC.AG：GC=1：3D.AD2=AG,AC

【分析】由菱形的性質(zhì)可得48=AD=8C,NH4c=30°=NBCA,由等邊三角形的性質(zhì)可證AF=D凡

BF1AD,NA"=30°,BF1BC,通過證明△A8GS/\AC8,可得膽B(tài)PAD2^AC'AG,即可求

AGAB

解.

【解答】解：由題意可得：B尸平分

?四邊形A8CO是菱形，ZBAD=60",

：.AB=AD=BC,ZBAC=30°=ZBCA,

AABD是等邊二角形，

又產(chǎn)平分NA8D,

：.AF=DF,BFLAD,ZABF=30°,故選項(xiàng)A不符合題意,

'：AD//BC,

：.BF±BC,故選項(xiàng)8不符合題意，

VZABF=ZACB=30°,NBAC=NBAG,

△ABGS/\ACB,

?ABAC

"AG"AB'

2

：.AB=A^AGf

.\AD2=AC*AG,故選項(xiàng)D不符合題意；

VZABF=ZACB=30°=ZBAC,BFLBC,

:?AG=BG,GC=2BG,

/MG：GC=1：2,故選項(xiàng)C符合題意，

故選：C.

10.（2022?金華模擬）如圖，在矩形A8CO中，DE=3AEf8E_LAC于點(diǎn)R連接OF.分析下列四個(gè)結(jié)論:

①△C4B；

@CF=3AF；

③S&CDF=SACBF；

④若8c=4,則tanNAC8=2.

2

A.①②B.①③C.①③④D.②③④

【分析】①正確，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似證明即可.

②錯(cuò)誤，應(yīng)該是CF=4AF.

③正確，證明5ACW=25AADC,SACBF=—SAACB,ffiHjS^CDF=S^CBF,可得結(jié)論.

55

④正確，設(shè)AF=/M,CF=4m,利用相似三角形的性質(zhì)求出BF=2,”，可得結(jié)論.

【解答】解：；四邊形A8CZ）是矩形，

J.AD//BC,AD^BC,ZABC=90°,

AZEAF=ZACB,

'：AC±BE,

：.ZAFE^ZABC=90Q,

：./\AEF^^CAB,故①正確，

'：DE=3,AE,

?AE=AF=j.

"BCCFI

：.CF=4AF,故②錯(cuò)誤，

；四邊形A8CD是矩形，

:.S/\ADC=SMBC,

VCF=AAC,

5

S^CDI'——S^ADC,S&CBF=—SAACB,

55

SACDF=S%CBF，故③正確，

設(shè)AF=m,CF=4優(yōu)，

VZABF+ZBAC=90°,NB4C+N產(chǎn)CB=90°,

NABF=/BCF,

?；NBFA=NCFB=90°,

:?2BFAs/\cFB,

?.?一B.F一_AF，,

CFBF

BF=2m,

.'.tan/AC8=^>=^Sl=」，故④正確.

CF4m2

二、填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上

11.（2023?寧波模擬）如圖，AB//CD//EF,直線八、/2分別與這三條平行線交于點(diǎn)A、C、E和點(diǎn)8、D、

F.己知AC=3,CE=5,DF=4,則8力的長(zhǎng)為_衛(wèi)_.

【分析】先根據(jù)平行線分線段成比例定理得到旦=股，然后利用比例性質(zhì)得到8。的長(zhǎng).

54

【解答】解：?：AB//CD//EF,

?AC_BD即3=BD

"CE-DF''虧一丁

解得80=超.

5

故答案為：12

5

12.（2022?北侖區(qū)校級(jí)三模）在矩形ABCD中，AB=6,AD=S,G為CD上一點(diǎn),連結(jié)AG交于點(diǎn)E,

若AB=AE,NABE=NEFC,則的長(zhǎng)度為強(qiáng).

一25一

A_一D

m

BFC

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理可得80=10,然后證明可得迪.=也理，然后

BEBF

根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)證明GD=GE,根據(jù)勾股定理得AG2=">2+DG2,解得GD=Z,再由A8

3

//DG,可得△48ES/\GOE,所以姻■=至，即《■=_BE_,可得BE=3且,進(jìn)而可以求出8尸的長(zhǎng).

DGDEL10-BE5

3

【解答】解：在矩形A8C。中，

\"AB=6,AO=8,

B/）=:22

?'1VAB+AD=I。，

'：AB=AE,

：.NABE=ZAEB,

'：NABE=ZEFC,

：.ZAEB=ZEFC,

：.NAED=NEFB,

；四邊形ABC。是矩形，

.'.AD//BC,

：.NADE=NEBF,

:.△ADEs^EBF,

?AD=DE

"BEBF'

?.?一A一D.一_10-一B一E一,

BEBF

,CAB//DC,

：./ABE=NEDG,

NABE=ZAEB,

：.4EDG=ZAEB,

；NDEG=NAEB,

：.NEDG=NDEG,

：.GD=GE,

在RtZVIOG中，40=8,AG=AE+GE=6+G￡),

根據(jù)勾股定理得：AG2=AD2+DG2,

：.(6+GD)2=82+GD2,

解得GD=工，

3

'：AB//DG,

：.4ABEs叢GDE,

?AB=BE

"DGDE'

.:一BE

"L10-BE'

3

5

??AD=10-BE

'BEBF

36BF

5

25

故答案為：63.

25

13.（2022?嘉興二模）如圖，在△4BC中，40為/C4B的平分線，DE//AB,若DE=3,CE=4,則AB的

值今

【分析】由角平分線的性質(zhì)得出/8AD=N￡A。，由平行線的性質(zhì)得出NEDA=N8AD,進(jìn)而得出NE4。

=ZEDA,得出￡4=EO=3,由。七〃A3,證明△CE￡>S/\C4B,由相似三角形的性質(zhì)即可求出A3的長(zhǎng)

度.

【解答】解：???4D為NCAB的平分線，

：.ZBAD=ZEADf

9：DE//AB,

：.ZEDA=ZBAD,

：.ZEAD=ZEDAf

：?EA=ED,

VDE=3,

???E4=3,

,:DE〃AB,

:?/CED=/CAB,NCDE=NCBA,

：./^CED^^CAB9

???豆屈，

"CA'AB，

VDE=3tCE=4,E4=3,

/.CA=CE+EA=4+3=7,

.43

7AB

."3=21,

4

故答案為：21

4

14.（2022?瑞安市校級(jí)三模）如圖，已知平行四邊形ABC。的面積為24,以8為位似中心，作平行四邊形

ABC。的位似圖形平行四邊形EBFG,位似圖形與原圖形的位似比為2,連接AG、DG.則△AOG的面

3

積為4.

DC

3

AEB

【分析】延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)H,由題意可得四邊形AEHD是平行四邊形,則可得此平行四邊形的面積

為8,從而可得AAOG的面積.

【解答】解：延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)、H,如圖，

1/四邊形ABCD是平行四邊形，四邊形EBFG是平行四邊形，

J.AB//CD,AD//BC-,BF//EG,

：.AD//EG,

四邊形是平行四邊形，

"S/kADG平行四邊形AEHD，

..?位似圖形與原圖形的位似比為2,

3

O

BE-fAB，

即AE[AB，

.1

…S平行四邊形AEHD=，S平行四邊形皿?二冬

?11

,?SAADG革S平行四邊形AEHD=^X8=4,

故答案為：4.

DH________C

q

ARR

15.（2022?奉化區(qū)二模）如圖，菱形4BCC的對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)。，且AC=6,80=8.過。的直線

EF交BC于E,交于F.,把四邊形CDFE沿著EF折疊得到四邊形CEFD,C。，交AC于點(diǎn)G.當(dāng)

CZ7〃B￡＞時(shí)，之_色的值為A-,8E的長(zhǎng)為20.

D'G-16一—13一

D'

【分析】連接OC',OD',根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得。C'=OC,OD'=OD,利用等面積法可得出OG

的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可分別求得C'G和G,進(jìn)而可得出結(jié)論；連接。。，CC,過點(diǎn)。作。M_L

BD,則四邊形GOM。是矩形，勾股定理求得0nCC,設(shè)BE=x,則EC=5-x,根據(jù)對(duì)稱可知尸。=

BE=x,根據(jù)△FDOS/XECC',由相似三角形的性質(zhì)列出方程，即可求解.

【解答】解：如圖，連接。C',0D',

在菱形ABC。中，AC=6,BD=8,

.'.OA=OC=3,08=00=4,ELACA.BD,

菱形的邊長(zhǎng)為5.

■:CD://BD,

：.C'D'LAC,

由折疊可知，OC=0C=3,OD'=。。=4,/C'OD'=ZCOD=90°,

.0G=0C，加=12

C'D'"5~'

由勾股定理可知，CG=2,D/G=」總，

55

?C'G=9.

"DzG16'

如圖，連接DD，CC,過點(diǎn)。作。則四邊形GOM。,是矩形,

.?.￡)M=OG=gMG=OO=4,

5

.?.QM=GM-￡>G=4-曲=生

55

：.D'

5

'：C'6=2,CG=0C+0G=3+超=2

555

.cc_g而

"~~5~，

：.CC：DD'=9：4.

設(shè)BE=x,則CE=C'E=10-x,

由菱形的對(duì)稱性可知，DF=BE=x,且△<?(?'E^/\DD'F,

.?.EC：DF=CC'：DD1=4：9,即(5-x)：x=4：9,

解得

13

故答案為：J_；20.

1613

16.（2022?樂清市一模）如圖1為某智能洗拖一體掃地機(jī)，它正常工作及待機(jī)充電時(shí)的示意圖如圖2所示,

四邊形ABC。為它的手柄，OE為支撐桿，OM為拖把支架，且點(diǎn)O始終在AB的延長(zhǎng)線上，當(dāng)待機(jī)時(shí),

BC//OM,已知AB=18cro,BC=\5cm,ZABC=ZC=9Q°,AD+CD=21cm,則CD=10cm：OE

繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，機(jī)器開始工作，當(dāng)。:C,M在同一直線上時(shí)，點(diǎn)A,B分別繞。點(diǎn)旋轉(zhuǎn)

到點(diǎn)A',8',且高度分別下降了21.6C?7和18c〃?，則此時(shí)點(diǎn)。'到OM距離為89cm.

A

【分析】過點(diǎn)D作DF±ABTF,則四邊形8C。尸是矩形，得DF=BC=\5cm,8尸=6,設(shè)CD=xcm,

則AF=AB-BF=AB-CD=(18-x)cm,因?yàn)锳D+CD=21cm,則AD=(27-x)cm,在RtAAFD中，

由勾股定理，(18-x)+15=(27-x),求解即可求得CD長(zhǎng)，再過點(diǎn)交MO延長(zhǎng)線于尸，

點(diǎn)B'作B'N1.OM交MO延長(zhǎng)線于M點(diǎn)。作。'G1.OM交延長(zhǎng)線于G,點(diǎn)。作于”，

利用Ai_^=sinNA'0P=sin/8‘ON=P.'」L可求出O8=90cm,證四邊形8'C，。是矩形，得CH

OA'0B

=OB'=90cm,OH=B'C'=\5cm,因?yàn)镃'M//OB,,則所以墮=sinNOM，=sin

OM

NNOB'=巨龍，求得0”=」殳，在RtAOHM中，由勾股定理可求出A/b=生，則MD'=MH+C

OB'44

H+D1C?，在Rt^GMO中，由^l_^=sinNGM3'=sinNN08'=＞，",即=,

4DzMOB'44590

4

則可求出力'G.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)。作OFLA8于F,

：.ZBFD=ZAFD=90°,

VZABC=ZC=W°,

四邊形8co尸是矩形,

：.DF=BC=\5cm,BF=CD,

設(shè)CD=xcm,則AF=AB-BF=AB-CD=(18-x)cm,

'：AD+CD=21cm,

：.AD=(27-x)an,

在RlZXAFZ)中，由勾股定理，(18-x)2+152=(27-X)2,

解得x=10,即CD的長(zhǎng)為10cm.

如圖，過點(diǎn)A作交M。延長(zhǎng)線于P,點(diǎn)8'作"N_LOM交MO延長(zhǎng)線于N,點(diǎn)。,作￡TGJ_

OM交MO延長(zhǎng)線于G,點(diǎn)O作OH_LCM于H,

設(shè)OB—ycm,

由旋轉(zhuǎn)可得，OB=OB'=ycm.A'B'=AB=\Scm,B'C=BC=\5cm,CD'=CD=l0cm,

由題意，得A'P=AB+OB-21.6=18+j-21.6=(y-3.6)cm,B'N=(y-18)cm,

VALL=sinZsinZB;ON=^J1,即廠'=

0A'OB18%y

解得y=90,BPOB'=OB=90cm,

VOHLCM,

：.ZOHC'=NOMW=90°,

■:CM//OB',

：.ZB'OH=90°,

VZCZB10=90°,

四邊形8'C"0是矩形，

:.CH=OB'=90c〃i,OH=B'C'=15c，〃，

"：C'M//OB',

：.NOMH=NNOB',

=sinZOMH=sinZNOB'=__—?

OMOB'

?15-90-18

OM90

：.0M=—.

4

在RtZXOHM中，由勾股定理得，加〃=｛（聾）2_]52=疊，

；.MD'=MH+C'H+D'C=坐"

4

在RtZ\GMQ中，由^（1_1=S抽/6知￡>'=$山2%08'=&N,

D'MOB'

刖90~18

1445

4

：.D'G=89cvn.即點(diǎn)￡>'到。例的距離為89cm.

故答案為：10；89.

三、解答題（本大題共7小題，共66分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）

17.（2023?寧波模擬）如圖，為了測(cè)量平靜的河面的寬度，即EP的長(zhǎng)，在離河岸。點(diǎn)3.2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立

一根長(zhǎng)為1.6米的標(biāo)桿AB,在河對(duì)岸的岸邊有一根長(zhǎng)為4.5米的電線桿MF,電線桿的頂端M在河里的

倒影為點(diǎn)N,即PM=PN,兩岸均高出水平面0.75米，即。E=FP=0.75米，經(jīng)測(cè)量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)

在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、。、F共線，若AB、DE、均垂直于河面EP,求河

寬EP是多少米？

【分析】延長(zhǎng)AB交EP的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,由求得再由求得

OP,便可解決問題，

【解答】解：延長(zhǎng)A5交EP的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,

：.BH=DE=0.15,BD//EH,

1.6+0.75=2.35,

BD//OH,

?.△AB""http://。，

.BD=AB

'HOAH'

.3.2=1.6

2.35'

?.HO=4.7,

:PM=PN,MF=4.5米，F(xiàn)P=0.75米,

?.PN=MF+FP=5.25米，

：AHLEP,PNLEP,

,.AH//PN,

,.△AHOS^NPO,

,NPP0,

-2.35=4.7

*5.25-Per'

?.尸0=10.5,

\PE=PO+OE=\0.5+(4.7-3.2)=12,

答：河寬EP是12米.

18.(2022?椒江區(qū)校級(jí)二模)如圖，在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的頂點(diǎn)都在

格點(diǎn)上.

(1)以O(shè)為位似中心，在點(diǎn)。的同側(cè)作△4為。，使得它與原三角形的位似比為1：2：

(2)將△ABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△42B2c2,作出282c2,并求出點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的路徑的長(zhǎng).

【分析】(I)連接A。，CO,8。找到A。，CO,8。的中點(diǎn)，順次連接即可得出△481。；

（2）將對(duì)應(yīng)點(diǎn)A,B,C分別繞。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接即可，再利用弧長(zhǎng)公式求出點(diǎn)C旋

轉(zhuǎn)的路徑的長(zhǎng).

⑵如圖所示：QC=V42+42=W2）

二點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑為弧=2近兀-

19.（2022?永嘉縣三模）如圖，在矩形A8CQ中，E,尸分別是8C,C。的中點(diǎn)，AE,BF交于點(diǎn)P.

（1）求證：AP=4PE.

（2）若/BPE=NBFD,且40=8,求四邊形尸F(xiàn)CE的面積.

【分析】（1）取6F的中點(diǎn)G,連接EG,然后利用三角形的中位線定理可得FC=2GE,再根據(jù)矩形的性

質(zhì)可得/ABE=90°,AB//CD,AD=BC,AB=CD,從而可得EG〃AB,再根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得AB

=CD=2CF,最后證明8字模型相似三角形△ABPs/XEGP,從而利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計(jì)算即

可解答：

（2）根據(jù)等角的補(bǔ)角相等可得/1=/2,從而可得/1=/3,進(jìn)而可得A8=AP=4PE,然后設(shè)PE=”，

則48=4尸=4”，AE=5a,由勾股定理得8E=3m從而求出“的值，進(jìn)而求出烏■，再求出必

3

BCF——r最后利用等式的性質(zhì)可得S四邊彩PFCE=S"BP,即可解答.

3

【解答】（1）證明：如圖：取BF的中點(diǎn)G,連接EG,

??,￡是BC的中點(diǎn),

???EG是△BC/的中位線，

：.EG//CDfFC=2GE,

???四邊形A3CO是矩形，

ZABE=90°,AB//CD,AD=BC,AB=CD,

：.EG//AB,

???尸是。的中點(diǎn),

：.CD=2CF,

:.AB=CD=2FC=4GE,

■:EG//AB、

：.NBAE=ZAEG,/ABP=NBGE,

：.△ABPs^EGP,

.EP=EG=-lt

*,APABT

：.AP=4PE^

（2）解：Y/BPE=/BFD,ZBFD+Z2=180°,ZBPE+Z1=180°,

.\Z1=Z2,

AB//CD.

AZ3=Z2,

AZ1=Z3,

：.AB=AP=4PE,

設(shè)PE=m則A8=AP=4mAE=AP+PE=5a,

在中，由勾股定理得：

B￡=VAE2-AB2=n（5a）2-（4a）2=3m

,?,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

：.BC=2BE=6a,

：.AD=BC=2BE=6a,

??6a=8?

a=l,

a3

.,ABXBE4ax3a32

?.bAABE=~2~=~2~弋2aF

是CO的中點(diǎn)，

.-.CF^-LcD=2a,

2

S&BCF='nt='a"2a=6a2_*.

223

；?S〉A(chǔ)BE=SABCF,

S^ABE=-SABPE=S^BCF-SdBPE,

?**S四邊形PFCE=S4ABP，

f

：AP=4PEf

.4128

*,S四邊形FFCE=SAABP下SAABE下"

...四邊形PFCE的面積為工空.

15

20.（2022?景寧縣模擬）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)P為對(duì)角線AC上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)OP,將力P繞點(diǎn)。按

逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)至。Q，使NQDP=NCD4,PQ與CD交于點(diǎn),E.

（1）求證：XPECs△DPA”,

（2）已知AO=5,AC=8,

①當(dāng)。P_LAQ時(shí)，求△2￡：（?的面積；

②連結(jié)C。，當(dāng)△EQC為直角三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).

【分析】（1）推導(dǎo)出/EPC=/AOP,ZDAC^ZDCA,即可證明三角形相似;

(2)①連接8。交AC于點(diǎn)。，證明△AOPS&4。。，利用對(duì)應(yīng)邊成比例求出力「=生，”=至，則

44

CP=Z,再由(1)知，APECs"DPA,求出相似比FC=_Z_,根據(jù)相似比的平方等于面積比，求出S

4DA20

△A￡>P=—，即可求S&PCE—:

8128

②證明△AOP絲△OQC(SAS),可知CQ是NACQ的角平分線，分兩種情況討論：當(dāng)NQEC=90°時(shí)，

△PCQ是等腰三角形，AP=PC=4當(dāng)NEQC=90°時(shí)，過點(diǎn)。作。H_LA8交于”點(diǎn)，利用等積法求出

?！?建，則AH=工，可求COS/OAB=^=-L,再由/OA8=2NOAC,/QCP=2NOC4,得到方

55AD25

程工=_研_,求出AP=Z即可.

258-AP4

【解答】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)可知，DP=DQ,

:.NDPQ=NQ,

；四邊形A8CO是菱形，

：.AD=CD,

：.ZDAC^ZDCA,

'：ZQDP=ZCDA,

：.ZADP=ZQDE,ZDQP=ZDPQ=ZDAC=ZDCA,

■:NDEQ=NCEP,

:./EPC=NQDE,

：.ZEPC=ZADP,

:.△PECSXDPA；

(2)解：①連接8。交AC于點(diǎn)O,

?.?四邊形ABC。是菱形，

：.AO=OC,ZAOD=90",

,：AD1.DP,

：.ZADP=90°,

:./\ADPsS,

?.(■A-D―-_-DP--_--A^―Pf

AOODAD

VAC=8,

???OA=4,

：AD=5,

\D0=3,

.5=DP=AP

'7T"s'

\DP=^-,AP=至，

44

,.CP=8-至=工，

44

:△PECS^DA；

.PC=J_

,DA20'

/SMDP=-x—X5=75,

248

@'：DQ=DP,CD=AD,NQDC=NADP,

：./\ADP^^DQC(SAS),

：.ZQCD=ZDAP,CQ=AP,

：.ZQCD=ZACD,

.?.CD是NAC。的角平分線，

當(dāng)/QEC=90°時(shí)，△PC。是等腰三角形，

：.CQ=CP,

：.AP=PC=4；

當(dāng)NEQC=90°時(shí)，過點(diǎn)。作交于”點(diǎn),

'：AO=4,D0=3,

.0H=BD?AO=6X4=24

AB5V

：.AH=L,

5

cosND48=&l=-Z_,

AD25

'：ZDAB^2ZDAC,NQCP=22DCA,

.7=CQ=AP

',25PC8-AP'

.'.AP=—；

4

綜上所述：AP的長(zhǎng)為4或1.

21.（2022?拱塞區(qū)校級(jí)二模）如圖.已知2。是NA8C的角平分線，E是BO延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)且AE=AB.

（1）求證：AADEsACDB；

（2）若AB=6,BD=4,DE=5,求BC的長(zhǎng).

【分析】（1）8力是角平分線可得AE=A8可得NE,從而NCDB=/E,再利

用對(duì)頂角相等可得NC7）8=NADE,根據(jù)有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可得結(jié)論：

（2）由（1）中的結(jié)論，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例得出比例式，將已知線段代入可求8c.

【解答】（1）證明：???80是△ABC的角平分線，

NABD=NCBD.

'：AB=AE,

：.NABD=NE.

：.ZE^ZCBD.

'：ZEDA=ZBDC,

△ADEsMDB,

(2)解：'：AE=AB,AB=6,

，4E=6.

■:AADESACDB,

.AE=DE

"BCBD'

；BD=4,DE=5,

._6_=_5

"BC了

.?.8C=建.

5

22.(2022?余姚市模擬)【基礎(chǔ)鞏固】

(1)如圖1,在△ABC中，AB=AC,N8AC=90°,點(diǎn)。為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié)A。，將線段AO

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連結(jié)CE.求證：△A8Z)四△ACE；

【嘗試應(yīng)用】

(2)如圖2,在(1)的條件下，連接。E,若AE交OC于點(diǎn)F,已知FC=3,tanZADC^)求線段

4

OE的長(zhǎng)；

【拓展提高］

(3)如圖3,在正方形A8C。中，點(diǎn)E是對(duì)角線C4延長(zhǎng)線上的一點(diǎn),連結(jié)。E,過。點(diǎn)作。E的垂線

交AC于尸點(diǎn)，交BC于G點(diǎn),若GC=J5,AE=3,求AF的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到ZDAE=90°,得到/D4B=NE4C,進(jìn)而證明△AOB-A

AEC-,

(2)根據(jù)正切的定義求出CE,根據(jù)勾股定理求出EF,再根據(jù)正切的定義計(jì)算，得到答案；

(3)延長(zhǎng)OG至例，使DW=QE,連接CM,連接8。交AC于N,根據(jù)△CMGsaBOG,求出A。、

AC,根據(jù)△CFGS/XAF/),求出AF.

【解答】(1)證明：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AD=AE,ND4E=90°,

：.ZDAE^ZBAC,

：.ZDAE-NBAE=NBAC-ABAE,即ND4B=NE4C,

在△AOB和△AEC中，

'AD=AE

<ZDAB=ZEAC)

AB=AC

.?.△AOBdAEC(SAS)；

(2)解：由(1)可知，/XADB^^AEC,

/AEC=ZADB,

,：tanZADC=—,

4

；.tan/FEC=^=3,