四年級(jí)奧數(shù)幾何講義

風(fēng)箏模型和梯形蝴蝶定理

-J知識(shí)框架

板塊一風(fēng)箏模型：(又叫任意四邊形模型)

①S[：$2=$4：$3或者XS3=邑*'②AO：0c=(S1+S2)：($4+S3)

風(fēng)箏模型為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑.通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四

邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系.

板塊二梯形模型的應(yīng)用

梯形中比例關(guān)系(“梯形蝴蝶定理”)：

①5：53=。2：萬(wàn)

22；

②$:S3:S2:S4=a:b:ab:ab

③S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為(a+6)2.

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用

結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果.(具體的推理過(guò)程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說(shuō)

明)

例題精講

【例1】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角

形的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的?一個(gè)三角形的面積是多少公頃？

【鞏固】如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，^AOB面積為1平方千米，

△BOC面積為2平方千米，的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工

湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【例2】如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：⑴三角形3GC的

面積；⑵AG:GC=?

?nAp

【鞏固】在aABC中d=2:l,—=1:3,求”二?

DCECOE

【例3】如圖相鄰兩個(gè)格點(diǎn)間的距離是1,則圖中陰影三角形的面積為

【鞏固】如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1,求三角形.c的面積.

【例4】如圖，平行四邊形A8CZ）的對(duì)角線交于O點(diǎn)，MEF、4OEF、AODF、△8OE的面積依次

是2、4、4和6.求：⑴求△℃尸的面積；⑵求aGCE的面積.

fF

B*fC

E

【鞏固】如右上圖，己知B0=2D0,C0=5A0,陰影部分的面積和是11平方厘米，求四邊形ABCD的面積。

【例5】如圖，$2=2，$3=4,求梯形的面積.

【鞏固】如下圖，梯形的45平行于8,對(duì)角線AC,BD交于O,已知△AO8與△BOC的面積分

別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形A8CD的面積是平方厘米.

【例6】梯形AfiCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,已知梯形上底為2,且三角形的面積等于三角形

2

80c面積的求三角形AOD與三角形80c的面積之比.

0

BC

【鞏固】如下圖，四邊形A8CO中，對(duì)角線AC和BZ）交于。點(diǎn)，已知49=1,并且三角形ABPfi勺面積=g

三角形C8ZXI勺面積5

那么℃的長(zhǎng)是多少？

【例7】梯形的下底是上底的1.5倍，三角形O8C的面積是9c＞，問(wèn)三角形A8的面積是多少？

【鞏固】如圖，梯形MCD中，A4O3、△COD的面積分別為1.2和2.7,求梯形MCD的面積.

【例8】如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形4X7的面積是11,三角形BCH

的面積是23,求四邊形EG/77的面積.

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三

角形1的面積為

【例9】如圖，正方形A88面積為3平方厘米，M是4）邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.

【鞏固】在下圖的正方形中，E是BC邊的中點(diǎn)，AE與8。相交于F點(diǎn)，三角形B瓦"的面積為1平

方厘米，那么正方形.CD面積是平方厘米.

【例10］如圖所示，BD、C尸將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，ACER的面積是5平方厘米，ACED的面積是

10平方厘米.問(wèn)：四邊形他斯的面積是多少平方厘米？

【鞏固】如圖所示，BD、CF將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，ADEF的面積是4平方厘米，ACE。的面積是6

平方厘米.問(wèn)：四邊形ABEF的面積是多少平方厘米？

【例11］如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【鞏固】如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)

在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分

的面積為_(kāi)__________

課堂檢測(cè)

【隨練1】如圖，每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)都是1，求三角形謝的面積.

【隨練2】如圖所示，在梯形ABCD中，AB〃CD,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0。已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD

的面積為4,求三角形0AB的面積。

AB

【隨練3】如左下圖，E是長(zhǎng)方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，已知三角形EBF的面積是1平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD

的面積。

家庭作業(yè)

【作業(yè)1】如圖，四邊形ABCD中，AC和BD相交于0點(diǎn)，三角形ADO的面積=5,三角形DOC的面積=4,三

角形AOB的面積=15,求三角形BOC的面積是多少？

【作業(yè)2】（2003北京市第十九屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽）

四邊形A8CD的對(duì)角線AC與交于點(diǎn)。（如圖）所示。如果三角形ABO的面積等于三角

形BCD的面積的g,且AO=2,DO=3,那么CO的長(zhǎng)度是。。的長(zhǎng)度的倍。

【作業(yè)3】正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,E是的中點(diǎn)（如圖）。四邊形OECD的面積為

【作業(yè)4】如圖面積為12平方厘米的正方形ABC。中，旦尸是8邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

AB

D'C

EF

【作業(yè)5】如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、NW分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那

么余下的四邊形OfBC的面積為一平方厘米.

【作業(yè)6】在梯形ABCD中，上底長(zhǎng)5厘米，下底長(zhǎng)10厘米，SABOC=20平方厘米，則梯形ABCD的面積是

）平方厘米。

i_______D

0

BC

風(fēng)箏模型和梯形蝴蝶定理

工3

-J知識(shí)框架

風(fēng)箏模型：

板塊一風(fēng)箏模型：（又叫任意四邊形模型）

①S1：$2=S4：53或者S1XS3=S2XS4②A。：。C=（S1+S2）：（S4+S3）

風(fēng)箏模型為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑.通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四

邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系.

板塊二梯形模型的應(yīng)用

梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）：

①S1@=/：/

②‘：S3：S2：$4=：/："："；

③S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（。+6）2.

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用

結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過(guò)程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說(shuō)

明）

例題精講

【例12】圖中的四邊形土地的總面積是52公頃，兩條對(duì)角線把它分成了4個(gè)小三角形，其中2個(gè)小三角

形的面積分別是6公頃和7公頃.那么最大的?一個(gè)三角形的面積是多少公頃？

【鞏固】如圖，某公園的外輪廓是四邊形ABCD,被對(duì)角線AC、BD分成四個(gè)部分，^AOB面積為1平方千米，

△BOC面積為2平方千米，的面積為3平方千米，公園由陸地面積是6.92平方千米和人工

湖組成，求人工湖的面積是多少平方千米？

【例13］如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：⑴三角形BGC的

面積；⑵AG:GC=?

G

B

RD^=1:3,求經(jīng)二?

【鞏固】在aABC中——=2:1,

DCEC0E

【例14］如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線交于O點(diǎn)，△CEF、M)EF、4ODF、ZXBOE的面積依次

是2、4、4和6.求：⑴求△OC尸的面積；⑵求△GCE的面積.

【鞏固】如右上圖，已知B0=2D0,C0=5A0,陰影部分的面積和是11平方厘米，求四邊形ABCD的面積。

【例15］如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面積.

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形至8中，BE:EC=2:3,DF-FC=\:2,三角形的面積為2平方厘米，求長(zhǎng)

方形ABCZ）的面積.

【例16］如圖，梯形A88中，.OB、ACOD的面積分別為1.2和2.7,求梯形A88的面積.

【鞏固】如下圖，梯形舫CD的他平行于8,對(duì)角線AC,BD交于O,已知aAOB與△8°C的面積分

別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是平方厘米.

【例17】梯形的下底是上底的16倍，三角形O8C的面積是9c?＞，問(wèn)三角形AOD的面積是多少？

BC

【鞏固】在梯形ABCD中，上底長(zhǎng)5厘米，下底長(zhǎng)10厘米，SABOC=20平方厘米，則梯形ABCD的面積是

_________平方厘米。

【例18】如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積是11,三角形BCH

的面積是23,求四邊形EG/H的面積.

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三

角形1的面積為—

【例19］如圖，正方形.CZ）面積為3平方厘米，M是49邊上的中點(diǎn).求圖中陰影部分的面積.

AMD

【鞏固】如圖所示，BD、C產(chǎn)將長(zhǎng)方形ABCD分成4塊，ADEF的面積是5平方厘米，ACED的面積是10

平方厘米.問(wèn)：四邊形母尸的面積是多少平方厘米?

【例20］如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【鞏固】如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)

在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分

的面積為

【例21］如圖所示，長(zhǎng)方形A88內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15四邊形瓦GO的面積為

【鞏固】如圖5所示，矩形ABCD的面積是24平方厘米，、三角形人四與三角形1?^的面積之和是7.8平方

厘米，則四邊形PMON的面積是平方厘米。

’課堂檢測(cè)

【隨練4】如圖，$2=2,$3=4,求梯形的面積.

【隨練5】如左下圖，E是長(zhǎng)方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，已知三角形EBF的面積是1平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD

的面積。

【隨練6】在下圖的正方形中，E是邊的中點(diǎn)，AE與即相交于下點(diǎn)，三角形身明的面積為1

平方厘米，那么正方形.CD面積是平方厘米.

家庭作業(yè)

【作業(yè)7】如圖，四邊形ABCD中，AC和BD相交于0點(diǎn)，三角形ADO的面積=5,三角形DOC的面積=4,三

角形AOB的面積=15,求三角形BOC的面積是多少？

【作業(yè)8】（2003北京市第十九屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽）四邊形4BCD的對(duì)角線AC與8。交于點(diǎn)0

（如圖）所示。如果三角形ABO的面積等于三角形BCD的面積的;，且AO=2,00=3,

那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的倍。

【作業(yè)9】如圖面積為12平方厘米的正方形A8CD中，民尸是左邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

【作業(yè)10]如圖，長(zhǎng)方形ABCD被CE、小分成四塊，己知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米,

那么余下的四邊形OFBC的面積為平方厘米.

DC

【作業(yè)11]如圖所示，長(zhǎng)方形.8內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,四邊形EFGO的面積為io,長(zhǎng)方形

的面積是.

【作業(yè)12]如圖，在長(zhǎng)方形438中，Afi=6厘米，4)=2厘米，AE=EF=FB,求陰影部分的面積.

風(fēng)箏模型和梯形蝴蝶定理

a

■J知識(shí)框架

板塊一風(fēng)箏模型：（又叫任意四邊形模型）

①:S?=S4：S，或者S|XS3=S2XS4②AO：OC=（S]+$2）:（$+5?）

風(fēng)箏模型為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問(wèn)題的一個(gè)途徑.通過(guò)構(gòu)造模型，一方面可以使不規(guī)則四

邊形的面積關(guān)系與四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對(duì)應(yīng)的對(duì)角線的比例關(guān)系.

板塊二梯形模型的應(yīng)用

梯形中比例關(guān)系（“梯形蝴蝶定理”）:

22

②S1:S3:S2:S4=a:b:ab:ab；

③S的對(duì)應(yīng)份數(shù)為（a+9I

梯形蝴蝶定理給我們提供了解決梯形面積與上、下底之間關(guān)系互相轉(zhuǎn)換的渠道，通過(guò)構(gòu)造模型，直接應(yīng)用

結(jié)論，往往在題目中有事半功倍的效果.（具體的推理過(guò)程我們可以用將在第九講所要講的相似模型進(jìn)行說(shuō)

明）

例題精講

【例22］如圖，四邊形被兩條對(duì)角線分成4個(gè)三角形，其中三個(gè)三角形的面積已知，求：⑴三角形BGC的

面積；⑵4G:GC=?

RQAjP°R

【鞏固】在△ABC中---=2:1,----=1:3,求---=?

DCECOE

【例23］如圖，平行四邊形鉆8的對(duì)角線交于0點(diǎn)，ACEF、AOEF、4ODF、△BOE的面積依次

是2、4、4和6.求：⑴求△Ob的面積；⑵求△GCE的面積.

【鞏固】如右上圖，已知B0=2D0,C0=5A0,陰影部分的面積和是11平方厘米，求四邊形ABCD的面積。

【例24］如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形中，BE=2EC,CF=FDt求三角形A￡G的面積.

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形中，BE:EC=2.3,DF:FC=1:2,三角形DHG的面積為2平方厘米，求長(zhǎng)

方形ABCD的面積.

【例25］如圖，在ARC中，已知M、N分別在邊AC、BC上,8例與AN相交于。，若AAOM、AABO

和ABON的面積分別是3、2、1,則&3?的面積是.

【鞏固】如圖4,在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面積分別是89、28、26,

那么三角形DBE的面積是o

【例26】已知是平行四邊形，BC:CE=3:2,三角形的面積為6平方厘米。則陰影部分的面

積是平方厘米。

【鞏固】在梯形ABCD中，上底長(zhǎng)5厘米，下底長(zhǎng)10厘米，SABOC=20平方厘米，則梯形ABCD的面積是

_________平方厘米。

【例27】如下圖，一個(gè)長(zhǎng)方形被一些直線分成了若干個(gè)小塊，已知三角形ADG的面積是11,三角形BCH

的面積是23,求四邊形EG/H的面積.

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形中，若三角形1的面積與三角形3的面積比為4比5,四邊形2的面積為36,則三

角形1的面積為.

【例28］在下圖的正方形ABC。中，E是BC邊的中點(diǎn)，/正與匝）相交于F點(diǎn)，三角形8EF的面積為1

平方厘米，那么正方形ABCD面積是平方厘米.

【鞏固】如圖所示，BD、C產(chǎn)將長(zhǎng)方形9CD分成4塊，ADE戶的面積是4平方厘米，ACEZ）的面積是6

平方厘米.問(wèn)：四邊形AfiE尸的面積是多少平方厘米？

【例29］如圖，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點(diǎn).已知正方形。EFG

的面積48,AK:KB=l:3,則ABAD的面積是多少？

【鞏固】如圖所示，ABC。是梯形，AAZ）E面積是1.8,AAM的面積是9,A8C5的面積是27.那么陰影

A4EC面積是多少？

【例30］如圖，正六邊形面積為6,那么陰影部分面積為多少？

【鞏固】如圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為6的正方形中，放入一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，保持與原正方形的邊平行，現(xiàn)

在分別連接大正方形的一個(gè)頂點(diǎn)與小正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)，形成了圖中的陰影圖形，那么陰影部分

的面積為.

【例31］如圖所示，長(zhǎng)方形MCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,AB=8,AD=15四邊形的面積為

【鞏固】如圖5所示，矩形ABCD的面積是24平方厘米，、三角形人》\1與三角形《^的面積之和是7.8平方

厘米，則四邊形PM0N的面積是平方厘米。

課堂檢測(cè)

【隨練7】如左下圖，E是長(zhǎng)方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，已知三角形EBF的面積是1平方厘米，求長(zhǎng)方形ABCD

的面積。

【隨練8】正方形鉆8的邊長(zhǎng)為6,E是的中點(diǎn)（如圖）。四邊形的面積為

【隨練9】如圖，在長(zhǎng)方形他8中，鉆=6厘米，4）=2厘米，AE=EF=FB,求陰影部分的面積.

DC

家庭作業(yè)

【作業(yè)13】（2003北京市第十九屆小學(xué)生“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽）四邊形ABCO的對(duì)角線AC與3。交于

點(diǎn)0（如圖）所示。如果三角形ABD的面積等于三角形BCD的面積的g,且AO=2,OO=3,

那么CO的長(zhǎng)度是DO的長(zhǎng)度的倍。

【作業(yè)14]如圖面積為12平方厘米的正方形A8CD中，E，尸是“邊上的三等分點(diǎn)，求陰影部分的面積.

AB

D

EF

【作業(yè)15]如圖所示，BD、B將長(zhǎng)方形分成4塊，AD所的面積是4平方厘米，AC。的面積

是6平方厘米.問(wèn)：四邊形即的面積是多少平方厘米？

BC

【作業(yè)16]如圖所示，長(zhǎng)方形438內(nèi)的陰影部分的面積之和為70,四邊形EFGO的面積為10,長(zhǎng)方形

的面積是__________

【作業(yè)17]如圖，已知。是BC中點(diǎn)，E是8的中點(diǎn)，P是AC的中點(diǎn).三角形ABC由①?⑥這6部分

組成，其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形的面積是多少平方厘米？

【作業(yè)18]如圖，正方形ABC。中，BE=2EC,CF=FD,三角形A￡G的面積是1,求正方形ABCD的

面積.

BEC

鳥(niǎo)頭模型和長(zhǎng)方形里的三角形模型

J知識(shí)框架

鳥(niǎo)頭模型

兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形.

共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.

如圖在△ABC中，分別是上的點(diǎn)如圖（1）（或。在84的延長(zhǎng)線上，E在AC上）,

則S&ABC:S/XAOE=（.ABxAC）:（ADxAE）

J例題精講

【例1】如圖在△ABC中，O,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，且AD:AB=2:5,AE:AC=4:7,5小必=16平

方厘米，求AA8c的面積.

E

BC

【鞏固】如圖，三角形他C中，A8是4）的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形4g的面積等于1,那

么三角形MC的面積是多少？

【例2】如下圖，在AABC中，BD=2AD,AG=2CG,BE=EF=FC,求陰影部分面積占三角形面積的幾分之幾？

【鞏固】如下圖，Z\ABC中，AD：DB=2：1,BE：EC=3：1,CF：FA=4：1,那么aDEF是aABC的面積的幾分

之幾？

【例3】如圖在△ABC中，。在84的延長(zhǎng)線上，E在AC上，且A8:AO=5:2,

AE:EC=3:2,=12平方厘米，求△ABC的面積.

B

【鞏固】如圖，三角形的面積為3平方厘米，其中M：8E=2:5,BC:CD=3:2,三角形及）E的面

積是多少？

【例4】圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，。是的中點(diǎn)，4）的長(zhǎng)是他長(zhǎng)的3倍，斤的長(zhǎng)

是BF長(zhǎng)的3倍.那么三角形的'的面積是多少平方厘米？

【鞏固】圖，三角形.0中，DC=2BDtCE=3AE,三角形ADE的面積是20平方厘米，三角形A8C的

面積是多少？

【例5】己知△的的面積為7平方厘米，BE=CE，AD=2BD,CF=3AF,求△ABC的面積.

D

B

E

【鞏固】已知△ABC的面積為24平方厘米，BE=CE，AD=2BD,CF=3AF,求△。防的面積.

【例6】如圖，已知三角形他C面積為1,延長(zhǎng)至至。，使BD=AB；延長(zhǎng)8c至E,使CE=2BC；延

長(zhǎng)C4至F,使”=3AC,求三角形。印的面積.

【鞏固】如圖，已知三角形以戶面積為1,延長(zhǎng)AB至。，使8。=口；延長(zhǎng)8c至E,使CE=28C；

延長(zhǎng)C4至尸，使瓶=347,求三角形ABC的面積.

【例7】如圖所示，4、B、C都是正方形邊的中點(diǎn)，△C8比△AQ8大15平方厘米?！鰽C?的面積

為平方厘米。

【鞏固】如下圖，已知D是BC的中點(diǎn)，E是CD的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，且MOG的面積比AEbG的面積

大6平方厘米。。8型面積是多少平方厘米？

【例8】如圖ABCD是一個(gè)長(zhǎng)方形，點(diǎn)E、F和G分別是它們所在邊的中點(diǎn).如果長(zhǎng)方形的面積是36個(gè)平

方單位，求三角形EFG的面積是多少個(gè)平方單位.

【鞏固】如圖，長(zhǎng)方形A8CD的面積是1,〃是4）邊的中點(diǎn)，N在他邊上,且24V=8N.那么，陰影

部分的面積是多少？

【例9】如圖，大長(zhǎng)方形由面積是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四個(gè)小長(zhǎng)方形

組合而成.求陰影部分的面積.

AB

【鞏固】圖中ABCD是個(gè)直角梯形(NDAB=NABC=90°),以AD為一邊向外作長(zhǎng)方形ADEF,其面積為6.36平

方厘米。連接BE交AD于P,再連接PC。則圖中陰影部分的面積是()平方厘米。

【例10】一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的15%,黃色三角形面積是

21c>.問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？

【鞏固】將長(zhǎng)15厘米，寬9厘米的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都分成三等份，長(zhǎng)方形內(nèi)任意一點(diǎn)與分點(diǎn)及頂點(diǎn)連結(jié),

如下圖，則陰影部分的面積是平方厘米.

課堂檢測(cè)

【隨練10]如圖，三角形ABC被分成了甲（陰影部分）、乙兩部分，BD=DC=4,BE=3,AE=6,乙

部分面積是甲部分面積的幾倍？

【隨練11]如圖所示，6=43=4厘米，八詠比的面積小2平方厘米，求CD的長(zhǎng)為多少厘米?

【隨練12]（北京市第四屆“迎春杯”刊賽）下圖中三角形ABC的面積為1,其中AE=3AB,BD=2BC,那

么三角形BED的面積是.

【隨練13]如圖，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為10厘米，寬為8厘米，把長(zhǎng)和寬都分成三等份，長(zhǎng)方形內(nèi)任一點(diǎn)與各分

點(diǎn)、頂點(diǎn)連結(jié)，則陰影部分的面積是平方厘米.

家庭作業(yè)

【作業(yè)19]如圖2,將一個(gè)三角形（有陰影的）的兩條邊分別延長(zhǎng)2倍，得到一個(gè)大三角形，這個(gè)大三角形

的面積是原三角形面積的一倍.

聯(lián)、、、、、

小______?■

b~bb

圖2

1三角形DEF的面積

【作業(yè)20】如圖16-4,已知.AE=-AC,CD=-BC,BF=-AB,那三角形ABC的面積等于多

546

【作業(yè)21】如右圖，D、E、F分別是BC、AD、BE的三等分點(diǎn),已知SAABC=27平方厘米，求SADEF.

【作業(yè)22]（北京市第八屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽）如右圖BE=1/3BC,CD=1/4AC,那么三角形AED的

面枳是三角形ABC面積的

【作業(yè)23]如下圖，在三角形ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AB上的一點(diǎn)，且BE=」AB,已知三角形BDE

3

的面積是35,求三角形ABC的面積.

E

BDC

等高三角形模型

■J知識(shí)框架

三角形等高模型

我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底X高+2

從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.

如果三角形的底不變，高越大（小），三角形面積也就越大（?。?；

如果三角形的高不變，底越大（小），三角形面積也就越大（?。?；

這說(shuō)明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化.但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)

生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的g,則三角形面積與原來(lái)的

一樣.這就是說(shuō)：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同

時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀.

在實(shí)際問(wèn)題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論：

①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比；

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

如左圖S|：$2

③夾在一組平行線之間的等積變形，如右上圖=SED；

反之，如果$。8=5麗8,則可知直線4B平行于CD.

④等底等高的兩個(gè)平行四邊形面積相等（長(zhǎng)方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）；

⑤三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半；

⑥兩個(gè)平行四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個(gè)平行四邊形底相等，面積比等于它們的高之比.

一例題精講

【例1］你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成3個(gè)面積相等的三角形.

【鞏固】你有多少種方法將任意一個(gè)三角形分成4個(gè)面積相等的三角形.

【例2】如圖，BD長(zhǎng)12厘米，DC長(zhǎng)4厘米，B、C和D在同一條直線上.

⑴求三角形ABC的面積是三角形ABD面積的多少倍？

⑵求三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多少倍？

【鞏固】如右圖，E在AD上，AD垂直BC,AD=12厘米，DE=3厘米。

求：三角形EBC的面積是三角形ABC面積的幾分之幾？

BDC

［例3］如圖，ABCD是直角梯形，求陰影部分的面積和。（單位：厘米）

D

【鞏固】求下圖中陰影部分的面積。

10厘米

【例4】如右圖，A3正和CDEF都是矩形,AB的長(zhǎng)是4厘米，BC的長(zhǎng)是3厘米，那么圖中陰影部分的

面積是平方厘米.

【鞏固】如下圖，長(zhǎng)方形"EB和長(zhǎng)方形血E拼成了長(zhǎng)方形他8,長(zhǎng)方形他CD的長(zhǎng)是20,寬是12,

則它內(nèi)部陰影部分的面積是.

［例5］如圖，長(zhǎng)方形A8CD的面積是56平方厘米，點(diǎn)￡、F、G分別是長(zhǎng)方形MCD邊上的中點(diǎn)，H

為4）邊上的任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積.

【鞏固】圖中的E、尸、G分別是正方形A8CD三條邊的三等分點(diǎn)，如果正方形的邊長(zhǎng)是12,那么陰影部

分的面積是.

【例6】長(zhǎng)方形的面積為36,E、F、G為各邊中點(diǎn)，“為AD邊上任意一點(diǎn)，問(wèn)陰影部分面積

是多少？

D

G

BFC

【鞏固】在邊長(zhǎng)為6厘米的正方形至8內(nèi)任取一點(diǎn)尸，將正方形的一組對(duì)邊二等分，另一組對(duì)邊三等分,

分別與P點(diǎn)連接,求陰影部分面積.

【例7】正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD邊長(zhǎng)為10厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？

【鞏固】右圖是由大、小兩個(gè)正方形組成的，小正方形的邊長(zhǎng)是4厘米，求三角形ABC的面積.

EDC

［例8］如圖，在aABC中，D是BC中點(diǎn)，E是AD中點(diǎn)，連結(jié)BE、CE,那么與aABE等積的三角形一共

有哪幾個(gè)三角形？

A

BC

D

【鞏固】如圖，在梯形ABCD中，共有八個(gè)三角形，其中面積相等的三角形共有哪幾對(duì)？

［例9］如圖，三角形ABC的面積是24,D、E和F分別是BC、AC和AD的中點(diǎn)。求：三角形DEF的面積。

【鞏固】如右圖所示，在平行四邊形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF=2CF,三角形AFE（圖中陰影部分）的面積

為8平方厘米.平行四邊形的面積是多少平方厘米？

【例10］如圖所示，四邊形ABCD與AEGF都是平行四邊形，請(qǐng)你證明它們的面積相等.

DEC

【鞏固】如圖所示，正方形458的邊長(zhǎng)為8厘米，長(zhǎng)方形EBGF的長(zhǎng)BG為10厘米，那么長(zhǎng)方形的寬為

幾厘米？

【例11）如右圖，三角形ABG和三角形ECF是兩個(gè)完全一樣的直角三角形，AB=10,BC=7,ED=4。求四邊

形EDGF的面積。

【鞏固】下圖（單位：厘米）是兩個(gè)相同的直角梯形重疊在一起，求陰影部分的面積.

8

20

【例12】如下圖，E、尸分別是梯形4夕8的下底8C和腰CD上的點(diǎn)，DF=FC,并且甲、乙、丙3個(gè)

三角形面積相等.已知梯形ABCD的面積是32平方厘米.求圖中陰影部分的面積.

【鞏固】已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為10,正方形BEFG邊長(zhǎng)為6,求陰影部分的面積.

課堂檢測(cè)

【隨練14]如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為10,AE=2,CF=3.長(zhǎng)方形EFGH的面積為

【隨練15】正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形ABCD邊長(zhǎng)為8厘米，則圖中陰影面積為多少平方厘米？

-------E

【隨練16]如下圖，在平行四邊形ABCD中，EF平行AC,連結(jié)BE、AE、CF、BF那么與aBEC等積的三角

形一共有哪幾個(gè)三角形？

【隨練17]如圖，三角形■C的面積為1,其中=BD=2BC,三角形BDE的面積是多少？

EA

家庭作業(yè)

【作業(yè)24]（2009年四中小升初入學(xué)測(cè)試題）如圖所示，平行四邊形的面積是50平方厘米，則陰影部分的

面積是平方厘米.

【作業(yè)25】圖中兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別是6厘米和4厘米，則圖中陰影部分三角形的面積是多少平方厘

米.

【作業(yè)26]如圖，鉆8與題燈均為正方形，三角形A3”的面積為6平方厘米，圖中陰影部分的面積

為.

【作業(yè)27]舫8是邊長(zhǎng)為12的正方形，如圖所示，P是內(nèi)部任意一點(diǎn)，BL=DM=4、BK=DN=5,

那么陰影部分的面積是.

【作業(yè)28】（2008年四中考題）如右圖，AD=DB,AE=EF=FC,已知陰影部分面積為5平方厘米,

MBC的面積是平方厘米.

【作業(yè)29]如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,/叱=1.5,^=2.長(zhǎng)方形EFGH的面積為

三角形等高模型和鳥(niǎo)頭模型

-J知識(shí)框架

板塊一三角形等高模型

我們已經(jīng)知道三角形面積的計(jì)算公式：三角形面積=底X高+2

從這個(gè)公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積.

如果三角形的底不變，高越大（小），三角形面積也就越大（小）；

如果三角形的高不變，底越大（?。?，三角形面積也就越大（?。?/p>

這說(shuō)明當(dāng)三角形的面積變化時(shí)，它的底和高之中至少有一個(gè)要發(fā)生變化.但是，當(dāng)三角形的底和高同時(shí)發(fā)

生變化時(shí)，三角形的面積不一定變化.比如當(dāng)高變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，底變?yōu)樵瓉?lái)的1，則三角形面積與原來(lái)的

3

一樣.這就是說(shuō)：一個(gè)三角形的面積變化與否取決于它的高和底的乘積，而不僅僅取決于高或底的變化.同

時(shí)也告訴我們：一個(gè)三角形在面積不改變的情況下，可以有無(wú)數(shù)多個(gè)不同的形狀.

在實(shí)際問(wèn)題的研究中，我們還會(huì)常常用到以下結(jié)論:

①等底等高的兩個(gè)三角形面積相等；

②兩個(gè)三角形高相等，面積比等于它們的底之比：

兩個(gè)三角形底相等，面積比等于它們的高之比；

如左圖瓦：$2=a：b

③夾在一組平行線之間的等積變