高考二輪復習文科數(shù)學試題（老高考舊教材）課后提升練3高考情境題的數(shù)學建模

課后提升練3高考情境題的數(shù)學建模一、選擇題1.在北京冬奧會開幕式上,二十四節(jié)氣倒計時驚艷了世界.從冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長依次成等差數(shù)列.若冬至的日影長為18.5尺,立春的日影長為15.5尺,則春分的日影長為()A.9.5尺 B.10.5尺C.11.5尺 D.12.5尺2.(2023山東濱州一模)《九章算術》記載一個問題“今有圓堡瑽,周四丈八尺,高一丈一尺.問積幾何?答曰:二千一百一十二尺.術曰:周自相乘,以高乘之,十二而一”.這里所說的圓堡瑽就是圓柱體,它的體積V=112×(底面圓的周長的平方×高),則由此可推得圓周率π的取值為(A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.23.大西洋鮭魚每年都要逆流而上游回產(chǎn)地產(chǎn)卵,研究發(fā)現(xiàn)鮭魚的游速(單位:m/s)可以表示為v=12log3Q100,其中Q表示鮭魚的耗氧量,則鮭魚以1.5m/s的速度游動時的耗氧量與靜止時的耗氧量的比值為(A.2600 B.2700 C.2 D.274.2020年02月02日(20200202)被稱為世界完全對稱日(公歷紀年日期中數(shù)字左右完全對稱的日期).數(shù)學上把20200202這樣的對稱數(shù)叫回文數(shù),兩位數(shù)的回文數(shù)共有9個(11,22,…,99),則在三位數(shù)的回文數(shù)中,出現(xiàn)偶數(shù)的概率為()A.13 B.49 C.595.(2023廣西部分學校3月測試)在一節(jié)數(shù)學研究性學習的課堂上,老師要求大家利用超級畫板研究空間幾何體的體積,步驟如下:第一步,繪制一個三角形;第二步,將所繪制的三角形繞著三條邊各自旋轉一周得到三個空間幾何體;第三步,測算三個空間幾何體的體積.若小明同學繞著△ABC的三條邊AB,BC,AC旋轉一周所得到的空間幾何體的體積分別為2,83,4,則cos∠BAC=(A.14 B.7C.1116 D.6.(2023山西校聯(lián)考模擬預測)中國古代四大名樓之一的鸛雀樓,位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn),因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而聞名.如圖,某同學為測量鸛雀樓的高度MN,在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB,高約為37m,在地面上點C處(B,C,N三點共線)測得建筑物頂部A,鸛雀樓頂部M的仰角分別為30°和45°,在A處測得樓頂部M的仰角為15°,則鸛雀樓的高度約為()A.64m B.74m C.52m D.91m7.阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學家,他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究,阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一,指的是:已知動點M與兩定點A,B的距離之比為λ(λ>0,λ≠1),那么點M的軌跡就是阿波羅尼斯圓,簡稱阿氏圓.已知在平面直角坐標系中,圓O:x2+y2=1,點A12,0和點B0,12,點M為圓O上的動點,則2|MA||MB|的最大值為()A.52 B.17C.32 D.8.(2023山東日照一模)如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成,上下兩部分是兩個相同的圓柱的側面,中間是球面除去上下兩個相同球冠剩下的部分.如圖2,球冠是由球面被平面截得的一部分,垂直于截面的直徑被截得的部分叫做球冠的高,若球冠所在球面的半徑為R,球冠的高為h,則球冠的面積S=2πRh.如圖1,已知該燈籠的高為58cm,圓柱的高為5cm,圓柱的底面圓直徑為14cm,則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為()圖1圖2A.1940πcm2 B.2350πcm2C.2400πcm2 D.2540πcm29.(2023廣西梧州一模)我們可以把(1+1%)365看作每天的“進步”率都是1%,一年后是1.01365;而把(11%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.可以計算得到,一年后的“進步”是“落后”的1.013650.99365≈1481倍.如果每天的“進步”率和“落后”率都是10%,則“進步”是“落后”的1000倍至少經(jīng)過的天數(shù)為()(lgA.31 B.33 C.35 D.3710.(2023山西大同名校聯(lián)考)質點P和Q在以坐標原點O為圓心,半徑為1的☉O上逆時針做勻速圓周運動,同時出發(fā).點P的角速度大小為2rad/s,起點為☉O與x軸正半軸的交點;點Q的角速度大小為5rad/s,起點為射線y=3x(x≥0)與☉O的交點.則當點Q與點P重合時,點Q的坐標不可以為()A.cos2π9,sin2π9 B.cos5π9,C.cosπ9,sinπ9 D.cosπ9,sinπ9二、填空題11.如圖所示,圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球,這個球的直徑恰好與圓柱的高相等,記圓柱的體積和表面積分別為V1,S1,球的體積和表面積分別為V2,S2,則V1V2×12.(2023江西九江二模)根據(jù)祖暅原理,界于兩個平行平面之間的兩個幾何體,被任一平行于這兩個平面的平面所截,如果兩個截面的面積相等,則這兩個幾何體的體積相等.如圖1所示,一個容器是半徑為R的半球,另一個容器是底面半徑和高均為R的圓柱內(nèi)嵌一個底面半徑和高均為R的圓錐,這兩個容器的容積相等.若將這兩容器置于同一平面,注入等體積的水,則其水面高度也相同.如圖2,一個圓柱形容器的底面半徑為4cm,高為10cm,里面注入高為1cm的水,將一個半徑為4cm的實心球緩慢放入容器內(nèi),當球沉到容器底端時,水面的高度為cm.(注:32≈1.26)圖1圖213.(2023北京豐臺一模)三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一,目前尺規(guī)作圖仍不能解決這個問題.某位古希臘數(shù)學家借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法.如圖,以角的頂點C為圓心作圓交角的兩邊于A,B兩點,取線段AB的三等分點O,D,以B為焦點,A,D為頂點作雙曲線H.雙曲線H與弧AB的交點記為E,連接CE,則∠BCE=13∠ACB(1)雙曲線H的離心率為;

(2)若∠ACB=π2,|AC|=32,CE交AB于點P,則|OP|=.課后提升練3高考情境題的數(shù)學建模1.D解析設從冬至到芒種這十二個節(jié)氣的日影長構成等差數(shù)列{an},公差為d,由題意冬至的日影長為a1=18.5,立春的日影長a4=15.5,則a4a1=3d=15.518.5=3,所以d=1.則春分的日影長a7=a1+6d=18.56=12.5.2.A解析設圓柱體的底面半徑為r,高為h,由圓柱的體積公式V=πr2h.由題意知V=112×(2πr)2×h.所以πr2h=112×(2πr)2×h,解得π=3.故選3.D解析由12log3Q100=0,得Q100=1,Q=100;由12log3Q100=1.5,得Q100=33=27,Q=2700.故鮭魚以1.54.B解析3位回文數(shù)的特點是百位和個位數(shù)字相同且不能為0,十位數(shù)字可以為從0到9的任意一個數(shù),當百位和個位數(shù)字同時為1,2,3,…,9時,各有10個回文數(shù),共90個回文數(shù).若三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù),則末(首)位可能為2,4,6,8.如果末(首)位為2,中間一位數(shù)有10種可能,同理可得,如果末(首)位為4或6或8,中間一位數(shù)均有10種可能,所以三位數(shù)的回文數(shù)是偶數(shù),有4×10=40個,所以在三位數(shù)的回文數(shù)中,出現(xiàn)偶數(shù)的概率為P=40905.C解析令△ABC的三邊長AB,BC,AC分別為c,a,b,邊AB上的高為hc,△ABC的面積為S,則以直線AB為軸所得旋轉體體積13πhc2c=2,有hc2c2=6cπ,于是S2=3c2π,同理可得S2=2aπ,S2=3bπ,則有a=6.B解析因為在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=37m,∠ACB=30°,所以AC=2AB=74m,又因為在Rt△MNC中,NC⊥MN,∠MCN=45°,所以MN=MC·sin45°=22MC,又因為∠MAC=45°,∠MCA=180°45°30°=105°,故∠AMC=180°105°45°=30°,在△ACM中,由正弦定理得MCsin∠MAC=ACsin∠AMC,即MCsin45°=74sin30°,故MC=74sin45°sin30°=7.B解析設M(x,y),令2|MA|=|MC|,則|MA||MC|=12,由題知圓x2+y2=1是關于點A,C的阿波羅尼斯圓,且λ=12,設點C(m,n),則|MA||MC|=(x+12)

2即m=2,n=0,點C(2,0).如圖所示,設直線BC與圓O的交點分別為M1,M2,當點M位于點M1時,2|MA||MB|=|MC||MB|的值最大,最大為|BC|=172.故選B8.C解析由題意得R258-1022=72,所以R=25cm,所以h=2558-102=1cm,所以兩個球冠的面積為2S=2×2πRh=2×2×π×25×1=100πcm2,則圍成該燈籠中間球面部分所需布料的面積為4πR22S=4×π×252100π=2400π9.C解析根據(jù)題意,如果每天的“進步”率和“落后”率都是10%,假設經(jīng)過n天后,“進步”是“落后”的1000倍,得1.1n0.9n≥1000,即n(lg11lg9)≥3,所以n(lg112lg3)≥3,即n≥3(1.041-2×0.477)=30.087≈10.C解析由題意,點Q的初始位置Q1的坐標為12,32,銳角∠Q1OP=π3,設t時刻兩點重合,則5t2t=π3+2kπ(k∈N),即t=π9+2k3π(k∈N),此時點Qcosπ3+5t,sinπ3+5t,即Qcos2π9+10k3π,sin2π9+10k3π(k∈N),當k=0時,Qcos當k=1時,Qcos32π9,sin32π9,即Qcos5π9,sin5π9,當k=2時,Qcos62π9,sin62π9,即Qcosπ9,sinπ9,故D不符合題意.故選11.1解析設球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R,所以V1=πR2·2R=2πR3,V2=43πR3,S1=2πR×2R+2πR2=6πR2,S2=4πR2,故V1V2×S12.1.48解析設實心球沉到容器底端時,水面的高度為h.由題圖2知,容器內(nèi)水的體積加上球在水面下的部分體積等于圓柱的體積,由題圖1知相應圓臺的體積加上球在水面下的部分體積也等于相應圓柱的體積,故容器內(nèi)水的體積等于相應圓臺的體積.因為容器內(nèi)水的體積為V水=π×42×1=16π,相應圓臺的體積為13×π×42×413×π×(4h)2×(4h)=64