工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)西安交通大學(xué)出版社

工程數(shù)學(xué)復(fù)變函數(shù)西安交通大學(xué)出版社目錄contents緒論復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)解析函數(shù)與柯西定理保形映射與共形映射積分變換及其應(yīng)用留數(shù)定理及其應(yīng)用CHAPTER緒論0103調(diào)和函數(shù)與共軛調(diào)和函數(shù)研究滿足拉普拉斯方程的實(shí)值函數(shù)，以及與之相關(guān)的共軛調(diào)和函數(shù)。01復(fù)平面與復(fù)變量研究復(fù)平面上點(diǎn)的性質(zhì)，以及以復(fù)數(shù)為自變量的函數(shù)。02解析函數(shù)研究在復(fù)平面上某區(qū)域內(nèi)可微分的復(fù)變函數(shù)，具有良好的分析性質(zhì)。復(fù)變函數(shù)的研究對(duì)象早期發(fā)展從18世紀(jì)開始，數(shù)學(xué)家們開始研究復(fù)數(shù)及其運(yùn)算，為復(fù)變函數(shù)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)?？挛鞯呢暙I(xiàn)19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家柯西對(duì)復(fù)變函數(shù)理論進(jìn)行了系統(tǒng)研究，建立了柯西積分公式等重要理論。魏爾斯特拉斯的工作德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯對(duì)復(fù)變函數(shù)進(jìn)行了深入研究，提出了著名的魏爾斯特拉斯定理。復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史在電氣工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域中，復(fù)變函數(shù)用于解決振動(dòng)、波動(dòng)等問題。工程領(lǐng)域在量子力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域中，復(fù)變函數(shù)用于描述波動(dòng)現(xiàn)象和粒子運(yùn)動(dòng)。物理領(lǐng)域復(fù)變函數(shù)作為數(shù)學(xué)分析的一個(gè)重要分支，為其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供了有力的工具和方法。數(shù)學(xué)領(lǐng)域復(fù)變函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域CHAPTER復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)基礎(chǔ)02復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算包括復(fù)數(shù)的加法、減法、乘法和除法，運(yùn)算規(guī)則與實(shí)數(shù)類似，但需要注意虛數(shù)單位的特殊性。共軛復(fù)數(shù)若復(fù)數(shù)$z=a+bi$，則其共軛復(fù)數(shù)為$overline{z}=a-bi$。共軛復(fù)數(shù)在復(fù)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)中起到重要作用。復(fù)數(shù)的定義形如$z=a+bi$（$a,binmathbb{R}$）的數(shù)稱為復(fù)數(shù)，其中$a$稱為實(shí)部，$b$稱為虛部，$i$是虛數(shù)單位，滿足$i^2=-1$。復(fù)數(shù)及其運(yùn)算復(fù)平面與復(fù)球面復(fù)平面以實(shí)軸和虛軸為坐標(biāo)軸的平面稱為復(fù)平面。在復(fù)平面上，每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)復(fù)數(shù)，反之亦然。復(fù)球面為了表示無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，引入復(fù)球面概念。復(fù)球面可以看作是將復(fù)平面“包裹”在一個(gè)球面上，使得無窮遠(yuǎn)點(diǎn)成為球面的一個(gè)點(diǎn)。設(shè)$z=x+iy$是復(fù)數(shù)，若存在一個(gè)法則$f$，使得對(duì)于復(fù)數(shù)域內(nèi)的每一個(gè)$z$，都有唯一的復(fù)數(shù)$w=u+iv$與之對(duì)應(yīng)，則稱$f$為復(fù)變函數(shù)，記作$w=f(z)$。復(fù)變函數(shù)的定義包括有界性、周期性、奇偶性等。這些性質(zhì)在分析和研究復(fù)變函數(shù)時(shí)起到重要作用。復(fù)變函數(shù)的性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的定義與性質(zhì)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)性設(shè)函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)$A$，對(duì)于任意給定的正數(shù)$epsilon$，總存在正數(shù)$delta$，使得當(dāng)$0<|z-z_0|<delta$時(shí)，有$|f(z)-A|<epsilon$成立，則稱常數(shù)$A$為函數(shù)$f(z)$當(dāng)$ztoz_0$時(shí)的極限。復(fù)變函數(shù)的極限如果函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$的極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值，即$lim_{{ztoz_0}}f(z)=f(z_0)$，則稱函數(shù)$f(z)$在點(diǎn)$z_0$連續(xù)。如果函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱該函數(shù)為連續(xù)函數(shù)。復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性CHAPTER解析函數(shù)與柯西定理03解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)。解析函數(shù)的性質(zhì)解析函數(shù)定義：在復(fù)平面上處處可微的函數(shù)稱為解析函數(shù)。解析函數(shù)的實(shí)部和虛部滿足柯西-黎曼條件。解析函數(shù)在其定義域內(nèi)具有無窮階導(dǎo)數(shù)。解析函數(shù)的概念與性質(zhì)0103020405輸入標(biāo)題02010403柯西定理及其推論柯西定理：如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)解析，且在D的邊界上連續(xù)，則對(duì)于D內(nèi)的任意簡單閉曲線C，有∮f(z)dz=0。如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)解析，且對(duì)于D內(nèi)的任意簡單閉曲線C，有∮f(z)dz=0，則f(z)在D內(nèi)為常數(shù)。如果函數(shù)f(z)在單連通域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)任意點(diǎn)的值等于它在D內(nèi)某一點(diǎn)的值加上一個(gè)與路徑無關(guān)的積分?？挛鞫ɡ淼耐普撎├占?jí)數(shù)如果函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處解析，則它在z0處的泰勒級(jí)數(shù)為f(z)=∑n=0∞cn(z?z0)n，其中cn=f(n)(z0)/n!。洛朗級(jí)數(shù)如果函數(shù)f(z)在以點(diǎn)z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析，則它在該域內(nèi)的洛朗級(jí)數(shù)為f(z)=∑n=?∞∞cn(z?z0)n，其中cn為洛朗系數(shù)。解析函數(shù)的級(jí)數(shù)表示如果解析函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處的值為零，則稱z0為f(z)的零點(diǎn)。零點(diǎn)的重?cái)?shù)定義為使得f(n)(z0)≠0的最小正整數(shù)n。零點(diǎn)如果解析函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處不解析，則稱z0為f(z)的奇點(diǎn)。奇點(diǎn)分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)三種類型。奇點(diǎn)解析函數(shù)的零點(diǎn)與奇點(diǎn)CHAPTER保形映射與共形映射04保持圖形形狀不變的映射，即任意兩點(diǎn)間距離比保持不變。保形映射的定義保持角度不變，保持圖形的相似性。保形映射的性質(zhì)解析函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)不為零時(shí)，解析函數(shù)可實(shí)現(xiàn)保形映射。解析函數(shù)與保形映射的關(guān)系保形映射的概念與性質(zhì)共形映射的定義保持圖形定向且角度保持不變的映射。共形映射的性質(zhì)保持定向、保持角度、局部保形。共形映射與解析函數(shù)的關(guān)系共形映射在復(fù)平面上可表示為解析函數(shù)，且其導(dǎo)函數(shù)不為零。共形映射的概念與性質(zhì)030201典型區(qū)域的共形映射01上半平面到單位圓的共形映射：通過復(fù)變函數(shù)的指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)實(shí)現(xiàn)。02矩形區(qū)域到單位圓的共形映射：通過復(fù)變函數(shù)的雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)實(shí)現(xiàn)。無窮遠(yuǎn)點(diǎn)到有限點(diǎn)的共形映射：通過復(fù)變函數(shù)的倒數(shù)函數(shù)實(shí)現(xiàn)。03工程力學(xué)中的應(yīng)用在彈性力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域中，保形映射可用于求解復(fù)雜形狀物體的應(yīng)力、應(yīng)變等問題。工程電磁學(xué)中的應(yīng)用在電磁場計(jì)算中，保形映射可用于求解復(fù)雜形狀導(dǎo)體或介質(zhì)的電磁場分布問題。工程熱力學(xué)中的應(yīng)用在熱力學(xué)計(jì)算中，保形映射可用于求解復(fù)雜形狀物體的溫度分布、熱傳導(dǎo)等問題。保形映射的應(yīng)用舉例CHAPTER積分變換及其應(yīng)用05傅里葉變換及其性質(zhì)包括線性性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì)、頻移性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)等。傅里葉級(jí)數(shù)將周期函數(shù)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，以及傅里葉級(jí)數(shù)的收斂性和性質(zhì)。離散傅里葉變換將連續(xù)傅里葉變換離散化，以便在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行處理，包括快速傅里葉變換（FFT）算法。傅里葉變換的定義和性質(zhì)01包括線性性質(zhì)、時(shí)移性質(zhì)、頻移性質(zhì)、微分性質(zhì)、積分性質(zhì)等。拉普拉斯變換的定義和性質(zhì)02通過拉普拉斯變換的逆過程，將像函數(shù)還原為原函數(shù)。拉普拉斯逆變換03在電路分析、控制系統(tǒng)等領(lǐng)域中，拉普拉斯變換被廣泛應(yīng)用于求解線性常微分方程和偏微分方程。拉普拉斯變換的應(yīng)用拉普拉斯變換及其性質(zhì)信號(hào)處理在信號(hào)處理領(lǐng)域，傅里葉變換被廣泛應(yīng)用于信號(hào)的分析、合成和濾波等方面。例如，通過傅里葉變換可以將信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，進(jìn)而對(duì)信號(hào)進(jìn)行頻譜分析和處理。圖像處理在圖像處理領(lǐng)域，傅里葉變換和拉普拉斯變換被用于圖像增強(qiáng)、圖像壓縮、圖像恢復(fù)等方面。例如，通過傅里葉變換可以將圖像從空域轉(zhuǎn)換到頻域，進(jìn)而對(duì)圖像進(jìn)行濾波和增強(qiáng)處理?？刂葡到y(tǒng)在控制系統(tǒng)領(lǐng)域，拉普拉斯變換被用于控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。例如，通過拉普拉斯變換可以將控制系統(tǒng)的微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程，進(jìn)而對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性和性能分析。積分變換在工程中的應(yīng)用舉例CHAPTER留數(shù)定理及其應(yīng)用06VS設(shè)函數(shù)$f(z)$在簡單閉曲線$C$及其內(nèi)部解析，除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)$z_1,z_2,ldots,z_n$外，則$oint_Cf(z)dz=2piisum_{k=1}^{n}text{Res}[f(z),z_k]$，其中$text{Res}[f(z),z_k]$表示$f(z)$在$z_k$處的留數(shù)。留數(shù)定理的推論若函數(shù)$f(z)$在除點(diǎn)$z_0$外的簡單閉曲線$C$及其內(nèi)部解析，且$z_0$為$f(z)$的一階極點(diǎn)，則$oint_Cf(z)dz=2piitext{Res}[f(z),z_0]$。留數(shù)定理留數(shù)定理及其推論計(jì)算三角函數(shù)有理式積分形如$int_0^{2pi}R(sinx,cosx)dx$的積分，可通過變量代換轉(zhuǎn)化為復(fù)變函數(shù)在單位圓上的積分，進(jìn)而利用留數(shù)定理求解。要點(diǎn)一要點(diǎn)二計(jì)算指數(shù)函數(shù)有理式積分形如$int_{-infty}^{infty}frac{P(x)e^{ax}}{Q(x)}dx$的積分（其中$P(x)$和$Q(x)$為多項(xiàng)式，且$a>0$），可通過構(gòu)造復(fù)變函數(shù)并應(yīng)用留數(shù)定理進(jìn)行求解。利用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)積分輻角原理設(shè)函數(shù)$f(z)$在簡單閉曲線$C$及其內(nèi)部解析，且$f(z)neq0$，則函數(shù)$f(z)$在$C$內(nèi)部的零點(diǎn)個(gè)數(shù)與極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差等于$frac{1}{2pi}Delta_Cargf(z)$，其中$Delta_Cargf(z)$表示$f(z)$沿$C$的正向繞行一周時(shí)輻角的改變量。應(yīng)用輻角原理可用于判斷多項(xiàng)式方程根的個(gè)數(shù)及分布情況，以及解決一些與零點(diǎn)、極點(diǎn)相關(guān)的問題。輻角原理及其應(yīng)用設(shè)函數(shù)$f(z)$和$varph