2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版2019課后習(xí)題第二章2-2　基本不等式

2.2基本不等式A級(jí)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=ab,則ab的最小值為()A.1 B.2 C.2 D.42.已知0<x<1,則當(dāng)x(1x)取最大值時(shí),x的值為()A.13 B.12 C.143.(多選題)若a>0,b>0且a+b=4,則下列不等式恒成立的是()A.0<1ab≤14 BC.1a+1b≥4.如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,代表中國人民熱情好客.教材中利用該圖作為一個(gè)說法的一個(gè)幾何解釋,這個(gè)說法正確的是()A.如果a>b>0,那么a>bB.如果a>b>0,那么a2>b2C.對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b,有a2+b2≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立D.對(duì)任意正實(shí)數(shù)a和b,有a+b≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立5.(多選題)設(shè)x>0,y>0,xy=x+y+a,其中a為參數(shù).下列選項(xiàng)正確的是()A.當(dāng)a=0時(shí),x+y的最大值為4B.當(dāng)a=0時(shí),x+y的最小值為4C.當(dāng)a=3時(shí),xy的最小值為9D.當(dāng)a=3時(shí),xy的最大值為36.已知t>0,則t2-3t7.已知正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=4,則xy的最大值為,2x(y+18.設(shè)a>0,b>0,且不等式1a+1b+ka+9.已知a,b,c為正數(shù),求證:b+c-10.已知a>0,b>0,求證:a2b+B級(jí)關(guān)鍵能力提升練11.(多選題)下列四個(gè)命題中,是真命題的是()A.?x∈R,且x≠0,x+1x≥B.?x∈R,使得x2+1≤2xC.若x>0,y>0,則xD.若x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為912.(2022安徽宣城高一期末)已知a>0,b>0,若不等式1a+2b≥m2aA.10 B.9 C.8 D.713.(多選題)對(duì)于a>0,b>0,下列不等式中正確的是()A.ab2<1a+C.ab≤a+b214.已知當(dāng)x=a時(shí),代數(shù)式x4+9x+1(x>1)取得最小值b,則a+b=(A.3 B.2 C.3 D.815.(多選題)已知a,b均為正實(shí)數(shù),則下列不等式不一定成立的是()A.a+b+1ab≥B.(a+b)1a+C.a2+D.216.已知a>b>c,則(a-b)(17.直角三角形的周長等于2,則這個(gè)直角三角形面積的最大值為.

18.已知不等式(x+y)1x+ay≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,C級(jí)學(xué)科素養(yǎng)創(chuàng)新練19.若a>0,b>0,且(a+b)ab=1.(1)求ab的最大值;(2)是否存在a,b,使得12a+132.2基本不等式1.D∵ab=a+b≥2ab,(ab)2≥2ab,∴ab≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào),故ab的最小值為4.2.B∵0<x<1,∴1x>0.∴x(1x)≤x+1-x22=14,當(dāng)且僅當(dāng)x=1x3.CDA項(xiàng):ab≤a+b2=2,∵ab>0,∴1ab≥1B項(xiàng):ab≤a+b2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=故B項(xiàng)錯(cuò)誤;C項(xiàng):1a+1b≥21a·1b=2ab≥2×12=D項(xiàng):a2+b2≥(a+b)22=8,∴1a2+b2≤18,當(dāng)且僅當(dāng)4.C依題意,圖中的四個(gè)直角三角形是全等的直角三角形,設(shè)直角三角形的長直角邊為a,短直角邊為b,則大正方形的邊長為a2+b2,如題圖,整個(gè)正方形的面積大于或等于這四個(gè)直角三角形的面積和,即a2+b2≥4×12ab=2ab,當(dāng)a=b時(shí),中間空白的正方形消失,5.BC當(dāng)a=0時(shí),x>0,y>0,xy=x+y,∴1x+1x+y=(x+y)1x+1y=2+yx+xy≥2+2yx·xy=4,當(dāng)且僅當(dāng)yx=xy,且1當(dāng)a=3時(shí),xy=x+y+3≥2xy+3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立,解得xy≥3,即xy≥9,故xy的最小值為9,C正確,D錯(cuò)誤.故選BC.6.1t2-3t+1t=t+1t3≥2t·1t7.23正實(shí)數(shù)x,y滿足x+2y=4,則xy=12x·2y≤12×x+2y22=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y即x=2,y=1時(shí)∵2x(y+1)=4×12x·(y+1)≤2×12x+y8.解因?yàn)閍>0,b>0,所以原不等式可化為k≥1a+1b(a+b),所以k≥ba+ab2.因?yàn)閎a+ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),等號(hào)成立.所以ba+ab2的最大值為49.證明左邊=ba+ca1+cb+ab1+ac+bc1∴ba+ab≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=bca+ac≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立);cb+bc≥從而ba+ab+ca+a∴ba+ab+ca+10.證明∵a>0,b>0,∴a2b+b≥2a2b·b=2a,b2a+a≥2b2a·a=2b,∴a2b+b+b2a+a≥11.BCD對(duì)于A,當(dāng)x<0時(shí)不成立;對(duì)于B,當(dāng)x=1時(shí)成立,B正確;對(duì)于C,若x>0,y>0,則(x2+y2)(x+y)2≥2xy·4xy=8x2y2,可化為x2+y22≥2xyx+y,當(dāng)且僅當(dāng)x=y>0時(shí),等號(hào)成立,C正確;對(duì)于D,∵x>0,y>0,∴x+y=18≥212.C因?yàn)閍>0,b>0,則m≤1a+2所以1a+2b(2a+b)=4+ba+4ab≥4+2ba·4ab=8,當(dāng)且僅當(dāng)ba=4ab,即b=2a13.BCD當(dāng)a>0,b>0時(shí),因?yàn)?1a+1b≤ab,所以2ab≤1a+1b,14.Cy=x4+9x+1=x+1+9x+15,由x>1,得x+1>0,9x+1>0,所以由基本不等式得y=x+1+9x+15≥2(x+1)·9x+15=1,當(dāng)且僅當(dāng)x+1=9x+115.AD對(duì)于A項(xiàng),a+b+1ab≥2ab+1ab≥22<3,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí),等號(hào)同時(shí)成立;對(duì)于B項(xiàng),(a+b)·1a+1b=2+ab+ba≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立;對(duì)于C項(xiàng),a2+b2ab≥(a+b)22ab≥(a+b)2a+b=a+b,16.(a-b)(∴ab>0,bc>0,∴a-當(dāng)且僅當(dāng)b=a+c2時(shí)17.322設(shè)直角三角形的兩直角邊長為a,b,則斜邊長為a2+b2,面積為S,周長L=2,由于a+b+a2+b2=L≥2∴ab≤∴S=12ab≤12L2+22=12·(2-2)L2218.解∵(x+y)1x+ay=又x>0,y>0,a>0,∴yx+axy≥2y∴1+a+yx+axy≥1當(dāng)且僅當(dāng)y=ax時(shí),等號(hào)成立.∴要使(x+y)1x+ay≥9對(duì)任意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,只需1+a+2a∴(a+1)2≥9