2024屆四川省成都經(jīng)開實中高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析 - 副本

2024屆四川省成都經(jīng)開實中高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)是虛數(shù)單位，，，則（）A． B． C．1 D．22．已知正四棱錐的側(cè)棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．3．已知為定義在上的奇函數(shù)，若當(dāng)時，（為實數(shù)），則關(guān)于的不等式的解集是（）A． B． C． D．4．的展開式中的系數(shù)為（）A． B． C． D．5．若θ是第二象限角且sinθ=，則=A． B． C． D．6．已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．7．已知復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)為純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位)，則實數(shù)a=（）A．-1 B．1 C．0 D．28．已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，，則（）A． B． C． D．9．函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，則a的值為（）A．3 B．－3 C．2 D．－210．中國古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有這樣一道算術(shù)題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二，五五數(shù)之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數(shù)除以正整數(shù)后的余數(shù)為，則記為，例如．現(xiàn)將該問題以程序框圖的算法給出，執(zhí)行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．11．設(shè)，為非零向量，則“存在正數(shù)，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件12．將一塊邊長為的正方形薄鐵皮按如圖（1）所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形加工成一個正四棱錐形容器，將該容器按如圖（2）放置，若其正視圖為等腰直角三角形，且該容器的容積為，則的值為（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)a，b，c滿足，則的最小值是______.14．已知是同一球面上的四個點，其中平面，是正三角形，，則該球的表面積為______.15．已知全集，，則________.16．已知三棱錐中，，，，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知非零實數(shù)滿足．（1）求證：；（2）是否存在實數(shù)，使得恒成立？若存在，求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由18．（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知動圓過定點，且與直線相切，動圓圓心的軌跡為，過作斜率為的直線與交于兩點，過分別作的切線，兩切線的交點為，直線與交于兩點．（1）證明：點始終在直線上且；（2）求四邊形的面積的最小值．20．（12分）已知點為橢圓上任意一點，直線與圓交于，兩點，點為橢圓的左焦點.（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說明理由.21．（12分）已知正項數(shù)列的前項和.（1）若數(shù)列為等比數(shù)列，求數(shù)列的公比的值；（2）設(shè)正項數(shù)列的前項和為，若，且.①求數(shù)列的通項公式；②求證：.22．（10分）傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認(rèn)為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由，可得，通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解：，，解得：.故選:C.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運算，考查了復(fù)數(shù)相等的涵義.對于復(fù)數(shù)的運算類問題，易錯點是把當(dāng)成進行運算.2、C【解析】試題分析：設(shè)的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設(shè)正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．3、A【解析】

先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值，然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意，得，得，所以當(dāng)時，.分析知，函數(shù)在上為增函數(shù).又，所以.又，所以，所以，故選A.【點睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).4、C【解析】由題意，根據(jù)二項式定理展開式的通項公式，得展開式的通項為，則展開式的通項為，由，得，所以所求的系數(shù)為.故選C.點睛：此題主要考查二項式定理的通項公式的應(yīng)用，以及組合數(shù)、整數(shù)冪的運算等有關(guān)方面的知識與技能，屬于中低檔題，也是?？贾R點.在二項式定理的應(yīng)用中，注意區(qū)分二項式系數(shù)與系數(shù)，先求出通項公式，再根據(jù)所求問題，通過確定未知的次數(shù)，求出，將的值代入通項公式進行計算，從而問題可得解.5、B【解析】由θ是第二象限角且sinθ=知：，．所以．6、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0，1)，故選B.7、B【解析】

化簡得到z=a-1+a+1【詳解】z=1+ia+i=a-1+a+1i為純虛數(shù)，故a-1=0故選：B.【點睛】本題考查了根據(jù)復(fù)數(shù)類型求參數(shù)，意在考查學(xué)生的計算能力.8、C【解析】

原式由正弦定理化簡得，由于，可求的值.【詳解】解：由及正弦定理得.因為，所以代入上式化簡得.由于，所以.又，故.故選：C.【點睛】本題主要考查正弦定理解三角形，三角函數(shù)恒等變換等基礎(chǔ)知識；考查運算求解能力，推理論證能力，屬于中檔題.9、A【解析】

求出，對分類討論，求出單調(diào)區(qū)間和極值點，結(jié)合三次函數(shù)的圖像特征，即可求解.【詳解】，若，，在單調(diào)遞增，且，在不存在零點；若，，在內(nèi)有且只有一個零點，.故選:A.【點睛】本題考查函數(shù)的零點、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查分類討論思想，熟練掌握函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.10、C【解析】從21開始，輸出的數(shù)是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.11、D【解析】

充分性中，由向量數(shù)乘的幾何意義得，再由數(shù)量積運算即可說明成立；必要性中，由數(shù)量積運算可得，不一定有正數(shù)，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數(shù)，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數(shù)，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的運算，向量數(shù)乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.12、D【解析】

推導(dǎo)出，且，，，設(shè)中點為，則平面，由此能表示出該容器的體積，從而求出參數(shù)的值．【詳解】解：如圖（4），為該四棱錐的正視圖，由圖（3）可知，，且，由為等腰直角三角形可知，，設(shè)中點為，則平面，∴，∴，解得.故選：D【點睛】本題考查三視圖和錐體的體積計算公式的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先分離出，應(yīng)用基本不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于c的二次函數(shù)，進而求出最小值.【詳解】解：若取最小值，則異號，，根據(jù)題意得：，又由，即有，則，即的最小值為，故答案為：【點睛】本題考查了基本不等式以及二次函數(shù)配方求最值，屬于中檔題.14、【解析】

求得等邊三角形的外接圓半徑，利用勾股定理求得三棱錐外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解】設(shè)是等邊三角形的外心，則球心在其正上方處.設(shè)，由正弦定理得.所以得三棱錐外接球的半徑，所以外接球的表面積為.故答案為：【點睛】本小題主要考查幾何體外接球表面積的計算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

利用集合的補集運算即可求解.【詳解】由全集，，所以.故答案為：【點睛】本題考查了集合的補集運算，需理解補集的概念，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

設(shè)的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設(shè)的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，如圖所示因為，，所以，，，又二面角的大小為，則，，所以，設(shè)外接球半徑為R，則，，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數(shù)形結(jié)合，建立關(guān)于球的半徑的方程，本題計算量較大，是一道難題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）存在，【解析】

（1）利用作差法即可證出.（2）將不等式通分化簡可得，討論或，分離參數(shù)，利用基本不等式即可求解.【詳解】又即即①當(dāng)時，即恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故②當(dāng)時恒成立（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故綜上，【點睛】本題考查了作差法證明不等式、基本不等式求最值、考查了分類討論的思想，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）存在；詳見解析（2）【解析】

（1）利用面面平行的性質(zhì)定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出長，寫出各點坐標(biāo)，用向量法求二面角．【詳解】解：（1）當(dāng)為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結(jié).即易得所以面面，即面．（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為．【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角．線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握：立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉(zhuǎn)化、相互依存的．求空間角一般是建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求空間角．19、（1）見解析（2）最小值為1．【解析】

（1）根據(jù)拋物線的定義，判斷出的軌跡為拋物線，并由此求得軌跡的方程.設(shè)出兩點的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，由此求得點的坐標(biāo).寫出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，根據(jù)韋達定理求得點的坐標(biāo)，并由此判斷出始終在直線上，且.（2）設(shè)直線的傾斜角為，求得的表達式，求得的表達式，由此求得四邊形的面積的表達式進而求得四邊形的面積的最小值．【詳解】(1)∵動圓過定點，且與直線相切，∴動圓圓心到定點和定直線的距離相等，∴動圓圓心的軌跡是以為焦點的拋物線，∴軌跡的方程為：，設(shè)，∴直線的方程為：，即：①，同理，直線的方程為：②，由①②可得：，直線方程為：，聯(lián)立可得：，，∴點始終在直線上且；（2）設(shè)直線的傾斜角為，由（1）可得：，，∴四邊形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)或，即時取等號，∴四邊形的面積的最小值為1.【點睛】本小題主要考查動點軌跡方程的求法，考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查拋物線中四邊形面積的最值的計算，考查運算求解能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)判別式即可證明．（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達定理即可證明，需要分類討論，【詳解】解：（1）當(dāng)時直線方程為或，直線與橢圓相切.當(dāng)時，由得，由題知，，即，所以.故直線與橢圓相切.（2）設(shè)，，當(dāng)時，，，，所以，即.當(dāng)時，由得，則，，.因為.所以，即.故為定值.【點睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查向量的運算，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．21、（1）；（2）①；②詳見解析.【解析】

（1）依題意可表示，，相減得，由等比數(shù)列通項公式轉(zhuǎn)化為首項與公比，解得答案，并由其都是正項數(shù)列舍根；（2）①由題意可表示，，兩式相減得，由其都是正項并整理可得遞推關(guān)系，由等差數(shù)列的通項公式即可得答案；②由已知關(guān)系，表示并相減即可表示遞推關(guān)系，顯然當(dāng)時，成立，當(dāng)，時，表示，由分組求和與正項數(shù)列性質(zhì)放縮不等式得證.【詳解】解：（1）依題意可得，，兩式相減，得，所以，因為，所以，且，解得.（2）①因為，所以，兩式相減，得，即.因為，所以，即.而當(dāng)時，，可得，故，所以對任意的正整數(shù)都成立，所以數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，首項為1，所以數(shù)列的通項公式為.②因為，所以，兩式相減，得，即，所以對任意的正整數(shù)，都有.令，而當(dāng)時，顯然成立，所以當(dāng)，時，，所以，即，所以，得證.【點睛】本題考查由前n項和關(guān)系求等比數(shù)列公比，求等差數(shù)列通項公式，還考查了由分組求和表示數(shù)列和并由正項數(shù)列放縮