數(shù)列試題含答案

數(shù)列1.已知等差數(shù)列{an}滿足，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.2.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an和Sn滿足：.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列，求{bn}的前n項(xiàng)和.3.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，證明：.4.設(shè)數(shù)列{an}滿足：，，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）已知{bn}是等比數(shù)列，且，．求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．5.數(shù)列{an}滿足，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之和為Sn.6.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若，.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求{bn}的前n項(xiàng)和.7.正項(xiàng)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和Sn滿足：，，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）令，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，證明：對(duì)于任意的都有.8.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，且，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和9.已知{an}為等差數(shù)列，各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且，，，．（1）求?的通項(xiàng)公式；（2）求和．10.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)，若滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，求.11.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)n，設(shè)，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，求證：．13.已知等差數(shù)列{an}的公差d＞0，a2=7，且a1，a6，5a3成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足，且b1=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．14.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，，.（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若是與的等比中項(xiàng)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.15.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是遞增的等比數(shù)列，且，，，．（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．16.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an和Sn滿足：．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求{bn}的前n項(xiàng)和；（3）在（2）的條件下，對(duì)任意，都成立，求整數(shù)的最大值．17.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和為，數(shù)列{bn}等差數(shù)列，且滿足，前9項(xiàng)和為153.（1）求數(shù)列{an}、{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為.18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足．（1）求證：是常數(shù)數(shù)列；（2）求和：．19.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，若，且，，成等差數(shù)列．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．20.已知函數(shù)（）的所有正數(shù)的零點(diǎn)構(gòu)成遞增數(shù)列{an}（）.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.21.各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，，是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，對(duì)任意，有.(1)求常數(shù)的值；(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(3)記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.22.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知、、成等差數(shù)列，且．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）若，{bn}的前n項(xiàng)和為，求使成立的最大正整數(shù)n的值．23.設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．24.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，在①，，成等差數(shù)列.②，，成等差數(shù)列中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列的橫線上，并解答.在公比為2的等比數(shù)列中，____________（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.25.已知數(shù)列{an}中，，．（1）記，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）記cn＝2nanan＋1，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn．26.已知等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，且a1a5=9，a2+a4=10.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.27.已知等比數(shù)列{an}的公比，，且，，成等差數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．28.在數(shù)列{an}中，，.（1）設(shè)，證明：{bn}是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，證明：.29.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{bn}滿足，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為，求證:.30.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn，且滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an及Sn；（2）若數(shù)列{bn}滿足，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn.31.在數(shù)列{an}中，，，.（1）證明為等比數(shù)列；（2）求an.32.公差不為0的等差數(shù)列{an}中，前n項(xiàng)和記為Sn．若a1＝1，且S1，2S2，4S4成等比數(shù)列，（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)n項(xiàng)和Tn．33.已知等差數(shù)列{an}滿足.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn；（2）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求n的最小值.34.已知等差數(shù)列{an}中，，．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn．35.已知{an}為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列前n項(xiàng)和為，證明：.36.已知數(shù)列{an}、{bn}滿足：，，.（1）證明：是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求實(shí)數(shù)a為何值時(shí)恒成立．37.已知數(shù)列{an}滿足，，，且（）.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.38.已知數(shù)列{an}中，，（1）求證：是等差數(shù)列；（2）若，且數(shù)列，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求的取值范圍.39.設(shè)等差數(shù)列的公差為2，等比數(shù)列的公比為2，且，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn．40.Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知，．（1）證明是等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．41.Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知，.（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值42.已知{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng).且.（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和.43.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且，數(shù)列{bn}滿足，．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．44.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）若，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.45.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足，且，數(shù)列{bn}中，，，.（1）求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；（2）若，求{cn}的前n項(xiàng)的和.46.數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知，（，2，3，…）．（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{Sn}的前n項(xiàng)和．

試卷答案1.（1）；（2）分析：（1）設(shè)的公差為，由，可求出，進(jìn)而可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，利用裂項(xiàng)相消求和法可求出.解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，∵，∴，解得，∴.（2）由（1）知，∴，∴.2.（1）（2）【分析】(1)首先求得的值，然后結(jié)合遞推關(guān)系式整理可得數(shù)列為等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合(1)的結(jié)論首先求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后錯(cuò)位相減求解其前n項(xiàng)和即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)且時(shí)，，∴，整理可得：，∵，∴，∴，∴數(shù)列以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，∴.（2）由（1）知，，則①則，②由①-②得化簡(jiǎn)得.【點(diǎn)睛】本題的核心是考查錯(cuò)位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解．3.（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）由已知當(dāng)時(shí)，可得，整理為，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可證明結(jié)論；（2）由（1）求出，進(jìn)而求出，根據(jù)取等號(hào)），要證成立，轉(zhuǎn)化為證等比數(shù)列前項(xiàng)和小于或等于，即可證明結(jié)論.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，由，令，則，故為等比數(shù)列；（2）由（1）得，，，時(shí)，取等號(hào)），所以原式，所以成立.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列前項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系，考查用定義證明數(shù)列是等比數(shù)列，考查證明數(shù)列和的不等號(hào)，將通項(xiàng)放縮是解題的關(guān)鍵點(diǎn)也是難點(diǎn)，屬于中檔題.4.（1），；（2）.【分析】（1）由已知可知是以1為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式即可.（2）由（1）求出、，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求公比，寫(xiě)出的前項(xiàng)和．【詳解】（1）∵，，∴，，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，∴，．（2）由（1）可知，∴，，∴，．設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，∴，∴數(shù)列的前項(xiàng)和．5.（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）將等式兩邊同除以，結(jié)合等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，可得所求；（2）運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，化簡(jiǎn)可得所求和．【詳解】（1）由已知，由定義知為等差數(shù)列，且公差為，首項(xiàng)為，故.（2）由已知，故，相減得：，即，所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于中檔題．6.（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意建立關(guān)于和方程，即可求出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出.【詳解】（1）的首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，所以解得所?（2），所以.7.（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）利用與的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法和不等式的性質(zhì)證明即可.【詳解】（1）解：∵正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足：，①則，②①②得即即又，，.又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列.所以.（2）證明：由于，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由求以及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，屬于中檔題.8.（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1），，，變形為，即可得證.（2）由（1），利用乘公比錯(cuò)位相減法、等比數(shù)列求和公式即可得出.【詳解】（1）證明：∵，.∴，∴，∴數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2，.（2）由（1）可得：，∴∴數(shù)列的前項(xiàng)和.∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的證明，通項(xiàng)公式的求法，乘公比錯(cuò)位相減法求和、等比數(shù)列求和公式等知識(shí)，屬于中檔題.9.（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2n2+4n．分析：（1）根據(jù)等差等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式列出方程組求解即可；（2）變形后根據(jù)等差數(shù)列的求和公式求和即可.解答：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，q>0，由b1=3，S3=39，a1=b2﹣7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，解得q=3，d=2，a1=2，則an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3?3n﹣1=3n，n∈N*；（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1=2?(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．10.（1）；（2）.分析：（1）由已知得，可得出數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得答案.（2）運(yùn)用錯(cuò)位相減法可求得答案.解答：（1）正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得或（舍去），所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以.（2）因?yàn)?，所以，上面兩式作差得所?11.分析：（1）由等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，解方程可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）由等比數(shù)列的求和公式和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和即可．解答：（1）由，可得數(shù)列為等比數(shù)列，且公比為2，由，可得，解得，則，（2）因?yàn)?，所以，可?12.（1）；（2）證明見(jiàn)解析.分析：（1）根據(jù)，令，即可求得的值，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，可得，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，即可求得的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法，即可求得的表達(dá)式，即可得證.解答：（1）由題意，知，，①令得，，因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，，②所以①-②得：，即，所以．所以數(shù)列是首項(xiàng)為，以為公比的等比數(shù)列，所以．（2）由（1）得，則，所以．所以．因?yàn)椋?，所以．點(diǎn)撥：解題的關(guān)鍵為：需數(shù)列掌握等比數(shù)列的定義、裂項(xiàng)相消求和法，并靈活應(yīng)用，常見(jiàn)的裂項(xiàng)形式有（1）；（2）；（3）；（4）.13.（1）（2）【分析】（1）用首項(xiàng)和公差表示出已知條件求得和后可得通項(xiàng)；（2）由累加法求得，即得，再用裂項(xiàng)相消法求得．【詳解】解：（1）∵a1，a6，5a3成等比數(shù)列∴∴整理得∴或當(dāng)時(shí)，由解得，滿足題意當(dāng)時(shí)，由解得，不合題意，∴（2）由（1）知，當(dāng)n≥2時(shí)，∵，∴當(dāng)n≥2時(shí)，，又，∴，，當(dāng).14.（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）由，得到時(shí)，，兩式相減，化簡(jiǎn)整理得，即可得到當(dāng)時(shí)，；（2）由（1）和題設(shè)條件，得到數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，求得，進(jìn)而得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解.【詳解】（1）因，可得當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，所以，即.因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.（2）由（1）得：，，因?yàn)槭桥c等比中項(xiàng)，所以，即，解得，又，所以，所以，從而對(duì)恒成立，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，所以兩式相減得：，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用，此類題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.15.（1）；；（2）．分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求得公差和公比的值，即可求得數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）由（1）求得，結(jié)合裂項(xiàng)法，即可求解.解答：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，遞增等比數(shù)列的公比為，由，，，，可得，解得或(舍去)，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）知所以，所以，數(shù)列的前項(xiàng)和．16.（1）；（2）；（3）7．分析：（1）由所給等式根據(jù)的關(guān)系證明數(shù)列為等差數(shù)列，確定數(shù)列的首項(xiàng)與公差即可寫(xiě)出通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和；（3）作差證明數(shù)列是遞增數(shù)列，根據(jù)題意，解不等式即可.解答：（1）∵，①∴，②①-②得．∴，化簡(jiǎn)．∵，∴．∴是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．∴．（2）．∴．(3)由(2)知，．∴數(shù)列是遞增數(shù)列，則，∴，解得，∴整數(shù)的最大值是7．17.（1），，，；（2）.【分析】（1）運(yùn)用數(shù)列的遞推式：時(shí)，，時(shí)，，可得；再設(shè)的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，進(jìn)而得到；（2）求得，再由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，化簡(jiǎn)可得所求和.【詳解】解：（1）由，可得，時(shí)，，對(duì)也成立，則，，由數(shù)列等差數(shù)列，公差設(shè)d，滿足，前9項(xiàng)和為153，可得，，即，解得，，則，；（2），則前n項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】此題考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算，考查裂項(xiàng)相消求和法，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題18.（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】(1)由得,化簡(jiǎn)可得即可證得結(jié)論;(2)由(1)可求得,利用裂項(xiàng)求和即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）證明：由得，兩式相減得，即，在中，令，得，故，即是常數(shù)數(shù)列，得證．（2）由（1）知，即，．【點(diǎn)睛】本題考查利用與的關(guān)系證明數(shù)列為常數(shù)列,考查利用遞推公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查通過(guò)裂項(xiàng)求數(shù)列的和,難度一般.19.（1）由，，成等差數(shù)列，可得，設(shè)數(shù)列的公比為，則，則，設(shè)，則在上單調(diào)遞增，而，故滿足的的值為3．由得，故，故的通項(xiàng)公式為．（2）由（1）可得，∴．20.（1）（）；（2）.【分析】（1）令可得出（），根據(jù)題意確定數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求出，然后利用錯(cuò)位相減法可求得.【詳解】（1），令，得，所以（），所以（），這就是函數(shù)的全部零點(diǎn)，所以數(shù)列是以首項(xiàng)為，公差為1的等差數(shù)列，所以（）；（2）因?yàn)椋?，則，①，②①?②得：，所以.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查錯(cuò)位相減法求和，考查邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力，屬于常考題.21.（1）（2）（3）【分析】(1)令中n=1即得p的值.(2)利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.(3)先求出，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：(1)由及，得：，∴.(2)由①，得②由②－①，得，即：，∴，由于數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，∴，即，∴數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，∴數(shù)列的通項(xiàng)公式是.(3)由，得：，∴，∴，.22.（1）；（2）8．【分析】（1）本題首先可根據(jù)、、成等差數(shù)列得出以及，然后兩式相減，得出，最后根據(jù)求出，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）本題可根據(jù)題意得出并將其轉(zhuǎn)化為，然后通過(guò)裂項(xiàng)相消法求和得出，最后根據(jù)得出，通過(guò)計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?、、成等差?shù)列，所以，當(dāng)，有，兩式相減，可得，即，由題意易知，故是公比為2的等比數(shù)列，，因?yàn)椋?，解得，故的通?xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，，所以，故，因?yàn)椋?，解得，故成立的最大正整?shù)的值為8.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和，考查等差中項(xiàng)以及等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，常見(jiàn)的裂項(xiàng)有、、等，考查計(jì)算能力，是中檔題.23.（1）；（2）．【分析】（1）由得出數(shù)列是等比數(shù)列，（先求出），可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，用錯(cuò)位相減法求和．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，解得．因?yàn)?，①所以?dāng)時(shí)，，②①-②得，，所以．故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為．（2）由題知，，所以，③，④③-④得，．所以．24.條件選擇見(jiàn)解析（1）；（2）.【分析】（1）若選①，根據(jù)三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；若選②，根據(jù)，，成等差數(shù)列，建立等量關(guān)系，求得，進(jìn)而求得通項(xiàng)公式；（2）將代入，求得，，裂項(xiàng)之后求和得結(jié)果.【詳解】（1）選①：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，所以，解得，所以.選②：因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，即，所以，解得，所以；（2）因?yàn)?，所以，所以，，所?【點(diǎn)睛】本題考查的是有關(guān)數(shù)列的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有三數(shù)成等差數(shù)列的條件，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力.25.解：（1）證明：由故數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列（2）由及（1）有bn＝2n可得，可得（3）由．26.（1）；（2）.【分析】（1）設(shè){an}的公差為d，由題意得從而可求出，進(jìn)而可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得bn===().然后利用裂項(xiàng)相消法求和即可【詳解】解：（1）設(shè){an}的公差為d，因?yàn)閍1a5=9，a2+a4=10，所以解得或，由于數(shù)列為遞增數(shù)列，則，所以所以.（2）由于，則bn===().所以Sn=b1+b2+…+bn=(1++…+)=(1)=.27.（1）；（2）【分析】（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與等差數(shù)列的性質(zhì)列式求得，則通項(xiàng)公式可求；（2）把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，再由錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】解：（1）由，，成等差數(shù)列，得，即，，解得．又因?yàn)?；?）由（1）知．，，，．【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前項(xiàng)和，屬于中檔題．28.（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；【分析】（1）根據(jù)題意，得到，進(jìn)而可證明結(jié)論成立；得出，從而可求出；（2）由（1）的結(jié)果，得到，根據(jù)錯(cuò)位相減法，即可求出，從而可證明結(jié)論成立.【詳解】（1）因?yàn)?，，所?又，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.于是，故.（2）.兩邊同乘以得.以上兩式相減得.故.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，屬于?？碱}型.29.（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，可得，從而判斷為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由（1）得，，利用等差數(shù)列的求和公式可得，再利用裂項(xiàng)求和法可求出，令，根據(jù)，利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椋佼?dāng)時(shí)，，②由①-②得，即，當(dāng)時(shí)，，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，其首項(xiàng)為，公比為2，所以；（2）由（1）得，，所以，所以，.因?yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題考查了與的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)求和法以及證明不等式，綜合性比較強(qiáng)，屬于中檔題.30.（1），；（2）.【分析】（1）根據(jù)，得到，證明數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，即可求出結(jié)果；（2）由（1）求得，分和兩種情況，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）由得：，即，由得：，兩式相減得:，即，即數(shù)列是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，則；（2）由（1）知：，則，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，以及數(shù)列的求和問(wèn)題，屬于?？碱}型.31.（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）由，構(gòu)造出的關(guān)系，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.（2）由（1）得，利用累加法求解通項(xiàng)即可【詳解】解：（1）由得，又，所以是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）得，所以，.所以時(shí)，..因此，.當(dāng)時(shí)，也滿足上式，故.【點(diǎn)睛】本題考查利用構(gòu)造法和累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題，屬于一般題32.（1）；（2）.【分析】（1）由條件可知，代入等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，整理為關(guān)于的方程求解通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】解：（1）由已知可得：，即：，解得（舍）或所以，（2）由（1）可得，所以；所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的點(diǎn)到綜合，以及裂項(xiàng)相消法求和，屬于基礎(chǔ)題型，本題的難點(diǎn)是第二問(wèn)，注意能使用裂項(xiàng)相消法的類型.33.（1），；（2）100【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組結(jié)合前項(xiàng)和公式求解即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和；(2)利用裂項(xiàng)求和得到，解不等式即可得到最小值.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為.依題意有解得所以.（2）因?yàn)?，所?因?yàn)椋?，所?所以的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前項(xiàng)和以及裂項(xiàng)求和，屬于中檔題.34.(Ⅰ)；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）利用已知條件求出數(shù)列的首項(xiàng)與公差，然后求解數(shù)列的通項(xiàng)公式．

（Ⅱ）化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列以及等比數(shù)列求和公式求解即可．【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則解得．所以．（Ⅱ）由（I）可得所以．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式以及數(shù)列求和方法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．35.（1），；（2）證明見(jiàn)解析【分析】本題第（1）題先設(shè)等差數(shù)列的公差為d，然后根據(jù)已知條件列出關(guān)于首項(xiàng)與公差為d的方程組，解出與d的值，即可計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式；第（2）題先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計(jì)算出數(shù)列的通項(xiàng)公式，將通項(xiàng)公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化可發(fā)現(xiàn)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計(jì)算出前n項(xiàng)和，再應(yīng)用放縮法即可證明結(jié)論.【詳解】解：（1）由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，整理，得，解得，∴，.（2）證明：由（1），可知，故，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.∴，又，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算和等比數(shù)列的判別．考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，放縮法，定義法，邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．36.（1）見(jiàn)解析，；（2）【分析】（1）由已知變形為，再構(gòu)造，從而證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知，再寫(xiě)出，利用裂項(xiàng)相消法求和，恒成立整理為恒成立，分，和三種情況討論時(shí)恒成立求的取值范圍.【詳解】（1）∵，∴，∴．∴數(shù)列是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列．∴，∴．（2）∵．∴，∴．由條件可知恒成立即可滿足條件，設(shè)，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立．當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，在為單調(diào)遞減函數(shù)．，∴，∴時(shí)恒成立．綜上知：時(shí)，恒成立．【點(diǎn)睛】本題考查證明由遞推公式求通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，以及數(shù)列和函數(shù)結(jié)合的綜合性問(wèn)題，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸，討論的思想和計(jì)算能力，屬于中高檔習(xí)題.37.（1）；（2）.【分析】（1）首先變形判斷為以3為首相，3為公比的等比數(shù)列，得，通過(guò)累加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）由（1）得：，通過(guò)錯(cuò)位相減法和分組求和法可得數(shù)列前n項(xiàng)和.【詳解】（1）已知，則，且，則為以3為首相，3為公比的等比數(shù)列，所以，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足上式，故；（2）由（1）得：，令，①則，②①－②可得，則，即.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，解題的關(guān)鍵是明確數(shù)列通項(xiàng)的特征，從而選擇合適的方法.38.（1）證明見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）依題意兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，即可得證；（2）首先求出的通項(xiàng)公式，即可得到，再利用裂項(xiàng)相消法求和得到，再說(shuō)明其增減性，即可得到的取值范圍.【詳解】解：（1），，，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）可得，所以，因?yàn)?，所以是遞增數(shù)列，的最小值為，又因?yàn)椤军c(diǎn)睛】本題考查由遞推公式證明數(shù)列為等差數(shù)列，裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題.39.（1）（2）【分析】（1）根據(jù)題意可得，，聯(lián)立解方程可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）通過(guò)分組求和法可得數(shù)列的前n項(xiàng)和.【詳解】解：（1）因?yàn)?，，所以，，依題意可得，，，故；（2）由（1）可知，，故.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查分組法求和，是基礎(chǔ)題.40.（1）見(jiàn)解析，．（2）．【分析】（1）先利用定義法證明是等比數(shù)列，再由與的關(guān)系求出的通項(xiàng)公式；（2）先利用數(shù)列與的關(guān)系求出，然后利用