剛體力學(xué)(113)教材

剛體：在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體．(任意兩質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的特殊質(zhì)點(diǎn)組．)剛體的運(yùn)動(dòng)形式：平動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡(jiǎn)化問(wèn)題引進(jìn)的．說(shuō)明：剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體平動(dòng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)

平動(dòng)：剛體中所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡都保持完全相同．特點(diǎn)：各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)一樣，如：等都相同．轉(zhuǎn)動(dòng)：分定軸轉(zhuǎn)動(dòng)和非定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的平面運(yùn)動(dòng)

剛體的一般運(yùn)動(dòng)可看作：隨質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+的合成沿逆時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)角位移

角坐標(biāo)沿順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)<0q0>q角速度矢量

方向:右手螺旋方向P’(t+dt).OxP(t)r.一剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度和角加速度角加速度剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)(一維轉(zhuǎn)動(dòng))的轉(zhuǎn)動(dòng)方向可以用角速度的正、負(fù)來(lái)表示.(1)

每一質(zhì)點(diǎn)均作圓周運(yùn)動(dòng)，圓面為轉(zhuǎn)動(dòng)平面；(2)

任一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)均相同，但不同；定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)

簡(jiǎn)化轉(zhuǎn)動(dòng)平面任一質(zhì)點(diǎn)圓周運(yùn)動(dòng)的線量和角量的關(guān)系轉(zhuǎn)動(dòng)平面P一、外力對(duì)固定轉(zhuǎn)軸的力矩力矩角動(dòng)量角動(dòng)量守恒大?。簈方向：垂直于和組成的平面，并由轉(zhuǎn)向的右手螺旋。

注意：或（有心力的作用）則：O討論若力不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個(gè)分量其中對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩

說(shuō)一個(gè)角動(dòng)量時(shí)，必須指明是對(duì)哪個(gè)固定點(diǎn)而言的。二、質(zhì)點(diǎn)m對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量（動(dòng)量矩）：描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)描述剛體運(yùn)動(dòng)不能用動(dòng)量而要用角動(dòng)量。

【例】圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)關(guān)于圓心O的角動(dòng)量SI：kg?m2/s,或J?s

微觀體系的角動(dòng)量是明顯量子化的，其取值只能是普朗克常數(shù)

的整數(shù)或半奇數(shù)倍。

但因宏觀物體的角動(dòng)量比大得多，所以宏觀物體的角動(dòng)量可以看作是連續(xù)變化的。orLvm

力的時(shí)間累積效應(yīng)：沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理．

力矩的時(shí)間累積效應(yīng)：沖量矩、角動(dòng)量、角動(dòng)量定理．???（共線）由：

質(zhì)點(diǎn)所受的合外力矩，等于質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率三、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理：合外力矩：，角動(dòng)量：M和L都是相對(duì)慣性系中同一固定點(diǎn)定義的?！氐臅r(shí)間積累（沖量矩）。積分形式：對(duì)比對(duì)比mmω四、

角動(dòng)量守恒定律【例】證明開(kāi)普勒第二定律：行星相對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。

質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零，則此質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的角動(dòng)量矢量保持不變，即角動(dòng)量的大小和方向都保持不變。若：則：(一)茹可夫斯基凳（二）花樣滑冰常數(shù)常數(shù)

行星相對(duì)太陽(yáng)的矢徑在相等的時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相等的面積。m

S太陽(yáng)行星在近日點(diǎn)轉(zhuǎn)得快，在遠(yuǎn)日點(diǎn)轉(zhuǎn)得慢。

角動(dòng)量為常矢量常數(shù)。所以，面速度角動(dòng)量方向不變：行星軌道平面方位不變角動(dòng)量大小不變：

力矩為零有心力

例1

一半徑為R

的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量為m

的小球穿在圓環(huán)上,并可在圓環(huán)上滑動(dòng).小球開(kāi)始時(shí)靜止于圓環(huán)上的點(diǎn)A

(該點(diǎn)在通過(guò)環(huán)心O

的水平面上)，然后從A點(diǎn)開(kāi)始下滑．設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦力略去不計(jì)．求小球滑到點(diǎn)B

時(shí)對(duì)環(huán)心O

的角動(dòng)量和角速度．解小球受力、作用,的力矩為零，重力矩垂直紙面向里由質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理考慮到得由題設(shè)條件積分上式

角動(dòng)量定理微分形式：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)所以，可直接寫分量式五、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定理因?yàn)楦髻|(zhì)元角動(dòng)量方向相同，所以合矢量的大小就是分矢量大小的直接相加任一質(zhì)量元的角動(dòng)量大小為因?yàn)樗远x剛體對(duì)定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)一步化簡(jiǎn)則剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量或?qū)憺槔喝鐖D質(zhì)點(diǎn)系單個(gè)質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)量連續(xù)分布的剛體：六、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算

J

的意義：轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度.剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與以下三個(gè)因素有關(guān)：（3）與轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)．（1）與剛體的體密度

有關(guān)．（2）與剛體的幾何形狀及體密度

的分布有關(guān)．說(shuō)明o′o

J和轉(zhuǎn)軸有關(guān)同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。解（1）xxdx棒的線密度：則：（2）o′o質(zhì)量為

的剛體，如果對(duì)其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，則對(duì)任一與該軸平行，相距為

的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量CO

平行軸定理哪種握法轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大？竿子長(zhǎng)些還是短些較安全？飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動(dòng)時(shí)，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開(kāi)始繞鉸鏈O轉(zhuǎn)動(dòng)．試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)到與豎直線成角時(shí)的角加速度和角速度．

一長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉(zhuǎn)動(dòng)．由于此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmgθ例1

解細(xì)桿受重力和鉸鏈對(duì)細(xì)桿的約束力作用，由轉(zhuǎn)動(dòng)定律得式中得m,lOmgθ由角加速度的定義代入初始條件積分得m,lOmgθEND質(zhì)量很小長(zhǎng)度為l

的均勻細(xì)桿，可繞過(guò)其中心O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)．當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時(shí)，有一只小蟲以速率

垂直落在距點(diǎn)O為

l/4

處，并背離點(diǎn)O

向細(xì)桿的端點(diǎn)A

爬行．設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m．問(wèn)：欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點(diǎn)爬行?l/4O例2解蟲與桿的碰撞前后，系統(tǒng)角動(dòng)量守恒由角動(dòng)量定理考慮到定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題中的地位相當(dāng)于平動(dòng)時(shí)的牛頓第二定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律解題步驟與牛頓第二定律時(shí)完全相同.七、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能化簡(jiǎn)用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量表達(dá)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理八、剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

2、力矩的功3、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理

重力場(chǎng)中機(jī)能守恒定律系統(tǒng)--剛體+地球例2

一長(zhǎng)為l

,質(zhì)量為m

的竿可繞支點(diǎn)O自由轉(zhuǎn)動(dòng)．一質(zhì)量為m’、速率為v

的子彈射入竿內(nèi)距支點(diǎn)為a

處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30o

.問(wèn)子彈的初速率為多少?解子彈、竿組成一系統(tǒng)，應(yīng)用角動(dòng)量守恒射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球?yàn)橄到y(tǒng)，E=常量．END單個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量L=Jω轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能例：l

mOMsθ解：(1)棒由水平位置下落到豎直位置時(shí)機(jī)械能守恒。(2)棒與物塊碰撞時(shí),角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒(3)物塊滑行中滿足動(dòng)