四川德陽市2022屆高三數(shù)學(xué)（理）二診試題卷附答案解析

四川德陽市2022屆高三數(shù)學(xué)（理）二診試題卷一、單選題1．已知集合，，則（

）．A． B．C． D．2．若是純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），則實(shí)數(shù)x的值為（

）A． B．2 C．2或 D．以上都不對3．已知變量滿足約束條件，則的最小值為（

）A．12 B．11 C．8 D．4．設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若點(diǎn)P在雙曲線上，且，則（

）A．1或5 B．1 C．4 D．55．已知銳角三角形的內(nèi)角，，的對邊分別為，，.且，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．6．下列結(jié)論錯誤的是（

）A．“”是“”的充要條件B．若，則方程一定有實(shí)根是假命題C．在中，若“”則“”D．命題：“，”，則：“，”7．如圖所示，平面內(nèi)有三個向量，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則A．1 B．2 C．3 D．48．已知函數(shù)，定義城為的函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為、、、，則（

）A． B． C． D．9．已知是球面上的四個點(diǎn)，平面，，，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．10．已知函數(shù)在處的切線與直線平行，則二項(xiàng)式展開式中的系數(shù)為A．120 B．140 C．135 D．10011．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們的一個交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A．3 B．2 C． D．12．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．二、填空題13．在中，若，則的最大值是______．14．若函數(shù)為偶函數(shù)，則_____．15．已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則的取值范圍是_______．16．如圖，矩形中，，為邊的中點(diǎn)，將沿翻折成，若為線段的中點(diǎn)，則在翻折過程中，下列說法正確的是______．①翻折到某個位置，使得②翻折到某個位置，使得平面③四棱錐體積的最大值為④點(diǎn)M在某個球面上運(yùn)動三、解答題17．2021年9月以來，多地限電的話題備受關(guān)注，廣東省能源局和廣東電網(wǎng)有限責(zé)任公司聯(lián)合發(fā)布《致全省電力用戶有序用電、節(jié)約用電倡議書》，目的在于引導(dǎo)大家如何有序節(jié)約用電.某市電力公司為了讓居民節(jié)約用電，采用“階梯電價”的方法計算電價，每戶居民每月用電量不超過標(biāo)準(zhǔn)用電量（千瓦時）時，按平價計費(fèi)，每月用電量超過標(biāo)準(zhǔn)電量（千瓦時）時，超過部分按議價計費(fèi).隨機(jī)抽取了100戶居民月均用電量情況，已知每戶居民月均用電量均不超過450度，將數(shù)據(jù)按照，，…分成9組，制成了頻率分布直方圖（如圖所示）.(1)求直方圖中的值；(2)如果該市電力公司希望使85%的居民每月均能享受平價電費(fèi)，請估計每月的用電量標(biāo)準(zhǔn)（千瓦時）的值；(3)在用電量不小于350（千瓦時）的居民樣本中隨機(jī)抽取4戶，若其中不小于400（千瓦時）的有戶居民，求的分布列.18．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列滿足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)m，，使得?若存在，求出m，k的值；若不存在，請說明理由．19．如圖，在四棱錐中，已知，，，，平面.(1)如圖，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，求證：四點(diǎn)共面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.20．在直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，也是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)為與在第一象限的交點(diǎn)，且.（1）求的方程；（2）平面上的點(diǎn)滿足，直線，且與交于、兩點(diǎn)，若，求直線的方程.21．已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意的，恒成立，求的最小值.22．已知曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)求曲線C上的點(diǎn)到直線的距離的最大值；(2)設(shè)P，Q是曲線C上的兩點(diǎn)，若，求的值．23．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的解集；(2)記函數(shù)的最小值為，若實(shí)數(shù)，，滿足．證明．參考答案：1．C先求出,即得解.【詳解】由題得，,所以或，所以.故選：C2．B根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求實(shí)數(shù)x的值.【詳解】若是純虛數(shù)，則，解得：，故選：B．3．C【分析】先作出不等式組所表示的平面區(qū)域，再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義計算得選項(xiàng).【詳解】解：畫出不等式組表示的可行域如下圖陰影部分所示，由得，平移直線，由圖形可得，當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)A時，直線在y軸上的截距最小，此時z取得最小值．由，解得，故點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(2,2)．∴．故選：C．4．D根據(jù)雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：由題易知，，，因?yàn)楦鶕?jù)雙曲線定義有且所以或，因?yàn)椋裕蔬x：D5．C【解析】利用正弦定理化簡已知條件，由此求得進(jìn)而求得的大小.根據(jù)三角恒等變換化簡，由此求得取值范圍.【詳解】依題意，由正弦定理得，所以，由于三角形是銳角三角形，所以.由.所以，由于，所以，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理解三角形，考查三角函數(shù)值域的求法，兩角差的正弦公式，屬于中檔題.6．D【解析】【分析】對于A,，故A正確﹔對于B，∵時，的符號不能確定，故B正確；對于C，利用正弦定理可以判斷C正確；對于D，利用存在量詞命題的否定可以判斷D錯誤.【詳解】解：對于A,∵，∴，∴

A正確﹔對于B，∵時，，不能確定方程是否有根，∴B正確；對于C，在中，∵，∴C正確；對于D，：，，∴D錯誤.故選：D.7．C【解析】【分析】根據(jù)條件，可對的兩邊平方得出，，對兩邊同時點(diǎn)乘即可得出，聯(lián)立①②即可解出的值．【詳解】與的夾角為，與的夾角為，且；對兩邊平方得：；對兩邊同乘得：，兩邊平方得：；得：；根據(jù)圖象知，，，代入得，；．故選C．【點(diǎn)睛】考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及計算公式，以及向量夾角的概念，向量加法的平行四邊形法則．8．B【分析】分析可知函數(shù)與圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對稱，利用對稱性可求得結(jié)果.【詳解】令，其中，且恒不為零，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)椋?，函?shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，由題意可知，函數(shù)的圖象也關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，函數(shù)與圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，.故選：B.9．B【解析】【分析】根據(jù)可證三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成以為長寬高的長方體，又是球面上的四個點(diǎn)，所以球的直徑為該長方體的體對角線，再根據(jù)題意可求出該長方體的體對角線長，進(jìn)而求出球的表面積.【詳解】由題意，作出三棱錐，如圖所示，因?yàn)槠矫妫?，又，所以，又，所以平面；同理平面，則兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成以為長寬高的長方體，如下圖所示，又是球面上的四個點(diǎn)，所以球的直徑為該長方體的體對角線，又，，所以該長方體的體對角線長為，即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.10．C【分析】由題意首先求得n的值，然后結(jié)合立方和公式化簡所給的二項(xiàng)式，最后利用展開式的通項(xiàng)公式可得展開式中的系數(shù).【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)在處的切線與直線平行，則，則二項(xiàng)式，的展開式的通項(xiàng)公式為，故分別令,可得展開式中的系數(shù)為.故選C.【點(diǎn)睛】(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解．11．D【解析】【分析】設(shè)橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論．【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實(shí)軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題．12．D【解析】【分析】分別構(gòu)造、，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，進(jìn)而判斷、的大小關(guān)系，即可知的大小關(guān)系.【詳解】令且，則，若，則在上，即單調(diào)遞減，又，，即使，∴在上，即，單調(diào)遞減；∴，有，即，令且，則，若，則，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即，在上遞減，∴，有，即，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而比較函數(shù)值的大小.13．##根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角正弦公式化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值【詳解】解：因?yàn)樵谥校?，所以，所以，即的最大值是故答案為?#14．1【解析】【詳解】試題分析：由函數(shù)為偶函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)，．考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性．【方法點(diǎn)晴】本題考查導(dǎo)函數(shù)的奇偶性以及邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運(yùn)算求解能力、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想，具有一定的綜合性和靈活性，屬于較難題型．首先利用轉(zhuǎn)化思想，將函數(shù)為偶函數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)為奇函數(shù)，然后再利用特殊與一般思想，取．15．【解析】【詳解】，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，，若，則，，，，若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則滿足，即，即，故答案為.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍，屬于中檔題.利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式或恒成立問題求參數(shù)范圍，本題是利用方法①求解的．16．①③④【解析】【分析】對于①，當(dāng)時，即時滿足條件；對于②，由于不成立，進(jìn)而可判斷；對于③，當(dāng)平面平面時，四棱錐體積的最大，再求解即可；對于④，取中點(diǎn)，連接，即可得在以點(diǎn)為球心的球面上．【詳解】解：對于①，由題知，若存在某個位置使得，由于，平面，所以平面，又平面，即，由于，故，由于在折疊過程中，，所以存在某個位置，使得，故存在某個位置，使得，故①正確；對于②，若存在某個位置，使得平面，因?yàn)槠矫?，所以，另一方面，在矩形中，，故不成立，所以②錯誤；對于③，四棱錐體積的最大時，平面平面，由于是等腰直角三角形，所以此時點(diǎn)到平面的距離為，所以四棱錐體積的最大值為，故③正確；對于④，取中點(diǎn)，連接，由于為線段的中點(diǎn)，所以，所以在以點(diǎn)為球心的球面上，故④正確．故答案為：①③④．17．(1)(2)(3)分布列見解析.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖各小矩形的面積和為求解即可；（2）由頻率分布直方圖得，進(jìn)而得，解方程即可得答案.(1)解：由題得解得.所以直方圖中的值為.(2)解：由頻率分布直方圖得月均用電量小于250（千瓦時）的居民家庭所占百分比為：，同理，的居民用電量小于300（千瓦時）所以，所以，解得（千瓦時）.所以若使85%的居民每月均能享受平價電費(fèi)，請估計每月的用電量標(biāo)準(zhǔn)（千瓦時）的值(3)解：根據(jù)頻率分布直方圖，樣本中用電量不小于350（千瓦時）的居民共有（戶），不小于400（千瓦時）的有戶居民（戶），所以隨機(jī)變量的可能取值為，，，，所以隨機(jī)變量的分布列為：18．（1）（2）存在，【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式得，解得，從而求出；（2）由（1）得，由，利用裂項(xiàng)相消法得，若，則，整理得，由得，從而可求出答案．【詳解】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，；（2），，，若，則，整理得，又，，整理得，解得，又，，，∴存在滿足題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)與求和，考查裂項(xiàng)相消法求和，屬于中檔題．19．(1)證明見解析(2)【分析】（1）取中點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)和平行四邊形性質(zhì)可證得，由此可得四點(diǎn)共面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的向量求法即可求得結(jié)果.(1)取中點(diǎn)，連接，為上靠近的四等分點(diǎn)，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，；分別為中點(diǎn)，，又，，四邊形為平行四邊形，，又，，四點(diǎn)共面；(2)以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；，即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.20．（1）；（2）【分析】（1）由題為求橢圓方程，則需找出，，可由條件，先求出，再利用，求出兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用橢圓的定義求出．得出方程.（2）問題為算直線方程，需兩個條件．由條件及可得：直線的斜率：，再設(shè)出直線的斜截式方程：，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合條件，建立關(guān)于的方程，可得所求的直線方程．【詳解】（1）的焦點(diǎn)，，，，，代入拋物線方程，有，，，橢圓的方程為；（2）點(diǎn)滿足，所以易知與關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，設(shè)直線方程：，設(shè)，，聯(lián)立直線和橢圓方程，得到：，，，，因?yàn)椋?，代入韋達(dá)定理有，，滿足判別式大于0所以直線方程為.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．21．（1）單調(diào)速增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）最小值為.【解析】【分析】（1）求出，進(jìn)一步求出的解，即可得出結(jié)論；（2）先由，得出，通過二次求導(dǎo)并結(jié)合隱零點(diǎn)方法，求