考研數(shù)學(xué)練習(xí)題

考研數(shù)學(xué)練習(xí)題doc

一、選擇題：

1、首先討論間斷點(diǎn)：

1°當(dāng)分母2?e?0時(shí)，x?

2x

2

,且limf??,此為無窮間斷點(diǎn)；

21n2x?

ln2x?0?

2°當(dāng)x?0時(shí),limf?0?l?l,limf?2?l?l,此為可去間

斷點(diǎn)。

x?0?

再討論漸近線：

1°如上面所討論的，limf??,則x?

X?

2

ln2

2

為垂直漸近線；ln2

2°limf?limf?5,則y?5為水平漸近線。

X???

X???

當(dāng)正負(fù)無窮大兩端的水平漸近線重合時(shí)，計(jì)一條漸近

線，切勿上當(dāng)。

2、f?|x4?x|sgn?|x|

sgn?|x|o可見x??l為可導(dǎo)點(diǎn)，x?0和x?3為

不可導(dǎo)點(diǎn)。

2011智軒高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)講義——第2章第4頁(yè)原

文：

f???|??|,當(dāng)xi?yj時(shí)

為可導(dǎo)點(diǎn)，否則為不可導(dǎo)點(diǎn)。注意不可導(dǎo)點(diǎn)只與絕對(duì)

值內(nèi)的點(diǎn)有關(guān)。

?x

,x?0?

設(shè)f??ln2|x|,使得f不存在的最小正整數(shù)n是

?,x?0?0

0

x?0

1

2

3

limf?f?0,故f在x?0處連續(xù)。

f^lim

x?0

f?f

?0,故f在x?0處一階可導(dǎo)。

x?0

當(dāng)x?0時(shí)，f'??

?

?xl2x'

'????223

?ln?lnlnxsgnx

?

12

,則,故f'在x?0處連

續(xù)。?23x?01n|x|ln|x|f，，?lim

x?0

/？/

??,故f在x?0處不二階可導(dǎo)。

x?0

a

b

x?0

對(duì)?a,b?O,limxln|x|?O。這是我們反復(fù)強(qiáng)調(diào)的重要結(jié)

論。

3、對(duì)，該函數(shù)連續(xù)，故既存在原函數(shù)，又在［?1,1］內(nèi)

可積；

1?

??sin,x?0

對(duì)，首先假設(shè)該函數(shù)存在原函數(shù)F??,但對(duì)任意常數(shù)C,

都無x

?,x?0?C

法滿足

x?0

11F?F1

?0,故該函數(shù)不存在原函數(shù)。另一方面，？2cosdx

?lxx?0x

111

?2?2cosdx??2sin,該結(jié)果無意義，故該函數(shù)在［?1,1］

內(nèi)不可積。

OxxxO

1

1

對(duì)，x?0為第一類間斷點(diǎn)，故該函數(shù)不存在原函數(shù)。另

一方面，

?

1

arctan

1

dx和x

?

?1

arctan

1

dx都有意義，故該函數(shù)在［?1,1］內(nèi)可積。x

對(duì)，顯然該函數(shù)存在原函數(shù)。但通過反常積分的審斂

法可知嘗試證明），故該函數(shù)在［?1,1］內(nèi)不可積。設(shè)f?

?

1

?1

tan

?x

2

dx發(fā)

散,???arctan?C??222??21?cosxsecx?12?tanx2?2??l???t

anx???

arctan?,0?x??????

2222?????

???

不妨令F??，那么f在。？］內(nèi)的所有原函

數(shù)0,x?

2?

?l??tanx????

arctan????,?x??????2?2?2?2?

為F?C,其中C為常數(shù)。

如果不采用上述“拼湊”，則不能保證

l?tanx?

arctan??在［0,?］內(nèi)連續(xù)，更談不2?2?

上可導(dǎo)。

4、對(duì)，原式？

?

1

Inxx

3

dx?

??

lylnylnyy

33

1

dy,其中？

1

Inxx

3

dx和？

??

lylny

3

1

dy都發(fā)散，

故該二重積分也發(fā)散；對(duì)，原式?發(fā)散;

1

?

1

lxlnx

3

dx?

??

1

dy,其中？

1

lxlnx

3

dx發(fā)散，故該二重積分也

對(duì)，原式?

?

Inxxe

?

03

dx?

??

e

?

1

y3

1

y

dy,其中?

1

Inxx

3

dx發(fā)散，故該二重積分也發(fā)散;

對(duì)，原式？

?

1

1

x3

x

dx?

??

Inyy

3

1

dy,其中？

1

e

?

1x3

x

dx和？

??

Inyy

3

1

dy都收斂，故該二

重積分也收斂。

1°2011智軒高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)講義原文：變量x和y

之間失去了“糾纏性”，可看作兩個(gè)獨(dú)立的一元積分相乘。

2°同濟(jì)六版高等數(shù)學(xué)教材上冊(cè)原文：

設(shè)函數(shù)f在區(qū)間［a,??）上連續(xù)，且f?0。如果存在常數(shù)

P?L使得limxf存在，則反常積分

X???

P

?

??

a

fdx收斂；如果limxf?d?O,

x???

或limxf???,則反常積分

X????

??

a

fdx發(fā)散。

設(shè)函數(shù)f在區(qū)間？0,x?a

q

為函數(shù)f的暇點(diǎn)。如果存在常數(shù)0?q?l,使得limf存

在，則反常積分?fdx收斂；如果limf?d?0,或

a

x?a?

q

b

x?a?

limf???,則反常

x?b?

x?b?

積分

9

b

a

fdx發(fā)散。

※下列反常積分收斂的是

1

?01nxdx

1

?

??

1

1

dxInx

?

1

Inxx

dx

?

??

Inxx

1

dx

※下列反常積分發(fā)散的是

1x3

1x3

9

?

1

Inxx

3

2

dx

?

??

Inxx

3

2

1

dx

?

?

1

e

?

x

dx

?

??

e

?

1

X

dx

※下列反常積分發(fā)散的是

??

In

dx

x

??

1

Isindx

xx

1

?

??

arctanxx

dx

?

??

l?x

edxx2

5、正確答案為。下面進(jìn)行討論：

fx?lim

則f可微。

?x?0

f?ff

?0,同理fy'?O,且lim?O,

22?x?0?x?x??y?y?0

另一方面,當(dāng)x2?y2?0時(shí)，fx'?2xsin

12x1

,顯然？cos222222

x?yx?yx?y

limfx，?fx'。同理limfy5?fy'。

x?0

y?0

x?Oy?O

對(duì)，f在點(diǎn)處可微，且在該點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx'和fy'

連續(xù)；對(duì)，f在點(diǎn)處不可微，且在該點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)fx'

和fy'不連續(xù)；對(duì)，f在點(diǎn)處可微，且在該點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)

數(shù)fx'和fy'連續(xù)。以上三個(gè)選項(xiàng)留給大家練習(xí)。

2011智軒高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)導(dǎo)學(xué)講義——第7章第6頁(yè)原

文:

22

??g,x?y?O

快速判斷f??在點(diǎn)是否可微的技巧如下：

22

?0,x?y?O?

下列二元函數(shù)在點(diǎn)處可微的是

1?2222

x?y,x?y?0?22

x?yf??

?0,x2?y2?0?

1?22

xy|sin,x?y?0?22

x?yf??

?

0,x2?y2?0??x3?y322,x?y?0?22

f??x?y

?,x2?y2?0?0

??212

?ex?y,

x2?y2?0

f??

?0,x2?y2?0?

6、引用《2011年智軒考研數(shù)學(xué)紅寶書》原文：

?fxx，'

由Hessian矩陣H??

?fxy''fxy''?

的正定性決定極值的充分條件如下：fyy''??

1°H正定？fxx'‘定或fyy''?0,且舊？0?極小值;°H

負(fù)定?fxx''?0或fyy''?0,且|H|?0?極大值；°H不定?|H|?0?

非極值；

H不定？|H|?0,不能確定，應(yīng)特別討論。

下面逐一討論選項(xiàng)：

對(duì)，根據(jù)2°和3°,當(dāng)f是極大值時(shí)，H只能是負(fù)定

矩陣或不定矩陣，正確；

對(duì)，根據(jù)1°,正確；對(duì)，根據(jù)3°的第2條，正確;

對(duì)，根據(jù)3。的第1條，若fxy''?0,則|H|??[fxy'']?0,

非極值，與已知矛盾，故入選。

由極值出發(fā)討論Hessian矩陣時(shí),要留意Hessian矩

陣不定的情形。

※設(shè)f在P的某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且記

2

A?fxx'',B?fxy，',C?fyy，'

考研數(shù)學(xué)習(xí)題做題建議

［摘要］中公考研老師雖然不鼓勵(lì)考生們用題海戰(zhàn)術(shù)

復(fù)習(xí)考研數(shù)學(xué)，但是，考研數(shù)學(xué)做題是必不可少的。在復(fù)習(xí)

過程中，最忌諱只看題目，不動(dòng)手做題，眼高手低。那么，

在做題方面給同學(xué)們提出以下建議。

中公考研老師雖然不鼓勵(lì)考生們用題海戰(zhàn)術(shù)復(fù)習(xí)考

研數(shù)學(xué)，但是，考研數(shù)學(xué)做題是必不可少的。在復(fù)習(xí)過程中，

最忌諱只看題目，不動(dòng)手做題，眼高手低。那么，在做題方

面給同學(xué)們提出以下建議。

典型題

典型題就是基礎(chǔ)題，教材課后習(xí)題以及參考書的基礎(chǔ)

題都屬于這類。做這種題時(shí)要有這樣一種態(tài)度：做題是對(duì)知

識(shí)點(diǎn)掌握情況的檢驗(yàn)，在做題過程中不能只是為了做題而做

題，要積極、主動(dòng)的思考，這樣才能更深入的理解、掌握知

識(shí)，所學(xué)的知識(shí)才能變成自己的知識(shí)，這樣才能使自己具有

獨(dú)立的解題能力。

例如線性代數(shù)的計(jì)算量比較大，但出純計(jì)算的可能性

比較少，一般都是證明中帶有計(jì)算，抽象中夾帶計(jì)算。這就

要求考生在做題時(shí)要注意證明題的邏輯嚴(yán)緊性，掌握一些知

識(shí)點(diǎn)在證明一些結(jié)論時(shí)的基本使用方法，雖然線性代數(shù)的考

試可以考的很靈活，但這些基本知識(shí)點(diǎn)的使用方法卻比較固

定，只要熟練掌握各種拼接方式即可。

歷年真題

真題的資源是有限的，如果純粹的做題，哪怕你做個(gè)

三五遍也是一下就做完了，所以在做真題的時(shí)候一定要全身

心的投入，把每一年的真題當(dāng)做考試題來做，把握好時(shí)間，

將做每份真題的時(shí)間控制在兩個(gè)半小時(shí)之內(nèi)，做完之后按照

考研閱卷人給出的評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)對(duì)自己的試卷進(jìn)行打分，記錄并

分析試卷中出錯(cuò)的地方，找出與閱卷人所給答案不符合的地

方，逐漸完善自己的做題思路，逐漸向閱卷人的思路靠攏。

另外，除了做真題之外大家還要學(xué)會(huì)總結(jié)歸納歷年真題，將

歷年真題中的考點(diǎn)列成表格，這樣可以有助于大家預(yù)測(cè)考

點(diǎn)。

模擬題

模擬題從難度上來講一般都是高于真題的，對(duì)于這類

題就是用來拓展自己的習(xí)題領(lǐng)域的，所以不要太過糾結(jié)于做

得好不好，即使做的不好也沒必要太灰心，如果你都能做了，

那就直接去出題而不是考試了。

［摘要］2016考研數(shù)學(xué)微積分與極限微分可以說是復(fù)

習(xí)的重難點(diǎn)，很多考生卡在此處。下面從

考察內(nèi)容及題型兩大方面和大家談?wù)劥酥R(shí)點(diǎn)。希望考

生能夠認(rèn)真的把握和理解。

2016考研數(shù)學(xué)微積分與極限微分可以說是復(fù)習(xí)的重難

點(diǎn)，很多考生卡在此處。下面從考察內(nèi)容及題型兩大方面和

大家談?wù)劥酥R(shí)點(diǎn)。希望考生能夠認(rèn)真的把握和理解。

?考查內(nèi)容

一、多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分概念；

二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分的計(jì)算，尤其是求復(fù)合函數(shù)的二

階偏導(dǎo)數(shù)及隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；

三、方向?qū)?shù)和梯度；

四、多元函數(shù)微分在幾何上的應(yīng)用；

五、多元函數(shù)的極值和條件極值。

?常見題型

1、求二元、三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、全微分。

2、求復(fù)全函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù);隱函數(shù)的一階、二階偏

導(dǎo)數(shù)。

3、求二元、三元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度。

4、求空間曲線的切線與法平面方程，求曲面的切平

面和法線方程。

5、多元函數(shù)的極值在幾何、物理與經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用題。

第4類題型，是多元函數(shù)的微分學(xué)與向量代數(shù)與空間

解析幾何的綜合題，應(yīng)結(jié)合起來復(fù)習(xí)。

極值應(yīng)用題多要用到其他領(lǐng)域的知識(shí)，特別是在經(jīng)濟(jì)

學(xué)上的應(yīng)用涉及到經(jīng)濟(jì)學(xué)上的一些概念和規(guī)律，讀者在復(fù)習(xí)

時(shí)要引起注意。

?一元函數(shù)微分學(xué)有四大部分

1、概念部分，重點(diǎn)有導(dǎo)數(shù)和微分的定義，特別要會(huì)

利用導(dǎo)數(shù)定義講座分段函數(shù)在分界點(diǎn)的可導(dǎo)性，高階導(dǎo)數(shù),

可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系；

2、運(yùn)算部分，重點(diǎn)是基本初等函的導(dǎo)數(shù)、微分公式,

四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)、微分公式以及反函數(shù)、隱函數(shù)和由參數(shù)方

程確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式等；

3、理論部分，重點(diǎn)是羅爾定理，拉格朗日中值定理，

柯西中值定理；

4、應(yīng)用部分，重點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性態(tài)，最

值應(yīng)用題，利用洛必達(dá)法則求極限，以及導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域的

應(yīng)用，如“彈性”、“邊際”等等。

?常見題型

1、求給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，包括隱函數(shù)和由參數(shù)

方程確定的函數(shù)求導(dǎo)。

2、利用羅爾定理，拉格朗定理，拉格朗日中值定理,

柯西中值定理證明有關(guān)命題和不等式，如“證明在開區(qū)間至

少存在一點(diǎn)滿足?？”，或討論方程在給定區(qū)間內(nèi)的根的個(gè)數(shù)

等。

此類題的證明，經(jīng)常要構(gòu)造輔助函數(shù)，而輔助函數(shù)的

構(gòu)造技巧性較強(qiáng)，要求讀者既能從題目所給條件進(jìn)行分析推

導(dǎo)逐步引出所需的輔助函數(shù)，也能從所需證明的結(jié)論出發(fā)

“遞推”出所要構(gòu)造的輔函數(shù)，此外，在證明中還經(jīng)常用到

函數(shù)的單調(diào)性判斷和連續(xù)數(shù)的介值定理等。

3、利用洛必達(dá)法則求七種未定型的極限。

4、幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等方面的最大值、最小值應(yīng)用

題，解這類問題，主要是確定目標(biāo)函數(shù)和約束條件，判定所

論區(qū)間。

5、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)和描繪函數(shù)圖像，等等。

凱程教育：

凱程考研成立于2005年，國(guó)內(nèi)首家全日制集訓(xùn)機(jī)構(gòu)

考研，一直從事高端全日制輔導(dǎo)，由李海洋教授、張?chǎng)谓淌凇?/p>

盧營(yíng)教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教

授、方浩教授等一批高級(jí)考研教研隊(duì)伍組成，為學(xué)員全程高

質(zhì)量授課、答疑、測(cè)試、督導(dǎo)、報(bào)考指導(dǎo)、方法指導(dǎo)、聯(lián)系

導(dǎo)師、復(fù)試等全方位的考研服務(wù)。

凱程考研的宗旨：讓學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣；

凱程考研的價(jià)值觀口號(hào)：凱旋歸來，前程萬里；

信念：讓每個(gè)學(xué)員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國(guó)最專業(yè)的考研輔

導(dǎo)機(jī)構(gòu)；

激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務(wù)：以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)

的服務(wù)，團(tuán)隊(duì)合作，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)

員引路。

如何選擇考研輔導(dǎo)班：

在考研準(zhǔn)備的過程中，會(huì)遇到不少困難，尤其對(duì)于跨

專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報(bào)輔導(dǎo)班來彌補(bǔ)自己復(fù)習(xí)的不

足，可以大大提高復(fù)習(xí)效率，節(jié)省復(fù)習(xí)時(shí)間，大家可以通過

以下幾個(gè)方面來考察輔導(dǎo)班，或許能幫你找到適合你的輔導(dǎo)

班。

師資力量：師資力量是考察輔導(dǎo)班的首要因素，考生

可以針對(duì)輔導(dǎo)名師的輔導(dǎo)年限、輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)、歷年輔導(dǎo)效果、

學(xué)員評(píng)價(jià)等因素進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，詢問往屆學(xué)長(zhǎng)然后選擇。判

斷師資力量關(guān)鍵在于綜合實(shí)力，因?yàn)槿魏我婚T課程，都不是

由一、兩個(gè)教師包到底的，是一批教師配合的結(jié)果。還要深

入了解教師的學(xué)術(shù)背景、資料著述成就、輔導(dǎo)成就等。凱程

考研名師云集，李海洋、張?chǎng)谓淌凇⒎胶平淌?、盧營(yíng)教授、

孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機(jī)構(gòu)只是很普通

的老師授課，對(duì)知識(shí)點(diǎn)把握和命題方向，欠缺火候。

對(duì)該專業(yè)有輔導(dǎo)歷史：必須對(duì)該專業(yè)深刻理解，才能

深入輔導(dǎo)學(xué)員考取該校。在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝

煌的成績(jī)：凱程教育拿下2015五道口金融學(xué)院狀元，考取

五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15

個(gè)，中財(cái)和貿(mào)大金融碩士合計(jì)20人，北師大教育學(xué)7人，

會(huì)計(jì)碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元

王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學(xué)方面，凱程在人大、北

大、貿(mào)大、政法、武漢大學(xué)、公安大學(xué)等院校斬獲多個(gè)法學(xué)

和法碩狀元，更多專業(yè)成績(jī)請(qǐng)查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)

站的光榮榜，成功學(xué)員經(jīng)驗(yàn)談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績(jī)的

最好證明。對(duì)于如此高的成績(jī)，凱程集訓(xùn)營(yíng)班主任邢老師說,

凱程如此優(yōu)異的成績(jī)，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的

輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自

二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來

考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競(jìng)爭(zhēng)激烈，沒

有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成

績(jī)。最好的辦法是直接和凱程老師詳細(xì)溝通一下就清楚了。

建校歷史：機(jī)構(gòu)成立的歷史也是一個(gè)參考因素，歷史

越久，積累的人脈資源更多。例如，凱程教育已經(jīng)成立10

年，一直以來專注于考研，成功率一直遙遙領(lǐng)先，同學(xué)們有

興趣可以聯(lián)系一下他們?cè)诰€老師或者電話。

有沒有實(shí)體學(xué)校校區(qū)：有些機(jī)構(gòu)比較小，就是一個(gè)在

寫字樓里上課，自習(xí)，這種環(huán)境是不太好的，一個(gè)優(yōu)秀的機(jī)

構(gòu)必須是在教學(xué)環(huán)境，大學(xué)校園這樣環(huán)境。凱程有自己的學(xué)

習(xí)校區(qū)，有吃住學(xué)一體化教學(xué)環(huán)境，獨(dú)立衛(wèi)浴、空調(diào)、暖氣

齊全，這也是一個(gè)考研機(jī)構(gòu)實(shí)力的體現(xiàn)。止匕外，最好還要看

一下他們的營(yíng)業(yè)執(zhí)照。

一階常系數(shù)線性差分方程的求解

形如yn+1+ayn=f0的方程為一階常系數(shù)線性非齊次差

分方程，其中a為非零常數(shù)，f為已知函數(shù)，n為非負(fù)整數(shù);

yn+1+ayn=0為對(duì)應(yīng)的齊次方程。1.yn+l+ayn=O的通解

可以山以下兩種方法給出：

yn+1+ayn=0對(duì)應(yīng)的特征方程為l+a=O,則1=-a為特

征根，從而其通解為yn二C1

n

二Cn,于是C=yO,即通解為yn=nyO。

設(shè)yO已知，將n=0,1,2,L依次代入yn+l=-ayn中，

得

yl=yO,y2=2y0,L,yn=nyO。

2.設(shè)yn+l+ayn=fO有一個(gè)特解n,則yn+l+ayn=fO的

通解為

n

yn=Cn+n

其中yn二C為對(duì)應(yīng)齊次差分方程yn+l+ayn=0的通解。

3.關(guān)于yn+1+ayn=fO,針對(duì)不同的f,其特解的求取

方法：設(shè)f為關(guān)于n的m次已知多項(xiàng)式Pm,則特解為

n=nkRm

即111是特征根，則k=0；若a=-1,1,

其中Rm為n的m次待定多項(xiàng)式。若a?即1:1是特征根,

則k=1o

設(shè)f=Pmq,其中q為已知的常數(shù)，Rm為n的m次待定

多項(xiàng)式，則特解為

n

n=nkRmqn

當(dāng)q不是特征根時(shí)，取k=0；當(dāng)q是特征根時(shí)，取k=lo

設(shè)f=b1coswn+b2sinwn,則

n=nk

1

其中Bl,B2為待定系數(shù)，當(dāng)e=cosw+isinw?

iw

a時(shí)，取k=0；當(dāng)

eiw=cows+iswi=n一

時(shí)，取ak=lo

例1求差分方程yn+1-yn=n的通解。

解先求對(duì)應(yīng)齊次方程yn+l-yn=0的通解。其特征方

程為1-1=0,于是1=1,于是yn+1-yn=0的通解為yn=Cl

n

n

n

=Co

n

n

設(shè)yn+l-yn=n的一個(gè)特解為n=2,代入yn+l-yn=n,得

a=1,b=-2,于是yn+1-yn=rm的通解為

yn=C+g2n。

例求差分方程2yt+l+10yt-5t=0的通解。

解容易求得對(duì)應(yīng)齊次差分方程的通解為yt二C,設(shè)原

差分方程的特解為

t

yt*=at+b,代入原方程，得a二

55

,于是2yt+l+10yt-5t=0的通解為,*127251

yt=Ct+o

126

二階差分方程

若alO,稱aDn+bDn-l+cDn-2=0為二階線性齊次差分方

程，它對(duì)應(yīng)的特征方程為

ar2+br+c=0。

若D=b-4ac0,則ar+br+c=O有不相等的根rl,r2,

原差分方程的通解為

其中A,B可以由初始條件來確定。

2

2

Dn=Arln+Br2n

2

注

通解也可以寫成Dn二ArlnT+Br2nT的形式，但是求出

的系

數(shù)A,B有變化，最終結(jié)果是一致的。

若D=b-4ac=0,則ar+br+c=O有重根rl=r2,原差分

方程的通解為

其中A,B可以由初始條件來確定。通解也可以寫成

Dn=rl的。

例已知數(shù)列{xn}：xO=a,xl=b,xn=解方法一

xn-xn-l=-

各式相加，得

n-l

22

Dn=rln

，但是求出的系數(shù)A,B有變化，最終結(jié)仍然是一致

1

,n,求limxn。

n2

ln-1

）二L二，于是

2

xl-xO=b-a,

1

x3?x2?2,

2??1

xn?xn?l?n?l,

2

111?1?

xn?x0??l??2???n?l??,

222??1?2

所以

?

limxn?

n??

a?2b

o

方法二limxn?

n??

??x0?

n?0

b?aa?2b

?a?o131?2

方法三差分方程xn?

mi

xn?l?xn?2的特征方程為r2?r??0,解之，得特征根2222

1

rl?l,r2??,于是差分方程的通解為

2

1

xn?An?B?ln

2

3

考慮到xO?a,xl?b,代入，得A?于是

2a?2b21na?2b

,,,B?xn??

333231imxn?

n??

a?2b

o

?

21

例若al?4,a2?2,an?an?l?an?2,n?3,4,?,討論級(jí)

數(shù)?an的斂散性。

39n?l

21211

an?l?an?2所對(duì)應(yīng)的特征方程為r2?r??0,解之，得

rl?r2?,39393

1

于是an?rln?l?n?l,令n?3和n?4,得

3

解an?

?A?3B?8

,?

?A?4B?10

?

2?2n

解之,得A?B?2,即an?n?l,n?3,4,?,所以?an收斂。

3n?l

思考您能否求出級(jí)數(shù)的和？

例設(shè)al?a2?l,an?2?2an?l?3an,n?l,求級(jí)數(shù)函數(shù)。

?ax

nn?l

?

n

的收斂半徑、收斂域及和

解分析如果單單求收斂半徑、收斂區(qū)間與和函數(shù)

的表達(dá)式，通過｛an｝的遞推公式是不難辦到的，但是，如果

考慮在端點(diǎn)的收斂性，不考慮an是有較大困難的。

因?yàn)閍n?2?2an?l?3an所對(duì)應(yīng)的特征方程為r?2r?3?0,

解之，得特征根rl??l,

2

llnnn

3n,r2?3,設(shè)an?Arl?