方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)目錄方程基本概念一元一次方程一元二次方程分式方程方程組求解方程應(yīng)用拓展方程基本概念01方程定義含有未知數(shù)的等式稱(chēng)為方程。方程分類(lèi)根據(jù)未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)，方程可分為一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程組等。方程定義與分類(lèi)方程中用字母表示的待求解的數(shù)。未知數(shù)滿足方程的未知數(shù)的集合，也稱(chēng)為方程的解。解集未知數(shù)與解集等式兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立；等式兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)非零數(shù)，等式仍然成立。在解方程時(shí)，需要遵循等式的性質(zhì)，對(duì)方程進(jìn)行變形和化簡(jiǎn)，最終求出未知數(shù)的值。常用的運(yùn)算規(guī)則包括加法、減法、乘法、除法等。等式性質(zhì)與運(yùn)算規(guī)則運(yùn)算規(guī)則等式性質(zhì)一元一次方程02一元一次方程的一般形式$ax+b=0$，其中$aneq0$。解一元一次方程的基本步驟去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1。一元一次方程形式與解法實(shí)際問(wèn)題中，常常需要將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，即建立一元一次方程。建立方程的關(guān)鍵是找出等量關(guān)系，設(shè)未知數(shù)，列方程。解方程后，需要進(jìn)行檢驗(yàn)，確保解符合實(shí)際問(wèn)題的要求。實(shí)際問(wèn)題建模與求解例題1某數(shù)的5倍比它的3倍多10，求這個(gè)數(shù)。分析設(shè)這個(gè)數(shù)為$x$，根據(jù)題意列方程$5x-3x=10$，解得$x=5$。例題2甲、乙兩地相距240千米，一列慢車(chē)從甲地出發(fā)，每小時(shí)行60千米；一列快車(chē)從乙地出發(fā)，每小時(shí)行90千米。兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，同向而行，快車(chē)在慢車(chē)的后面，多少小時(shí)后快車(chē)可以追上慢車(chē)？分析設(shè)$x$小時(shí)后快車(chē)可以追上慢車(chē)，根據(jù)題意列方程$90x-60x=240$，解得$x=8$。01020304典型例題分析一元二次方程03$ax^2+bx+c=0$，其中$aneq0$。一元二次方程的一般形式通過(guò)配方將方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，然后求解。配方法利用求根公式$x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}$直接求解。公式法將方程左邊因式分解，然后求解。因式分解法一元二次方程形式與解法010204判別式與根的關(guān)系判別式$Delta=b^2-4ac$，用于判斷方程的根的情況。當(dāng)$Delta>0$時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。當(dāng)$Delta=0$時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（即一個(gè)重根）。當(dāng)$Delta<0$時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，但有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根。03審題明確問(wèn)題中的已知量和未知量，理解問(wèn)題的實(shí)際意義。設(shè)元根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，設(shè)出未知數(shù)，并用字母表示。列方程根據(jù)問(wèn)題中的等量關(guān)系，列出含有未知數(shù)的等式，即一元二次方程。解方程利用一元二次方程的解法，求出未知數(shù)的值。檢驗(yàn)將求得的未知數(shù)的值代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義。作答寫(xiě)出答案，并注明單位（如果有）。實(shí)際問(wèn)題建模與求解例題一某商品原價(jià)為100元，經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格為81元，求平均每次降價(jià)的百分率。分析設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為$x$，則經(jīng)過(guò)兩次降價(jià)后的價(jià)格可以表示為$100(1-x)^2$。根據(jù)題意，這個(gè)表達(dá)式等于81，因此可以列出一元二次方程$100(1-x)^2=81$。解這個(gè)方程可以得到$x$的值，從而求出平均每次降價(jià)的百分率。例題二某果園今年栽種果樹(shù)200棵，計(jì)劃今后每年栽種的果樹(shù)都比上一年增加相同的百分率，這樣經(jīng)過(guò)4年（包括今年）的總栽種果樹(shù)數(shù)為1324棵。求這個(gè)百分率。分析設(shè)每年增加的百分率為$x$，則第一年栽種$200$棵，第二年栽種$200(1+x)$棵，第三年栽種$200(1+x)^2$棵，第四年栽種$200(1+x)^3$棵。根據(jù)題意，這四年的總栽種果樹(shù)數(shù)為$1324$棵，因此可以列出一元二次方程$200+200(1+x)+200(1+x)^2+200(1+x)^3=1324$。解這個(gè)方程可以得到$x$的值，從而求出每年增加的百分率。典型例題分析分式方程04

分式方程形式與解法分式方程的一般形式$frac{a}{x}+frac{x+c}=fracst7qsoz{x+e}$，其中$a,b,c,d,e$為常數(shù)，$x$為未知數(shù)。解法步驟去分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；解整式方程；驗(yàn)根，將解代入原方程檢驗(yàn)是否滿足原方程。注意事項(xiàng)在解分式方程時(shí)，需要確保分母不為零，否則方程無(wú)解。在解分式方程時(shí)，可能會(huì)得到一些不滿足原方程的解，這些解稱(chēng)為增根。增根的出現(xiàn)通常是由于去分母時(shí)忽略了某些限制條件。增根當(dāng)分式方程中的某些項(xiàng)無(wú)法消去時(shí)，或者經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)整式方程無(wú)解時(shí)，原分式方程也無(wú)解。無(wú)解情況在求解分式方程后，需要進(jìn)行驗(yàn)根操作，排除增根和無(wú)解的情況。處理方法增根與無(wú)解情況處理03求解方法將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用分式方程的解法進(jìn)行求解。01實(shí)際問(wèn)題中的分式方程在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到分式方程。例如，工程問(wèn)題、行程問(wèn)題、經(jīng)濟(jì)問(wèn)題等。02建模方法根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況，設(shè)立未知數(shù)，建立分式方程模型。實(shí)際問(wèn)題建模與求解例題1：某工程需在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，若甲隊(duì)單獨(dú)做，則剛好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成；若乙隊(duì)單獨(dú)做，則要超過(guò)規(guī)定時(shí)間3天?，F(xiàn)由甲、乙兩隊(duì)合作2天后，余下的工程再由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成。求規(guī)定的時(shí)間是多少天？分析：設(shè)規(guī)定的時(shí)間為$x$天，則甲隊(duì)單獨(dú)完成需要$x$天，乙隊(duì)單獨(dú)完成需要$x+3$天。根據(jù)題意列出分式方程并求解即可。例題2：某商店經(jīng)銷(xiāo)一種商品，由于進(jìn)貨價(jià)降低了6.4%，使得利潤(rùn)率提高了8%，那么原來(lái)經(jīng)銷(xiāo)此種商品的利潤(rùn)率是多少？分析：設(shè)原進(jìn)貨價(jià)為$a$元，原利潤(rùn)率為$x\%$，則原售價(jià)為$a(1+x\%)$元。根據(jù)題意列出分式方程并求解即可。典型例題分析方程組求解05通過(guò)加減消元或代入消元，將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程進(jìn)行求解。消元法矩陣法圖像法利用矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，將二元一次方程組表示為矩陣形式，通過(guò)矩陣的初等變換求解。在平面直角坐標(biāo)系中，分別畫(huà)出兩個(gè)方程的圖像，聯(lián)立求解交點(diǎn)坐標(biāo)。030201二元一次方程組求解方法通過(guò)加減消元或代入消元，將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程進(jìn)行求解。消元法利用矩陣的運(yùn)算性質(zhì)，將三元一次方程組表示為矩陣形式，通過(guò)矩陣的初等變換求解。矩陣法將三元一次方程組表示為向量形式，通過(guò)向量的線性組合求解。向量法三元一次方程組求解方法換元法通過(guò)引入新的變量，將高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程進(jìn)行求解。因式分解法將高次方程因式分解為低次方程，分別求解低次方程的解，再組合得到高次方程的解。判別式法利用高次方程的判別式性質(zhì)，判斷方程的解的情況，進(jìn)而求解。高次方程組降次處理技巧123二元一次方程組的應(yīng)用題，如“雞兔同籠”問(wèn)題。通過(guò)分析問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立二元一次方程組進(jìn)行求解。例題1三元一次方程組的求解問(wèn)題。通過(guò)消元法或矩陣法將三元一次方程組轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元一次方程進(jìn)行求解。例題2高次方程的求解問(wèn)題。通過(guò)因式分解法、換元法或判別式法將高次方程降次處理，進(jìn)而求解。例題3典型例題分析方程應(yīng)用拓展06不等式與方程都是描述數(shù)學(xué)關(guān)系的重要工具，它們之間有著密切的聯(lián)系。通過(guò)解不等式，我們可以找到滿足條件的未知數(shù)的取值范圍；而通過(guò)解方程，我們可以找到未知數(shù)的確切值。不等式與方程的聯(lián)系在解決某些方程問(wèn)題時(shí)，我們可以利用不等式來(lái)確定未知數(shù)的取值范圍，從而簡(jiǎn)化問(wèn)題或找到問(wèn)題的解決方案。例如，在解決一元二次方程時(shí)，我們可以利用判別式的不等式來(lái)判斷方程的根的情況。不等式在方程中的應(yīng)用不等式（組）與方程關(guān)系及應(yīng)用函數(shù)和方程都是描述數(shù)學(xué)關(guān)系的重要工具。函數(shù)是一種特殊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，它描述了自變量和因變量之間的關(guān)系；而方程則是一種等式關(guān)系，它描述了未知數(shù)之間的關(guān)系。在某些情況下，函數(shù)和方程可以相互轉(zhuǎn)化。函數(shù)與方程的聯(lián)系在解決某些方程問(wèn)題時(shí)，我們可以利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)找到問(wèn)題的解決方案。例如，在解決一元二次方程時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)二次函數(shù)，并利用二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求解。函數(shù)在方程中的應(yīng)用函數(shù)與方程關(guān)系及應(yīng)用數(shù)列與方程的聯(lián)系數(shù)列是一種特殊的數(shù)學(xué)對(duì)象，它由一系列按照一定規(guī)則排列的數(shù)組成。在數(shù)列中，我們可以利用方程的思想來(lái)解決某些問(wèn)題。例如，在求解等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次方程或一元二次方程來(lái)求解。方程在數(shù)列中的應(yīng)用在解決某些數(shù)列問(wèn)題時(shí)，我們可以利用方程的思想來(lái)找到問(wèn)題的解決方案。例如，在求解數(shù)列的遞推公式時(shí)，我們可以將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)差分方程或微分方程來(lái)求解。數(shù)列中的方程思想及應(yīng)用典型例題分析某工廠生產(chǎn)A、B兩種配套產(chǎn)品，其中每天生產(chǎn)x噸A產(chǎn)品，