講次11（數(shù)列壓軸題）（30題）2021高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)必殺500題（上海專(zhuān)用）（教師版）

2021局考考點(diǎn)必殺500題

專(zhuān)練11(數(shù)列壓軸題)(30道)

1.(2021?上海黃浦區(qū)?高三一模)已知函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽,數(shù)列｛為｝滿足生工巧，=/(。,1)，

妨，I)(〃〃實(shí)數(shù)鼠是非零常數(shù)).

/(??)+kfh)=t(an+22,eN*)(t

(1)若攵=-1,且數(shù)列｛《,｝是等差數(shù)列，求實(shí)數(shù)，的值；

若出+妨產(chǎn)°，數(shù)列｛〃｝滿足求通項(xiàng)公式切；

(2)d=??+1+ka.(nwN*),

(3)若4=—1,數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且4=。(。聲0,aeR),試證明：f(a)=t-a.

【答案】⑴1=1；(2)2=(4+姐)廣'(〃€4)；(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)設(shè)等差數(shù)列的公差drO,根據(jù)4+1-4=f(4—a,-),得到d=即可求解；

(2)由出+總1H°，數(shù)列｛〃｝滿足d=。的+心,(〃€"*),推得數(shù)列｛〃｝是首項(xiàng)為仿，公比為/的等比

數(shù)列，即可求解；

(3)由題意，得到。用一4=??！耙?。,1)(〃22),根據(jù)(2)知2=(/-/『T，利用累加法，求得

%=。+了心一牛?’1，結(jié)合數(shù)列｛為｝是等比數(shù)列，即可求解.

1—z\-t

【詳解】

由數(shù)列｛為｝滿足的/，=/(。.|),

4an

f

/(??)+1tfh)=t(an+>2,neN),

｛)

??+,+kan=tan+ka“_i(n>2,?e7V*).

(1)因?yàn)閿?shù)列｛4,｝(〃eN*)是等差數(shù)列，左=一1,

記公差為d,則公差dwO,所以。,用一?！?/(%-/_】)，即"=以，解得7=1.

(2)因?yàn)椤?+3產(chǎn)°，數(shù)列｛〃>滿足勿=4+1+3(〃€N*),

所以向〃〃

-a2+ka}0,bn=thn_}(22,eN*).

所以數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)為4,公比為/的等比數(shù)列.

所以a=(〃2+履N").

(3)因?yàn)殡?—1,fwl,且〃2工〃1，

所以?n+l-an=t(an-a“_1)522,〃wN*),

根據(jù)(2),可知當(dāng)&=—1時(shí)，2=32-4)〃T(〃€N"),

aa

所以a”=3"-n-\)+(a”-i-n-2)■1---F(4—4)+q

=b“_、+bn_2H-----F4+a1=里1__l—1+a,

\-t

匚匚i、i(a,—a)(l—〃1)a,-a(a—a)?_|.

所以——------+a=a+^------------t'(n&N).

"l-t\-t\-t

因?yàn)閿?shù)列｛4｝是等比數(shù)列，

所以翱——+a=0,解得。2=柩，

\-t

又因?yàn)?=/(%)=/(。)，所以73)=相.

【點(diǎn)睛】

數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題的求解策略：

1、已知函數(shù)的條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)，圖象等研究數(shù)列問(wèn)題；

2,已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解決此類(lèi)問(wèn)題一般要利用數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，前〃項(xiàng)和公式，求和

方法等對(duì)式子化簡(jiǎn)變形：

3、注意數(shù)列和函數(shù)的不同，數(shù)列只能看成是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)函數(shù)，在解決問(wèn)題時(shí)要注意這一特殊性.

2.(2021?上海靜安區(qū)?高三一模)/(〃25)個(gè)正數(shù)排成〃行〃列方陣，其中每一行從左至右成等差數(shù)列，

每一列從上至下都是公比為同一個(gè)實(shí)數(shù)4的等比數(shù)列.

/???%.、

即a\2%3

a2\a22a23…612n

。31。32。33…a3n

<an\an2…a〃〃)

已知％2=1，44=2,a55.

(1)設(shè)a=q〃，求數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)S”=4]+〃2]+。31+…+。山，求證：S〃<1(/7￡N*)；

+2

⑶設(shè)7；=%+42+/3+-+?！薄?，請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：7；,=2--(HGN*).

n

【答案】(1)bn=~；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)山題意，數(shù)列｛么｝是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為卬，公差為d,聯(lián)立方程組，求出力和d,寫(xiě)出通項(xiàng)公式;

(2)根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)即可求解；

(3)利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明.

【詳解】

解：(1)由題意，數(shù)列｛"｝是等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為6,公差為。，

由％2=1，44=2得

q+d=l,11

解得q=7，d=-.

4+3d=2.22

11

故數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為勿=>1(〃—1)=(

(2)由(1)可得。[5=彳，再由己知。55=或1，得

卷="|/，解得夕=士;,由題意舍去q=-g.

1

2

S“=?n+4|+%1+…+41=一

2

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，有S“<l(〃eN*).

(3)⑺當(dāng)〃=1時(shí)，7j=—,等式成立.

2

k+2

(")假設(shè)當(dāng)〃=%時(shí)等式成立，即，(=2—一k(&eN*)

當(dāng)〃=%+1時(shí)，4+1=4+4*+1）（*+|）

0A+2J+lf1Y

=2-亍+丁3

°(Z+D+2

=2--

等式成立.

n-|-2

根據(jù)⑺和(歷可以斷定，Tn=2一一式對(duì)任何的〃GN,都成立.

【點(diǎn)睛】

⑴等差(比)數(shù)列問(wèn)題解決的基本方法：基本量代換；

⑵數(shù)列是特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)的有關(guān)知識(shí)研究最值.

⑶數(shù)學(xué)歸納法用來(lái)解決與自然數(shù)n有關(guān)的問(wèn)題.

3.(2021?上海松江區(qū)?高三一模)對(duì)于由m個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的有限集知={4,4，%「,冊(cè)}，記

P(M)=al+a2+---+ani,特別規(guī)定尸(0)=0,若集合M滿足：對(duì)任意的正整數(shù)左WP(M),都存在集

合/W的兩個(gè)子集4B,使得人=P(A)-P(B)成立，則稱(chēng)集合M為"滿集"，

(1)分別判斷集合M={1,2}與“2={1，4}是否為“滿集"，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若q，4,由小到大能排列成公差為d(deN')的等差數(shù)列，求證：集合M為"滿集"的必要條件是

q=l,d=l或2；

(3)若4,4,…，怎，由小到大能排列成首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求證：集合M是"滿集"

【答案】(1)集合是“滿集"，集合A/?不是"滿集"，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)分別求出加1和Al?的子集，根據(jù)滿集的定義說(shuō)明即可；

(2)k0=P(M)=ai+a2+---+a,?,對(duì)任意的正整數(shù)人4%。，都存在集合M的兩個(gè)子集A,B,使得

Z=P(A)—P(B)成立，當(dāng)女=勺—1時(shí)，可得P(A)=勺或P(A)=K-1,可得q=l,又423時(shí)，不存

在M的子集48,使得女=%—3=P(A)-P(B),可得4=1,2；

(3)可以數(shù)學(xué)歸納法證明.

【詳解】

(1)集合是"滿集"，集合不是"滿集

對(duì)于集合Mi，P(MJ=l+2=3,且共有4個(gè)子集：0,{1},{2},{1,2}

當(dāng)k分別取1,2,3時(shí)，由1=尸({1})一P(0)；2=尸({2})-P(0)；3=P({1,2))-P(0)：

故M是“滿集"；

對(duì)于集合〃2，尸(”1)=1+4=5,且共有4個(gè)子集：0,⑴，{4},{1,4}

當(dāng)％=2時(shí)，不存在{1,4}的兩個(gè)子集A,B,使得P(A)-P(5)=2,

故不是"滿集"；

(2)0a,,%，.??，金由小到大能排列成公差為d(deN,)的等差數(shù)列,

0G1<o,2<???<ctm,記k0—P{M)=q+a2+???+ctm

回M為"滿集"，

面對(duì)任意的正整數(shù)上《幻，都存在集合M的兩個(gè)子集A,B,使得女=P(A)—P(3)成立，

當(dāng)％=1時(shí)，由4—1=P(A)-P(B),及P(B)NO知P(A)=勺或P(A)=自—1,

若P(A)=&°，則尸(3)=1,

13al=1,此時(shí)4={%,%,。3,…，勺}，B={aJ

若P(A)=%—1,則Au"，在M的真子集中，2(4)=42+/+…+金最大，必有4=1,此時(shí)

A^a2,a3,---,am,B=0.

綜上可得：團(tuán)4=1

若dN3,當(dāng)&=&)-3時(shí),0(&0-0)>(七-1)>((左°-1)-1)>&>(&0—(1+d))>…,

回不存在M的子集A,B,使得人=K―3=P(A)—P(B),0j=l,2,

綜合得：集合M為"滿集"的必要條件是，d=l或2：

(3)可得a“=2"T,〃=1,2,…，機(jī)，

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:

任意meN*，任意0<kWP(M),存在〃的一個(gè)子集A,使得P(A)=&,

當(dāng)加=1時(shí)顯然成立，

設(shè)"?=〃時(shí)結(jié)論也成立，

那么當(dāng)m=〃+1時(shí)，任意的匕，。(")=4+%+…+4+1，

如果匕，4+%+…根據(jù)歸納假設(shè)，存在｛q,4,...,4｝的一個(gè)子集A使得尸(4)=%,此時(shí)A也是〃

的一個(gè)子集，結(jié)論成立，

如果人>4+4+…+?！?1+21+,—F2"'=2"—1,那么后一a”+i>—1,

乂k4%+4+■■■+4+]=2""—1,

所以上一％用,，2向一2"—1=2"—1,

所以0—k-an+i=3^+^2+,"^n+l,

根據(jù)歸納假設(shè)，存在｛4外,…,4｝的子集4使得尸(4)=4一%+「

再令A(yù)=｛a“+1｝uA”P(pán)(A)=Z,結(jié)論成立，

所以任意0<kwP(M),存在M的一個(gè)子集A,使得P(A)=Z,

再令B=0,則P(A)-P(B)=&,

所以集合M是"滿集

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的新定義問(wèn)題和數(shù)列的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確理解滿集的定義.

4.(2021?上海高三專(zhuān)題練習(xí))已知點(diǎn)A(—1,0)、例1,0),直線/:辦+勿+。=0(其中?4ceR),點(diǎn)「在

直線/上.

4OB/

(1)若“、b、c是常數(shù)列，求IPBI的最小值；

(2)若“、/?、c是成等差數(shù)列，且PA_L/,求|產(chǎn)例的最大值;

(3)若a.0、c是成等比數(shù)列，且PA_U,求|尸例的取值范圍.

【答案】(1)&;⑵2夜；⑶(1,+co).

【分析】

(1)若a、b、c是常數(shù)列，直線/:x+y+l=O,|尸耳的最小值即為點(diǎn)8(1,0)到x+y+l=O的距離;

⑵若“、》、c是成等差數(shù)列，/:(2x+y)a+(y+2)c=0直線恒過(guò)點(diǎn)”(1,一2),PA_LPA/，點(diǎn)P在

以AM為直徑的圓上，利用圓的性質(zhì)即可求最值；

az*be

(3)若〃、。、c是成等比數(shù)列，則/?2=〃0,即不%+丁+=0,設(shè)—=7=4。0,則I+9)+/=0,夕工。,

bbab

?勺=-1＞可得%=4(/+1)，點(diǎn)尸在/上可得

設(shè)尸(%，%)，利用尸AJ_/,kAP

Xo+1Iq)

X。+僅+4?=0，聯(lián)立兩式可得％=-,P笈=(%—1)2+討=(/一1)2+/(%+1)2將

%=-3千代入整理求最值即可.

]+q-

【詳解】

(1)若a、〃、c是常數(shù)列，則。=〃=c,且不等于0,

此時(shí)直線/：ax++c=0即x+y+1=0,

\PB\的最小值即為點(diǎn)5(1,0)到尤+y+1=0的距離，

\PB\.==\[2,

1lm,nV2iT—T

(2)若。、以c是成等差數(shù)列，則2b=a+c,

所以直線/：公+刀+。=。即/:2以+(“+。)》+2。=0,

整理得：/:(2x+y)a+(y+2)c=0

2%+y=0%—1/\

所以《△八可得〈C，此時(shí)直線恒過(guò)點(diǎn)”(1,—2),

[y+2=0y=-2

又因?yàn)镻A_L〃HP4J.PA/，

所以點(diǎn)P在以40為直徑的圓上，

因?yàn)锳(—l,0),M(l,-2),所以圓心為(0,-1),半徑r=；J(_]-l)2+(_2_0)2=6,

圓的方程為3+(丁+1)2=2,|P即最大值即為點(diǎn)3(1,0)到圓心(0,-4)的距離再加半徑,

所以|陽(yáng)2=7(1-0)2+(-1-0)2+&=20，

(3)若a、0、c是成等比數(shù)列，則。2=ac，且厲口)，cH(),

將ax+by+c=0兩邊同時(shí)除以b得：—x+j+-=0,

bb

be1

設(shè)一=—=qwO,所以一i+y+4=。，

abq

所以x+qy+q2=0,

設(shè)尸(工,%),A(-l,0)、8(1,0),L=勺」,

x。+iq

，i\

因?yàn)镻A，/,所以心——=-l,可得先=夕(3+1)①,

%+1\q,

又因?yàn)辄c(diǎn)尸在/上，所以Xo+qyo+/=0②,

將①代入②可得%+q2($+l)+/=0，即(l+q2)Xo+2/=0,

2/

所以/=

l+q2

所以PB?=(不一=(%-1)2+"2(%+1)2

,2

1+4)

令l+q2=f>l,q~=t—1

而Zg，『3"2丫(,/2-ZYr+4產(chǎn)一射4

所以PB-=|----+(/-l)----=-----；----=t--+4.

\J、tJtt

4

因?yàn)閥=f一一+4在。,+8)上單調(diào)遞增,

t

44

所以y=t—：+4>l—,+4=1,所以|「身>1,

所以|PB|的取值范圍是(1,+8).

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：若a、。、。是常數(shù)列，則x+y+l=O,|尸邳的最小值即為點(diǎn)8(1,0)到

x+y+l=0的距離，若a、b、c是成等差數(shù)列可得直線I恒過(guò)點(diǎn)“。,一2),可得K4，,點(diǎn)p在以40

bc

為直徑的圓上，利用圓的性質(zhì)即可求最值，第三問(wèn)屬于難題，設(shè)一=7=4工0,已知方程可化為

ab

x+qy+q2=0,夕。0,點(diǎn)P在/上可得

%+縱+鄉(xiāng)2=0利用尸A，/,斜率成積為一1,可得為=4(%+1)，聯(lián)立兩式可得飛=—將

1+如

22

光0=-魯T代入心2=(x0-l)+y0=&-1)2+才(/+1)2可得

-%+/匕冬］，令1+/=/>1,/="1,將刊?2用t表示，求最值即可.

1+如)U+q>

5.(2021?長(zhǎng)寧區(qū)?上海市延安中學(xué)高三期中)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,.

(1)求證：數(shù)列｛二4是等差數(shù)列；

n

(2)若q=l,｛￡｝是公差為1的等差數(shù)列，求使法￡也為整數(shù)的正整數(shù)4的取值集合；

(3)記6“=產(chǎn)(f為大于。的常數(shù))，求證：.+>+……+)

n2

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)｛1,2｝；(3)證明見(jiàn)解析.

【分析】

(1)由S〃=〃4+\"^d,則i=k根據(jù)等差數(shù)列的定義可證.

2n2

(2)由條件可得S.="2,則安沁=(1+爺2),驗(yàn)證％=1,2,3的情況，當(dāng)女..4時(shí)一，0〈學(xué)2<1,

Sk+.Sk+2

可得不是整數(shù),從而得出答案.

(3)先證明數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)和公比均大于0的等比數(shù)列，再證明2+4，其中pM為正整數(shù)，且

p+k=i+n,則由〃(4+")=(偽+2)+(4+2)+…+伯+4)

??魚(yú)+2)+(4+%)+(么+2-2)+…+(2+4)，可證明結(jié)論.

【詳解】

(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為。，

c〃(〃一1).hSn-1.

貝nl|JS“=〃4+-------d,從而一n^=%+----d,

2n2

所以當(dāng)〃..2時(shí)-，&一壬—+，2d)=：,

nn-1I2)\2J2

q

所以數(shù)列｛。｝是等差數(shù)列；

n

(2)因?yàn)?=1,｛底｝是公差為1的等差數(shù)列，所以6=1,

所以底=6+(〃-1)=〃，所以S“=〃2,

所以以S；―L二+2『」(u+公wJ，

顯然左=1,2滿足條件，左=3不滿足條件，

當(dāng)k.4時(shí)，因?yàn)?2-3%—2=%(%—3)—2..4(4—3)—2=2>0,

所以0〈注2<i,所以i<i+生。2<2,故42不是整數(shù)，

kk~~

綜上所述，正整數(shù)k的取值集合是｛1,2｝；

(3)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為4,則%=q+(〃-l)d也=。""，

所以冬=a"-""'=ad(〃..2),

吼.\

所以數(shù)列｛%｝是首項(xiàng)和公比均大于0的等比數(shù)列，設(shè)公比4=a",

卜面證明：bH+仄,其中為正整數(shù)，且。+4=1+〃，

因?yàn)?仇+。)-(%+4)=4+加I-刖"T-偽產(chǎn)=爪/

當(dāng)g>l時(shí)，y=qx為增函數(shù)，因?yàn)椤ㄒ?腳水―10,

所以/T-1廊,直|一10,所以偽+如々+%,

當(dāng)q=l時(shí)，4+以=%+4,

當(dāng)0<9<1是，y=q”為減函數(shù)，因?yàn)椤ㄒ?旗),左一10,

所以“I一掇0/7一1o,所以4+包一%+“，

綜上，有優(yōu)+2-與+為，其中〃,人為正整數(shù)，且〃+左=1+〃，

所以"伯+")=(6+〃,)+(偽+4)+…+(4+")

??M+2)+(4+“T)+(4+2-2)+…+(2+仿)

=(偽+為+…+d)+(d+a-|+…+4)，

所以4+優(yōu)+…+4色

n2

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列與不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是數(shù)列｛2｝是首項(xiàng)和公比均大于0的等比數(shù)列，

再證明出4+2..%+4,其中P,々為正整數(shù)，且P+女=1+〃，利用該結(jié)論可得：

〃(偽+2)=(4+4)+(4+2)+…+(4+〃)一(偽+0”)+(e+2-J+…+(2+偽)，從而可解決問(wèn)題，

屬于中檔題.

6.(2021?上海高三專(zhuān)題練習(xí))已知向量￡=(/+1,—x),B=(1,2&+1)(n為正整數(shù))，函數(shù)/(x)=7況

設(shè)/(x)在(0,+")上取最小值時(shí)的自變量x取值為a?.

(1)求數(shù)列｛。,,｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意正整數(shù)〃，都有勿?(4片-5)=1成立，設(shè)S,為數(shù)列也｝的前"項(xiàng)和，求！山,；

(3)在點(diǎn)列4(1,%),42(2,%)，4(3,6)，…4。，可)…一中是否存在兩點(diǎn)A,，A.(i,j為正

整數(shù))使直線AjA/的斜率為1?若存在，則求出所有的數(shù)對(duì)(j,./)；若不存在，請(qǐng)你寫(xiě)出理由.

2

【答案】(1)an=\Jn+1;(2)；；(3)不存在；答案見(jiàn)解析.

【分析】

(1)由題得/(x)=f一2〃2+民+1,當(dāng)x=J*+i時(shí)函數(shù)取得最小值,所以%=，*+］；

(2)利用裂項(xiàng)相消法求出S“=/(l-斤］)，即得物S“；

i+j1

（3）任取4、4（i、JGN*,ZVJ）,設(shè)所在直線的斜率為即，則為=,-----,<1

即得解.

【詳解】

222

⑴f（x）=a-b=（x+1,-x）-（1,2Vn+l）=/_2y/n+lx+l,

拋物線的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為x=+1>o,開(kāi)口向上，在（0,+。）上，

當(dāng)x=J〃2+i時(shí)函數(shù)取得最小值,所以《,=42+1

]_]_]_j_r_j______i_

(2)b”

4(〃？+l)-54/72-1(2n+l)(2n-l)22n-\2n+\

—H---F------------=—(1---------)

5)(2〃-12n+lJJ22n+l

所以limS“=lim-|1---!—j=—

-8",—8212/z+lJ2

（3）任取4、A,.3、JGN*.i^j）,設(shè)44所在直線的斜率為為,則

,_ai~a,_+1-J/+]=------:/——-I'+，1<1

廣工廠方（一）（爐H+爐可爐Ti+77W

團(tuán)不存在兩點(diǎn)A-4（i，J為正整數(shù)）使直線4A,.的斜率為1.

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：數(shù)列求和常用的方法有：（1）公式法；（2）錯(cuò)位相減法；（3）裂項(xiàng)相消法；（4）分組求和法；（5）

倒序相加法.要根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)特征，靈活選擇合適的方法求和.

7.（2021?上海高三專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系X0Y中，若在曲線G的方程—X，y）=0中，以（尢V,分）

（2為非零的正實(shí)數(shù)）代替（x,y）得到曲線c2的方程網(wǎng)雙心）=0,則稱(chēng)曲線C,、G關(guān)于原點(diǎn)"伸縮"，

變換（X,y）—（於,行）稱(chēng)為"伸縮變換"，九稱(chēng)為伸縮比.

22

（1）已知c的方程為三-寧=1,伸縮比4=2,求G關(guān)于原點(diǎn)"伸縮變換"所得曲線C?的方程；

（2）射線/的方程y=￥%（%>0）,如果橢圓G：金+?=1經(jīng)"伸縮變換”后得到橢圓若射線

/與橢圓G、分別交于兩點(diǎn)A.3,且|A8|=及，求橢圓G的方程；

2

⑶對(duì)拋物線G：y=2/v，作變換（X,y）f（4x，4y）,得拋物線C?：/=2p2x；對(duì)G作變換

（x,y）f得拋物線C,：V=2〃3X，如此進(jìn)行下去，對(duì)拋物線C“：V=2p“x作變換

（x,y）f（4x,&y）,得C,“：y2=2p,.…若p1=i,,求數(shù)列｛外｝的通項(xiàng)公式P..

【答案】⑴豆一》=1；⑵工+丁=1或《+二=1；（3）=231）.

74-369Pn

4

【分析】

22

（1）根據(jù)伸縮變換的定義將工-二=1的x，y分別變?yōu)?x,2y后可得所求的曲線方程.

94

（2）設(shè)伸縮變換比為；I,則可得曲線G的方程，聯(lián)立直線方程和G的方程可求A的坐標(biāo)，同理可求5的

坐標(biāo)，結(jié)合A8的長(zhǎng)度可得之的值.

（3）根據(jù)伸縮變換的定義可得佯=2”,利用累乘法可求｛pj的通項(xiàng)公式.

【詳解】

2

（1）由條件得（2x）__（2）'）~=],得c,：-g-y2=X.

944

⑵團(tuán)。2、G關(guān)于原點(diǎn)"伸縮變換"，對(duì)G作變換（蒼y）t（西,4>）（%>o）,得至UG江+叁==1，

~164

[友/、

y=-x（x>0）（百2百

解方程組，：得點(diǎn)A的坐標(biāo)為--，后一；

X+丁_]I33J

1-1--6--1------4-----1

y=~Yx^x-，迫巫

解方程組《得3點(diǎn)的坐標(biāo)為

A2x2712y2石，石

------+——:

I164

心竹考:+償-用；v=3

2

化簡(jiǎn)后得3下一8丸+4=0,解得4=2,4二耳，

222

因此橢圓C,的方程為工+丁=1或三+匕=1.

4-369

(3)對(duì)Q：>2=2外》作變換(羽｝；)t(4/,40)得拋物線07：(4,y『=2p,4x，得丁=乎%，

4〃

2±L

又回y2=2p“+]X,0p?+i=-y-,即■^=；=2",

A,PnA,

.色■.Pl..Pt.....P_nzl?!」=2-22,23....2"T則Pn-21+2+3+“+(，I)_

PxPl，3Pn-2Pn-\''區(qū)-

回Pi=l，回p“=2；"”,

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(1)依據(jù)定義求出變換后的曲線方程，再結(jié)合題設(shè)條件從而可得參數(shù)的大小或關(guān)系；(2)數(shù)

列通項(xiàng)的求法應(yīng)依據(jù)遞推關(guān)系的形式，如對(duì)形如芻-=/(〃)這樣的遞推關(guān)系，可用累乘法.

an-X

8.(2021?上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校高三開(kāi)學(xué)考試)已知數(shù)列｛%“｝,若對(duì)任意〃eN*，都有“[七"2〉居T成立,

則稱(chēng)數(shù)列｛七｝為"差增數(shù)列

(1)試判斷數(shù)列?！?/(〃€N*)是否為"差增數(shù)列"，并說(shuō)明理由；

(2)若數(shù)列｛4｝為“差增數(shù)列"，且為eN*,a[=a2=\,對(duì)于給定的正整數(shù)m,當(dāng)4=加，項(xiàng)數(shù)k的最

大值為20時(shí)，求m的所有可能取值的集合；

(3)若數(shù)列｛1g怎｝為“差增數(shù)列"，(〃eN*,〃<2020),且吆%+電々+…+電々02。=。，證明：

演010“1011<1

【答案】（1）是；見(jiàn)解析（2）{^|/neN*,172<w<190}；（3）見(jiàn)解析

【分析】

（1）數(shù)列a?="（〃eN*）是“差增數(shù)列".由新定義可知，只要證明/管"2>On+1即可；

（2）由新定義可得對(duì)任意的而N*,。"+2--久恒成立，可令仇=斯+1-%（*1）,運(yùn)用累加法,

結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得為，由于左握19,結(jié)合條件可得m的取值集合；

（3）運(yùn)用反證法證明，假設(shè)X1010X101侖1,由題意可得X1X2...X2O2O=L—.運(yùn)用不等式的性質(zhì)推得

4加

X1OO9X1O12>1，即可得到矛盾，進(jìn)而得證.

【詳解】

解：（1）數(shù)列a,=〃2（〃wN"）是"差增數(shù)列

2222

因?yàn)槿我獾?。團(tuán)N*,都有為+。/2=〃+（n+2）=2n+4n+4=2（n+1）+2>2（n+1）=2an+i>

即出+“"生>。"+1成立,

2

所以數(shù)列an=/（〃eN"）是"差增數(shù)列"；

（2）由已知,對(duì)任意的豳N*,。"+2-〃+1>。"I-何恒成立.

可令仇=〃+1-Gn（應(yīng)1）,則bnBN,且仇<6+1,

又G=m,要使項(xiàng)數(shù)k達(dá)到最大，且最大值為20時(shí)，必須d（l<n<18）最小.

而6=0,故力=1,加=2,bn=n-1.

所以Gn-01-2+...+6一1=0+1+2+...+（H-2）=—（H-1）（，-2）,

2

即當(dāng)1T519時(shí)-，%=1+（〃二!）（“二2）,019=154,因?yàn)閗的最大值為20,

2

所以18<02o-Oi9<18+19,即18<m-154<18+19,

所以m的所有可能取值的集合為{m|l72sm<191,n?BlN*}.

（3）證明:（反證法）假設(shè)MHOXIOUNL由已知可得先（。=1,2,2020）均為正數(shù),KXIX2...X2020=1?---

<9

,Xn+\,Xn+2「3XIO1O-X10ll-11012

而由---<----可得-----<-----<----

XnXn+\玉009^1010再011

即X1010X1011<X1009X1012?所以%1009%1012>1.

X-^1010~009,X1012*1013玉013、.

又----1-0--1-0--=------------?-----------<----------?----------=----------，KnUnX1OO8X1O13>1?

玉008*1009玉008玉011*1012*1011

同理可證X1007X1014>1，…，X1X2O2O>1?

因此X1X2??.X2O2O>1,這與已知矛盾,

所以XioloXlOll^l.

【點(diǎn)睛】

本題考查數(shù)列的新定義的理解和運(yùn)用，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，主要考查化簡(jiǎn)整理的

運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于難題.

9.（2021?上海高三專(zhuān)題練習(xí)）若數(shù)列｛凡｝對(duì)任意連續(xù)三項(xiàng)4,4+/,+2,均有（4一4+2）（4+2-4+1）>0，

則稱(chēng)該數(shù)列為“跳躍數(shù)列

（1）判斷下列兩個(gè)數(shù)列是否是跳躍數(shù)列：

①等差數(shù)列：1,2,3,4,5,…；

②等比數(shù)列：1，一；，：，—三，77…；

24816

（2）若數(shù)列｛對(duì)｝滿足對(duì)任何正整數(shù)〃，均有4+1=6%（4>0）.證明：數(shù)列｛4｝是跳躍數(shù)列的充分必要條

件是0<q<1.

（3）跳躍數(shù)列｛4｝滿足對(duì)任意正整數(shù)〃均有“用=?|"，求首項(xiàng)卬的取值范圍.

【答案】⑴①等差數(shù)列：1,2,3,4,5,...不是跳躍數(shù)列；②等比數(shù)列：1」—」」,...是跳躍數(shù)歹ij.

24816

（2）證明見(jiàn)解析（3）a,e（-2,2）U（3,V21）

【分析】

（1）①數(shù)列通項(xiàng)公式為。“=〃，計(jì)算可得：（6一4+2）（4+2-4+1）=-2<0,所以它不是跳躍數(shù)列；（2）

J9

數(shù)列通項(xiàng)公式為：％，計(jì)算可得：（q_q+2）（4+2_q+J=wx

2

（2）必要性：若4〉1,貝ij｛q｝是單調(diào)遞增數(shù)列，若弓=1,｛a,,｝是常數(shù)列，均不是跳躍數(shù)列；充分性:

用數(shù)學(xué)歸納法證明證明，〃=1命題成立，若〃=無(wú)時(shí)。2*-1<。2*+1>。2*+2>叼女+1，可得：

a2k+2>a2k+4>。2*+3>所以當(dāng)〃=左+1時(shí)命題也成立;

-54—19）（19—q；—5%）,an+2-an

（3）有已知可得：an+2-an+l

=擊（4-2）（可—3）（19—。；—5a“），若%>%,則。向>%+2>%,解得。，一TI；若

/

5+y/wV

%+1<4,則4+1<凡+2<%，解得%e

e，得4G（-2,2）；當(dāng)4，則an+l€（—2,2）,

山％,2,則an+i

得見(jiàn)6卜,亞），問(wèn)題得解.

【詳解】

（1）①等差數(shù)列：1,2,3,4,5,…通項(xiàng)公式為；%=〃

（4-4+2）3+2—4+J=1_（，+2）］P+2_（i+1）］=-2<0

所以此數(shù)列不是跳躍數(shù)列;

②等比數(shù)列：.生，L

2i

???（4-4+2）（4+2-4+1）=I>0

~2

所以此數(shù)列是跳躍數(shù)列

（2）必要性:

若4>1，則｛4｝是單調(diào)遞增數(shù)列，不是跳躍數(shù)列;

若q=l,｛4｝是常數(shù)列，不是跳躍數(shù)列.

充分性：（下面用數(shù)學(xué)歸納法證明）

若0<4<1,則對(duì)任何正整數(shù)〃,均有力”_1<%"+1>。2”+2>。2”+1成立?

a2

①當(dāng)〃=1時(shí)、a2=a}'>=a］,a3=a^<〃J

Q〃2=<1,.'.%=々J>Q；=%,/.a2>a3>ax

Q〃2>。3>。1，「?4的<4的<,。3<%<02，

所以〃=1命題成立

②若〃=%時(shí)，。2&-1<“2A+I<&2k，。2&>a2k+2>〃2人+「

k

則a-<a<aa2k+{<%&+3<〃2&+2,

r2A+l

>a"">cia2k+2>ci2k+4>%*+3，

所以當(dāng)〃=z+l時(shí)命題也成立,

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，可知命題成立，數(shù)列滿足（4一4+2）（4+2-4+1）＞°，

故｛a,,｝是跳躍數(shù)列.

19-*1”〔三J19x25-(19-"

55125

.a&-19x25-(19-a/)19-a：=」_底_5al9)(19-a；-5a.)

■■a-a------------------------125、八”)

ll+2n+i1255

an+2-an=19x25-(19勺)_*_2)(4—3)(19-a；-5%)

〃+/n125IZJ

①若%>an,則an+l>an+2>a?,

*(4；-5%-19)(19-a：-5a,J<0

與3-2)(4-3乂19-a；-5a.)>0

S-VioT

解得4e

②幾%+1<an,則a.+l<an+2<an?

卷（4一5a“一19）（19一a；一5an）>0

《（4-2）（a“一3乂19一片一5%）<0

5+師

,所以a,,w（—2,2）,

''2

5+7101,則a的=12黑1g(一2,2),所以a,4。,e),

若2Z

所以qG(-2,2)U(3,"Q,

此時(shí)對(duì)任何正整數(shù)”，均有4e(-2,2)U(3,V21)

【點(diǎn)睛】

本題考查了與數(shù)列相關(guān)的不等式證明，考查了數(shù)學(xué)歸納法，考查了分類(lèi)與整合思想，屬于難題.

10.(2021?上海徐匯區(qū)?位育中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)對(duì)于任意〃CN*，若數(shù)列｛玉｝滿足加一七>1,則稱(chēng)這個(gè)

數(shù)列為“K數(shù)列

(1)已知數(shù)列：1,Im+11,〃是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)小的取值范圍；

(2)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,當(dāng)首項(xiàng)為與公差d滿足什么條件時(shí)，數(shù)列｛S,,｝是"K數(shù)列”？

(3)設(shè)數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)和為S“，4=1,且2S,川-3S“=2q,”eN*.設(shè)％=而“+(-1)%川，是否

存在實(shí)數(shù)；I,使得數(shù)列｛c,J為"K數(shù)列若存在，求實(shí)數(shù)2的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

53

【答案】(1)加>2或加<一3；(2)q+d>l且d20；(3)2>—.

【詳解】

+>1

(1)由題意可得

m2-|m+l|>1

m>2或祖<—3

???數(shù)列｛Sj是伙數(shù)列〃;

sn+i-sn>i

??an+\>1

回4+>1對(duì)〃eN*恒成立

:.d>0

田q+d>1且dNO

(3)02S?+1-3S?=2?,

I32S”-3S“_i=2a|(〃N2)

國(guó)2a“+|=3a“(〃N2)

122a2=3。］也成立

02an+1=3a?（n>l）

3

0----=彳

an2

3

回?cái)?shù)列｛??｝是公比為一的等比數(shù)列

團(tuán)。］二1

呵=§產(chǎn)

團(tuán)C"=兀（T）"T+（-l）J（m）"

由題意得：C?+1-C?>1,即g：.（|尸+（_1嚴(yán).L>1.

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，/t>2—（|）"T+￡恒成立，2>y;

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，X>2Y2）I-”恒成立，A>-—.

322

53

綜上，2>—.

6

11.（2020?上海奉賢區(qū)?高三一模）已知數(shù)列｛%｝滿足*0恒成立.

（1）若。,￡,+2=妨“+：且。”>0,當(dāng)｛愴%｝成等差數(shù)列時(shí)，求k的值;

⑵若04+2=2。,+；且a,>0,當(dāng)％=1、%=16啦時(shí)，求生以及區(qū),的通項(xiàng)公式；

（3）若44+2=—5?！?1?！?3，4=-1，/￡[4,8],。2020<。，設(shè)S〃是｛〃”｝的前〃項(xiàng)之和，求§2020的最

大值.

【答案】（1）1；（2）4=a,a“=（夜）；（3）-^―

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可求人的值；

”、

（2）分別令遞推公式中的〃=1和〃=2得出兩個(gè)關(guān)系式，結(jié)合4=1、/=160即可求。2,再求出,

I凡J

是等比數(shù)列求出其通項(xiàng)，再利用累乘法即可求的通項(xiàng)公式；

（3）利用分組求和可得%20=（%+。2+。3+%）（1+4+42+…+40M）,結(jié)合a2a4=2%，%€[4,8],

求出利用基本不等式求4+%+%+%最大值，即可求出S2020的最大值.

【詳解】

⑴若44+2=。+：且。">°，

所以lga”a"+2=lgka**3即>g??+館4+2=1g%+21gan+l,

當(dāng)｛Iga,,｝成等差數(shù)列時(shí)，lga"+lga?+2=21g??+1,

所以lgk=0,解得：k=l；

⑵64+2=2a,；,

2

令〃=1可得a1/=2a2,即/=2a^,

令刀=2可得a2a4=2a；,即16心生=2%2

所以16缶2=2x4%：因?yàn)??！?gt;0,所以2a=%3,解得4=亞,

由冊(cè)冊(cè)+2=2%+：可得卜=2T,

Un+\