向量公式與經(jīng)經(jīng)典習(xí)題

向量公式1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度等于0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)3.向量的數(shù)乘運算及其幾何意義(1)定義：實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫向量的數(shù)乘，記作λa，它的長度與方向規(guī)定如下：①|(zhì)λa|＝|λ||a|；②當(dāng)λ＞0時，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0.(2)運算律：設(shè)λ，μ是兩個實數(shù)，則①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa.5平面向量坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).6平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時，向量a，b共線．7兩個向量的夾角已知兩個非零向量a和b(如圖)，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a與b的夾角，當(dāng)θ＝0°時，a與b同向；當(dāng)θ＝180°時，a與b反向；如果a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.8兩個向量的數(shù)量積的定義已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.9向量數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的數(shù)量積．10數(shù)量積的性質(zhì)、b都是非零向量，e是單位向量，θ為a與b(或e)的夾角．則(1)e·a＝a·e＝|a|cosθ；(2)a⊥b?a·b＝0；(3)當(dāng)a與b同向時，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時，a·b＝－|a||b|，特別的，a·a＝|a|2或者|a|＝eq\r(a·a)；(4)cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；(5)|a·b|≤|a||b|.11向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.12平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a與b的夾角為θ，則(1)a·b＝x1x2＋y1y2；(2)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))；(3)cos〈a，b〉＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))；(4)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.13若A(x1，y1)，B(x2，y2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，則|a|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)(平面內(nèi)兩點間的距離公式)．1．已知|a|＝3，|b|＝2，若a·b＝－3，則a與b的夾角為()．A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,4)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)2．若向量a，b，c滿足a∥b，且a⊥c，則c·(a＋2b)＝()．A．4B．3C．2D．03.已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，則a與b的夾角為________．4.已知是夾角為的兩個單位向量，若，則k的值為5.已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a與b的夾角θ；(2)求|a＋b|和|a－b|.6.已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的值；(2)若a∥b，求|a－b|.7．設(shè)向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)若tanαtanβ＝16，求證：a∥b.練習(xí)1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,1)，c＝(4,2)，則c＝()．A．3a＋bB．3a－bC．－a＋3bD．a(chǎn)＋3b2．已知向量，若，則＝（）A．B．C．D．3．已知向量的夾角為60°且，則的值為() A.10B.C.7D.494．若，，與的夾角為，則等于（）A． B． C． D．5．已知=（5，-3），C（-1，3），=2，則點D的坐標(biāo)為A．（11，9）B．（4，0）C．（9，3）D．（9，-3）6．已知向量=(3,4),=(sinα,cosα),且∥，則tanα=A.B.－C.D.－7.已知，，且，，則點C的坐標(biāo)為（）A．B．C．D．8已知向量a、b滿足：|a|=2，|b|=2，|a－b|=2，則|a+b|=A．B．C． D．9．已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°，c=2a+3b,d=ka-b(k∈R)，且c⊥d，那么k的值為()A.-6B.6C.D.10.，，，且，則向量的夾角為A．30°B．60°C．120°D．150°11.已知向量與都是單位向量，它們的夾角為且，則實數(shù)A.B. C.D.或12.設(shè)向量，則下列結(jié)論中正確的是A. B. C.垂直 D.13.已知向量、滿足，則A.0B.C.4D.814.已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝()．A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))15.已知向量，若，則________。16.已知向量，且，則▲．17.已知向量與的夾角為，且，，，則=.18．若,,若，則向量與的夾角為▲．19.已知，，則與的夾角為.20.若向量，滿足且與的夾角為，則21.已知非零向量a、b，若a＋2b與a－2b互相垂直，則22.已知=1，=2，與的夾角為60°。（1）求：，（）·（）；（2）求：。23.已知：向量，且。（1）求實數(shù)的值；（2）當(dāng)與平行時，求實數(shù)的值。24.已知向量，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的值.25.已知向量，，（=1\*ROMANI）若∥，求的值；（=2\*ROMANII）若，求的值。26．已知向量，．(1)若∥，求實數(shù)k的值；(2)若，求實數(shù)的值；27.平面上有點A（2，–1），B（1,4）D（4，–3）三點，點C在直線AB上；⑴計算;⑵若,連接DC