初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)和勾股定理及其證明“百校聯(lián)賽”一等獎(jiǎng)

章前引言和勾股定理及其證明

在古漢語(yǔ)里，人們將手臂彎曲成直角，上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.在直角三角形中，一般的,我們把較短的直角邊叫做“勾”，較長(zhǎng)的直角邊叫做“股”，斜邊叫做“弦”.

你知道“勾三、股四，弦五”的字義嗎？何謂“勾、股”呢？問題2：某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來6.5米長(zhǎng)的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請(qǐng)問消防隊(duì)能否進(jìn)入三樓滅火?問題3：18.1勾股定理（一）

數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯的故事：A、B、C的面積有什么關(guān)系？等腰直角三角形三邊有什么關(guān)系？SA+SB=SC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。ABC

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？

探究一1對(duì)于等腰直角三角形有這樣的性質(zhì)：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方abc那么對(duì)于一般的直角三角形是否也有這樣的性質(zhì)呢？ABCA的面積(單位長(zhǎng)度)B的面積(單位長(zhǎng)度)C的面積(單位長(zhǎng)度)圖2圖3A、B、C面積關(guān)系直角三角形三邊關(guān)系圖2圖3491392534sA+sB=sC兩直角邊的平方和等于斜邊的平方ABC探究二：你會(huì)求出下列正方形的面積嗎？（圖中每個(gè)小方格代表一個(gè)單位面積）┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

猜想：（命題）趙爽的“弦圖”

早在公元3世紀(jì)，我國(guó)數(shù)學(xué)家趙爽就用左邊的圖形驗(yàn)證了“勾股定理”證明方法（一）abcabcbcabca證明方法（二）畢達(dá)哥拉斯的證法:證明演示按鈕伽菲爾德證法:aabbcc

s梯形=(a+b)(a+b)=(a2+2ab+b2)=a2+ab+b2s梯形=2×ab+c2=ab+c2∵s梯形=s梯形∴a2+ab+b2=ab+c2

∴a2+b2=c21876年4月1日，伽菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的這一證法。1881年，伽菲爾德就任美國(guó)第20任總統(tǒng)。后來，人們?yōu)榱思o(jì)念他對(duì)勾股定理直觀、簡(jiǎn)捷、易懂、明了的證明，就把這一證法稱為“總統(tǒng)證法”。證明方法（三）ABCDE

定理：經(jīng)過證明被確認(rèn)為正確的命題叫做定理。

勾股定理：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為、，斜邊為，那么。如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，則abc知識(shí)擴(kuò)展：（勾股數(shù)）5，12，13；9，40，41。常用的勾股數(shù)有：3，4，5；7，24，25；3、若是一組基本的勾股數(shù)，則a,b,c不能同時(shí)為奇數(shù)或同時(shí)為偶數(shù)。4、一組勾股數(shù)中必有一個(gè)數(shù)是5的倍數(shù)。1、我們把滿足于的正整數(shù)稱為基本勾股數(shù)。2、如果是一組勾股數(shù)，則（k為正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)，如：6、8、10；9、12、18……

例1：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a.(1)、若a=2,b=4,求c.解：∵在△ABC中，∠C=90°a=2,b=3

∴c2=a2+b2

=22+42

=20

∴c=√20=2√5(舍負(fù)值)解：∵在△ABC中，∠C=90°b=√2,c=3

∴a2=c2﹣b2

=32–(√2)2

=7

∴a=√7(舍負(fù)值）(2)若b=√2,c=3,求a勾股常識(shí)某樓房三樓失火，消防隊(duì)員趕來救火，了解到每層樓高3米，消防隊(duì)員取來6.5米長(zhǎng)的云梯，如果梯子的底部離墻基的距離是2.5米，請(qǐng)問消防隊(duì)能否進(jìn)入三樓滅火?ABC6米2.5米？3米6.5米勾股常識(shí)１、本節(jié)課我們經(jīng)歷了怎樣的過程？

經(jīng)歷了從實(shí)際問題引入數(shù)學(xué)問題然后發(fā)現(xiàn)定理，再到探索定理，最后學(xué)會(huì)驗(yàn)證定理及應(yīng)用定理解決實(shí)際問題的過程。２、本節(jié)課我們學(xué)到了什么？(2)勾股定理適用于任何形狀的直角三角形,在直角三角形中,已知任意兩邊的長(zhǎng)都可以求出第三邊的長(zhǎng)。

(1)勾股定理：課堂小結(jié)：作業(yè)布置：作業(yè)本：習(xí)題18.13、5家庭作業(yè)：習(xí)題18.11、2、5結(jié)束寄語(yǔ)悟性的高低取決于有無悟“心”,其實(shí),人與人的差別就在于你是否去思考,去發(fā)現(xiàn)下課了!

在西方人們認(rèn)為勾股定理是畢達(dá)哥拉斯先發(fā)現(xiàn)的，并稱之為“畢達(dá)哥拉斯定理”。不過早在公元前1120年左右中國(guó)的商高就在對(duì)話中說到：“故折矩，此為勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！蹦憧赡苷J(rèn)為這是最早的勾股定理，但是具調(diào)查在公元前1900年的一塊巴比倫上午泥板中，記載了15組勾股數(shù)。所以古巴比倫人才是勾股定理最先的發(fā)現(xiàn)人。勾股定理究竟是誰(shuí)先發(fā)現(xiàn)的？退出

兩千多年前，古希臘有個(gè)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念票。定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955勾股世界國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前，國(guó)家之一。早在三千多年前

兩千多年前，古希臘有個(gè)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國(guó)外人們通常稱勾股定理為畢達(dá)哥拉斯定理。為了紀(jì)念畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀(jì)念郵票。

我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一。早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出，將一根直尺折成一個(gè)直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中。退出勾股定理外星人

在人類在尋找“外星人”時(shí)，碰到個(gè)難題；一旦遇到“外星人”該怎么與他們交談？顯然用人類的語(yǔ)言文字音樂是不行的。數(shù)學(xué)家華羅庚建議，用一幅數(shù)形關(guān)系作為與“外星人”交談的語(yǔ)言。這幅圖中有