專題11三角全章復習（12個考點）強化訓練（原卷版）

專題11三角全章復習（12個考點）強化訓練考點一．象限角、軸線角在直角坐標系內討論角（1）象限角：角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，那么角的終邊在第幾象限，就認為這個角是第幾象限角．（2）若角的終邊在坐標軸上，就認為這個角不屬于任何一個象限．（3）所有與角α終邊相同的角連同角α在內，可構成一個集合S＝{β|β＝α+k?360°，k∈Z}．【解題方法點撥】（1）注意易混概念的區(qū)別：第一象限角、銳角、小于90°的角是概念不同的三類角，第一類是象限角，第二類、第三類是區(qū)間角．（2）角度制與弧度制可利用180°＝πrad進行互化，在同一個式子中，采用的度量制度必須一致，不可混用．（3）注意熟記0°～360°間特殊角的弧度表示，以方便解題．考點二．任意角的三角函數的定義任意角的三角函數1定義：設α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P（x，y），那么sinα＝y(tǒng)，cosα＝x，tanα＝．2．幾何表示：三角函數線可以看作是三角函數的幾何表示，正弦線的起點都在x軸上，余弦線的起點都是原點，正切線的起點都是（1，0）．【解題方法點撥】利用三角函數的定義求三角函數值的方法利用三角函數的定義，求一個角的三角函數值，需確定三個量：（1）角的終邊上任意一個異于原點的點的橫坐標x；（2）縱坐標y；（3）該點到原點的距離r．若題目中已知角的終邊在一條直線上，此時注意在終邊上任取一點有兩種情況（點所在象限不同）．考點三．三角函數值的符號三角函數值符號記憶口訣記憶技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦（為正）．即第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．考點四．運用誘導公式化簡求值利用誘導公式化簡求值的思路1．“負化正”，運用公式三將任意負角的三角函數化為任意正角的三角函數．2．“大化小”，利用公式一將大于360°的角的三角函數化為0°到360°的三角函數，利用公式二將大于180°的角的三角函數化為0°到180°的三角函數．3．“小化銳”，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數．4．“銳求值”，得到0°到90°的三角函數后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由計算器求得．考點五．同角三角函數間的基本關系1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：＝tanα．2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．【解題方法點撥】誘導公式記憶口訣：對于角“±α”（k∈Z）的三角函數記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當k為奇數時，正弦變余弦，余弦變正弦；當k為偶數時，函數名不變”．“符號看象限”是指“在α的三角函數值前面加上當α為銳角時，原函數值的符號”．考點六．三角函數恒等式的證明三角函數恒等式：1．同角三角函數的基本關系（1）平方關系：sin2α+cos2α＝1．（2）商數關系：＝tanα．2．誘導公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（2π﹣α）＝﹣sinα，cos（2π﹣α）＝cosα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）═﹣sinα3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．考點七．兩角和與差的三角函數（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．考點八．二倍角的三角函數二倍角的正弦其實屬于正弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實屬于余弦函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實屬于正切函數和差化積里面的一個特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α＝．對于這個公式要求是能夠正確的運用其求值化簡即可．考點九．半角的三角函數半角的三角函數關系主要是指正切函數與正余弦函數之間的關系（正余弦的半角關系其實就是二倍角關系），其公式為：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．考點十．三角函數的恒等變換及化簡求值三角函數的恒等變化主要是指自變量x數值比較大時，如何轉化成我們常見的數值比較小的而且相等的三角函數，主要的方法就是運用它們的周期性．公式①正弦函數有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（+x）＝sin（﹣x）＝cosx②余弦函數有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（﹣x）＝sinx③正切函數有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（﹣x）＝cotx，④余切函數有y＝cot（﹣x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．考點十一．正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數一解兩解一解一解由上表可知，當A為銳角時，a＜bsinA，無解．當A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內切圓半徑）．【解題方法點撥】正余弦定理的應用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應用中有著廣泛的應用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關鍵在于明確：①測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離問題，一般可轉化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運用正弦定理解決；②測量兩個不可到達的點之間的距離問題，首先把求不可到達的兩點之間的距離轉化為應用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉化為測量可到達的一點與不可到達的一點之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達的建筑物的高度問題，由于底部不可到達，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達的點之間的距離，然后轉化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關長度和仰、俯角等構成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內，視線與水平線的夾角．當視線在水平線之上時，成為仰角；當視線在水平線之下時，稱為俯角．考法十二．解三角形1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉到目標的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝一．任意角的三角函數的定義（共9小題）1．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知角的終邊過點，，則角的余弦值為．2．（2023春?長寧區(qū)期末）已知角的終邊經過點，則角的正弦值是．3．（2023春?寶山區(qū)期末）在平面直角坐標系中，銳角的大小如圖所示，則．4．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）若角的終邊經過點，則實數的值為．5．（2023春?虹口區(qū)校級期中）設為實數，點為角的終邊上一點，且，則．6．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，已知任意角以坐標原點為頂點，軸的非負半軸為始邊，若終點經過點，，且，定義：，稱“”為“正余弦函數”，對于“正余弦函數”，有同學得到以下性質，其中正確的是．（填上所有正確的序號）①該函數的值域為；②該函數的圖象關于原點對稱；③該函數的圖象關于直線對稱；④該函數為周期函數，且最小正周期為．7．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）在平面直角坐標系中，若角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊與以點為圓心的圓交于點，則．8．（2023春?靜安區(qū)校級期中）角的頂點在直角坐標系的原點，始邊與軸的正半軸重合，點是角終邊上一點，若，則．9．（2023秋?奉賢區(qū)期末）已知平面直角坐標系中，角的頂點與坐標原點重合，角始邊與軸的正半軸重合，終邊與一次函數的圖像交于點．（1）當時，求的值；（2）若，求點的坐標．二．三角函數值的符號（共3小題）10．（2023春?浦東新區(qū)期中）已知點在第四象限，則角的終邊在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．（2023春?寶山區(qū)校級月考）設是第三象限角，則下列函數值一定為負數的是A． B． C． D．12．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知，，則角的終邊在第象限．三．運用誘導公式化簡求值（共6小題）13．（2023秋?虹口區(qū)期末）若是任意實數，則A． B． C． D．14．（2023春?黃浦區(qū)校級期末）與一定相等的是A． B． C． D．15．（2023春?金山區(qū)校級月考）已知，則的值為．16．（2023春?黃浦區(qū)期末）若，則．17．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知．（1）求；（2）若角為第二象限角，且，求的值．18．（2023春?寶山區(qū)校級月考）已知，求下列各式的值：（1）若不是第二象限角，求的值；（2）求的值．四．同角三角函數間的基本關系（共8小題）19．（2023秋?徐匯區(qū)校級期中）是成立的A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分也非必要條件20．（2023春?青浦區(qū)校級月考）已知，且，其中，則關于的值，在以下四個答案中，可能正確的是A． B． C． D．221．（2023秋?寶山區(qū)期末）已知，則．22．（2023春?浦東新區(qū)校級期中）在等腰三角形中，已知頂角的余弦值是，則底角的余弦值是．23．（2023春?寶山區(qū)校級月考）已知，，則．24．（2023春?嘉定區(qū)校級期中）已知，則的值等于．25．（2023春?奉賢區(qū)校級期中）已知．（1）求的值；（2）求的值．26．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）已知，計算下列各式的值．（1）；（2）．五．三角函數恒等式的證明（共2小題）27．（2023春?浦東新區(qū)校級月考）證明：．28．（2023春?青浦區(qū)校級月考）（1）化簡：．（2）證明恒等式：．六．兩角和與差的三角函數（共5小題）29．（2023春?閔行區(qū)校級期中）的值為．30．（2023春?松江區(qū)校級月考）已知，，且，則．31．（2023春?奉賢區(qū)校級期末）已知函數，對于任意，都有成立，則．32．（2023春?寶山區(qū)期末）已知，點是平面上一個動點，則當由0連續(xù)變到時，線段掃過的面積是．33．（2023春?寶山區(qū)校級月考）已知，，是三個銳角，則，，中，大于的數至多有個A．0 B．1 C．2 D．3七．二倍角的三角函數（共4小題）34．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）已知，則．35．（2023春?金山區(qū)校級月考）已知，則．36．（2023春?青浦區(qū)校級期中）已知，且有，則．37．（2023春?閔行區(qū)期末）在平面直角坐標系中，角的終邊與角的終邊關于軸對稱．若，則．八．半角的三角函數（共1小題）38．（2023春?靜安區(qū)校級月考）已知且，則．九．三角函數的恒等變換及化簡求值（共5小題）39．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）若，則．40．（2023春?寶山區(qū)校級月考）若，則的值為A． B． C． D．41．（2023春?嘉定區(qū)校級期末）當時，化簡的結果是A． B． C． D．42．（2023春?靜安區(qū)校級月考）若，則的值為A．0 B．1 C．2 D．43．（2023春?金山區(qū)校級月考）已知，求：（1）化簡；（2）求的值．一十．正弦定理（共5小題）44．（2023春?浦東新區(qū)校級期末）在三角形中，，，，則A． B． C．或 D．或45．（2023春?虹口區(qū)校級期中）在中，，則的取值范圍是A． B． C． D．46．（2023春?青羊區(qū)校級月考）在中，內角，，的對邊分別為，，，若，，則的外接圓的面積為A． B． C． D．47．（2023春?徐匯區(qū)校級期中）在銳角中，內角，，所對應的邊分別是，，，且，則的取值范圍是．48．（2023春?嘉定區(qū)校級期中）（1）已知在中，，求；（2）在中，，求、．一十一．余弦定理（共3小題）49．（2023春?松江區(qū)校級月考）在中，，，分別是角，，的對邊，若，則的值為A．2021 B．2022 C．2023 D．202450．（2023春?長寧區(qū)校級期中）隨著生活水平的不斷提高，人們更加關注健康，重視鍛煉．通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領健康生活的一道亮麗風景線．如圖，為某區(qū)的一條健康步道，、為線段，是以為直徑的半圓，，，．（1）求的長度；（2）為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現計劃新建健康步道，在兩側），其中，為線段．若，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少長度？（精確到51．（2023春?嘉定區(qū)校級期中）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點處下山至處有兩種路徑．一種是從沿直線步行到，另一種是先從沿索道乘纜車到，然后從沿直線步行到．現有甲、乙兩位游客從處下山，甲沿勻速步行，速度為．在甲出發(fā)后，乙從乘纜車到，在處停留后，再從勻速步行到．假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經測量，，．（1）求索道的長；（2）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？（3）為使兩位游客在處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內？一十二．解三角形（共4小題）52．（2023春?松江區(qū)校級月考）小明同學為了估算位于哈爾濱的索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物，高為，在它們之間的地面上的