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文檔簡(jiǎn)介
考點(diǎn)01二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
知識(shí)框架
'二次函數(shù)的概念
二次函數(shù)y=o?*0)的圖像和性質(zhì)
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)4二次函數(shù)y=a(x-工0)的圖像和性質(zhì)
二次函數(shù)y=ar2+bx+c(a/0)的圖像和性質(zhì)
二次函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)
.二次函數(shù)的定義
二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(頂點(diǎn)、對(duì)稱軸、最值、比大小等)
利用二次函數(shù)的軸對(duì)稱性解題
重難點(diǎn)題型,二次函數(shù)的平移
求二次函數(shù)的解析式
拋物線與一次函數(shù)的圖象問題
利用二次函數(shù)圖像確定系數(shù)的符號(hào)
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
知識(shí)點(diǎn)2.1二次函數(shù)的概念
1)形如y=ax2+fer+c(存0)的函數(shù)叫作二次函數(shù)。
注:①a、b、c為常數(shù),且aWO,即二次項(xiàng)必須有,一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)可以沒有
②二次函數(shù)為函數(shù)的一種,滿足函數(shù)的所有性質(zhì)。即自變量尤有且僅有唯一應(yīng)變量y與之對(duì)應(yīng)。
1.(2021?安徽九年級(jí)月考)以x為自變量的函數(shù):①y=(x+2)(x-2);②y=(x+2)2;③y=1+2光一3/;
@y=x2-x(x-l).是二次函數(shù)的有()
A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷.
【詳解】解:①y=(x+2)(x—2)=/一4,符合二次函數(shù)的定義,故①是二次函數(shù);
②y=(x+2)2,符合二次函數(shù)的定義,故②是二次函數(shù):
③y=l+2x—3d,符合二次函數(shù)的定義,故②是二次函數(shù);
④_%=_%,不符合二次函數(shù)的定義,故④不是二次函數(shù).
所以,是二次函數(shù)的有①②③,故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次二次函數(shù)的定義,熟記概念是解題的關(guān)鍵.
2.(2021?四川成都市?成都實(shí)外九年級(jí)期末)下列關(guān)于X的函數(shù)一定為二次函數(shù)的是()
A.y=2x+lB.y--5x2-3C.y-ax2+bx+cD.y=x'+x+l
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義分析判斷即可.
【詳解】解:A、y=2x+l是一次函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤:
B、y=-5/—3一定是二次函數(shù),故本選項(xiàng)正確;
C、y=ax2+bx+c,當(dāng)a=0時(shí),是一次函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
D、y=V+x+l是三次函數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義:形如y=a/+bx+c(a、b、c是常數(shù),且aRO)的函數(shù)是x的二次函
數(shù),牢記此定義是解題的關(guān)鍵.
3.(2021?廣東九年級(jí)專題練習(xí))若函數(shù)了=(1+〃。/八2吁1是關(guān)于》的二次函數(shù),則機(jī)的值是()
A.2B.-1或3C.3D.-1+72
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出方程與不等式即可得解.
【詳解】?.?函數(shù)),=(1+m)%病-2"1是關(guān)于x的二次函數(shù),.?.m2_2m一1=2,且1+加工0,
由—2〃?—1=2得,m=3或,〃=—1,由l+。得,〃/H—1,的值是3,故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義、解一元一次不等式、解一元二次方程等知識(shí),解答本題的關(guān)鍵是根
據(jù)二次函數(shù)的定義列出方程與不等式.
4.(2021?湖南婁底市?九年級(jí)期末)當(dāng)函數(shù)y=(a—l)£"+2x+3是二次函數(shù)時(shí),。的取值為()
A.a=1B.6(=±1C.awlD.a——\
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義去列式求解計(jì)算即可.
【詳解】?.?函數(shù)y=(a—l)x/7+2x+3是二次函數(shù),
2
/.a-1/0,a+1=2,.".a#l,/=],/.a——1,故選D.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義,熟記二次函數(shù)的定義并靈活列式計(jì)算是解題的關(guān)鍵.
知識(shí)點(diǎn)2-2二次函數(shù)產(chǎn)a尤2的圖象和性質(zhì)
1)y=a?(“wo,〃=(),c=O,即一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)皆為0)的圖形如下:
②開口:67>0,開口向上;6/<0,開口向下
③頂點(diǎn):原點(diǎn)(0,0),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為函數(shù)最大值或最小值(由4的正負(fù)決定)
④對(duì)稱軸:關(guān)于y軸對(duì)稱,即關(guān)于40對(duì)稱
⑤開口大?。簗a|越大,開口越小,即上升或下降越快
⑥增減性:a>0時(shí),當(dāng)xVO時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x>0時(shí),了隨x的增大而增大。
。<0時(shí),當(dāng)x<0時(shí),),隨x的增大而增大;當(dāng)x>0時(shí),y隨x的減小而減小。
注:①關(guān)于y軸對(duì)稱的前提條件是:函數(shù)定義域關(guān)于y軸對(duì)稱;
②拋物線圖形的性質(zhì)都與頂點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)系,頂點(diǎn)坐標(biāo)需要牢記,其他性質(zhì)通過畫草圖來分析,理解記憶。
1.(2021?江蘇鹽城市?九年級(jí)期末)若二次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點(diǎn)尸(_3,9),則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)()
A.(3,9)B.(-3,-9)C.(-9,3)D.(9,-3)
【答案】A
【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為y軸,再根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性解答.
【詳解】解:?.?二次函數(shù)y=ax2的對(duì)稱軸為y軸,
,若圖象經(jīng)過點(diǎn)P(-3,9),則該圖象必經(jīng)過點(diǎn)(3,9).故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查/二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,主要利用「二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性,確定出函數(shù)圖象
的對(duì)稱軸為y軸是解題的關(guān)鍵.
2.(2021?江蘇淮安市?九年級(jí)期末)拋物線y=-f的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.
4
【答案】(0,0)
【分析】由拋物線的頂點(diǎn)式:y=52,可得頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0),從而可得答案.
【詳解】解:拋物線y=的頂點(diǎn)坐標(biāo)是:(0,0).故答案為:(0,0).
【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線y=公2(a豐0)的性質(zhì),掌握拋物線y=ax2(a^0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)
鍵.
3.(2021?北京九年級(jí)專題練習(xí))下列關(guān)于二次函數(shù)y=2/的說法正確的是()
A.它的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,2)B.它的圖象的對(duì)稱軸是直線x=2
C.當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小D.當(dāng)戶0時(shí),y有最大值為0
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷.
【詳解】解:A、當(dāng)x=0時(shí),尸0幽,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、它的圖象的對(duì)稱軸是直線x=0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小,當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而增大,故此選項(xiàng)正確;
D、當(dāng)產(chǎn)0時(shí),y有最小值是0,故此選項(xiàng)錯(cuò)誤;故選:C.
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
4.(2021?古浪縣第四中學(xué)九年級(jí)月考)拋物線y=2x2,y--2x2,y=/x?的共同性質(zhì)是()
A.開口向上B.對(duì)稱軸是y軸C.都有最高點(diǎn)D.y隨x的增大而增大
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題.
【詳解】拋物線y=2x2,y=;x2開口向上,對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是y軸,有最低點(diǎn),在y軸的右側(cè),y隨x
的增大而增大,y=-2x2,開口向下,對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是y軸,有最高點(diǎn),在y軸的左側(cè),y隨x的增大而
增大,故拋物線y=2x2,y=-2x2,y=;x2的共同性質(zhì)是對(duì)稱軸是y軸,故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì),是重要考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
5.(2021?浙江九年級(jí)期末)已知二次函數(shù)y=a(x-m)2(a<0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(-1,〃),5(3,幻,若P<q,
則m的值可能是()
l5
A.-2B.-J2C.0D.-
一2
【答案】D
【分析】二次函數(shù)產(chǎn)a(x-m)2(?<0)開口向下,對(duì)稱軸為直線產(chǎn)"?,根據(jù)拋物線上的點(diǎn)與直線的距
離越小對(duì)應(yīng)的y值就越大即可得到m的取值范圍.
【詳解】解:???)="2.?.拋物線開口向下,對(duì)稱軸為直線
當(dāng)拋物線上的點(diǎn)與直線廣〃?的距離越小,對(duì)應(yīng)的y值就越大,
A(-1,p),B(3,4),且p<4,點(diǎn)到直線k的距離小于A點(diǎn)到直線廣加的距離,
m>3,或/n+l>3-/n,解得m>1,而只有一>1,故選:D.
2
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.
6.(2021?福建龍巖市?九年級(jí)期末)已知拋物線曠="2與^=2/的形狀相同,則。=.
【答案】±2
【分析】?jī)蓷l拋物線的形狀相同,即二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等,據(jù)此求解即可.
【詳解】解:..?拋物線y=ax2與y=2x2的形狀相同,.MaH,;.a=±2.故答案為±2.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì),用到的知識(shí)點(diǎn):兩條拋物線的形狀相同,即二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等.
7.(2021?吉林白山市?九年級(jí)期末)己知二次函數(shù)y=(m-3)x2的圖象開口向下,則m的取值范圍是一
【答案】m<3
【分析】根據(jù)圖象的開口方向得到m-3<0,從而確定m的取值范圍.
【詳解】解:二次函數(shù)y=(m-3)x2的圖象開口向下,,m-3<0,故答案為:m<3.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),二次項(xiàng)系數(shù)決定了開口方向,大于零開口向上,小于零開口向下.
8.(2021?全國(guó)九年級(jí)課時(shí)練習(xí))在同一直角坐標(biāo)系中,畫出下列二次函數(shù)的圖象:
1,1,c1,c
y=—%-,y=—x+2,y-—x~-2.
222
【答案】見解析
【分析】利用描點(diǎn)法可畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象.
【詳解】解:列表:
X202
v=—X2202
2
y=#+2424
2
V=^-X-20_20
)2
描點(diǎn):見表中的數(shù)據(jù)作為點(diǎn)的坐標(biāo),在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn);
連線:用平滑的線連接,如圖所示:
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的畫法,掌握基本的描點(diǎn)法作函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.
9.(2020?河北張家口市?九年級(jí)期中)已知函數(shù))=(k-2)XMTR+5是關(guān)于x的二次函數(shù),求:
(1)滿足條件的火的值;(2)當(dāng)k為何值時(shí),拋物線有最高點(diǎn)?求出這個(gè)最高點(diǎn),這時(shí),x為何值時(shí),y隨
x的增大而增大?(3)當(dāng)《為何值時(shí),函數(shù)有最小值?最小值是多少?這時(shí),當(dāng)x為何值時(shí),y與x的增大
而減???
【答案】(1)尢=1,與=3;(2)k=l,最高點(diǎn)為(0,0),當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而增大;(3)k=3,
最小值為0,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小.
【分析】(1)由于函數(shù)是二次函數(shù),所以x的次數(shù)為2,且系數(shù)不為0,即可求得滿足條件的k的值;
(2)拋物線有最高點(diǎn),所以開口向下,系數(shù)小于0,再根據(jù)(1)中k的值即可確定滿足條件的值,再根據(jù)
:次函數(shù)性質(zhì)即可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:(3)函數(shù)有最小值,則開口向上,然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最
小值,即可知函數(shù)單調(diào)區(qū)間.
【詳解】解:(1)?.?函數(shù)y=U-2)%'4%+5是關(guān)于x的二次函數(shù),
滿足廿-4左+5=2,且卜2和,.?.解得:匕=1,火2=3;
(2);拋物線有最高點(diǎn),,圖象開口向下,即%-2<0,結(jié)合(1)所得,;M=1,
???最高點(diǎn)為(0,0),當(dāng)x<0時(shí);y隨x的增大而增大.
(3)???函數(shù)有最小值,.?.圖象開口向上,即k-2>0,
二%=3,...最小值為0,當(dāng)x<0時(shí),y隨x的增大而減小.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義、待定系數(shù)法求解析式、解一元二次方程以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì);
解決本題的關(guān)犍在于知道二次函數(shù)的表達(dá)形式,用待定系數(shù)法求解析式,熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì).
知識(shí)點(diǎn)2-3二次函數(shù)y=a(尤-蜘+左(存0)的性質(zhì)
1)二次函數(shù)T五+bx+c(存0)過配方,可得y=a(x—0)2+左(分0)的形式
②開口:a>0,開口向上;(7<0,開口向下
③頂點(diǎn):(力,k),頂點(diǎn)縱坐標(biāo)產(chǎn)上為函數(shù)最值(最大值或最小值)
④對(duì)稱軸:關(guān)于戶/?對(duì)稱
⑤開口大?。簗。|越大,開口越小
⑥增減性:。>0時(shí),當(dāng)x</z時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大。
〃<0時(shí),,當(dāng)時(shí)、y隨x的增大而增大;當(dāng)時(shí),y隨x的減小而減小。
⑦關(guān)系:當(dāng)?shù)?0,"0時(shí),y=a{x—h)2+k(存0)即為丫=卬?(a/0)形式
即:通過平移),=O?Q和)可得到y(tǒng)=q(x—〃)2+左(在0)(形狀不變,開口不變)
在圖形平移過程中,可以通過特殊點(diǎn)(如頂點(diǎn))分析平移過程:向左或右平移同,向上或下平移同。其中,
“左加右減,上加下減”。
1.(2021?江蘇九年級(jí)一模)二次函數(shù)y=(x+l)2-2的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()
A.(1,-2)B.(1,2)C.(―1,—2)D.(—1,2)
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),由頂點(diǎn)式直接得出頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】解:???拋物線產(chǎn)(x+l)2-2,.?.拋物線),=(x+l)2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(-1,-2),故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),二次函數(shù)的頂點(diǎn)式為y=a(x-左)2+〃,則拋物線的對(duì)稱
軸為宜線x=Z,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(攵,h).
2.(2021?浙江紹興市?中考真題)關(guān)于二次函數(shù)y=2(x-4)2+6的最大值或最小值,下列說法正確的是()
A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=2(x-4y+6的解析式,得到。的值為2,圖象開口向上,函數(shù)有最小值,根據(jù)
定點(diǎn)坐標(biāo)(4,6),即可得出函數(shù)的最小值.
【詳解】解:???在二次函數(shù)y=2(x-4)2+6中,“=2>0,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,6),
.??函數(shù)有最小值為6.故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題,關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定a的符號(hào)和根據(jù)頂點(diǎn)坐
標(biāo)求出最值.
3.(2021?四川成都市?九年級(jí)二模)下列關(guān)于二次函數(shù)y=4(x—3)2-5的說法,正
確的是()
A.對(duì)稱軸是直線x=-3B.當(dāng)x=3時(shí)有最小值-5
C.頂點(diǎn)坐標(biāo)是(3,5)D.當(dāng)x>3時(shí),y隨x的增大而減少
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解.
【詳解】解:由二次函數(shù)y=4(x-3)2-5可知對(duì)稱軸是直線x=3,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤,不符合題意;
由二次函數(shù)y=4(x—3)2—5可知開口向上,當(dāng)%=3時(shí)有最小值-5,故選項(xiàng)B正確,符合題意;
由二次函數(shù)y=4(x—3『—5可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-5),故選項(xiàng)C借誤,不符合題意;
由二次函數(shù)y=4(x—3)2—5可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-5),對(duì)稱軸是直線x=3,當(dāng)x<3時(shí),y隨x的增大而
減小,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤,不符合題意;故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì),主要利用了開口方向,頂點(diǎn)坐標(biāo),對(duì)稱軸以及二次函數(shù)的增減性.
4.(2021?河南駐馬店市?九年級(jí)一模)設(shè)A(2,y),8(3,%),C(T,%)是拋物線y=3(x-l『+&圖象上
的三點(diǎn),則%,y2,%的大小關(guān)系為()
A.%>>2>XB.y3>y,>y2c.y2>yt>y3D.%>%>%
【答案】A
【分析】先求出拋物線的對(duì)稱軸和開口方向,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可.
【詳解】解:???拋物線y=3(x-l『+Z的開口向上,對(duì)稱軸是直線產(chǎn)1,.?.當(dāng)x>l時(shí),y隨x的增大而增大,
.??C(T,%)關(guān)于直線41的對(duì)稱點(diǎn)是(6,%),:2<3<6,...%>%>%?故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì).熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
5.(2021?天津九年級(jí)二模)二次函數(shù)y=—(x—l)2+5,當(dāng)加WxW〃且〃切<()時(shí),y的最小值為5m,最
大值為5n,貝心篦+幾的值為()
A.0B.-1C.-2D.-3
【答案】D
【分析】由機(jī)WxW"口.m"<0可得“<0V〃,根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像分情況討論;當(dāng)機(jī)<〃<1
時(shí),y隨x的增大而增大,可得當(dāng)x=m時(shí)y有最小值,當(dāng)%=〃時(shí)y有最大值,代入并驗(yàn)證;當(dāng)
時(shí)分兩種情況:當(dāng)x=m時(shí)y有最小值,當(dāng)X=1時(shí)y有最大值,或當(dāng)X=1時(shí)y有最大值,當(dāng)X=及時(shí)y有
最小值,得出符合情況的值即可得出答案.
【詳解】解:如圖,二次函數(shù)y=-(x-l>+5的大致圖像如下:
目.〃加<0時(shí),:.m<0<n,
①當(dāng)"2<力<1時(shí),y隨x的增大而增大,
.?.當(dāng)x〃時(shí))?有最小值,即:-(m-1)2+5=5m,解得:帆=-4或,%=1(舍去);
當(dāng)%=”時(shí)y有最大值,即:—(〃—iy+5=5〃,解得:〃或〃=1(均不符合題意,舍去);
②當(dāng)〃時(shí),當(dāng)尤=加時(shí)y有最小值,即:—(?n—1)2+5-5m,解得:機(jī)=-4或加=1(舍去);
當(dāng)x=l時(shí)y有最大值,即:-(1-1)2+5=5/1,解得:〃=1,
或:當(dāng)尤=1時(shí)y有最大值,即:-(1-1)2+5=5?,解得:〃=1,
當(dāng)%=〃時(shí)y有最小值,BP:—(〃—1『+5=5相,將〃=1代入解得:團(tuán)=5,
,...此種情形不合題意;二加=Y,n=lm+n--4+l--3;故答案選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì),熟練掌握二次函數(shù)的增減性,先判斷在取值范圍內(nèi)的最大值
及最小值在何處取得,再代入求解;熟練掌握分析函數(shù)最值的方法是本題解題關(guān)鍵.
6.(2020?浙江九年級(jí)期中)已知拋物線y=a(x—21+1經(jīng)過點(diǎn)A(m,x),3(加+2,%),若點(diǎn)4在拋物線
對(duì)稱軸的左側(cè),且1<X<%,則m的取值范圍是()
A.0<加<1B.0<m<2C.\<m<2D.m<2
【答案】C
【分析】根據(jù)題目中的拋物線,可以得到該拋物線的對(duì)稱軸,然后根據(jù)題意,可知點(diǎn)A和點(diǎn)B在對(duì)稱軸兩
側(cè),從而可以得到”的取值范圍,本題得以解決.
【詳解】解::y=a(x—2y+l,必>X>1,,拋物線開口向下,有最小值1,對(duì)稱軸為直線產(chǎn)2,
.?.在對(duì)稱軸左邊,y隨x的增大而減小,在對(duì)稱軸右邊,y隨x的增大而增大,
VA(m,yt),B(〃?+2,%),,點(diǎn)A在點(diǎn)8左側(cè),
加+(+2)
?.?點(diǎn)A在對(duì)稱軸左側(cè),且;?點(diǎn)8在對(duì)稱軸右側(cè),.*---------------^>2,A2w+2>4,
2
TA在對(duì)稱軸左側(cè),.?.,〃<2,<加<2.故選C.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,利用二
次函數(shù)的性質(zhì)解答.
7.(2020?浙江九年級(jí)期中)已知點(diǎn)4(1,%),3(3,%)在二次函數(shù)y=a(x—w)2+A(a<0)的圖象上,當(dāng)
%.見時(shí),則,”的取值范圍是()
A.in,.1B.2C.m.AD.m..2
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式可得開口方向和對(duì)稱軸,再根據(jù)y2y2,可得關(guān)于〃?的不等式,解之即可.
【詳解】解::y=。(%-m)2+攵(?!?),???圖像開口向下,對(duì)稱軸為直線%=加,
:X?M,二A比B更接近對(duì)稱軸,,|1一機(jī)|V|3-時(shí),
**?fn2—2m+1<zn2—6m+9,**-w<2,故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,主要利用了二次函數(shù)的增減性和對(duì)稱軸公式,需熟記.
知識(shí)點(diǎn)2?4二次函數(shù)丁=爾+云+°("0)(〃邦)的性質(zhì)
1))=加+加:+。(存0)利用配方法,化簡(jiǎn)得:y=a(x+—)24-^aC,
2a4a
故以頂點(diǎn)式的形式來看:h=-—,k=^-^-
2a4a
①形狀:拋物線形狀
②開口方向:a>0,開口向上;a<0,開口向下
③頂點(diǎn):(-2,±上心],頂點(diǎn)縱坐標(biāo)產(chǎn)竺叱為最值(最大值或最小值)
12a4al4a
④對(duì)稱軸:關(guān)于x=-2對(duì)稱
⑤開口大小:|。|越大,開口越小
⑥增減性:。>0時(shí),當(dāng)XV-2時(shí),),隨X的增大而減??;當(dāng)x>-2時(shí),),隨X的增大而增大。
2a2a
。<0時(shí),,當(dāng)xV—B't,y隨尢的增大而增大;當(dāng)-■■時(shí),y隨R的減小而減小。
2a2a
注:建議學(xué)會(huì)配方法,若實(shí)在無法掌握,則需記住?般式的頂點(diǎn)坐標(biāo),在解題過程中直接使用結(jié)論即可。
1.(2020?江蘇蘇州星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三零模)對(duì)于二次函數(shù)〃=那-魏,下列說法正確的是()
A.當(dāng)x>0,y隨x的增大而增大B.當(dāng)x=2時(shí),y有最大值一3
C.圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,-7)D.圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)
【答案】B
1,1,
【解析】二次函數(shù)丁=——/+*―4=——(x—2)2—3,
44
所以二次函數(shù)的開口向下,當(dāng)x<2,y隨x的增大而增大,選項(xiàng)A錯(cuò)誤;
當(dāng)x=2時(shí),取得最大值,最大值為一3,選項(xiàng)B正確;頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),選項(xiàng)C錯(cuò)誤;
頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-3),拋物線開口向下可得拋物線與x軸沒有交點(diǎn),選項(xiàng)D錯(cuò)誤,故答案選B.
考點(diǎn):二次函數(shù)的性質(zhì).
2.(2021?廣東陽(yáng)江市?九年級(jí)二模)將拋物線y=3/向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后,再向上平移5個(gè)單位長(zhǎng)度,
所得到的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為()
A.(4,-5)B.(4,5)C.(y5)D.(-4,-5)
【答案】B
【分析】先求出原拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)平移得出新拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即可.
【詳解】解:拋物線y=3丁的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0),將拋物線y=3/向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度后,再向上平移
5個(gè)單位長(zhǎng)度,頂點(diǎn)也如此平移,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,5),故選:B.
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的平移,解題關(guān)鍵是熟練運(yùn)用拋物線平移規(guī)律,確定頂點(diǎn)坐標(biāo).
3.(2021?贛州市贛縣區(qū)教育教學(xué)研究室九年級(jí)一模)己知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過5(2,%),
4(3,%),4(4,”)四點(diǎn),若%<%<”,則%,%,為,”的最值情況是()
A.>3最小,弘最大B.%最小,>4最大C.M最小,%最大D.無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)題意判定拋物線開口方向向上,對(duì)稱軸在2.5和3之間,再根據(jù)距離拋物線對(duì)稱軸的距離大小
判斷即可;
【詳解】???二次函數(shù)圖象經(jīng)過[(1,%),6(2,%),6(3,%),6(4,%)四點(diǎn),且為<%<”,
,拋物線開口方向向上,對(duì)稱軸在2.5和3之間,
6(1,兇)離對(duì)稱軸的距離最大,6(3,%)離對(duì)稱軸的距離最小,.?.月最小,必最大;故選A.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì),準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵.
4.(2021?湖南中考真題)已知y是x的二次函數(shù),下表給出了y與x的幾對(duì)對(duì)應(yīng)值:
X-2-101234
y11a323611
由此判斷,表中。=.
【答案】6
【分析】根據(jù)表格得出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線%=1,由此即可得.
【詳解】解:由表格可知,x=0和x=2時(shí)的函數(shù)值相等,則二次函數(shù)的對(duì)?稱軸為直線x=°土2=1,
2
因此,x=—1和x=3的函數(shù)值相等,即a=6,故答案為:6.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性,熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
5.(2021?浙江杭州市?九年級(jí)期末)若二次函數(shù)),=V+2x+Z的圖象經(jīng)過點(diǎn)(l,yj,(-2,%),則X與力的
大小關(guān)系為()
A.弘>必B.,|=必C.>|<必D.不能確定
【答案】A
【分析】分別把戶1和戶-2代入解析式,計(jì)算出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,然后比較大小.
【詳解】解:當(dāng)x=l時(shí),yi=x2+2x+k=k+3;
當(dāng)戶-2時(shí),)2=/+2%+依k,k+3>k,/.yi>yi.故選:A.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征:二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式.
6.(2021?湖北襄陽(yáng)市?中考真題)一次函數(shù)丁=改+。的圖象如圖所示,則二次函數(shù)^=口?+版的圖象可
能是()
【答案】D
【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限以及與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可知:a<0,心0,由此可知二次函數(shù)開口方
向,坐標(biāo)軸情況,依此判斷即可.
【詳解】解:觀察一次函數(shù)圖像可知。<0,尻X),.??二次函數(shù)開口向下,
b
對(duì)稱軸x=--->0,故選:D.
2a
【點(diǎn)睛】本題主要考查?次函數(shù)的圖像以及二次函數(shù)的圖像,根據(jù)?次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限以及與坐標(biāo)軸
的交點(diǎn)情況判斷〃、。的正負(fù)是解題的關(guān)鍵.
7.(2021?黑龍江佳木斯市?九年級(jí)二模)二次函數(shù)丁=奴2+必+。3羊())的圖象如圖所示,對(duì)稱軸為%=一1,
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到。、氏c的符號(hào),再逐一進(jìn)行判斷.
【詳解】解:由圖知,二次函數(shù)的圖象開口向上,即a>0,與y軸交于正半軸,即c>0.
對(duì)稱軸尤=一~—=-1:.h=2ah同號(hào),即人>0.,.a6c>0,故A正確;
2a
由圖知,當(dāng)x=-l時(shí),y<0,:.a-b+c<0,故B正確;
由圖知,二次函數(shù)圖象與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),即〃一4衣>0,故C正確;
無法判斷a—c<0,故D錯(cuò)誤,故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì),是基礎(chǔ)考點(diǎn),難度較易,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
8.(2021?西安市?陜西師大附中九年級(jí)其他模擬)已知拋物線y=2依+1(。<0),當(dāng)一時(shí),
y的最大值為2,則當(dāng)-1WXW2時(shí),y的最小值為()
A.1B.0C.-1D.-2
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的解析式可得其對(duì)稱軸為直線x=l,從而當(dāng)x=l時(shí),),有最大值2,此時(shí)可求得a的值,
再根據(jù)拋物線的增減的性質(zhì)求得y在所給范圍內(nèi)的最小值.
—2a
【詳解】=-----=1,即拋物線的對(duì)稱軸為直線X=l
2a
.?.當(dāng)41時(shí),y有最大值,且1在一1WXW2范圍內(nèi)
...a-2a+l=2解得:a=-\BPy=—x1+2x+\
當(dāng)一1?x<1時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而增大,此時(shí)函數(shù)在x=-l處取得最小值,且最小值為y=-l-2+l=-2
當(dāng)l<x42時(shí),函數(shù)值y隨x的增大而減小,此時(shí)函數(shù)在x=2處取得最小值,且最小值為y=T—2x2+l=l
..當(dāng)-1WXW2時(shí),y的最小值為-2故選:D.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的增減性質(zhì)、求函數(shù)解析式,關(guān)鍵是確定拋物線的對(duì)稱軸,根據(jù)對(duì)稱軸的位
置便可確定函數(shù)的增減的范圍,解答函數(shù)在某個(gè)自變量的范圍的最值問題時(shí),最好借助圖象,利用數(shù)形結(jié)
合的思想能幫助解決問題.
9.(2021?山東威海市?九年級(jí)期中)已知關(guān)于x的一元二次方程x2—2x+)t+l=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是玉,x2,
那么一X]—W-的最大值是-
【答案】-2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出王和玉+Z的值,代入一百一Z—(玉工2『,然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)
求解即可.
【詳解】解:;一元二次方程2%+攵+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是芭/2,
112
芭?x2-k+1,玉+々=2,一百一X2-(玉々7=-2-/+>
...當(dāng):-1時(shí),一百一為2—(玉龍2)2取得最大值-2.故答案為:-2.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,以及二次函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解答本題
的關(guān)鍵.
10.(2021?浙江金華市?九年級(jí)一模)如圖,二次函數(shù)y=4℃的圖象與X軸交于O,A兩點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)和此二次函數(shù)的對(duì)稱軸.
(2)若尸,。在拋物線上且P(,幾%),Q(〃,y°).當(dāng)=5時(shí),力>“.求用的取值范圍.
【答案】(1)A(4,0),1=2;(2)m>一一.
2
【分析】(1)先計(jì)算二次函數(shù)的對(duì)稱軸,再利用拋物線的對(duì)稱性解題即可;
1
(2)把P(m,yp),Q(n,")分別代入二次函數(shù)y=av?-4or中,由力>“得到a席一4am>an-Aan.
再結(jié)合圖象知。<0,整理得(〃—m)(4—相―〃)<0,結(jié)合已知條件〃一機(jī)=5,代入解題即可.
h—4/7
【詳解】解:(1)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為:x=——=——-=2
2a2a
二次函數(shù)y=62—46的圖象與x軸交于。,A兩點(diǎn),由對(duì)稱性可知4(4,0);
(2)把P(巾,力),Q(凡)分別代入二次函數(shù)y=加一4or中得,
12
yP=anr-4am,yQ=an-4an-/yP>yQairr-4am>an-4an
整理得,a(m2-4m)>a(n2-4n)由拋物線開口向下得a<0
m2-4m<rr-4nm2-4m-n2+4n<0,(加+〃)(加一〃)+4(〃-加)<0-m)(4-m-n)<0
vn-m=5.\4—m—n<0\-n=5+m.*.4—m—5—m<01―?m>一■-.
2
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一元一次不等式的解法、整體思想等知識(shí),是重要考點(diǎn),難度
一般,掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.
知識(shí)點(diǎn)2-5二次函數(shù)性質(zhì)總結(jié)
二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)
一般式頂點(diǎn)式交點(diǎn)式
22
函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)=ax++cy=a(x—h)+ky=a(x-x{)(x-x2)
開口方向:當(dāng)。>0時(shí),開口向」一,當(dāng)。<0時(shí),開口向下.
開口
開口大?。簳r(shí)越大,開口越??;1越小,開口越大。
b
對(duì)稱軸x=---x=h廠.+.
2a2
(b4ac-b2}f-y,+x傘
頂點(diǎn)坐標(biāo)(/?,k)2
[2a4a)2'4
\/
當(dāng)a>0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而減小,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而j亶
大,函數(shù)有最小值絲匕乏;
增減性4a
及最值
當(dāng)。<0時(shí),在對(duì)稱軸的左側(cè),y隨x的增大而增大,在對(duì)稱軸的右側(cè),y隨x的增大而減
小,函數(shù)有最大值處世.
4a
補(bǔ)充:表格中:交點(diǎn)式中出現(xiàn)的XI,X2是指二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
對(duì)稱性點(diǎn)性質(zhì):若4(和其)與8(心力)是拋物線上的點(diǎn),且關(guān)于對(duì)稱軸廣〃對(duì)稱,則
反之,若與3(々,力)是拋物線上的點(diǎn),且滿足y=%,則拋物線的對(duì)稱軸為產(chǎn)土產(chǎn)。
1.(2021?陜西中考真題)下表中列出的是一個(gè)二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)),的幾組對(duì)應(yīng)值:
X-2013
y6-4-6-4
下列各選項(xiàng)中,正確的是
A.這個(gè)函數(shù)的圖象開口向下B.這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)
C.這個(gè)函數(shù)的最小值小于-6D.當(dāng)x>l時(shí),y的值隨x值的增大而增大
【答案】C
【分析】利用表中的數(shù)據(jù),求二次函數(shù)的解析式,再配成頂點(diǎn)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析即可判斷.
【詳解】解:設(shè)二次函數(shù)的解析式為丁=奴2+"+以
4。一2。+c=6a=1
3?25
依題意得:c=-4,解得:<b=-3,.?.二次函數(shù)的解析式為y=f—3x—4=x——-----
24
a+b+c=-6c=-4
???〃=1>0,???這個(gè)函數(shù)的圖象開口向上,故A選項(xiàng)不符合題意;
A=Z?2-4ac=(-3)2-4xlx(-4)=25>0.
???這個(gè)函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn),故8選項(xiàng)不符合題意:
325
???。=1>0,.?.當(dāng)x=一時(shí),這個(gè)函數(shù)有最小值——<-6,故C選項(xiàng)符合題意:
24
325
?.?這個(gè)函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一,一一),
24
3
.?.當(dāng)x>5時(shí),y的值隨x值的增大而增大,故。選項(xiàng)不符合題意;故選:C.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答
是解題關(guān)鍵.
19
2.(2020?南京玄武外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初三期末)對(duì)于拋物線),=-2(1+1)-+3,下列結(jié)論:①拋物線的開口向
下;②對(duì)稱軸是過(1,0)且平行于y軸的直線;③頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一1,3);④XW-2時(shí),y隨X的增大而增大,
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐個(gè)判定即可.
【解析】①-L<0則拋物線的開口向下,正確;②拋物線的對(duì)稱軸為x=—l,所以對(duì)稱軸是過(一1,0)且
2
平行于y軸的直線,錯(cuò)誤;③因頂點(diǎn)在對(duì)稱軸上,即頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1,代入函數(shù)解析式得縱坐標(biāo)為3,
即頂點(diǎn)坐標(biāo)為(—1,3),正確:④當(dāng)尤<一1時(shí),y隨x的增大而增大,因此xW—2時(shí),y隨x的增大而增大,
正確;綜上,正確的有3個(gè);故答案為:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì),熟記二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
3.(2020?江蘇揚(yáng)州初三期末)拋物線y=/+2x+3與),軸的交點(diǎn)為()
A.(0,2)B.(2,0)C.(0,3)D.(3,0)
【答案】C
【分析】令x=0,則y=3,拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,3).
【解析】解:令x=0,則y=3,.?.拋物線與y軸的交點(diǎn)為(0,3),故選:C.
4.(2020?河南省初三月考)已知某二次函數(shù)的圖象與X軸相交于A,8兩點(diǎn).若該二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸
是直線x=3,且點(diǎn)4的坐標(biāo)是(8,0),則A8的長(zhǎng)為()
A.5B.8C.10D.11
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸軸對(duì)稱可知A,B兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=3對(duì)稱,據(jù)此可求出AB的氏.
【解析】?.?二次函數(shù)的圖象與X軸相交于A,B兩點(diǎn),對(duì)稱軸是直線龍=3,
A,5兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸直線x=3對(duì)稱,
???4的坐標(biāo)是(8,0),...3的坐標(biāo)是(一2,0),.?.48=8-(—2)=1().故選:C.
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)問題,注意拋物線的對(duì)稱性是解題的關(guān)鍵.
5.(2020?河北省初三期末)小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函數(shù)y=/-4x+5的值的情況,他們
作了如下分工:小明負(fù)責(zé)找函數(shù)值為1時(shí)的x值,小亮負(fù)責(zé)找函數(shù)值為0時(shí)的x值,小梅負(fù)責(zé)找最小值,小
花負(fù)責(zé)找最大值.幾分鐘后,各自通報(bào)探究的結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是()
A.小明認(rèn)為只有當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為1;B.小亮認(rèn)為找不到實(shí)數(shù)x,使函數(shù)值為0;
C.小花發(fā)現(xiàn)當(dāng)x取大于2的實(shí)數(shù)時(shí),函數(shù)值>隨x的增大而增大,因此認(rèn)為沒有最大值;
D.小梅發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y隨x的變化而變化,因此認(rèn)為沒有最小值
【答案】D
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最值及圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)回答即可.
【解析】因?yàn)樵搾佄锞€的頂點(diǎn)是(2,1),所以正確;根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo),知它的最小值是1,所以正
確;根據(jù)圖象,知對(duì)稱軸的右側(cè),即%>2時(shí),y隨x的增大而增大,所以正確;
因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)1>0,有最小值,所以錯(cuò)誤;故選:D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與最值問題,準(zhǔn)確分析是解題的關(guān)鍵.
6.(2020?江蘇省中考真題)下列關(guān)于二次函數(shù)y=—(x—加了+加2+1(〃?為常數(shù))的結(jié)論,①該函數(shù)的
圖象與函數(shù)y=的圖象形狀相同;②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點(diǎn)(0,1);③當(dāng)x>0時(shí),y隨x的增大而減
??;④該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在函數(shù)y=f+l的圖像上,其中所有正確的結(jié)論序號(hào)是.
【答案】①②④
【分析】①兩個(gè)二次函數(shù)可以通過平移得到,由此即可得兩個(gè)函數(shù)的圖象形狀相同;②求出當(dāng)x=0時(shí),y
的值即可得;③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得;④先求出二次函數(shù)y=-(x-/n)2+機(jī)2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo),再
代入函數(shù)y=/+l進(jìn)行驗(yàn)證即可得.
【解析】?.?當(dāng)相>0時(shí),將二次函數(shù)y=-f的圖象先向右平移m個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移機(jī)2+1個(gè)單位
長(zhǎng)度即可得到二次函數(shù)y=—(x—加了+加2+1的圖象;當(dāng)相<0時(shí),將二次函數(shù)>=一一的圖象先向左平
移一加個(gè)單位長(zhǎng)度,再向上平移機(jī)2+1個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到二次函數(shù)y=_(x-m)2+加2+1的圖象
...該函數(shù)的圖象與函數(shù)y=的圖象形狀相同,結(jié)論①正確
對(duì)于y=-(x-加y+機(jī)2+1當(dāng)x=0時(shí),y--(0-m)2+m2+1=1
即該函數(shù)的圖象定經(jīng)過點(diǎn)(0,1),結(jié)論②正確
由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)X〉機(jī)時(shí),y隨x的增大而減小
則結(jié)論③錯(cuò)誤
y=-(x-/w)2+m2+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a,,”?+1)對(duì)于二次函數(shù)y=
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