考點01 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（解析版）

考點01二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

知識框架

'二次函數(shù)的概念

二次函數(shù)y=o?*0)的圖像和性質(zhì)

基礎知識點4二次函數(shù)y=a(x-工0)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)y=ar2+bx+c(a/0)的圖像和性質(zhì)

二次函數(shù)的性質(zhì)總結

.二次函數(shù)的定義

二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)(頂點、對稱軸、最值、比大小等)

利用二次函數(shù)的軸對稱性解題

重難點題型,二次函數(shù)的平移

求二次函數(shù)的解析式

拋物線與一次函數(shù)的圖象問題

利用二次函數(shù)圖像確定系數(shù)的符號

基礎知識點

知識點2.1二次函數(shù)的概念

1)形如y=ax2+fer+c(存0)的函數(shù)叫作二次函數(shù)。

注：①a、b、c為常數(shù)，且aWO,即二次項必須有，一次項和常數(shù)項可以沒有

②二次函數(shù)為函數(shù)的一種，滿足函數(shù)的所有性質(zhì)。即自變量尤有且僅有唯一應變量y與之對應。

1.(2021?安徽九年級月考)以x為自變量的函數(shù):①y=(x+2)(x-2)；②y=(x+2)2；③y=1+2光一3/；

@y=x2-x(x-l).是二次函數(shù)的有()

A.②③B.②③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行判斷.

【詳解】解：①y=(x+2)(x—2)=/一4,符合二次函數(shù)的定義，故①是二次函數(shù)；

②y=(x+2)2,符合二次函數(shù)的定義，故②是二次函數(shù)：

③y=l+2x—3d,符合二次函數(shù)的定義，故②是二次函數(shù)；

④_%=_%,不符合二次函數(shù)的定義，故④不是二次函數(shù).

所以，是二次函數(shù)的有①②③，故選：C.

【點睛】本題考查了二次二次函數(shù)的定義，熟記概念是解題的關鍵.

2.（2021?四川成都市?成都實外九年級期末）下列關于X的函數(shù)一定為二次函數(shù)的是（）

A.y=2x+lB.y--5x2-3C.y-ax2+bx+cD.y=x'+x+l

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義分析判斷即可.

【詳解】解：A、y=2x+l是一次函數(shù)，故本選項錯誤：

B、y=-5/—3一定是二次函數(shù)，故本選項正確；

C、y=ax2+bx+c,當a=0時，是一次函數(shù)，故本選項錯誤；

D、y=V+x+l是三次函數(shù)，故本選項錯誤；故選：B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義：形如y=a/+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且aRO）的函數(shù)是x的二次函

數(shù)，牢記此定義是解題的關鍵.

3.（2021?廣東九年級專題練習）若函數(shù)了=（1+〃。/八2吁1是關于》的二次函數(shù)，則機的值是（）

A.2B.-1或3C.3D.-1+72

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義條件列出方程與不等式即可得解.

【詳解】?.?函數(shù)），=（1+m）%病-2"1是關于x的二次函數(shù)，.?.m2_2m一1=2，且1+加工0,

由—2〃?—1=2得,m=3或，〃=—1，由l+。得,〃/H—1,的值是3,故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義、解一元一次不等式、解一元二次方程等知識，解答本題的關鍵是根

據(jù)二次函數(shù)的定義列出方程與不等式.

4.（2021?湖南婁底市?九年級期末）當函數(shù)y=（a—l）￡"+2x+3是二次函數(shù)時，。的取值為（）

A.a=1B.6（=±1C.awlD.a——\

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義去列式求解計算即可.

【詳解】?.?函數(shù)y=（a—l）x/7+2x+3是二次函數(shù)，

2

/.a-1/0,a+1=2,.".a#l,/=],/.a——1,故選D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟記二次函數(shù)的定義并靈活列式計算是解題的關鍵.

知識點2-2二次函數(shù)產(chǎn)a尤2的圖象和性質(zhì)

1)y=a?(“wo,〃=(),c=O,即一次項和常數(shù)項皆為0)的圖形如下:

②開口：67>0,開口向上；6/<0,開口向下

③頂點：原點(0,0),頂點縱坐標為函數(shù)最大值或最小值(由4的正負決定)

④對稱軸：關于y軸對稱，即關于40對稱

⑤開口大?。簗a|越大，開口越小，即上升或下降越快

⑥增減性：a>0時，當xVO時，y隨x的增大而減?。划攛>0時，了隨x的增大而增大。

。<0時，當x<0時，)，隨x的增大而增大；當x>0時，y隨x的減小而減小。

注：①關于y軸對稱的前提條件是：函數(shù)定義域關于y軸對稱；

②拋物線圖形的性質(zhì)都與頂點坐標有關系，頂點坐標需要牢記，其他性質(zhì)通過畫草圖來分析，理解記憶。

1.(2021?江蘇鹽城市?九年級期末)若二次函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點尸(_3,9),則該圖象必經(jīng)過點()

A.(3,9)B.(-3,-9)C.(-9,3)D.(9,-3)

【答案】A

【分析】先確定出二次函數(shù)圖象的對稱軸為y軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性解答.

【詳解】解：?.?二次函數(shù)y=ax2的對稱軸為y軸，

,若圖象經(jīng)過點P(-3,9),則該圖象必經(jīng)過點(3,9).故選：A.

【點睛】本題考查/二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用「二次函數(shù)圖象的對稱性，確定出函數(shù)圖象

的對稱軸為y軸是解題的關鍵.

2.(2021?江蘇淮安市?九年級期末)拋物線y=-f的頂點坐標是.

4

【答案】(0,0)

【分析】由拋物線的頂點式：y=52,可得頂點坐標(0,0),從而可得答案.

【詳解】解：拋物線y=的頂點坐標是：(0,0).故答案為：(0,0).

【點睛】本題考查的是拋物線y=公2(a豐0)的性質(zhì)，掌握拋物線y=ax2(a^0)的頂點坐標是解題的關

鍵.

3.(2021?北京九年級專題練習)下列關于二次函數(shù)y=2/的說法正確的是()

A.它的圖象經(jīng)過點(0,2)B.它的圖象的對稱軸是直線x=2

C.當x<0時，y隨x的增大而減小D.當戶0時，y有最大值為0

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象性質(zhì)即可判斷.

【詳解】解：A、當x=0時，尸0幽，故此選項錯誤；B、它的圖象的對稱軸是直線x=0,故此選項錯誤；

C、當x<0時，y隨x的增大而減小，當x>0時，y隨x的增大而增大，故此選項正確；

D、當產(chǎn)0時，y有最小值是0,故此選項錯誤；故選：C.

【點睛】此題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵.

4.(2021?古浪縣第四中學九年級月考)拋物線y=2x2,y--2x2,y=/x?的共同性質(zhì)是()

A.開口向上B.對稱軸是y軸C.都有最高點D.y隨x的增大而增大

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)解題.

【詳解】拋物線y=2x2,y=；x2開口向上，對稱軸是對稱軸是y軸，有最低點，在y軸的右側(cè)，y隨x

的增大而增大，y=-2x2,開口向下，對稱軸是對稱軸是y軸，有最高點，在y軸的左側(cè)，y隨x的增大而

增大，故拋物線y=2x2,y=-2x2,y=；x2的共同性質(zhì)是對稱軸是y軸，故選：B.

【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

5.(2021?浙江九年級期末)已知二次函數(shù)y=a(x-m)2(a<0)的圖象經(jīng)過點A(-1,〃)，5(3,幻，若P<q,

則m的值可能是()

l5

A.-2B.-J2C.0D.-

一2

【答案】D

【分析】二次函數(shù)產(chǎn)a(x-m)2(?<0)開口向下，對稱軸為直線產(chǎn)"?，根據(jù)拋物線上的點與直線的距

離越小對應的y值就越大即可得到m的取值范圍.

【詳解】解：???)="2.?.拋物線開口向下，對稱軸為直線

當拋物線上的點與直線廣〃?的距離越小，對應的y值就越大，

A(-1,p),B(3,4),且p<4，點到直線k的距離小于A點到直線廣加的距離，

m>3,或/n+l>3-/n,解得m>1,而只有一>1,故選：D.

2

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關鍵.

6.(2021?福建龍巖市?九年級期末)已知拋物線曠="2與^=2/的形狀相同，則。=.

【答案】±2

【分析】兩條拋物線的形狀相同，即二次項系數(shù)的絕對值相等，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：..?拋物線y=ax2與y=2x2的形狀相同，.MaH，；.a=±2.故答案為±2.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，用到的知識點：兩條拋物線的形狀相同，即二次項系數(shù)的絕對值相等.

7.(2021?吉林白山市?九年級期末)己知二次函數(shù)y=(m-3)x2的圖象開口向下，則m的取值范圍是一

【答案】m<3

【分析】根據(jù)圖象的開口方向得到m-3<0,從而確定m的取值范圍.

【詳解】解：二次函數(shù)y=(m-3)x2的圖象開口向下，，m-3<0,故答案為：m<3.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項系數(shù)決定了開口方向，大于零開口向上，小于零開口向下.

8.(2021?全國九年級課時練習)在同一直角坐標系中，畫出下列二次函數(shù)的圖象：

1，1，c1，c

y=—%-,y=—x+2,y-—x~-2.

222

【答案】見解析

【分析】利用描點法可畫出這三個函數(shù)的圖象.

【詳解】解：列表：

X202

v=—X2202

2

y=#+2424

2

V=^-X-20_20

)2

描點：見表中的數(shù)據(jù)作為點的坐標，在平面直角坐標系中描出各點;

連線：用平滑的線連接，如圖所示：

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的畫法，掌握基本的描點法作函數(shù)圖象是解題的關鍵.

9.（2020?河北張家口市?九年級期中）已知函數(shù)）=（k-2）XMTR+5是關于x的二次函數(shù)，求：

（1）滿足條件的火的值；（2）當k為何值時，拋物線有最高點？求出這個最高點，這時，x為何值時，y隨

x的增大而增大？（3）當《為何值時，函數(shù)有最小值？最小值是多少？這時，當x為何值時，y與x的增大

而減?。?/p>

【答案】（1）尢=1，與=3；（2）k=l,最高點為（0,0）,當x<0時，y隨x的增大而增大；（3）k=3,

最小值為0,當x<0時，y隨x的增大而減小.

【分析】（1）由于函數(shù)是二次函數(shù)，所以x的次數(shù)為2,且系數(shù)不為0,即可求得滿足條件的k的值；

（2）拋物線有最高點，所以開口向下，系數(shù)小于0,再根據(jù)（1）中k的值即可確定滿足條件的值，再根據(jù)

:次函數(shù)性質(zhì)即可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（3）函數(shù)有最小值，則開口向上，然后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可求得最

小值，即可知函數(shù)單調(diào)區(qū)間.

【詳解】解：（1）?.?函數(shù)y=U-2）%'4%+5是關于x的二次函數(shù),

滿足廿-4左+5=2,且卜2和，.?.解得:匕=1,火2=3；

（2）；拋物線有最高點，，圖象開口向下，即％-2<0,結合（1）所得，；M=1,

???最高點為（0,0）,當x<0時;y隨x的增大而增大.

（3）???函數(shù)有最小值，.?.圖象開口向上，即k-2>0,

二%=3,...最小值為0,當x<0時，y隨x的增大而減小.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的定義、待定系數(shù)法求解析式、解一元二次方程以及二次函數(shù)圖像的性質(zhì);

解決本題的關犍在于知道二次函數(shù)的表達形式，用待定系數(shù)法求解析式，熟練掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì).

知識點2-3二次函數(shù)y=a（尤-蜘+左（存0）的性質(zhì)

1）二次函數(shù)T五+bx+c（存0）過配方，可得y=a（x—0）2+左（分0）的形式

②開口：a>0,開口向上；（7<0,開口向下

③頂點：（力，k）,頂點縱坐標產(chǎn)上為函數(shù)最值（最大值或最小值）

④對稱軸：關于戶/?對稱

⑤開口大?。簗。|越大，開口越小

⑥增減性：。>0時，當x</z時，y隨x的增大而減小；當時，y隨x的增大而增大。

〃<0時，，當時、y隨x的增大而增大；當時，y隨x的減小而減小。

⑦關系：當?shù)?0,"0時，y=a{x—h）2+k（存0）即為丫=卬？（a/0）形式

即：通過平移），=O?Q和）可得到y(tǒng)=q（x—〃）2+左（在0）（形狀不變，開口不變）

在圖形平移過程中，可以通過特殊點（如頂點）分析平移過程：向左或右平移同，向上或下平移同。其中，

“左加右減，上加下減”。

1.（2021?江蘇九年級一模）二次函數(shù)y=（x+l）2-2的圖像的頂點坐標是（）

A.（1,-2）B.（1,2）C.（―1,—2）D.（—1,2）

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，由頂點式直接得出頂點坐標即可.

【詳解】解：???拋物線產(chǎn)（x+l）2-2,.?.拋物線），=（x+l）2-2的頂點坐標為：（-1,-2）,故選:C.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)的頂點式為y=a（x-左）2+〃，則拋物線的對稱

軸為宜線x=Z,頂點坐標為（攵，h）.

2.（2021?浙江紹興市?中考真題）關于二次函數(shù)y=2（x-4）2+6的最大值或最小值，下列說法正確的是（）

A.有最大值4B.有最小值4C.有最大值6D.有最小值6

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=2（x-4y+6的解析式，得到。的值為2,圖象開口向上，函數(shù)有最小值，根據(jù)

定點坐標（4,6）,即可得出函數(shù)的最小值.

【詳解】解：???在二次函數(shù)y=2（x-4）2+6中，“=2>0,頂點坐標為（4,6）,

.??函數(shù)有最小值為6.故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值問題，關鍵是根據(jù)二次函數(shù)的解析式確定a的符號和根據(jù)頂點坐

標求出最值.

3.（2021?四川成都市?九年級二模）下列關于二次函數(shù)y=4（x—3）2-5的說法，正

確的是（）

A.對稱軸是直線x=-3B.當x=3時有最小值-5

C.頂點坐標是（3,5）D.當x>3時，y隨x的增大而減少

【答案】B

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對各選項分析判斷后利用排除法求解.

【詳解】解：由二次函數(shù)y=4（x-3）2-5可知對稱軸是直線x=3,故選項A錯誤，不符合題意；

由二次函數(shù)y=4（x—3）2—5可知開口向上，當％=3時有最小值-5,故選項B正確，符合題意；

由二次函數(shù)y=4（x—3『—5可知頂點坐標為（3,-5）,故選項C借誤，不符合題意；

由二次函數(shù)y=4（x—3）2—5可知頂點坐標為（3,-5）,對稱軸是直線x=3,當x<3時，y隨x的增大而

減小，故選項。錯誤，不符合題意；故選：B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了開口方向，頂點坐標，對稱軸以及二次函數(shù)的增減性.

4.（2021?河南駐馬店市?九年級一模）設A（2,y）,8（3,%），C（T,%）是拋物線y=3（x-l『+&圖象上

的三點，則%，y2,%的大小關系為（）

A.%>>2>XB.y3>y,>y2c.y2>yt>y3D.%>%>%

【答案】A

【分析】先求出拋物線的對稱軸和開口方向，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)比較即可.

【詳解】解：???拋物線y=3（x-l『+Z的開口向上，對稱軸是直線產(chǎn)1,.?.當x>l時，y隨x的增大而增大，

.??C（T,%）關于直線41的對稱點是（6,%），：2<3<6,...%>%>%?故選A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和二次函數(shù)的性質(zhì).熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關鍵.

5.（2021?天津九年級二模）二次函數(shù)y=—（x—l）2+5,當加WxW〃且〃切<（）時，y的最小值為5m,最

大值為5n,貝心篦+幾的值為（）

A.0B.-1C.-2D.-3

【答案】D

【分析】由機WxW"口.m"<0可得“<0V〃，根據(jù)題意畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像分情況討論；當機<〃<1

時，y隨x的增大而增大，可得當x=m時y有最小值，當％=〃時y有最大值，代入并驗證；當

時分兩種情況：當x=m時y有最小值，當X=1時y有最大值，或當X=1時y有最大值，當X=及時y有

最小值，得出符合情況的值即可得出答案.

【詳解】解：如圖，二次函數(shù)y=-（x-l>+5的大致圖像如下：

目.〃加<0時，:.m<0<n,

①當"2<力<1時，y隨x的增大而增大，

.?.當x〃時)?有最小值，即：-(m-1)2+5=5m,解得：帆=-4或，%=1(舍去)；

當％=”時y有最大值，即：—(〃—iy+5=5〃，解得：〃或〃=1(均不符合題意，舍去)；

②當〃時，當尤=加時y有最小值，即：—(?n—1)2+5-5m,解得：機=-4或加=1(舍去)；

當x=l時y有最大值，即：-(1-1)2+5=5/1,解得：〃=1,

或：當尤=1時y有最大值，即：-(1-1)2+5=5?,解得：〃=1,

當％=〃時y有最小值，BP：—(〃—1『+5=5相，將〃=1代入解得：團=5,

，...此種情形不合題意；二加=Y，n=lm+n--4+l--3；故答案選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的增減性，先判斷在取值范圍內(nèi)的最大值

及最小值在何處取得，再代入求解；熟練掌握分析函數(shù)最值的方法是本題解題關鍵.

6.(2020?浙江九年級期中)已知拋物線y=a(x—21+1經(jīng)過點A(m，x),3(加+2,%)，若點4在拋物線

對稱軸的左側(cè)，且1<X<%，則m的取值范圍是()

A.0<加<1B.0<m<2C.\<m<2D.m<2

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以得到該拋物線的對稱軸，然后根據(jù)題意，可知點A和點B在對稱軸兩

側(cè)，從而可以得到”的取值范圍，本題得以解決.

【詳解】解：：y=a(x—2y+l,必>X>1，，拋物線開口向下，有最小值1，對稱軸為直線產(chǎn)2,

.?.在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大,

VA（m,yt）,B（〃?+2,%），，點A在點8左側(cè)，

加+（+2）

?.?點A在對稱軸左側(cè)，且；?點8在對稱軸右側(cè)，.*---------------^>2,A2w+2>4,

2

TA在對稱軸左側(cè)，.?.,〃<2,<加<2.故選C.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用二

次函數(shù)的性質(zhì)解答.

7.（2020?浙江九年級期中）已知點4（1,%）,3（3,%）在二次函數(shù)y=a（x—w）2+A（a<0）的圖象上，當

%.見時，則，”的取值范圍是（）

A.in,.1B.2C.m.AD.m..2

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)表達式可得開口方向和對稱軸，再根據(jù)y2y2,可得關于〃?的不等式，解之即可.

【詳解】解：:y=。（％-m）2+攵（?！?）,???圖像開口向下，對稱軸為直線％=加，

:X?M，二A比B更接近對稱軸，，|1一機|V|3-時，

**?fn2—2m+1<zn2—6m+9，**-w<2,故選B.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，主要利用了二次函數(shù)的增減性和對稱軸公式，需熟記.

知識點2?4二次函數(shù)丁=爾+云+°（"0）（〃邦）的性質(zhì)

1））=加+加:+。（存0）利用配方法，化簡得：y=a（x+—）24-^aC,

2a4a

故以頂點式的形式來看：h=-—,k=^-^-

2a4a

①形狀：拋物線形狀

②開口方向：a>0,開口向上；a<0,開口向下

③頂點：（-2,±上心］,頂點縱坐標產(chǎn)竺叱為最值（最大值或最小值）

12a4al4a

④對稱軸：關于x=-2對稱

⑤開口大小：|。|越大，開口越小

⑥增減性：。>0時，當XV-2時，），隨X的增大而減??；當x>-2時，），隨X的增大而增大。

2a2a

。<0時，，當xV—B't,y隨尢的增大而增大；當-■■時，y隨R的減小而減小。

2a2a

注：建議學會配方法，若實在無法掌握，則需記住?般式的頂點坐標，在解題過程中直接使用結論即可。

1.（2020?江蘇蘇州星海實驗中學初三零模）對于二次函數(shù)〃=那-魏，下列說法正確的是（）

A.當x>0,y隨x的增大而增大B.當x=2時，y有最大值一3

C.圖像的頂點坐標為（-2,-7）D.圖像與x軸有兩個交點

【答案】B

1,1,

【解析】二次函數(shù)丁=——/+*―4=——（x—2）2—3,

44

所以二次函數(shù)的開口向下，當x<2,y隨x的增大而增大，選項A錯誤；

當x=2時，取得最大值，最大值為一3,選項B正確；頂點坐標為（2,-3）,選項C錯誤；

頂點坐標為（2,-3）,拋物線開口向下可得拋物線與x軸沒有交點，選項D錯誤，故答案選B.

考點：二次函數(shù)的性質(zhì).

2.（2021?廣東陽江市?九年級二模）將拋物線y=3/向右平移4個單位長度后，再向上平移5個單位長度，

所得到的拋物線的頂點坐標為（）

A.（4,-5）B.（4,5）C.（y5）D.（-4,-5）

【答案】B

【分析】先求出原拋物線頂點坐標，再根據(jù)平移得出新拋物線頂點坐標即可.

【詳解】解：拋物線y=3丁的頂點坐標為（0,0）,將拋物線y=3/向右平移4個單位長度后，再向上平移

5個單位長度，頂點也如此平移，其頂點坐標為（4,5）,故選：B.

【點睛】本題考查了拋物線的平移，解題關鍵是熟練運用拋物線平移規(guī)律，確定頂點坐標.

3.（2021?贛州市贛縣區(qū)教育教學研究室九年級一模）己知一個二次函數(shù)圖象經(jīng)過5（2,%），

4（3,%），4（4,”）四點，若%<%<”，則％,%，為，”的最值情況是（）

A.>3最小，弘最大B.%最小，>4最大C.M最小，%最大D.無法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)題意判定拋物線開口方向向上，對稱軸在2.5和3之間，再根據(jù)距離拋物線對稱軸的距離大小

判斷即可；

【詳解】???二次函數(shù)圖象經(jīng)過［（1,%）,6（2,%），6（3,%），6（4,%）四點，且為<%<”，

，拋物線開口方向向上，對稱軸在2.5和3之間，

6（1，兇）離對稱軸的距離最大，6（3,%）離對稱軸的距離最小，.?.月最小，必最大；故選A.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，準確分析判斷是解題的關鍵.

4.（2021?湖南中考真題）已知y是x的二次函數(shù)，下表給出了y與x的幾對對應值：

X-2-101234

y11a323611

由此判斷，表中。=.

【答案】6

【分析】根據(jù)表格得出二次函數(shù)的對稱軸為直線％=1,由此即可得.

【詳解】解：由表格可知，x=0和x=2時的函數(shù)值相等，則二次函數(shù)的對?稱軸為直線x=°土2=1，

2

因此，x=—1和x=3的函數(shù)值相等，即a=6,故答案為：6.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的對稱性，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題關鍵.

5.（2021?浙江杭州市?九年級期末）若二次函數(shù)），=V+2x+Z的圖象經(jīng)過點（l,yj,（-2,%），則X與力的

大小關系為（）

A.弘>必B.，|=必C.>|<必D.不能確定

【答案】A

【分析】分別把戶1和戶-2代入解析式，計算出對應的函數(shù)值，然后比較大小.

【詳解】解：當x=l時，yi=x2+2x+k=k+3；

當戶-2時，）2=/+2%+依k,k+3>k,/.yi>yi.故選：A.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標滿足其解析式.

6.（2021?湖北襄陽市?中考真題）一次函數(shù)丁=改+。的圖象如圖所示，則二次函數(shù)^=口？+版的圖象可

能是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)一次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限以及與坐標軸的交點可知：a<0,心0,由此可知二次函數(shù)開口方

向，坐標軸情況，依此判斷即可.

【詳解】解：觀察一次函數(shù)圖像可知。<0,尻X）,.??二次函數(shù)開口向下，

b

對稱軸x=--->0,故選：D.

2a

【點睛】本題主要考查?次函數(shù)的圖像以及二次函數(shù)的圖像，根據(jù)?次函數(shù)圖像經(jīng)過的象限以及與坐標軸

的交點情況判斷〃、。的正負是解題的關鍵.

7.（2021?黑龍江佳木斯市?九年級二模）二次函數(shù)丁=奴2+必+。3羊（））的圖象如圖所示，對稱軸為％=一1,

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到。、氏c的符號，再逐一進行判斷.

【詳解】解：由圖知，二次函數(shù)的圖象開口向上，即a>0，與y軸交于正半軸，即c>0.

對稱軸尤=一~—=-1：.h=2ah同號，即人>0.,.a6c>0,故A正確；

2a

由圖知，當x=-l時，y<0,:.a-b+c<0,故B正確；

由圖知，二次函數(shù)圖象與軸有兩個不同的交點，即〃一4衣>0,故C正確；

無法判斷a—c<0,故D錯誤，故選：D.

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵.

8.（2021?西安市?陜西師大附中九年級其他模擬）已知拋物線y=2依+1（。<0）,當一時,

y的最大值為2,則當-1WXW2時，y的最小值為（）

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】D

【分析】根據(jù)拋物線的解析式可得其對稱軸為直線x=l,從而當x=l時，），有最大值2,此時可求得a的值，

再根據(jù)拋物線的增減的性質(zhì)求得y在所給范圍內(nèi)的最小值.

—2a

【詳解】=-----=1,即拋物線的對稱軸為直線X=l

2a

.?.當41時，y有最大值，且1在一1WXW2范圍內(nèi)

...a-2a+l=2解得：a=-\BPy=—x1+2x+\

當一1?x<1時，函數(shù)值y隨x的增大而增大,此時函數(shù)在x=-l處取得最小值，且最小值為y=-l-2+l=-2

當l<x42時,函數(shù)值y隨x的增大而減小，此時函數(shù)在x=2處取得最小值,且最小值為y=T—2x2+l=l

..當-1WXW2時，y的最小值為-2故選：D.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的增減性質(zhì)、求函數(shù)解析式，關鍵是確定拋物線的對稱軸，根據(jù)對稱軸的位

置便可確定函數(shù)的增減的范圍，解答函數(shù)在某個自變量的范圍的最值問題時，最好借助圖象，利用數(shù)形結

合的思想能幫助解決問題.

9.（2021?山東威海市?九年級期中）已知關于x的一元二次方程x2—2x+）t+l=0的兩個實數(shù)根是玉,x2,

那么一X]—W-的最大值是-

【答案】-2

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系求出王和玉+Z的值，代入一百一Z—（玉工2『，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)

求解即可.

【詳解】解：；一元二次方程2%+攵+1=0的兩個實數(shù)根是芭/2，

112

芭?x2-k+1,玉+々=2，一百一X2-（玉々7=-2-/+>

...當:-1時，一百一為2—（玉龍2）2取得最大值-2.故答案為：-2.

【點睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握各知識點是解答本題

的關鍵.

10.（2021?浙江金華市?九年級一模）如圖，二次函數(shù)y=4℃的圖象與X軸交于O,A兩點.

（1）求點A的坐標和此二次函數(shù)的對稱軸.

（2）若尸，。在拋物線上且P（，幾%）,Q（〃,y°）.當=5時，力>“.求用的取值范圍.

【答案】（1）A（4,0）,1=2；（2）m>一一.

2

【分析】（1）先計算二次函數(shù)的對稱軸，再利用拋物線的對稱性解題即可；

1

（2）把P（m,yp）,Q（n,"）分別代入二次函數(shù)y=av?-4or中，由力>“得到a席一4am>an-Aan.

再結合圖象知。<0,整理得（〃—m）（4—相―〃）<0,結合已知條件〃一機=5,代入解題即可.

h—4/7

【詳解】解：（1）二次函數(shù)圖象的對稱軸為：x=——=——-=2

2a2a

二次函數(shù)y=62—46的圖象與x軸交于。，A兩點,由對稱性可知4（4,0）；

（2）把P（巾,力）,Q（凡）分別代入二次函數(shù)y=加一4or中得，

12

yP=anr-4am,yQ=an-4an-/yP>yQairr-4am>an-4an

整理得，a（m2-4m）>a（n2-4n）由拋物線開口向下得a<0

m2-4m<rr-4nm2-4m-n2+4n<0,（加+〃）（加一〃）+4（〃-加）<0-m）（4-m-n）<0

vn-m=5.\4—m—n<0\-n=5+m.*.4—m—5—m<01―?m>一■-.

2

【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)、一元一次不等式的解法、整體思想等知識，是重要考點，難度

一般，掌握相關知識是解題關鍵.

知識點2-5二次函數(shù)性質(zhì)總結

二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

一般式頂點式交點式

22

函數(shù)表達式y(tǒng)=ax++cy=a(x—h)+ky=a(x-x{)(x-x2)

開口方向：當。＞0時，開口向」一，當。＜0時，開口向下.

開口

開口大小：時越大，開口越小；1越小，開口越大。

b

對稱軸x=---x=h廠.+.

2a2

(b4ac-b2}f-y,+x傘

頂點坐標(/?,k)2

[2a4a)2'4

\/

當a＞0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而j亶

大，函數(shù)有最小值絲匕乏；

增減性4a

及最值

當。＜0時，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大,在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減

小，函數(shù)有最大值處世.

4a

補充：表格中：交點式中出現(xiàn)的XI,X2是指二次函數(shù)與x軸的交點的橫坐標.

對稱性點性質(zhì)：若4（和其）與8（心力）是拋物線上的點，且關于對稱軸廣〃對稱，則

反之，若與3（々,力）是拋物線上的點，且滿足y=%，則拋物線的對稱軸為產(chǎn)土產(chǎn)。

1.（2021?陜西中考真題）下表中列出的是一個二次函數(shù)的自變量x與函數(shù)），的幾組對應值：

X-2013

y6-4-6-4

下列各選項中，正確的是

A.這個函數(shù)的圖象開口向下B.這個函數(shù)的圖象與x軸無交點

C.這個函數(shù)的最小值小于-6D.當x＞l時，y的值隨x值的增大而增大

【答案】C

【分析】利用表中的數(shù)據(jù)，求二次函數(shù)的解析式，再配成頂點式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐一分析即可判斷.

【詳解】解：設二次函數(shù)的解析式為丁=奴2+"+以

4。一2。+c=6a=1

3?25

依題意得：c=-4,解得：<b=-3,.?.二次函數(shù)的解析式為y=f—3x—4=x——-----

24

a+b+c=-6c=-4

???〃=1>0,???這個函數(shù)的圖象開口向上，故A選項不符合題意；

A=Z?2-4ac=（-3）2-4xlx（-4）=25>0.

???這個函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點，故8選項不符合題意：

325

???。=1>0，.?.當x=一時，這個函數(shù)有最小值——<-6,故C選項符合題意：

24

325

?.?這個函數(shù)的圖象的頂點坐標為（一，一一），

24

3

.?.當x>5時，y的值隨x值的增大而增大，故。選項不符合題意；故選：C.

【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答

是解題關鍵.

19

2.（2020?南京玄武外國語學校初三期末）對于拋物線），=-2（1+1）-+3,下列結論：①拋物線的開口向

下；②對稱軸是過（1,0）且平行于y軸的直線；③頂點坐標為（一1,3）；④XW-2時，y隨X的增大而增大，

其中正確結論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐個判定即可.

【解析】①-L<0則拋物線的開口向下，正確；②拋物線的對稱軸為x=—l,所以對稱軸是過（一1,0）且

2

平行于y軸的直線，錯誤；③因頂點在對稱軸上，即頂點的橫坐標為-1，代入函數(shù)解析式得縱坐標為3,

即頂點坐標為（—1,3）,正確：④當尤<一1時，y隨x的增大而增大，因此xW—2時，y隨x的增大而增大，

正確；綜上，正確的有3個；故答案為：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，熟記二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關鍵.

3.（2020?江蘇揚州初三期末）拋物線y=/+2x+3與），軸的交點為（）

A.（0,2）B.（2,0）C.（0,3）D.（3,0）

【答案】C

【分析】令x=0,則y=3,拋物線與y軸的交點為（0,3）.

【解析】解：令x=0,則y=3,.?.拋物線與y軸的交點為（0,3）,故選：C.

4.（2020?河南省初三月考）已知某二次函數(shù)的圖象與X軸相交于A，8兩點.若該二次函數(shù)圖象的對稱軸

是直線x=3,且點4的坐標是（8,0）,則A8的長為（）

A.5B.8C.10D.11

【答案】C

【分析】根據(jù)拋物線關于對稱軸軸對稱可知A，B兩點關于對稱軸直線x=3對稱，據(jù)此可求出AB的氏.

【解析】?.?二次函數(shù)的圖象與X軸相交于A，B兩點，對稱軸是直線龍=3,

A，5兩點關于對稱軸直線x=3對稱，

???4的坐標是（8,0）,...3的坐標是（一2,0）,.?.48=8-（—2）=1（）.故選：C.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖像與x軸交點的坐標問題，注意拋物線的對稱性是解題的關鍵.

5.（2020?河北省初三期末）小明、小亮、小梅、小花四人共同探究函數(shù)y=/-4x+5的值的情況，他們

作了如下分工：小明負責找函數(shù)值為1時的x值，小亮負責找函數(shù)值為0時的x值，小梅負責找最小值，小

花負責找最大值.幾分鐘后，各自通報探究的結論，其中錯誤的是（）

A.小明認為只有當x=2時，函數(shù)值為1；B.小亮認為找不到實數(shù)x,使函數(shù)值為0；

C.小花發(fā)現(xiàn)當x取大于2的實數(shù)時，函數(shù)值>隨x的增大而增大，因此認為沒有最大值；

D.小梅發(fā)現(xiàn)函數(shù)值y隨x的變化而變化，因此認為沒有最小值

【答案】D

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的最值及圖象上點的坐標特點回答即可.

【解析】因為該拋物線的頂點是（2,1）,所以正確；根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標，知它的最小值是1,所以正

確；根據(jù)圖象，知對稱軸的右側(cè)，即％>2時，y隨x的增大而增大，所以正確；

因為二次項系數(shù)1>0,有最小值，所以錯誤；故選：D.

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與最值問題，準確分析是解題的關鍵.

6.（2020?江蘇省中考真題）下列關于二次函數(shù)y=—（x—加了+加2+1（〃?為常數(shù)）的結論，①該函數(shù)的

圖象與函數(shù)y=的圖象形狀相同；②該函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（0,1）；③當x>0時，y隨x的增大而減

?。虎茉摵瘮?shù)的圖象的頂點在函數(shù)y=f+l的圖像上，其中所有正確的結論序號是.

【答案】①②④

【分析】①兩個二次函數(shù)可以通過平移得到，由此即可得兩個函數(shù)的圖象形狀相同；②求出當x=0時，y

的值即可得；③根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得；④先求出二次函數(shù)y=-(x-/n)2+機2+1的頂點坐標，再

代入函數(shù)y=/+l進行驗證即可得.

【解析】?.?當相＞0時，將二次函數(shù)y=-f的圖象先向右平移m個單位長度，再向上平移機2+1個單位

長度即可得到二次函數(shù)y=—(x—加了+加2+1的圖象；當相＜0時，將二次函數(shù)＞=一一的圖象先向左平

移一加個單位長度，再向上平移機2+1個單位長度即可得到二次函數(shù)y=_(x-m)2+加2+1的圖象

...該函數(shù)的圖象與函數(shù)y=的圖象形狀相同，結論①正確

對于y=-(x-加y+機2+1當x=0時，y--(0-m)2+m2+1=1

即該函數(shù)的圖象定經(jīng)過點(0,1),結論②正確

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當時，y隨x的增大而增大；當X〉機時，y隨x的增大而減小

則結論③錯誤

y=-(x-/w)2+m2+1的頂點坐標為(a,，”？+1)對于二次函數(shù)y=