積分變換與場論拉普拉斯

第二章拉普拉斯變換2.1拉普拉斯變換的概念2.2拉普拉斯變換的性質(zhì)2.3拉普拉斯逆變換2.4卷積2.5拉普拉斯變換的應(yīng)用2.3拉普拉斯逆變換1.基本思想由拉氏變換的概念可知,函數(shù)f(t)的拉氏變換,實際上就是f(t)u(t)e-

t的傅氏變換。在f(t)的連續(xù)點就有等式兩邊同乘以ebt,則

右端的積分稱為拉氏反演積分,它的積分路線是沿著虛軸的方向從虛部的負無窮積分到虛部的正無窮.而積分路線中的實部b則有一些隨意,但必須滿足的條件就是e-btf(t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂.計算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難,但是可以用留數(shù)方法計算.

根據(jù)線性性質(zhì)，把象函數(shù)分解為基本單元的組合，再求取拉普拉斯逆變換。

直接求取相當困難！例如：的根稱為的極點，用表示的根稱為的零點，用表示2.零極點若象函數(shù)F(s)是s的有理分式，可寫為

若m≥n（假分式）,可用多項式除法將象函數(shù)F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。

3.部分分式展開法例由于L-1[1]=

(t)，L

-1[sn]=

(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數(shù)構(gòu)成。下面主要討論有理真分式的情形。若F(s)是s的實系數(shù)有理真分式（m<n)，則可寫為

方程A(s)=0稱為特征方程，它的根稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率）。式中A(s)稱為F(s)的特征多項式，n個特征根pi稱為F(s)的極點。

（1）F(s)為單極點（單根）例解例解特例：若F(s)包含共軛復(fù)根時(p1,2=–±j)K2=K1*例

求象函數(shù)F(s)的拉氏逆變換。解A(s)=0有6個單根，它們分別是s1=0，s2=–1，s3,4=

j1，s5,6=–1

j1，故K1=sF(s)|s=0=2，K2=(s+1)F(s)|s=-1=–1K3=(s–j)F(s)|s=j=j/2=(1/2)ej(

/2),K4=K3*=(1/2)e-j(

/2)K5=(s+1–j)F(s)|s=-1+j=K6=K5*（2）F(s)有重極點（重根）

若A(s)=0在s=p1處有m重根，K11=[(s–p1)mF(s)]|s=p1，K12=(d/ds)[(s–p1)mF(s)]|s=p1

例解5.3拉普拉斯逆變換4.求拉普拉斯逆變換的方法（3）留數(shù)法（1）查表

（2）部分分式展開適用于表中存在的基本象函數(shù)適用于具有有理分式形式的象函數(shù)定理

若s1,s2,...,sn是函數(shù)F(s)的所有奇點(適當選取b使這些奇點全在Re(s)<b的范圍內(nèi)),且當s

時,F(s)0,則有若F(s)為有理分式，其極點的留數(shù)就是部分分式法中的系數(shù)。2.4卷積1.卷積的概念如果f1(t)與f2(t)都滿足條件:當t<0時,f1(t)=f2(t)=0,則上式可以寫成卷積滿足交換律、分配率、結(jié)合律例

求t

*sint。解2.卷積定理若f1(t)←→F1(s)，f2(t)←→F2(s)則f1(t)*f2(t)←→F1(s)F2(s)推論f1(t)*f2(t)*...*fn(t)←→

F1(s)F2(s)...Fn(s)

對一個系統(tǒng)進行分析和研究,首先要知道該系統(tǒng)的數(shù)學模型,也就是要建立該系統(tǒng)特性的數(shù)學表達式。

所謂線性系統(tǒng),在許多場合,它的數(shù)學模型可以用一個線性微分方程來描述,或者說是滿足疊加原理的一類系統(tǒng)。這一類系統(tǒng)無論是在電路理論還是在自動控制理論的研究中,都占有很重要的地位。本節(jié)將應(yīng)用拉氏變換來解線性微分方程和建立線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的概念。2.5拉普拉斯變換的應(yīng)用象原函數(shù)(方程的解)象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏逆變換拉氏變換解代數(shù)方程1.微分方程的拉氏變換解法例解方程y〃+2y′-3y=e-t滿足初始條件

設(shè)L[y(t)]=Y(s).對方程的兩邊取拉氏變換,并考慮到初始條件,則得解例

求解方程組滿足初始條件解對兩個方程取拉氏變換整理得解得2.線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)系統(tǒng)特性激勵x(t)響應(yīng)y(t)（1）一個線性系統(tǒng)可以用一個常系數(shù)線性微分方程來描述。RCe(t)uC(t)any(n)+an-1y(n-1)+...+a1y'+a0y

=bmx(m)+bm-1x(m-1)+...+b1x'+b0x描述n階系統(tǒng)的微分方程的一般形式為

系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y(0-),y′(0-),…，y(n-1)(0-)。t域的微分方程由拉普拉斯變換微分特性，且激勵在t=0時接入，有s域的代數(shù)方程零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)y(t)全響應(yīng)（2）傳遞函數(shù)

在零初始條件下,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)等于其響應(yīng)的拉氏變換與其激勵的拉氏變換之比。零狀態(tài)系統(tǒng)傳遞函數(shù)G(s)激勵x(t)響應(yīng)y(t)X(s)Y(s)它只與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)、元件參數(shù)有關(guān)，而與激勵、初始狀態(tài)無關(guān)。當我們知道了系統(tǒng)的傳遞函數(shù)以后,就可以由系統(tǒng)的激勵求出其響應(yīng)的拉氏變換,再求逆變換可得其零狀態(tài)響應(yīng)y(t)。（3）脈沖響應(yīng)函數(shù)（沖激響應(yīng)）

G(s)d(t)g(t)或 Y(s)=G(s)X(s)，則由卷積定理可得系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)g(t)=L-1[G(s)]當激勵是一個單位脈沖函數(shù),則在零初始條件下,有

L[x(t)]=L[d(t)]=X(s)=1

所以 Y(s)=G(s)即y(t)=g(t)（4）頻率響應(yīng)相頻響應(yīng)幅頻響應(yīng)

可以證明,當激勵是角頻率為w的虛指數(shù)函數(shù)(也稱為復(fù)正弦函數(shù))x(t)=ejwt時,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是y(t)=G(jw)ejwt。因此頻率響應(yīng)在工程技術(shù)中又稱為正弦傳遞函數(shù)。如圖所示RC電路,當e(t)看成激勵,則響應(yīng)uC(t)與e(t)滿足的