大學(xué)文科數(shù)學(xué)課件：隨機(jī)事件及其概率

隨機(jī)事件及其概率10.1隨機(jī)事件10.2隨機(jī)事件的概率10.3條件概率

10.1隨機(jī)事件

10.1.1隨機(jī)試驗(yàn)

(1)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；

(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，并且能事先明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果；

(3)進(jìn)行一次試驗(yàn)之前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．

E1：拋一枚硬幣，觀察正面H、反面T出現(xiàn)的情況;

E2：將一枚硬幣拋五次，觀察出現(xiàn)正面的次數(shù);

E3：拋一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù);

E4：記錄車站售票處一天內(nèi)售出的車票數(shù);

E5：一口袋中裝有許多紅色、白色、藍(lán)色的乒乓球，在其中任取兩只，觀察它們的顏色;

E6：記錄某地一晝夜的最高溫度和最低溫度．10.1.2樣本空間

S1={H，T}；

S2={0，1，2，3，4，5}；

S3={1，2，3，4，5，6}；

S4={1，2,…,n}，這里的n是售票處一天內(nèi)準(zhǔn)備出售的車票數(shù)；

S5={紅白，紅藍(lán)，藍(lán)白，紅紅，藍(lán)藍(lán)，白白}；

S6={(x,y)|T0≤x≤y≤T1}，這里x表示最低溫度，y表示最高溫度,并設(shè)這一地區(qū)的溫度不會(huì)小于T0，也不會(huì)大于T1．10.1.3隨機(jī)事件

在E3中，如果用A表示事件“擲出奇點(diǎn)數(shù)”，那么A是一個(gè)隨機(jī)事件．由于在一次投擲中，當(dāng)且僅當(dāng)擲出的點(diǎn)數(shù)是1、3、5中的任何一個(gè)時(shí)才稱事件A發(fā)生了，所以我們把事件A表示為A={1,3,5}．同樣地，若用B表示事件“擲出偶點(diǎn)數(shù)”，那么B也是一個(gè)隨機(jī)事件，B={2,4,6}．10.1.4事件間的關(guān)系與運(yùn)算

（1）事件的包含與相等.若事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事件B

發(fā)生，則稱事件A包含事件B，記為A

B．若A

B且

B

A，即A=B，則稱事件A與事件B相等．

（2）事件的和.事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的和事件，記為A∪B.事件A∪B發(fā)生意味著：或事件A發(fā)生，或事件B發(fā)生，或事件A與事件B都發(fā)生．（3）事件的積.事件A與事件B都發(fā)生的事件稱為事件

A與事件B的積事件，記為A∩B，也簡(jiǎn)記為AB．事件A∩B（或AB）發(fā)生意味著:事件A發(fā)生且事件B也發(fā)生，即A與B都發(fā)生．（4）事件的差.事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生的事件稱為事件A與事件B的差事件，記為A－B．

例如，從1,2,3，…，10這10個(gè)數(shù)中任取一個(gè)，A={取奇數(shù)}={1,3,5,7,9}，B={取3的倍數(shù)}={3,6,9}，則A－B=

{1,5,7}，B－A={6}．

（5）互不相容事件(互斥).若事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生，即AB=，則稱事件A與事件B是互斥的，或稱它們是互不相容的．若事件A1,A2,…,An中的任意兩個(gè)都互斥，則稱這些事件是兩兩互斥的．

(6)對(duì)立事件.“A不發(fā)生”的事件稱為事件A的對(duì)立事件，記為A.A和A滿足：

A∪A=S，AA=，A=A．（7）事件運(yùn)算滿足的定律.設(shè)A、B、C為事件，則有

10.2隨機(jī)事件的概率

10.2.1概率的統(tǒng)計(jì)定義

例10.2.1

將一枚硬幣擲n次，觀察在n次試驗(yàn)中“正面向上”這個(gè)事件A出現(xiàn)的可能性的大小，兩位學(xué)者的試驗(yàn)結(jié)果如表10.2.1所示．定義10.2.1

設(shè)有隨機(jī)試驗(yàn)E，若當(dāng)試驗(yàn)的次數(shù)n充分大時(shí)，事件A的發(fā)生頻率fn(A)穩(wěn)定在某數(shù)p附近擺動(dòng)，而且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增大，擺動(dòng)的幅度越來越小，則稱數(shù)p為事件的概率，記為P(A)=p.

概率的這種定義，稱為概率的統(tǒng)計(jì)定義．

定義10.2.2

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S，若對(duì)于E的每一個(gè)事件A都有一個(gè)實(shí)數(shù)P(A)與之對(duì)應(yīng)，且P(A)滿足下列三個(gè)條件：

（1）非負(fù)性：對(duì)E中的每一個(gè)事件A，有0≤P(A)≤1；

（2）規(guī)范性：P(S)=1；

（3）可列可加性：對(duì)于兩兩互不相容的事件A1,A2,…,An,…，有

則稱P(A)為事件A的概率．10.2.2概率的基本性質(zhì)

由概率的定義及事件的運(yùn)算關(guān)系，可以證明以下性質(zhì)：特別地，若A

B，則P(B－A)=P(B)－P(A)，P(B)≥P(A)；（6）對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有

P(A∪B)=P(A)+P(B)－P(AB)

這條性質(zhì)可以推廣到多個(gè)事件．設(shè)A1,A2,…,An是任意n個(gè)事件，則有10.2.3等可能概型（古典概型）

例10.2.3

從30名學(xué)生中隨機(jī)挑選一人參加社會(huì)實(shí)踐，顯然，每個(gè)人都可能被選到，即有30個(gè)樣本點(diǎn)，而且由于選到30名學(xué)生中的任何一名機(jī)會(huì)均等，故選到每名學(xué)生的可能性都是1／30．設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間為S={e1,e2,…,en}，P(ei)=1／n．若事件A包含k個(gè)基本事件，則

例10.2.5

在箱中裝有100個(gè)產(chǎn)品，其中有3個(gè)次品，為檢查產(chǎn)品質(zhì)量，從這箱產(chǎn)品中任意抽5個(gè)，求抽得5個(gè)產(chǎn)品中恰有一個(gè)次品的概率．

解從100個(gè)產(chǎn)品中任意抽取5個(gè)產(chǎn)品，共有C5100種抽取方法，事件A={有1個(gè)次品，4個(gè)正品}的取法共有C13C497種取法，故得事件A的概率為

例10.2.6

將N個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子中(n>N)，求：

（１）每個(gè)盒子最多有一個(gè)球的概率；

（２）某指定的盒子中恰有m（m<N）個(gè)球的概率．解這顯然也是等可能問題．

先求N個(gè)球隨機(jī)地放入n個(gè)盒子的方法總數(shù)．因?yàn)槊總€(gè)球都可以落入n個(gè)盒子中的任何一個(gè)，有n種不同的放法，所以N個(gè)球放入n個(gè)盒子共有種不同的放法．（1）事件A={每個(gè)盒子最多有一個(gè)球}的放法．第一個(gè)

球可以放進(jìn)n個(gè)盒子之一，有n種放法；第二個(gè)球只能放進(jìn)余下的n－1個(gè)盒子之一，有n－1種放法；…;第N個(gè)球只能放

進(jìn)余下的n－N+1個(gè)盒子之一，有n－N+1種放法.所以共有

n(n－1)…(n－N+1)種不同的放法．故得事件A的概率為（2）事件B={某指定的盒子中恰有m個(gè)球}的放法．先從N個(gè)球中任選m個(gè)分配到指定的某個(gè)盒子中，共有CmN種選法；再將剩下的N－m個(gè)球任意分配到剩下的n－1個(gè)盒子中，共有(n－1)N－m種放法．所以，事件B的概率為注意有許多問題和本例具有相同的數(shù)學(xué)模型．例如，假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的（都為1/365），那么隨機(jī)選取N個(gè)人（N≤365），他們的生日各不相同的概率可由本例（1）的結(jié)果給出（這里n=365），即

因而，N個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率為例10.2.7在１~９的整數(shù)中可重復(fù)地隨機(jī)取６個(gè)數(shù)組成６位數(shù)，求下列事件的概率：

（１）６個(gè)數(shù)完全不同；

（２）６個(gè)數(shù)不含奇數(shù)；

（３）６個(gè)數(shù)中５恰好出現(xiàn)4次．解從9個(gè)數(shù)中允許重復(fù)地取6個(gè)數(shù)進(jìn)行排列，共有96種排列方法．

（1）事件A={６個(gè)數(shù)完全不同}的取法有9×8×7×6×

5×4種，故（2）事件B={６個(gè)數(shù)不含奇數(shù)}的取法．因?yàn)?個(gè)數(shù)只能在2、4、6、8四個(gè)數(shù)中選，每次有4種取法，所以共有46種取法．故（3）事件C={６個(gè)數(shù)中５恰好出現(xiàn)4次}的取法．因?yàn)?個(gè)數(shù)中５恰好出現(xiàn)4次可以是6次中的任意4次，出現(xiàn)的方式有C46種，剩下的兩種只能在1、2、3、4、6、7、8、9中任取，共有82種取法．故*10.2.4幾何概型

（1）樣本空間S是一個(gè)大小可以計(jì)量的幾何區(qū)域（如線段、平面、立體）;

（2）向區(qū)域內(nèi)任意投一點(diǎn)，落在區(qū)域S內(nèi)任意點(diǎn)處都是“等可能的”．那么，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)域A的概率為稱上式定義的概率為幾何概率．

例10.2.8

在區(qū)間［０，４］上任投一點(diǎn)，求此點(diǎn)落入?yún)^(qū)間（1，2）內(nèi)的概率．

解因必然事件S就是區(qū)間［0，4］，故按幾何概率的定義可得所求概率

例10.2.9

甲、乙兩人相約８至12點(diǎn)在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，

先到的人等候另一人30分鐘后離去，求甲、乙兩人能會(huì)面的概率．

解以X、Y分別表示甲、乙兩人到達(dá)的時(shí)刻，那么8≤X≤12，8≤Y≤12．若以（X，Y）表示平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)，則所有基本事

件可以用這平面上的邊長為4的一個(gè)正方形：8≤X≤12、8≤Y≤12內(nèi)的所有點(diǎn)表示出來．兩人能會(huì)面的充分必要條件是|X－Y|≤1/2（圖10.2.1中陰影部分），所以所求的概率為圖10.2.110.3條件概率

10.3.1條件概率

例10.3.1

某師范大學(xué)教育系一年級(jí)共有學(xué)生100人，其中女生80人，來自甲省的40人中有女生35人.設(shè)事件A為從全年級(jí)學(xué)生中任抽取一人為女生，事件B為從全年級(jí)學(xué)生中任抽取一人來自甲省，求從來自甲省的學(xué)生中任抽取一人為女生的概率.解顯然P(A)=0.8，P(B)=0.4,而P(A|B)=35/40≠P(A)，即附加條件B之后，A的概率發(fā)生了變化，而定義10.3.1

設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(B)>0，稱10.3.2乘法公式

定理10.3.1（乘法公式）設(shè)P(A)>0，P(B)>0，則有

P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)

利用這個(gè)公式可以計(jì)算積事件的概率．乘法公式可以推廣到n個(gè)事件的情形：若n≥2，P(A1A2…An－1)>0，則

例10.3.3

兩個(gè)學(xué)生依次從10道試題中各抽取一題口試，設(shè)抽到每道題是等可能的.如果第一個(gè)學(xué)生把抽到的題放回去，第二個(gè)學(xué)生再抽，求兩個(gè)學(xué)生都抽到試題1的概率.

解設(shè)第i個(gè)學(xué)生抽到試題1的事件為Ai(i=1,2)，則兩個(gè)學(xué)生都抽到試題1的事件為A1A2．由乘法公式得

P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)由于抽取方式是有放回的，因此第二個(gè)學(xué)生抽到試題1的概率不受第一個(gè)學(xué)生是否抽到試題1的影響，即故

定義10.3.2(事件的獨(dú)立性）設(shè)A、B是兩事件，若滿足P(AB)=P(A)P(B)，則稱事件A、B相互獨(dú)立．

定理10.3.2

設(shè)事件A、B相互獨(dú)立，且P(AB)>0，則

P(A|B)=P(A)．

例10.3.4

兩門高射炮彼此獨(dú)立地射擊一門敵機(jī)，設(shè)甲炮擊中敵機(jī)的概率為0.9，乙炮擊中敵機(jī)的概率為0.8，求敵機(jī)被擊中的概率．解設(shè)A={甲炮擊中敵機(jī)}，B={乙炮擊中敵機(jī)}，那么，{敵機(jī)被擊中}=A∪B.因?yàn)锳與B相互獨(dú)立，所以有10.3.3全概率公式和貝葉斯公式

1.全概率公式

定理10.3.4（全概率公式）若A1,A2,…,An為樣本空間

S的一個(gè)事件組，且滿足：

（1）A1,A2,…,An兩兩互不相容，且P(Ai)>0(i=1,2,…,n);

（2）A1∪A2∪…∪An=S,則對(duì)S中的任意一個(gè)事件B都有

例10.3.5

某廠有四個(gè)分廠生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這