大學(xué)物理課件-剛體力學(xué)基礎(chǔ)

剛體力學(xué)基礎(chǔ)

§2.1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)學(xué)

§2.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)

剛體力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)包括剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和動(dòng)能定理，剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理及角動(dòng)量守恒定律§2.1剛體定軸轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)一、剛體的概念剛體形狀和大小完全不變的物體．研究剛體力學(xué)時(shí)，通常把剛體分成許多部分，每一部分都小到可看作質(zhì)點(diǎn)，叫作剛體的質(zhì)元．由于剛體不變形，各質(zhì)元間距離不變，質(zhì)元間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系叫作不變質(zhì)點(diǎn)系．

剛體力學(xué)的基本方法:把剛體看作不變質(zhì)點(diǎn)系并運(yùn)用已知的質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)規(guī)律去研究二、剛體的基本運(yùn)動(dòng)1.平動(dòng)

平動(dòng)的剛體可當(dāng)成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)來(lái)處理。

如果物體上的所有質(zhì)元都繞某同一直線作圓周運(yùn)動(dòng)，這種運(yùn)動(dòng)就稱之為轉(zhuǎn)動(dòng)，這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。2.

轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體在運(yùn)動(dòng)中，其上任意兩點(diǎn)的連線始終保持平行。平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)中兩種基本形式.AA

若轉(zhuǎn)動(dòng)軸固定不動(dòng)，這種轉(zhuǎn)動(dòng)稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng).這個(gè)轉(zhuǎn)軸稱為固定軸，3.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

剛體的一般運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的平動(dòng)繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)+2.角位移、角速度和角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)平面：垂直于固定軸的平面

1.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述可以采用類似質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的角位移、角速度、角加速度的定義方法來(lái)定義繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角位移、角速度、角加速度．軸上所有各點(diǎn)都保持不動(dòng)，軸外所有各點(diǎn)在同一時(shí)間間隔內(nèi)轉(zhuǎn)過(guò)的角度都一樣．所有質(zhì)點(diǎn)的線量一般不同，但角量都相同.

3.角量與線量的關(guān)系規(guī)定：角速度矢量的正方向沿轉(zhuǎn)軸，且和剛體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)組成右手螺旋系統(tǒng)．剛體上各質(zhì)元的角量(即角位移、角速度、角加速度)相同，而各質(zhì)元的線量(即線位移、線速度、線加速度)大小與質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離成正比。§2.2剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)一、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律0大小:M=F·r·sin

方向：右螺旋單位：N·m在直角坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸的分量為力矩為零的情況:(1)力

等于零；(2)力

的作用線與矢徑共線即(sin

=0)。1.力矩:（1）對(duì)一固定點(diǎn)O的力矩（2）力F對(duì)Z軸的力矩：力F對(duì)Z軸的力矩大小等于力的大小與力臂的乘積OB為Z軸與力F的垂直距離，稱為力臂d若力F在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：力F對(duì)Z軸的力矩：力F分解為平行于Z軸的分量和垂直于Z軸的分量，關(guān)系：力F對(duì)Z軸上任意一點(diǎn)的力矩在Z軸上的投影等于力F對(duì)Z軸的力矩。若力F不在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)：不改變物體繞Z軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài),對(duì)Z軸的力矩為零剛體繞定軸Z轉(zhuǎn)動(dòng)．在剛體上任取一質(zhì)元Δmi，它繞Z軸作圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為ri

。根據(jù)牛頓第二定律2.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律在轉(zhuǎn)動(dòng)平面內(nèi)，設(shè)它所受的合外力為Fi，合內(nèi)力為fi，與矢徑ri的夾角分別為和θi.對(duì)剛體所有質(zhì)元求和，并考慮到各質(zhì)元角加速度相同，有

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比.這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律.將切向方程的兩邊各乘以ri，可得合外力矩合內(nèi)力矩——轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有轉(zhuǎn)動(dòng)定律是力矩的瞬時(shí)作用規(guī)律．說(shuō)明：式中各量均須對(duì)同一剛體、同一轉(zhuǎn)軸而言．它在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的地位相當(dāng)于牛頓第二定律在平動(dòng)中的地位．剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律

3.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小與三個(gè)因素有關(guān)：①與剛體的總質(zhì)量有關(guān)；②與剛體質(zhì)量對(duì)軸的分布有關(guān)；③與軸的位置有關(guān)。單個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系

質(zhì)量連續(xù)分布單位為千克·米2（kg·m2）剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量就是組成剛體的各質(zhì)元的質(zhì)量與其到轉(zhuǎn)軸的距離的平方的乘積之和．例2-1:求質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒的中心并與棒垂直；(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直。解:(1)在棒上任取一質(zhì)量元

(2)轉(zhuǎn)軸通過(guò)棒一端并與棒垂直由此看出，同一均勻細(xì)棒，轉(zhuǎn)軸位置不同，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也就不同．4.轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用例2-2:如圖所示，質(zhì)量均為m的兩物體A，B.A放在傾角為θ的光滑斜面上，通過(guò)定滑輪由不可伸長(zhǎng)的輕繩與B相連．定滑輪是半徑為R的圓盤，其質(zhì)量也為m.物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩與滑輪無(wú)相對(duì)滑動(dòng)．求繩中張力T1和T2及物體的加速度a(輪軸光滑)．因繩輕,有對(duì)滑輪，

由轉(zhuǎn)動(dòng)定律由于繩不可伸長(zhǎng)解：對(duì)于作平動(dòng)的物體A、B，以加速度方向?yàn)檎膳ｎD定律得①②③④⑤⑥聯(lián)立①，②，③，④，⑤，⑥式得1.力矩的功zd

i

對(duì)i求和，則力矩的元功M為作用于剛體上外力矩之和

(∵內(nèi)力矩之和為零)力矩的功率為：當(dāng)輸出功率一定時(shí),力矩與角速度成反比。二、力矩的功與剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律2.轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能

剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能等于剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度平方乘積的一半比較：3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理：

合外力矩對(duì)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體所做的功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量.這就是剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)能定理.定義:

質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的矢徑與質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢積定義為該時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于O點(diǎn)的動(dòng)量矩（也稱為角動(dòng)量），用表示

0大小:L=r·p·sinq方向：右螺旋單位：kg·m2·s-1三、動(dòng)量矩與動(dòng)量矩守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律（1）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩：在直角坐標(biāo)系中表示當(dāng)質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)

L＝rmu=mr2

o由牛頓定律質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理

作用在質(zhì)點(diǎn)上的力矩等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的變化率。（2）質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律：若,則=常矢量

質(zhì)點(diǎn)所受外力對(duì)某固定點(diǎn)的力矩為零，則質(zhì)點(diǎn)對(duì)該固定點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒，這就是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒定律.

動(dòng)量矩守恒定律是物理學(xué)的基本定律之一，它不僅適用于宏觀體系、低速運(yùn)動(dòng)，也適用于微觀體系、高速運(yùn)動(dòng)。例2-3:質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)拴在一條細(xì)繩上，繩子通過(guò)一光滑的套管可以往下?tīng)恳?，使m在光滑水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)繩長(zhǎng)為r0時(shí)以速率v0轉(zhuǎn)動(dòng)，求把繩子縮到r時(shí)外界對(duì)物體所做的功.解：物體在水平方向上只受繩子的拉力，該力對(duì)圓心O的力矩為零.所以物體對(duì)O的動(dòng)量矩守恒，于是有r0mv0＝rmv

由動(dòng)能定理，此即外界對(duì)物體所做的功.即在此過(guò)程中物體動(dòng)能的增量為2.剛體的動(dòng)量矩和動(dòng)量矩守恒定律剛體對(duì)某定軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與角速度的乘積，方向沿該轉(zhuǎn)動(dòng)軸，并與這時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度方向相同．設(shè)剛體上某質(zhì)元P的質(zhì)量為Δmi，其到軸的距離為ri，轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω，則該質(zhì)元對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩大小為——方向沿轉(zhuǎn)軸方向?qū)M成剛體的所有質(zhì)元求和，得（1）剛體的動(dòng)量矩：由轉(zhuǎn)動(dòng)定律，有即定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體所受的合外力矩等于此時(shí)剛體角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率．（2）剛體的動(dòng)量矩守恒定律：剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理若則L=Jw=恒量

外力對(duì)某軸的力矩之和為零，則該剛體對(duì)同一軸的動(dòng)量矩守恒.——?jiǎng)傮w定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩守恒定律

剛體組繞同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩守恒總角動(dòng)量L=J1w1+J2w2+…=常量動(dòng)量矩守恒定律的兩種情況：(1)

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量保持不變的剛體例：回轉(zhuǎn)儀(2)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可變的物體當(dāng)J增大時(shí)，就減小當(dāng)J減小時(shí)，就增大而保持不變例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員裝置反向轉(zhuǎn)動(dòng)的雙旋翼產(chǎn)生反向角動(dòng)量而相互抵消例2-4:在工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)．如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上．A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JA＝10kg·m2，B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為JB＝20kg·m2.開始時(shí)A輪每分鐘的轉(zhuǎn)速為600轉(zhuǎn)，B輪靜止，C為摩擦嚙合器．求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速，在嚙合過(guò)程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？解：以飛輪A，B和嚙合器C為系統(tǒng)．在嚙合過(guò)程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器之間的切向摩擦力．前者對(duì)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩．系統(tǒng)所受合外力矩為零，所以系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒，即ω為兩輪嚙合后的共同角速度.則在嚙合過(guò)程中，摩擦力矩做功，機(jī)械能不守恒，損失的機(jī)械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能．損失的機(jī)械能為把各量代入上式，得例2-5:如圖所示，質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均勻細(xì)棒，可繞過(guò)其一端的水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)．現(xiàn)將細(xì)棒拉到水平位置(OA′)后放手，細(xì)棒下擺到豎直位置(OA)時(shí)，與靜止放置在水平面A處的質(zhì)量為M的物塊作完全彈性碰撞，物體在水平面上向右滑