《相似三角形》經典60題

朽木易折，金石可鏤。千里之行，始于足下。第頁/共頁中考數學提分沖刺真題精析：相似三角形一、解答題（共65小題）1．（2014?淄博）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分離是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=AC=BD．銜接MF，NF．（1）判斷△BMN的形狀，并證實你的結論；（2）判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由．2．（2014?岳陽）如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點位置，AE=60cm．倘若小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經過反彈后，球剛好彈到D點位置．（1）求證：△BEF∽△CDF；（2）求CF的長．3．（2014?永州）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點，銜接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長．4．（2014?營口）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分離為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1，并直接寫出C1點坐標；（2）以原點O為位似中央，位似比為1：2，在y軸的左側，畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出C2點坐標；（3）倘若點D（a，b）在線段AB上，請直接寫出經過（2）的變化后點D的對應點D2的坐標．5．（2014?義烏市）等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F，銜接AF，BE相交于點P．（1）若AE=CF；①求證：AF=BE，并求∠APB的度數；②若AE=2，試求AP?AF的值；（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經過的路徑長．6．（2014?揚州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA．①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數；（3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延伸線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．7．（2014?煙臺）如圖，AB是⊙O的直徑，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點D在PC上．設∠PCB=α，∠POC=β．求證：tanα?tan=．8．（2014?湘西州）如圖，在8×8的正方形網格中，△CAB和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，AC與網格上的直線相交于點M．（1）填空：AC=，AB=．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判斷△CAB和△DEF是否相似？并說明理由．9．（2014?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點，AB=13，AC=5．（1）如圖（1），若點P是的中點，求PA的長；（2）如圖（2），若點P是的中點，求PA的長．10．（2014?銅仁地區(qū)）如圖所示，AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，求證：=．11．（2014?泰安）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，∠ADB=∠ACB．（1）求證：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形．12．（2014?綏化）已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分離為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是；（2）以點B為位似中央，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是；（3）△A2B2C2的面積是平方單位．13．（2014?紹興）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分離在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）倘若原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分離為多少mm？請你計算．（2）倘若原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能決定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．14．（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD相交于點F，點E是邊BC延伸線上一點，且∠CDE=∠ABD．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）銜接AE，交BD于點G，求證：=．15．（2014?陜西）某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊挑選了一點B（點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所決定的直線垂直于河岸）．①小明在B點面向樹的方向站好，調節(jié)帽檐，使視線通過帽檐正巧落在樹的底部點D處，如圖所示，這時小亮測得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉動180°后蹲下，并保持本來的看見姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時視線通過帽檐落在了DB延伸線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．按照以上測量過程及測量數據，請你求出河寬BD是多少米？16．（2014?黔南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿意=，銜接AF并延伸交⊙O于點E，銜接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求證：△ADF∽△AED；（2）求FG的長；（3）求證：tan∠E=．17．（2014?寧夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，銜接AP．（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿意關系式BC=λAC，是否存在一個λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．18．（2014?南通）如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延伸線上隨意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，銜接EB，GD．（1）求證：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的長．19．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的動點，過D作DF⊥BC于F，過F作FE∥AC，交AB于E．設CD=x，DF=y．（1）求y與x的函數關系式；（2）當四邊形AEFD為菱形時，求x的值；（3）當△DEF是直角三角形時，求x的值．20．（2014?眉山）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于點O，E為AC上一點，且AE=OC．（1）求證：AP=AO；（2）求證：PE⊥AO；（3）當AE=AC，AB=10時，求線段BO的長度．21．（2014?瀘州）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2=CE?CA．（1）求證：BC=CD；（2）分離延伸AB，DC交于點P，過點A作AF⊥CD交CD的延伸線于點F，若PB=OB，CD=，求DF的長．22．（2014?柳州）如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動點P，銜接PD，線段PD繞點P順時針旋轉90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，銜接DF，過點E作EQ⊥AB的延伸線于點Q．（1）求線段PQ的長；（2）問：點P在何處時，△PFD∽△BFP，并說明理由．23．（2014?柳州）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D．（1）求證：△ABE∽△ADC；（2）請銜接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點F，若點F恰好是OD的中點．求證：四邊形OBDC是菱形．24．（2014?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，銜接CM交BD于點N，且ON=1．（1）求BD的長；（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．25．（2014?福州）如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設運動時光為t秒．（1）當t=秒時，則OP=，S△ABP=；（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ?BP=3．26．（2014?防城港）如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，銜接AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，銜接NP，BP．（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；（2）線段MN與CD交于點Q，銜接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數量關系？請說明理由．27．（2014?東營）【探索發(fā)現】如圖1，△ABC是等邊三角形，∠AEF=60°，EF交等邊三角形外角平分線CF所在的直線于點F，當點E是BC的中點時，有AE=EF成立；【數學思量】某數學興趣小組在探索AE、EF的關系時，運用“從異常到普通”的數學思想，通過驗證得出如下結論：當點E是直線BC上（B，C除外）隨意一點時（其它條件不變），結論AE=EF依然成立．倘若你是該興趣小組中的一員，請你從“點E是線段BC上的隨意一點”；“點E是線段BC延伸線上的隨意一點”；“點E是線段BC反向延伸線上的隨意一點”三種情況中，任選一種情況，在備用圖1中畫出圖形，并證實AE=EF．【拓展應用】當點E在線段BC的延伸線上時，若CE=BC，在備用圖2中畫出圖形，并運用上述結論求出S△ABC：S△AEF的值．28．（2014?大慶）如圖，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，點D在邊AC上且BD平分∠ABC，設CD=x．（1）求證：△ABC∽△BCD；（2）求x的值；（3）求cos36°﹣cos72°的值．29．（2014?郴州）在13×13的網格圖中，已知△ABC和點M（1，2）．（1）以點M為位似中央，位似比為2，畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′；（2）寫出△A′B′C′的各頂點坐標．30．（2014?巴中）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC三個頂點坐標分離為A（﹣2，4），B（﹣2，1），C（﹣5，2）．（1）請畫出△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1．（2）將△A1B1C1的三個頂點的橫坐標與縱坐標同時乘以﹣2，得到對應的點A2，B2，C2，請畫出△A2B2C2．（3）求△A1B1C1與△A2B2C2的面積比，即：=（不寫解答過程，直接寫出結果）．31．（2013?益陽）如圖，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求證：△ABD∽△CBE．32．（2013?銅仁市）為了測量旗桿AB的高度．甲學生畫出了暗示圖1，并把測量結果記錄如下，BA⊥EA于A，DC⊥EA于C，CD=a，CA=b，CE=c；乙學生畫出了暗示圖2，并把測量結果記錄如下，DE⊥AE于E，BA⊥AE于A，BA⊥CD于C，DE=m，AE=n，∠BDC=α．（1）請你協(xié)助甲學生計算旗桿AB的高度（用含a、b、c的式子表示）；（2）請你協(xié)助乙學生計算旗桿AB的高度（用含m、n、α的式子表示）．33．（2013?汕頭）如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF，使得另一邊EF過原矩形的頂點C．（1）設Rt△CBD的面積為S1，Rt△BFC的面積為S2，Rt△DCE的面積為S3，則S1S2+S3（用“＞”、“=”、“＜”填空）；（2）寫出如圖中的三對相似三角形，并挑選其中一對舉行證實．34．（2013?莆田）定義：如圖1，點C在線段AB上，若滿意AC2=BC?AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．如圖2，△ABC中，AB=AC=2，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點D．（1）求證：點D是線段AC的黃金分割點；（2）求出線段AD的長．35．（2013?寧夏）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC三個頂點的坐標分離為A（﹣1，2），B（﹣3，4）C（﹣2，6）（1）畫出△ABC繞點A順時針旋轉90°后得到的△A1B1C1（2）以原點O為位似中央，畫出將△A1B1C1三條邊放大為本來的2倍后的△A2B2C2．36．（2013?佛山）網格圖中每個方格都是邊長為1的正方形．若A，B，C，D，E，F都是格點，試說明△ABC∽△DEF．37．（2013?德宏州）如圖，是一個照相機成像的暗示圖．（1）倘若像高MN是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點離景物有多遠？（2）倘若要殘破的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m，像高不變，則相機的焦距應調節(jié)為多少？38．（2013?濱州）某高中小學為高一新生設計的學生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA=CD，BC=20cm，BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距離分離為40cm、8cm．為使板凳兩腿底端A、D之間的距離為50cm，那么橫梁EF應為多長？（材質及其厚度等暫忽略不計）．39．（2012?武漢）已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6（1）如圖1，點M為AB的中點，在線段AC上取點N，使△AMN與△ABC相似，求線段MN的長；（2）如圖2，是由100個邊長為1的小正方形組成的10×10的正方形網格，設頂點在這些小正方形頂點的三角形為格點三角形．①請你在所給的網格中畫出格點△A1B1C1與△ABC全等（畫出一個即可，不需證實）②試直接寫出所給的網格中與△ABC相似且面積最大的格點三角形的個數，并畫出其中一個（不需證實）．40．（2012?上海）己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分離在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點G．（1）求證：BE=DF；（2）當=時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．41．（2012?陜西）如圖，正三角形ABC的邊長為3+．（1）如圖①，正方形EFPN的頂點E、F在邊AB上，頂點N在邊AC上，在正三角形ABC及其內部，以點A為位似中央，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大（不要求寫作法）；（2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的邊長；（3）如圖②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在邊AB上，點P、N分離在邊CB、CA上，求這兩個正方形面積和的最大值和最小值，并說明理由．42．（2012?南京）下框中是小明對一道題目的解答以及教師的批改．題目：某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1，在溫室內，沿前側內墻保留3m的空地，其他三側內墻各保留1m的通道，當溫室的長與寬各為多少時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？解：設矩形蔬菜種植區(qū)域的寬為xm，則長為2xm，按照題意，得x?2x=288．解這個方程，得x1=﹣12（不合題意，舍去），x2=12所以溫室的長為2×12+3+1=28（m），寬為12+1+1=14（m）答：當溫室的長為28m，寬為14m時，矩形蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2．我的結果也準確！小明發(fā)現他解答的結果是準確的，但是教師卻在他的解答中畫了一條橫線，并打了一個？．結果為何準確呢？（1）請指出小明解答中存在的問題，并補充缺少的過程：變化一下會怎樣…（2）如圖，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD的內部，AB∥A′B′，AD∥A′D′，且AD：AB=2：1，設AB與A′B′、BC與B′C′、CD與C′D′、DA與D′A′之間的距離分離為a、b、c、d，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD，a、b、c、d應滿意什么條件？請說明理由．43．（2012?連云港）如圖，甲、乙兩人分離從A（1，）、B（6，0）兩點同時出發(fā)，點O為坐標原點，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行駛，th后，甲到達M點，乙到達N點．（1）請說明甲、乙兩人到達O點前，MN與AB不可能平行；（2）當t為何值時，△OMN∽△OBA；（3）甲、乙兩人之間的距離為MN的長，設s=MN2，求s與t之間的函數關系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值．44．（2012?錦州）如圖所示，圖中的小方格都是邊長為1的正方形，△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中央的位似圖形，它們的頂點都在小正方形的頂點上．（1）畫出位似中央點O；（2）直接寫出△ABC與△A′B′C′的位似比；（3）以位似中央O為坐標原點，以格線所在直線為坐標軸建立平面直角坐標系，畫出△A′B′C′關于點O中央對稱的△A″B″C″，并直接寫出△A″B″C″各頂點的坐標．45．（2012?衡陽）如圖，A、B兩點的坐標分離是（8，0）、（0，6），點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A作勻速直線運動，速度為每秒3個單位長度，點Q由A出發(fā)沿AO（O為坐標原點）方向向點O作勻速直線運動，速度為每秒2個單位長度，銜接PQ，若設運動時光為t（0＜t＜）秒．解答如下問題：（1）當t為何值時，PQ∥BO？（2）設△AQP的面積為S，①求S與t之間的函數關系式，并求出S的最大值；②若我們規(guī)定：點P、Q的坐標分離為（x1，y1），（x2，y2），則新坐標（x2﹣x1，y2﹣y1）稱為“向量PQ”的坐標．當S取最大值時，求“向量PQ”的坐標．46．（2012?菏澤）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網格中，△ABC和△DEF的頂點都在格點上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF邊上的5個格點，請按要求完成下列各題：（1）試證實三角形△ABC為直角三角形；（2）判斷△ABC和△DEF是否相似，并說明理由；（3）畫一個三角形，使它的三個頂點為P1，P2，P3，P4，P5中的3個格點并且與△ABC相似（要求：不寫作法與證實）．47．（2012?河北）如圖，點E是線段BC的中點，分離以BC為直角頂點的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同側．（1）AE和ED的數量關系為；AE和ED的位置關系為；（2）在圖1中，以點E為位似中央，作△EGF與△EAB位似，點H是BC所在直線上的一點，銜接GH，HD．分離得到圖2和圖3．①在圖2中，點F在BE上，△EGF與△EAB的相似比1：2，H是EC的中點．求證：GH=HD，GH⊥HD．②在圖3中，點F在的BE延伸線上，△EGF與△EAB的相似比是k：1，若BC=2，請直接寫CH的長為多少時，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代數式表示）．48．（2012?桂林）如圖，△ABC的頂點坐標分離為A（1，3）、B（4，2）、C（2，1）．（1）作出與△ABC關于x軸對稱的△A1B1C1，并寫出A1、B1、C1的坐標；（2）以原點O為位似中央，在原點的另一側畫出△A2B2C2，使=．49．（2012?恩施州）如圖，用紙折出黃金分割點：裁一張正方的紙片ABCD，先折出BC的中點E，再折出線段AE，然后通過折疊使EB落到線段EA上，折出點B的新位置B′，因而EB′=EB．類似地，在AB上折出點B″使AB″=AB′．這時B″就是AB的黃金分割點．請你證實這個結論．50．（2012?丹東）已知：△ABC在坐標平面內，三個頂點的坐標分離為A（0，3），B（3，4），C（2，2）．（正方形網格中，每個小正方形的邊長是1個單位長度）（1）畫出△ABC向下平移4個單位得到的△A1B1C1，并直接寫出C1點的坐標；（2）以點B為位似中央，在網格中畫出△A2BC2，使△A2BC2與△ABC位似，且位似比為2：1，并直接寫出C2點的坐標及△A2BC2的面積．51．（2012?常州）在平面直角坐標系xOy中，已知△ABC和△DEF的頂點坐標分離為A（1，0）、B（3，0）、C（2，1）、D（4，3）、E（6，5）、F（4，7）．按下列要求畫圖：以O為位似中央，將△ABC向y軸左側按比例尺2：1放大得△ABC的位似圖形△A1B1C1，并解決下列問題：（1）頂點A1的坐標為，B1的坐標為，C1的坐標為；（2）請你利用旋轉、平移兩種變換，使△A1B1C1通過變換后得到△A2B2C2，且△A2B2C2恰與△DEF拼接成一個平行四邊形（非正方形），寫出符合要求的變換過程．52．（2011?徐州）如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=acm，∠B=30°．動點P以1cm/s的速度從點B出發(fā)，沿折線B﹣A﹣C運動到點C時停止運動．設點P出發(fā)xs時，△PBC的面積為ycm2．已知y與x的函數圖象如圖②所示．請按照圖中信息，解答下列問題：（1）試判斷△DOE的形狀，并說明理由；（2）當a為何值時，△DOE與△ABC相似？53．（2011?泰安）已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BC=2AD，E是BC的中點，銜接AE、AC．（1）點F是DC上一點，銜接EF，交AC于點O（如圖1），求證：△AOE∽△COF；（2）若點F是DC的中點，銜接BD，交AE與點G（如圖2），求證：四邊形EFDG是菱形．54．（2011?南平）如圖，△ABC三個頂點坐標分離為A（1，2），B（3，1），C（2，3），以原點O為位似中央，將△ABC放大為本來的2倍得△A′B′C′．（1）在圖中第一象限內畫出符合要求的△A′B′C′；（不要求寫畫法）（2）△A′B′C′的面積是：．55．（2011?南寧）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，△ABC的頂點都在格點上，建立平面直角坐標系．（1）點A的坐標為，點C的坐標為．（2）將△ABC向左平移7個單位，請畫出平移后的△A1B1C1．若M為△ABC內的一點，其坐標為（a，b），則平移后點M的對應點M1的坐標為．（3）以原點O為位似中央，將△ABC縮小，使變換后得到的△A2B2C2與△ABC對應邊的比為1：2．請在網格內畫出△A2B2C2，并寫出點A2的坐標：．56．（2011?聊城）如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=8cm．點E、F、G分離從點A、B、C三點同時出發(fā)，沿矩形的邊按逆時針方向移動．點E、G的速度均為2cm/s，點F的速度為4cm/s，當點F追上點G（即點F與點G重合）時，三個點隨之停止移動．設移動開始后第t秒時，△EFG的面積為S（cm2）（1）當t=1秒時，S的值是多少？（2）寫出S和t之間的函數解析式，并指出自變量t的取值范圍；（3）若點F在矩形的邊BC上移動，當t為何值時，以點E、B、F為頂點的三角形與以點F、C、G為頂點的三角形相似？請說明理由．57．（2011?賓客）如圖，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分線分離與AC、AB交于點D、E．（1）用圓規(guī)和直尺在圖中作出AB的垂直平分線DE，并銜接BD；（2）證實：△ABC∽△BDC．58．（2011?河北）如圖，在6×8網格圖中，每個小正方形邊長均為1，點0和△ABC的頂點均為小正方形的頂點．（1）以O為位似中央，在網絡圖中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比為1：2；（2）銜接（1）中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長．（結果保留根號）59．（2011?常德）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形．（1）求證：△MEF∽△MBA；（2）若AF、BE分離是∠DAB，∠CBA的平分線，求證：DF=EC．60．（2011?安徽）如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）把△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1；（2）以圖中的O為位似中央，將△A1B1C1作位似變換且放大到本來的兩倍，得到△A2B2C2．

中考數學提分沖刺真題精析：相似三角形參考答案與試題解析一、解答題（共65小題）1．（2014?淄博）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD交BD于點E，點F，M分離是AB，BC的中點，BN平分∠ABE交AM于點N，AB=AC=BD．銜接MF，NF．（1）判斷△BMN的形狀，并證實你的結論；（2）判斷△MFN與△BDC之間的關系，并說明理由．考點：相似三角形的判定與性質；等腰直角三角形；三角形中位線定理．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）按照等腰三角形的性質，可得AM是高線、頂角的角平分線，按照直角三角形的性質，可得∠EAB+∠EBA=90°，按照三角形外角的性質，可得答案；（2）按照三角形中位線的性質，可得MF與AC的關系，按照等量代換，可得MF與BD的關系，按照等腰直角三角形，可得BM與NM的關系，按照等量代換，可得NM與BC的關系，按照同角的余角相等，可得∠CBD與∠NMF的關系，按照兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得答案．解答：（1）答：△BMN是等腰直角三角形．證實：∵AB=AC，點M是BC的中點，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC．∵BN平分∠ABE，∠EBN=∠ABN．∵AC⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠EBA=90°，∴∠MNB=∠NAB+∠ABN=（∠BAE+∠ABE）=45°．∴△BMN是等腰直角三角形；（2）答：△MFN∽△BDC．證實：∵點F，M分離是AB，BC的中點，∴FM∥AC，FM=AC．∵AC=BD，∴FM=BD，即．∵△BMN是等腰直角三角形，∴NM=BM=BC，即，∴．∵AM⊥BC，∴∠NMF+∠FMB=90°．∵FM∥AC，∴∠ACB=∠FMB．∵∠CEB=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°．∴∠CBD+∠FMB=90°，∴∠NMF=∠CBD．∴△MFN∽△BDC．點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，利用了銳角是45°的直角三角形是等腰直角三角形，兩邊對應成比例且夾角相等的兩個三角形相似．2．（2014?岳陽）如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm，AB=130cm，球目前在E點位置，AE=60cm．倘若小丁瞄準BC邊上的點F將球打過去，經過反彈后，球剛好彈到D點位置．（1）求證：△BEF∽△CDF；（2）求CF的長．考點：相似三角形的應用．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：（1）利用“兩角法”證得這兩個三角形相似；（2）由（1）中相似三角形的對應邊成比例來求線段CF的長度．解答：（1）證實：如圖，在矩形ABCD中：∠DFC=∠EFB，∠EBF=∠FCD=90°，∴△BEF∽△CDF；（2）解：∵由（1）知，△BEF∽△CDF．∴=，即=，解得：CF=169．即：CF的長度是169cm．點評：本題考查了相似三角形的應用．此題利用了“相似三角形的對應邊成比例”推知所求線段CF與已知線段間的數量關系的．3．（2014?永州）如圖，D是△ABC的邊AC上的一點，銜接BD，已知∠ABD=∠C，AB=6，AD=4，求線段CD的長．考點：相似三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有專題：計算題．分析：由已知角相等，加上公共角，得到三角形ABD與三角形ACB相似，由相似得比例，將AB與AD長代入即可求出CD的長．解答：解：在△ABD和△ACB中，∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵AB=6，AD=4，∴AC===9，則CD=AC﹣AD=9﹣4=5．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練控制相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．4．（2014?營口）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的三個頂點坐標分離為A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）．（1）畫出△ABC關于y軸對稱的圖形△A1B1C1，并直接寫出C1點坐標；（2）以原點O為位似中央，位似比為1：2，在y軸的左側，畫出△ABC放大后的圖形△A2B2C2，并直接寫出C2點坐標；（3）倘若點D（a，b）在線段AB上，請直接寫出經過（2）的變化后點D的對應點D2的坐標．考點：作圖-位似變換；作圖-軸對稱變換．菁優(yōu)網版權所有專題：作圖題．分析：（1）利用關于y軸對稱點的性質得出各對應點位置，進而得出答案；（2）利用位似變換的性質得出對應點位置，進而得出答案；（3）利用位似圖形的性質得出D點坐標變化邏輯即可．解答：解：（1）如圖所示：△A1B1C1，即為所求，C1點坐標為：（3，2）；（2）如圖所示：△A2B2C2，即為所求，C2點坐標為：（﹣6，4）；（3）倘若點D（a，b）在線段AB上，經過（2）的變化后D的對應點D2的坐標為：（2a，2b）．點評：此題主要考查了軸對稱變換以及位似變換以及位似圖形的性質，利用位似圖形的性質得出對應點變化邏輯是解題關鍵．5．（2014?義烏市）等邊三角形ABC的邊長為6，在AC，BC邊上各取一點E，F，銜接AF，BE相交于點P．（1）若AE=CF；①求證：AF=BE，并求∠APB的度數；②若AE=2，試求AP?AF的值；（2）若AF=BE，當點E從點A運動到點C時，試求點P經過的路徑長．考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；等邊三角形的性質．菁優(yōu)網版權所有專題：證實題；壓軸題；動點型．分析：（1）①證實△ABE≌△CAF，借用外角即可以得到答案；②利用勾股定理求得AF的長度，再用平行線分線段成比例定理或者三角形相似定理求得的比值，即可以得到答案．（2）當點F逼近點C的時候點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，繼而求得半徑和對應的圓心角的度數，求得答案．點F逼近點B時，點P的路徑就是過點B向AC做的垂線段的長度；解答：（1）①證實：∵△ABC為等邊三角形，∴AB=AC，∠C=∠CAB=60°，又∵AE=CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF=BE，∠ABE=∠CAF．又∵∠APE=∠BPF=∠ABP+∠BAP，∴∠APE=∠BAP+∠CAF=60°．∴∠APB=180°﹣∠APE=120°．②∵∠C=∠APE=60°，∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF，∴，即，所以AP?AF=12（2）若AF=BE，有AE=BF或AE=CF兩種情況．①當AE=CF時，點P的路徑是一段弧，由題目不難看出當E為AC的中點的時候，點P經過弧AB的中點，此時△ABP為等腰三角形，且∠ABP=∠BAP=30°，∴∠AOB=120°，又∵AB=6，∴OA=，點P的路徑是．②當AE=BF時，點P的路徑就是過點C向AB作的垂線段的長度；因為等邊三角形ABC的邊長為6，所以點P的路徑為：．所以，點P經過的路徑長為或3．點評：本題考查了等邊三角形性質的綜合應用以及相似三角形的判定及性質的應用，解答本題的關鍵是注重轉化思想的運用．6．（2014?揚州）已知矩形ABCD的一條邊AD=8，將矩形ABCD折疊，使得頂點B落在CD邊上的P點處．（1）如圖1，已知折痕與邊BC交于點O，連結AP、OP、OA．①求證：△OCP∽△PDA；②若△OCP與△PDA的面積比為1：4，求邊AB的長；（2）若圖1中的點P恰好是CD邊的中點，求∠OAB的度數；（3）如圖2，，擦去折痕AO、線段OP，連結BP．動點M在線段AP上（點M與點P、A不重合），動點N在線段AB的延伸線上，且BN=PM，連結MN交PB于點F，作ME⊥BP于點E．試問當點M、N在移動過程中，線段EF的長度是否發(fā)生變化？若變化，說明理由；若不變，求出線段EF的長度．考點：相似形綜合題；全等三角形的判定與性質；等腰三角形的判定與性質；勾股定理；矩形的性質；異常角的三角函數值．菁優(yōu)網版權所有專題：綜合題；壓軸題；動點型；探索型．分析：（1）只需證實兩對對應角分離相等即可證到兩個三角形相似，然后按照相似三角形的性質求出PC長以及AP與OP的關系，然后在Rt△PCO中運用勾股定理求出OP長，從而求出AB長．（2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函數即可求出∠DAP的度數，進而求出∠OAB的度數．（3）由邊相等常常聯(lián)想到全等，但BN與PM所在的三角形并不全等，且這兩條線段的位置很不協(xié)調，可通過作平行線構造全等，然后運用三角形全等及等腰三角形的性質即可推出EF是PB的一半，只需求出PB長就可以求出EF長．解答：解：（1）如圖1，①∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折疊可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B．∴∠APO=90°．∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，∠APD=∠POC．∴△OCP∽△PDA．②∵△OCP與△PDA的面積比為1：4，∴====．∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．設OP=x，則OB=x，CO=8﹣x．在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42．解得：x=5．∴AB=AP=2OP=10．∴邊AB的長為10．（2）如圖1，∵P是CD邊的中點，∴DP=DC．∵DC=AB，AB=AP，∴DP=AP．∵∠D=90°，∴sin∠DAP==．∴∠DAP=30°．∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°，∴∠OAB=30°．∴∠OAB的度數為30°．（3）作MQ∥AN，交PB于點Q，如圖2．∵AP=AB，MQ∥AN，∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP．∴∠APB=∠MQP．∴MP=MQ．∵MP=MQ，ME⊥PQ，∴PE=EQ=PQ．∵BN=PM，MP=MQ，∴BN=QM．∵MQ∥AN，∴∠QMF=∠BNF．在△MFQ和△NFB中，．∴△MFQ≌△NFB．∴QF=BF．∴QF=QB．∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB．由（1）中的結論可得：PC=4，BC=8，∠C=90°．∴PB==4．∴EF=PB=2．∴在（1）的條件下，當點M、N在移動過程中，線段EF的長度不變，長度為2．點評：本題是一道運動變化類的題目，考查了相似三角形的性質和判定、全等三角形的性質和判定、矩形的性質、等腰三角形的性質和判定、勾股定理、異常角的三角函數值等知識，綜合性比較強，而添加適當的輔助線是解決最后一個問題的關鍵．7．（2014?煙臺）如圖，AB是⊙O的直徑，延伸AB至P，使BP=OB，BD垂直于弦BC，垂足為點B，點D在PC上．設∠PCB=α，∠POC=β．求證：tanα?tan=．考點：相似三角形的判定與性質；圓周角定理．菁優(yōu)網版權所有專題：證實題．分析：銜接AC先求出△PBD∽△PAC，再求出=，最后得到tanα?tan=．解答：證實：銜接AC，則∠A=∠POC=，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴tanα=，BD∥AC，∴∠PBD=∠A，∵∠P=∠P，∴△PBD∽△PAC，∴=，∵PB=0B=OA，∴=，∴tana?tan=?==．點評：本題主要考查了相似三角形的判定與性質及圓周角的知識，本題解題的關鍵是求出△PBD∽△PAC，再求出tanα?tan=．8．（2014?湘西州）如圖，在8×8的正方形網格中，△CAB和△DEF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上，AC與網格上的直線相交于點M．（1）填空：AC=2，AB=2．（2）求∠ACB的值和tan∠1的值；（3）判斷△CAB和△DEF是否相似？并說明理由．考點：相似三角形的判定；勾股定理；銳角三角函數的定義．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何圖形問題．分析：（1）按照勾股定理來求AC、AB的長度；（2）利用勾股定理的逆定理和銳角三角函數的定義來解題；（3）由“三邊法”法來證它們相似．解答：解：（1）如圖，由勾股定理，得AC==2．AB==2故答案是：2，2；（2）如圖所示，BC==2．又由（1）知，AC=2，AB=2，∴AC2+BC2=AB2=40，∴∠ACB=90°．tan∠1==．綜上所述，∠ACB的值是90°和tan∠1的值是；（3）△CAB和△DEF相似．理由如下：如圖，DE=DF==，EF==．則===2，所以△CAB∽△DEF．點評：本題考查了相似三角形的判定，勾股定理，勾股定理的逆定理以及銳角三角函數的定義．識別兩三角形相似，除了要控制定義外，還要注重準確找出兩三角形的對應邊、對應角，可利用數形結合思想按照圖形提供的數據計算對應角的度數、對應邊的比．本題中把若干線段的長度用同一線段來表示是求線段是否成比例時常用的主意．9．（2014?武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，C，P是上兩點，AB=13，AC=5．（1）如圖（1），若點P是的中點，求PA的長；（2）如圖（2），若點P是的中點，求PA的長．考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：（1）按照圓周角的定理，∠APB=90°，p是弧AB的中點，所以三角形APB是等腰三角形，利用勾股定理即可求得．（2）按照垂徑定理得出OP垂直平分BC，得出OP∥AC，從而得出△ACB∽△0NP，按照對應邊成比例求得ON、AN的長，利用勾股定理求得NP的長，進而求得PA．解答：解：（1）如圖（1）所示，銜接PB，∵AB是⊙O的直徑且P是的中點，∴∠PAB=∠PBA=45°，∠APB=90°，又∵在等腰三角形△APB中有AB=13，∴PA===．（2）如圖（2）所示：銜接BC．OP相交于M點，作PN⊥AB于點N，∵P點為弧BC的中點，∴OP⊥BC，∠OMB=90°，又因為AB為直徑∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠OMB，∴OP∥AC，∴∠CAB=∠POB，又因為∠ACB=∠ONP=90°，∴△ACB∽△0NP∴=，又∵AB=13AC=5OP=，代入得ON=，∴AN=OA+ON=9∴在Rt△OPN中，有NP2=0P2﹣ON2=36在Rt△ANP中有PA===3∴PA=3．點評：本題考查了圓周角的定理，垂徑定理，勾股定理，等腰三角形判定和性質，相似三角形的判定和性質，作出輔助線是本題的關鍵．10．（2014?銅仁地區(qū)）如圖所示，AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，求證：=．考點：相似三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有專題：證實題．分析：由AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，可得∠D=∠E=90°，又由∠ACD=∠BCE，即可證得△ACD∽△BCE，然后由相似三角形的對應邊成比例，證得結論．解答：證實：∵AD，BE是鈍角△ABC的邊BC，AC上的高，∴∠D=∠E=90°，∵∠ACD=∠BCE，∴△ACD∽△BCE，∴=．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質．此題比較容易，注重控制數形結合思想的應用．11．（2014?泰安）如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，∠ADB=∠ACB．（1）求證：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形．考點：相似三角形的判定與性質；菱形的判定．菁優(yōu)網版權所有專題：證實題；壓軸題．分析：（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，進而求出答案；（2）首先證實AD=BF，進而得出AD∥BF，即可得出四邊形ABFD是平行四邊形，再利用AD=AB，得出四邊形ABFD是菱形．解答：證實：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；（2）設AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AE?AC，即AB2=x?3x∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中點，∴BF=x，∴BF=AB=AD，又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=∠ACB=30°，∴AD∥BF，∴四邊形ABFD是平行四邊形，又∵AD=AB，∴四邊形ABFD是菱形．點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及菱形的判定等知識，得出△ABE∽△ACB是解題關鍵．12．（2014?綏化）已知：△ABC在直角坐標平面內，三個頂點的坐標分離為A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形網格中每個小正方形的邊長是一個單位長度）．（1）畫出△ABC向下平移4個單位長度得到的△A1B1C1，點C1的坐標是（2，﹣2）；（2）以點B為位似中央，在網格內畫出△A2B2C2，使△A2B2C2與△ABC位似，且位似比為2：1，點C2的坐標是（1，0）；（3）△A2B2C2的面積是10平方單位．考點：作圖-位似變換；作圖-平移變換．菁優(yōu)網版權所有專題：作圖題．分析：（1）利用平移的性質得出平移后圖象進而得出答案；（2）利用位似圖形的性質得出對應點位置即可；（3）利用等腰直角三角形的性質得出△A2B2C2的面積．解答：解：（1）如圖所示：C1（2，﹣2）；故答案為：（2，﹣2）；（2）如圖所示：C2（1，0）；故答案為：（1，0）；（3）∵A2C22=20，B2C=20，A2B2=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面積是：×20=10平方單位．故答案為：10．點評：此題主要考查了位似圖形的性質以及平移的性質和三角形面積求法等知識，得出對應點坐標是解題關鍵．13．（2014?紹興）課本中有一道作業(yè)題：有一塊三角形余料ABC，它的邊BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在BC上，其余兩個頂點分離在AB，AC上．問加工成的正方形零件的邊長是多少mm？小穎解得此題的答案為48mm，小穎善于反思，她又提出了如下的問題．（1）倘若原題中要加工的零件是一個矩形，且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成，如圖1，此時，這個矩形零件的兩條邊長又分離為多少mm？請你計算．（2）倘若原題中所要加工的零件只是一個矩形，如圖2，這樣，此矩形零件的兩條邊長就不能決定，但這個矩形面積有最大值，求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長．考點：相似三角形的應用；二次函數的最值．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：（1）設PN=2y（mm），則PQ=y（mm），然后按照相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式求出即可；（2）設PN=x，用PQ表示出AE的長度，然后按照相似三角形對應高的比等于相似比列出比例式并用x表示出PN，然后按照矩形的面積公式列式計算，再按照二次函數的最值問題解答．解答：解：（1）設矩形的邊長PN=2y（mm），則PQ=y（mm），由條件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得y=，∴PN=×2=（mm），答：這個矩形零件的兩條邊長分離為mm，mm；（2）設PN=x（mm），矩形PQMN的面積為S（mm2），由條件可得△APN∽△ABC，∴=，即=，解得PQ=80﹣x．∴S=PN?PQ=x（80﹣x）=﹣x2+80x=﹣（x﹣60）2+2400，∴S的最大值為2400mm2，此時PN=60mm，PQ=80﹣×60=40（mm）．點評：本題考查了相似三角形的應用，二次函數的最值問題，按照相似三角形對應高的比等于對應邊的比列式表示出正方形的邊長與三角形的邊與這邊上的高的關系是解題的關鍵，此題邏輯性較強，是道好題．14．（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC、BD相交于點F，點E是邊BC延伸線上一點，且∠CDE=∠ABD．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）銜接AE，交BD于點G，求證：=．考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；平行四邊形的判定．菁優(yōu)網版權所有專題：證實題．分析：（1）證△BAD≌△CDA，推出∠ABD=∠ACD=∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）按照平行得出比例式，再按照比例式的性質舉行變形，即可得出答案．解答：證實：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，∴∠BAD=∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD=∠ACD，∵∠CDE=∠ABD，∴∠ACD=∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵AD∥BC，∴=，=，∴=，∵平行四邊形ACED，AD=CE，∴=，∴=，∴=，∴=．點評：本題考查了比例的性質，平行四邊形的判定，平行線的判定的應用，主要考查學生運用定理舉行推理的能力，題目比較好，難度適中．15．（2014?陜西）某一天，小明和小亮來到一河邊，想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度，兩人在確保無安全隱患的情況下，先在河岸邊挑選了一點B（點B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點D所決定的直線垂直于河岸）．①小明在B點面向樹的方向站好，調節(jié)帽檐，使視線通過帽檐正巧落在樹的底部點D處，如圖所示，這時小亮測得小明眼睛距地面的距離AB=1.7米；②小明站在原地轉動180°后蹲下，并保持本來的看見姿態(tài)（除身體重心下移外，其他姿態(tài)均不變），這時視線通過帽檐落在了DB延伸線上的點E處，此時小亮測得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距離CB=1.2米．按照以上測量過程及測量數據，請你求出河寬BD是多少米？考點：相似三角形的應用．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何圖形問題．分析：按照題意求出∠BAD=∠BCE，然后按照兩組角對應相等，兩三角形相似求出△BAD和△BCE相似，再按照相似三角形對應邊成比例列式求解即可．解答：解：由題意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河寬BD是13.6米．點評：本題考查了相似三角形的應用，讀懂題目信息得到兩三角形相等的角并決定出相似三角形是解題的關鍵，也是本題的難點．16．（2014?黔南州）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點G，點F是CD上一點，且滿意=，銜接AF并延伸交⊙O于點E，銜接AD、DE，若CF=2，AF=3．（1）求證：△ADF∽△AED；（2）求FG的長；（3）求證：tan∠E=．考點：相似三角形的判定與性質；垂徑定理；圓周角定理；解直角三角形．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：①由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，按照垂徑定理可得：弧AD=弧AC，DG=CG，繼而證得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的長，繼而求得CG=DG=4，則可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的長，即可求得tan∠ADF的值，繼而求得tan∠E=．解答：解：①∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴DG=CG，∴弧AD=弧AC，∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴FG=CG﹣CF=2；③∵AF=3，FG=2，∴AG=，tan∠E=．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及三角函數等知識．此題綜合性較強，難度適中，注重控制數形結合思想的應用．17．（2014?寧夏）在Rt△ABC中，∠C=90°，P是BC邊上不同于B、C的一動點，過P作PQ⊥AB，垂足為Q，銜接AP．（1）試說明不論點P在BC邊上何處時，都有△PBQ與△ABC相似；（2）若AC=3，BC=4，當BP為何值時，△AQP面積最大，并求出最大值；（3）在Rt△ABC中，兩條直角邊BC、AC滿意關系式BC=λAC，是否存在一個λ的值，使Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．考點：相似形綜合題；二次函數的最值；三角形的面積；全等三角形的性質．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：（1）利用“兩角法”可以證得△PBQ與△ABC相似；（2）設BP=x（0＜x＜4）．由勾股定理、（1）中相似三角形的對應邊成比例以及三角形的面積公式列出S與x的函數關系式，利用配主意求得二次函數的最值；（3）利用全等三角形的對應邊相等得到AQ=AC，AQ=QB，即AQ=QB=AC．在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2﹣AC2，易求得：BC=AC，則λ=．解答：解：（1）不論點P在BC邊上何處時，都有∠PQB=∠C=90°，∠B=∠B∴△PBQ∽△ABC；（2）設BP=x（0＜x＜4），由勾股定理，得AB=5∵由（1）知，△PBQ∽△ABC，∴，即∴，S△APQ===∴當x=時，△APQ的面積最大，最大值是；（3）存在．∵Rt△AQP≌Rt△ACP∴AQ=AC又∵Rt△AQP≌Rt△BQP∴AQ=QB∴AQ=QB=AC在Rt△ABC中，由勾股定理得BC2=AB2﹣AC2∴BC=AC∴λ=時，Rt△AQP既與Rt△ACP全等，也與Rt△BQP全等．點評：本題綜合考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的性質，三角形的面積公式以及二次函數的最值的求法等知識點．難度較大．注重，在證實三角形相似時，充足利用公共角，在利用全等三角形的性質時，要找準對應邊．18．（2014?南通）如圖，點E是菱形ABCD對角線CA的延伸線上隨意一點，以線段AE為邊作一個菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，銜接EB，GD．（1）求證：EB=GD；（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的長．考點：相似多邊形的性質；全等三角形的判定與性質；勾股定理；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：（1）利用相似多邊形的對應角相等和菱形的四邊相等證得三角形全等后即可證得兩條線段相等；（2）銜接BD交AC于點P，則BP⊥AC，按照∠DAB=60°得到BP=AB=1，然后求得EP=2，最后利用勾股定理求得EB的長即可求得線段GD的長即可．解答：（1）證實：∵菱形AEFG∽菱形ABCD，∴∠EAG=∠BAD，∴∠EAG+∠GAB=∠BAD+∠GAB，∴∠EAB=∠GAD，∵AE=AG，AB=AD，∴△AEB≌△AGD，∴EB=GD；（2）解：銜接BD交AC于點P，則BP⊥AC，∵∠DAB=60°，∴∠PAB=30°，∴BP=AB=1，AP==，AE=AG=，∴EP=2，∴EB===，∴GD=．點評：本題考查了相似多邊形的性質，解題的關鍵是了解相似多邊形的對應邊的比相等，對應角相等．19．（2014?梅州）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的動點，過D作DF⊥BC于F，過F作FE∥AC，交AB于E．設CD=x，DF=y．（1）求y與x的函數關系式；（2）當四邊形AEFD為菱形時，求x的值；（3）當△DEF是直角三角形時，求x的值．考點：相似三角形的判定與性質；含30度角的直角三角形；勾股定理；菱形的性質．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何動點問題；壓軸題；數形結合．分析：（1）由已知求出∠C=30°，列出y與x的函數關系式；（2）由四邊形AEFD為菱形，列出方程y=60﹣x與y=x組成方程組求x的值，（3）當∠EDF=90°時，由△DEF是直角三角形，列出方程60﹣x=2y，與y=x組成方程組求x的值；當∠DEF=90°時，按照EF∥AC可知∠EDA=∠DEF=90°，所以當△ADE∽△ABC，再由相似三角形的對應邊成比例可得出關于x的方程，再把y=x代入即可得出x的值．解答：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60，AB=30，∴∠C=30°，∵CD=x，DF=y．∴y=x；（2）∵四邊形AEFD為菱形，∴AD=DF，∴y=60﹣x∴方程組，解得x=40，∴當x=40時，四邊形AEFD為菱形；（3）當∠EDF=90°時，∵△DEF是直角三角形，∴∠FDE=90°，∵FE∥AC，∴∠EFB=∠C=30°，∵DF⊥BC，∴∠DEF+∠DFE=∠EFB+∠DFE，∴∠DEF=∠EFB=30°，∴EF=2DF，∴60﹣x=2y，與y=x，組成方程組，得解得x=30；當∠DEF=90°時，∵EF∥AC，∴∠EDA=∠DEF=90°，∴當△ADE∽△ABC時，△DEF是直角三角形，∴=，即=，把y=x代入得，x=48，∴當△DEF是直角三角形時，x=48或30．點評：本題主要考查了含30°角的直角三角形與菱形的知識，解本題的關鍵是找出x與y的關系列方程組．20．（2014?眉山）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△BAP中，∠BAP=90°，已知∠CBO=∠ABP，BP交AC于點O，E為AC上一點，且AE=OC．（1）求證：AP=AO；（2）求證：PE⊥AO；（3）當AE=AC，AB=10時，求線段BO的長度．考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；角平分線的性質；等腰三角形的判定與性質．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）按照等角的余角相等證實即可；（2）過點O作OD⊥AB于D，按照角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CO=DO，利用“SAS”證實△APE和△OAD全等，按照全等三角形對應角相等可得∠AEP=∠ADO=90°，從而得證；（3）設C0=3k，AC=8k，表示出AE=CO=3k，AO=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出PE=4k，BC=BD=10﹣4k，再按照相似三角形對應邊成比例列式求出k=1然后在Rt△BDO中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）證實：∵∠C=90°，∠BAP=90°∴∠CBO+∠BOC=90°，∠ABP+∠APB=90°，又∵∠CBO=∠ABP，∴∠BOC=∠APB，∵∠BOC=∠AOP，∴∠AOP=∠APB，∴AP=AO；（2）證實：如圖，過點O作OD⊥AB于D，∵∠CBO=∠ABP，∴CO=DO，∵AE=OC，∴AE=OD，∵∠AOD+∠OAD=90°，∠PAE+∠OAD=90°，∴∠AOD=∠PAE，在△AOD和△PAE中，，∴△AOD≌△PAE（SAS），∴∠AEP=∠ADO=90°∴PE⊥AO；（3）解：設AE=OC=3k，∵AE=AC，∴AC=8k，∴OE=AC﹣AE﹣OC=2k，∴OA=OE+AE=5k．由（1）可知，AP=AO=5k．如圖，過點O作OD⊥AB于點D，∵∠CBO=∠ABP，∴OD=OC=3k．在Rt△AOD中，AD===4k．∴BD=AB﹣AD=10﹣4k．∵OD∥AP，∴，即解得k=1，∵AB=10，PE=AD，∴PE=AD=4K，BD=AB﹣AD=10﹣4k=6，OD=3在Rt△BDO中，由勾股定理得：BO===3．點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，（2）作輔助線構造出過渡線段DO并得到全等三角形是解題的關鍵，（3）利用相似三角形對應邊成比例求出k=1是解題的關鍵．21．（2014?瀘州）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，AB是⊙O的直徑，AC和BD相交于點E，且DC2=CE?CA．（1）求證：BC=CD；（2）分離延伸AB，DC交于點P，過點A作AF⊥CD交CD的延伸線于點F，若PB=OB，CD=，求DF的長．考點：相似三角形的判定與性質；勾股定理；圓周角定理．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）求出△CDE∽△CAD，∠CDB=∠DAC得出結論．（2）銜接OC，先證AD∥OC，由平行線分線段成比例性質定理求得PC=，再由割線定理PC?PD=PB?PA求得半徑為4，按照勾股定理求得AC=，再證實△AFD∽△ACB，得，則可設FD=x，AF=，在Rt△AFP中，利用勾股定理列出關于x的方程，求解得DF．解答：（1）證實：∵DC2=CE?CA，∴=，△CDE∽△CAD，∴∠CDB=∠DAC，∵四邊形ABCD內接于⊙O，∴BC=CD；（2）解：主意一：如圖，銜接OC，∵BC=CD，∴∠DAC=∠CAB，又∵AO=CO，∴∠CAB=∠ACO，∴∠DAC=∠ACO，∴AD∥OC，∴=，∵PB=OB，CD=，∴=∴PC=4又∵PC?PD=PB?PA∴4?（4+2）=OB?3OB∴OB=4，即AB=2OB=8，PA=3OB=12，在Rt△ACB中，AC===2，∵AB是直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°∴∠FDA+∠BDC=90°∠CBA+∠CAB=90°∵∠BDC=∠CAB，∴∠FDA=∠CBA，又∵∠AFD=∠ACB=90°，∴△AFD∽△ACB∴在Rt△AFP中，設FD=x，則AF=，∴在Rt△APF中有，，求得DF=．主意二；銜接OC，過點O作OG垂直于CD，易證△PCO∽△PDA，可得=，△PGO∽△PFA，可得=，可得，=，由主意一中PC=4代入，即可得出DF=．點評：本題主要考查相似三角形的判定及性質，勾股定理及圓周角的有關知識的綜合運用能力，關鍵是找準對應的角和邊求解．22．（2014?柳州）如圖，正方形ABCD的邊長為1，AB邊上有一動點P，銜接PD，線段PD繞點P順時針旋轉90°后，得到線段PE，且PE交BC于F，銜接DF，過點E作EQ⊥AB的延伸線于點Q．（1）求線段PQ的長；（2）問：點P在何處時，△PFD∽△BFP，并說明理由．考點：相似三角形的判定與性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．菁優(yōu)網版權所有分析：（1）由題意得：PD=PE，∠DPE=90°，又由正方形ABCD的邊長為1，易證得△ADP≌△QPE，然后由全等三角形的性質，求得線段PQ的長；（2）易證得△DAP∽△PBF，又由△PFD∽△BFP，按照相似三角形的對應邊成比例，可得證得PA=PB，則可求得答案．解答：解：（1）按照題意得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠QPE=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∴∠ADP=∠QPE，∵EQ⊥AB，∴∠A=∠Q=90°，在△ADP和△QPE中，，∴△ADP≌△QPE（AAS），∴PQ=AD=1；（2）∵△PFD∽△BFP，∴，∵∠ADP=∠EPB，∠CBP=∠A，∴△DAP∽△PBF，∴，∴=，∴PA=PB，∴PA=AB=∴當PA=時，△PFD∽△BFP．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、正方形的性質以及全等三角形的判定與性質．此題難度適中，注重控制數形結合思想的應用．23．（2014?柳州）如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線AD交BC于E，交△ABC的外接圓⊙O于D．（1）求證：△ABE∽△ADC；（2）請銜接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于點F，若點F恰好是OD的中點．求證：四邊形OBDC是菱形．考點：相似三角形的判定與性質；菱形的判定；圓周角定理．菁優(yōu)網版權所有專題：證實題．分析：（1）按照圓周角定理求出∠B=∠D，按照相似三角形的判定推出即可；（2）按照垂徑定理求出OD⊥BC，按照線段垂直平分線性質得出OB=BD，OC=CD，按照菱形的判定推出即可．解答：證實：（1）∵∠BAC的角平分線AD，∴∠BAE=∠CAD，∵∠ABC=∠ADC，∴△ABE∽△ADC；（2）∵∠BAD=∠CAD，∴=，∵OD為半徑，∴DO⊥BC，∵F為OD的中點，∴OB=BD，OC=CD，∵OB=OC，∴OB=BD=CD=OC，∴四邊形OBDC是菱形．點評：本題考查了相似三角形的判定，圓周角定理，垂徑定理，菱形的判定，線段垂直平分線性質的應用，主要考查學生的推理能力．24．（2014?樂山）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，銜接CM交BD于點N，且ON=1．（1）求BD的長；（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的性質．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何綜合題．分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，按照兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，進而決定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可決定出BD的長；（2）由相似三角形相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND，最后由S四邊形ABNM=S△ABD﹣S△MND求解．解答：解：（1）∵平行四邊形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M為AD中點，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，∴MN：CN=DN：BN=1：2，∴S△MND=S△CND=1，S△BNC=2S△CND=4．∴S△ABD=S△BCD=S△BCN+S△CND=4+2=6∴S四邊形ABNM=S△ABD﹣S△MND=6﹣1=5．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練控制相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．25．（2014?福州）如圖1，點O在線段AB上，AO=2，OB=1，OC為射線，且∠BOC=60°，動點P以每秒2個單位長度的速度從點O出發(fā)，沿射線OC做勻速運動，設運動時光為t秒．（1）當t=秒時，則OP=1，S△ABP=；（2）當△ABP是直角三角形時，求t的值；（3）如圖2，當AP=AB時，過點A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求證：AQ?BP=3．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網版權所有專題：幾何動點問題；壓軸題．分析：（1）如答圖1所示，作輔助線，利用三角函數或勾股定理求解；（2）當△ABP是直角三角形時，有三種情形，需要分類研究；（3）如答圖4所示，作輔助線，構造一對相似三角形△OAQ∽△PBO，利用相似關系證實結論．解答：（1）解：當t=秒時，OP=2t=2×=1．如答圖1，過點P作PD⊥AB于點D．在Rt△POD中，PD=OP?sin60°=1×=，∴S△ABP=AB?PD=×（2+1）×=．（2）解：當△ABP是直角三角形時，①若∠A=90°．∵∠BOC=60°且∠BOC＞∠A，∴∠A≠90°，故此種情形不存在；②若∠B=90°，如答圖2所示：∵∠BOC=60°，∴∠BPO=30°，∴OP=2OB=2，又OP=2t，∴t=1；③若∠APB=90°，如答圖3所示：過點P作PD⊥AB于點D，則OD=OP?sin30°=t，PD=OP?sin60°=t，∴AD=OA+OD=2+t，BD=OB﹣OD=1﹣t．在Rt△ABP中，由勾股定理得：PA2+PB2=AB2∴（AD2+PD2）+（BD2+PD2）=AB2，即[（2+t）2+（t）2]+[（1﹣t）2+（t）2]=32解方程得：t=或t=（負值舍去），∴t=．綜上所述，當△ABP是直角三角形時，t=1或t=．（3）證實：如答圖4，過點O作OE∥AP，交PB于點E，則有，∴PE=PB．∵AP=AB，∴∠APB=∠B，∵OE∥AP，∴∠OEB=∠APB，∴∠OEB=∠B，∴OE=OB=1，∠3+∠B=180°．∵AQ∥PB，∴∠OAQ+∠B=180°，∴∠OAQ=∠3；∵∠AOP=∠1+∠QOP=∠2+∠B，∠QOP=∠B，∴∠1=∠2；∴△OAQ∽△PEO，∴，即，化簡得：AQ?PB=3．點評：本題是運動型綜合題，考查了相似三角形的判定與性質、解直角三角形、勾股定理、一元二次方程等多個知識點．第（2）問中，解題關鍵在于分類研究思想的運用；第（3）問中，解題關鍵是構造相似三角形，本問有多種解法，可探索嘗試．26．（2014?防城港）如圖，在正方形ABCD中，點M是BC邊上的任一點，銜接AM并將線段AM繞M順時針旋轉90°得到線段MN，在CD邊上取點P使CP=BM，銜接NP，BP．（1）求證：四邊形BMNP是平行四邊形；（2）線段MN與CD交于點Q，銜接AQ，若△MCQ∽△AMQ，則BM與MC存在怎樣的數量關系？請說明理由．考點：相似三角形的判定與性質；平行四邊形的判定與性質；正方形的性質．菁優(yōu)網版權所有分析：（1）按照正方形的性質可得AB=BC，∠ABC=∠B，然后利用“邊角邊”證實△ABM和△BCP全等，按照全等三角形對應邊相等可得AM=BP，∠BAM=∠CBP，再求出AM⊥BP，從而得到MN∥BP，然后按照一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證實即可；（2）按照同角的余角相等求出∠BAM=∠CMQ，然后求出△ABM和△MCQ相似，按照相似三角形對應邊成比例可得=，再求出△AMQ∽△ABM，按照相似三角形對應邊成比例可得=，從而得到=，即可得解．解答：（1）證實：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=