隨機過程基礎(chǔ)課件

基礎(chǔ)知識

第一節(jié)概率

第二節(jié)隨機變數(shù)及其分佈

第三節(jié)隨機變數(shù)的數(shù)字特徵

第四節(jié)矩母函數(shù)和特徵函數(shù)

第五節(jié)條件期望

第六節(jié)指數(shù)分佈

第七節(jié)收斂性和極限定理

第一節(jié)概率

一、基本概念

1．隨機試驗

其結(jié)果在事先不能確定的試驗。具有三個特性：（1）可以在相同的條件下重複進行；（2）每次試驗的結(jié)果不止一個，並能事先明確試驗的所有可能的結(jié)果；（3）每次試驗前不能確定哪個結(jié)果會出現(xiàn)。首頁2．樣本空間隨機試驗所有可能結(jié)果的集合，記為

。其中每一個結(jié)果，稱為樣本點。樣本空間的一個子集E。對樣本空間

的每一個事件E，都有一實數(shù)P（E）與之對應(yīng)，且滿足：（1）3．隨機事件4．概率（3）對兩兩互不相容的事件序列（2）則稱P（E）為事件E的概率。首頁二、概率的性質(zhì)：1234設(shè)兩兩互不相容，則5設(shè)兩兩互不相容的事件則對於任意事件A，有首頁三、概率的連續(xù)性

1．極限事件

對於事件若則稱事件序列遞增，若則稱事件序列遞減。

這樣可定義一個新的事件，記為首頁

2．連續(xù)性定理若是遞增的或遞減的事件序列，證明則即由包含在中但不在任何前面的（）中的點組成。設(shè)是遞增序列，並定義事件：定理1首頁容易驗證（）是互不相交的事件，且滿足和於是首頁設(shè)E為隨機試驗，

為其樣本空間，A、B為任意兩個事件，四、條件概率為事件A出現(xiàn)的情況下，事件B的條件概率，或簡稱事件B關(guān)於事件A的條件概率。若1．定義則稱首頁定理2（乘法公式）

2．基本公式

假設(shè)為任意n個事件（），若則首頁定理3（全概率公式與貝葉斯公式）設(shè)事件兩兩互不相容，則（1）對任意事件A，有（2）對任意事件A

，若，有首頁五、獨立性如果事件A，B滿足

設(shè)是n個事件，如果對於任意和，有則稱事件相互獨立。則稱事件A，B相互獨立。1．定義兩個n個首頁2．獨立性的性質(zhì)定理4

若事件A，B相互獨立，則；；分別也相互獨立.定理5

設(shè)事件相互獨立，若其中任意個事件相應(yīng)地換成它們的對立事件，則所得的n個事件仍然相互獨立。

推論若事件相互獨立，則

首頁證返回首頁

一、一維隨機變數(shù)的分佈

第二節(jié)隨機變數(shù)及其分佈

1．隨機變數(shù)

設(shè)隨機試驗的樣本空間為，如果對於每一個都有唯一的一個實數(shù)與之對應(yīng)，這種對應(yīng)關(guān)係稱為一個隨機變數(shù)，記作或X。2．分佈函數(shù)

隨機變數(shù)X取值不超過x的概率，稱為X的分佈函數(shù)（其中x為任意實數(shù)），記為即首頁分佈函數(shù)F（x）具有下列性質(zhì)：12

是非降函數(shù)，即當(dāng)時，有34F（x）是右連續(xù)的，即首頁3．分佈密度

最常見的隨機變數(shù)是離散型和連續(xù)型兩種。

離散型隨機變數(shù)

隨機變數(shù)X的可能取值僅有有限個或可列無窮多個。

設(shè)是離散型隨機變數(shù)X的所有可能的取值，是的概率：則稱上式為X的概率分佈或分佈率。且滿足首頁3．分佈密度

連續(xù)型隨機變數(shù)如果對於隨機變數(shù)X的分佈函數(shù)為F（x），存在非負的函數(shù)f（x）,使對任意的實數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機變數(shù)，f（x）稱為X的概率密度，且滿足首頁二、隨機變數(shù)的聯(lián)合分佈

1．聯(lián)合分佈函數(shù)

設(shè)是樣本空間

的n個隨機變數(shù)，為任意實數(shù)，則稱

特別地為隨機變數(shù)的n維聯(lián)合分佈函數(shù)即是X，Y的二維聯(lián)合分佈函數(shù)首頁2．二維分佈密度離散型

設(shè)（X，Y）所有可能的取值為，而是（X，Y）取值為的概率，即則稱上式為二維離散型隨機向量（X，Y）的聯(lián)合分佈律。它滿足首頁2．二維分佈密度連續(xù)型

如果存在一個非負的二元函數(shù)f（x，y）,使對任意的實數(shù)x，y有則稱（X，Y）為二維連續(xù)型隨機變數(shù)，f（x，y）稱為（X，Y）的概率密度，滿足：首頁3．邊緣分佈及獨立性邊緣分佈

設(shè)（X，Y）的分佈函數(shù)為，則X，Y的分佈函數(shù)、，依次稱為關(guān)於X和關(guān)於Y的邊緣分佈函數(shù)，且有

獨立性則稱隨機變數(shù)X和Y是相互獨立的。首頁離散型若隨機變數(shù)（X，Y）的聯(lián)合分佈律分別稱為（X，Y）關(guān)於X和Y的邊緣分佈律。則X和Y相互獨立的充要條件是首頁連續(xù)型若隨機變數(shù)（X，Y）的概率密度為則X和Y相互獨立的充要條件是分別稱為（X，Y）關(guān)於X和Y邊緣概率密度。首頁4．條件分佈函數(shù)離散型若，則稱為在條件下，隨機變數(shù)X的條件分佈律。同樣為在條件下，隨機變數(shù)Y的條件分佈律。首頁4．條件分佈函數(shù)連續(xù)型稱為在條件下，隨機變數(shù)X的條件分佈律。同樣稱為在條件下，隨機變數(shù)Y的條件分佈律。注意：分母不等於0返回首頁第三節(jié)隨機變數(shù)的數(shù)字特徵一、期望和方差

1．期望設(shè)離散型隨機變數(shù)X的分佈律為

則

設(shè)連續(xù)型隨機變數(shù)X的概率密度為，則首頁函數(shù)期望當(dāng)X為離散型隨機變數(shù)則

當(dāng)X為連續(xù)型隨機變數(shù)，則首頁2。方差

稱隨機變數(shù)的期望為X的方差，即

計算方差時通常用下列關(guān)係式：首頁3．性質(zhì)（1）（2）

（3）若X和Y相互獨立，則（4）的充要條件是返回首頁3．性質(zhì)（5）（柯西—許瓦茲不等式）等式成立當(dāng)且僅當(dāng)

（6）若X為非負整數(shù)值的隨機變數(shù)，則

證首頁（7）若X為非負值的隨機變數(shù)，則最後對每一叢向列求和，即得。首頁1．協(xié)方差計算協(xié)方差時通常用下列關(guān)係式：二、協(xié)方差和相關(guān)係數(shù)

2.相關(guān)係數(shù)

首頁3．性質(zhì)（1）

（2）若X和Y相互獨立，則（4）的充要條件是X與Y以概率1

線性相關(guān)，即（3）返回首頁例1

設(shè)X

N（0，1），求

解

當(dāng)n為偶數(shù)時，由分部積分得當(dāng)n為奇數(shù)時，依次遞推，注意到，故首頁

在一次集會上，n個人把他們的帽子放到房間的中央混合在一起，而後每個人隨機地選取一項，求每人拿到自己的帽子的人數(shù)X的均值和方差。例2（匹配問題）

解利用運算式其中即求EX、DX故因首頁又

而得故所以返回首頁一、矩母函數(shù)

第四節(jié)矩母函數(shù)和特徵函數(shù)1．定義稱的數(shù)學(xué)期望為X的矩母函數(shù)2．原點矩的求法利用矩母函數(shù)可求得X的各階矩，即對逐次求導(dǎo)並計算在點的值：首頁3．和的矩母函數(shù)定理1

設(shè)相互獨立的隨機變數(shù)的矩母函數(shù)分別為，，…，，則其和的矩母函數(shù)為…首頁例1設(shè)X與Y是獨立的正態(tài)隨機變數(shù)，各自的均值為與，方差為與，求X+Y的矩母函數(shù)。解而正態(tài)分佈的矩母函數(shù)為所以首頁

二、特徵函數(shù)1.複隨機變數(shù)設(shè)X，Y為二維（實）隨機變數(shù)，則稱為複隨機變數(shù).2.數(shù)學(xué)期望3.特徵函數(shù)

設(shè)X為隨機變數(shù)，稱複隨機變數(shù)的數(shù)學(xué)期望為X的特徵函數(shù)，其中t是實數(shù)。還可寫成首頁4．特徵函數(shù)與分佈函數(shù)的關(guān)係特徵函數(shù)與分佈函數(shù)相互唯一確定。特別當(dāng)存在時，有5．特徵函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1

對任何實數(shù)t，

證首頁性質(zhì)2證性質(zhì)3設(shè)a，b為任意實數(shù)，，則Y的特征函數(shù)有證首頁性質(zhì)4性質(zhì)5設(shè)相互獨立的隨機變數(shù)的特徵函數(shù)分別為，，…，則和若隨機變數(shù)X的n階絕對矩存在，即則X的特徵函數(shù)有n階導(dǎo)數(shù)，且有的特徵函數(shù)為…首頁例2設(shè)隨機變數(shù)X服從參數(shù)為的泊松分佈，求X的特徵函數(shù)。解由於所以首頁例3

設(shè)隨機變數(shù)X服從[a，b]上的均勻分佈，求X的特徵函數(shù)。解X的概率密度為所以首頁例4設(shè)X

~B（n，p），求X的特徵函數(shù)及和。解X的分佈律為所以由性質(zhì)4知故首頁常見分佈的數(shù)學(xué)期望、方差和特徵函數(shù)返回見教材首頁一、條件期望的定義

第五節(jié)條件期望

離散型其中連續(xù)型其中條件概率密度首頁二、全數(shù)學(xué)期望公式定理1

對一切隨機變數(shù)X和Y，有連續(xù)型是隨機變數(shù)Y的函數(shù)，當(dāng)時取值因而它也是隨機變數(shù)。離散型首頁證只證（X，Y）是離散型隨機向量時的情況首頁

一礦工困在礦井中，要到達安全地帶，有三個通道可選擇，他從第一個通道出去要走3個小時可到達安全地帶，從第二個通道出去要走5個小時又返回原處，從第三個通道出去要走7個小時也返回原處。設(shè)任一時刻都等可能地選中其中一個通道，試問他到達安全地點平均要花多長時間。例1解

設(shè)X表示礦工到達安全地點所需時間，Y表示他選定的通道，則由定理1可知

所以首頁

設(shè)在某一天內(nèi)走進一個商店的人數(shù)是數(shù)學(xué)期望等於100的隨機變數(shù)，又設(shè)這些顧客所花的錢都為數(shù)學(xué)期望是10元的相互獨立的隨機變數(shù)，再設(shè)一個顧客化錢時和進入該商店的總?cè)藬?shù)獨立，試問在給定的一天內(nèi)，顧客們在該店所化錢的期望值為多少？例2解設(shè)N表示進入該店的顧客人數(shù)，表示第i個顧客所花的錢數(shù)，則N個顧客所花錢的總數(shù)為則一天內(nèi)顧客們在該店所化錢的期望值是首頁而從而由假設(shè)所以於是它說明顧客們花費在該店錢數(shù)的期望值為1000元。首頁三、條件期望的應(yīng)用

定理2設(shè)X、Y是隨機變數(shù)，是Borel函數(shù)，證

下麵的命題說明在均方意義下，在已知隨機變數(shù)X的條件下，是Y的最佳預(yù)測。則首頁由於當(dāng)X取定值時是常數(shù)，所以故得

由定理1，兩邊取數(shù)學(xué)期望，即得證。首頁

通常當(dāng)我們觀察到時，是一切對Y的估值中均方誤差最小的一個，我們稱之為Y關(guān)於X的回歸。例3

設(shè)身高為x（cm）的男子，其成年兒子的身高服從均值為，方差為10的正態(tài)分佈，問身高為175cm的男子，其成年兒子的身高的最佳預(yù)測值是多少？令X表示父親身高，Y表示兒子身高，則解

N（0，10）與X獨立Y的最佳預(yù)測是即其成年兒子的身高的最佳預(yù)測值是178cm。返回首頁

一、指數(shù)分佈的定義

第六節(jié)指數(shù)分佈若連續(xù)型隨機變數(shù)X的概率密度為分佈函數(shù)為則稱X具有參數(shù)為的指數(shù)分佈。首頁二、無記憶性若隨機變數(shù)X滿足則稱隨機變數(shù)X是無記憶的。

如果我們把X看作某儀器的壽命，則X的無記憶性表示:

在儀器已工作了t小時的條件下，它至少工作小時的概率與它原來至少工作s小時的概率是相同的。換句話說如果儀器在時刻t是完好的，則它的剩餘壽命的分佈就是原來壽命的分佈。首頁

考慮一個有兩名營業(yè)員的郵局。假設(shè)當(dāng)A進去時，他發(fā)現(xiàn)一名營業(yè)員正在給B辦事而另一名營業(yè)員正在為C服務(wù)。還假設(shè)已告訴A

，一旦B或C離開就為他服務(wù)。如果一個營業(yè)員為一個顧客所花的時間服從均值是的指數(shù)分佈。三個顧客中A最後離開郵局的概率是多少？例1解考慮A發(fā)現(xiàn)一個營業(yè)員有空的時刻，此時B與C中有一個剛好離開而另一個仍在接受服務(wù)。由指數(shù)分佈的無記憶性，這另一個人在郵局再花費的時間也服從指數(shù)分佈，其均值仍為，即仿佛他才開始服務(wù).因此由對稱性，他在A之前結(jié)束服務(wù)的概率為，故A最後離開郵局的概率也是。首頁

三、失效率函數(shù)

指數(shù)變數(shù)的無記憶性可有指數(shù)分佈的失效率函數(shù)（也稱風(fēng)險率函數(shù)）進一步予以闡明。1．定義設(shè)是一個非負連續(xù)隨機變數(shù)X的分佈函數(shù)，其密度函數(shù)，則稱為X的失效（或風(fēng)險）率函數(shù)。存活函數(shù)首頁2．的直觀解釋

為了闡明的意義，把X設(shè)想為某種元件的壽命，且X假定已經(jīng)存活t

小時，我們要求再過時間dt它失效的概率，即考慮由於可見表示一個t歲的元件將失效的可能性大小，即元件將失效的概率強度。首頁3．生起率假設(shè)壽命分佈是指數(shù)分佈，那麼由無記憶性，一個t歲的元件的剩餘壽命的分佈與一個新元件的壽命分佈相同，因此應(yīng)當(dāng)是常數(shù)。事實上指數(shù)分佈的失效率函數(shù)是常數(shù)。參數(shù)常稱為分佈的生起率（或速率）。於是4．失效率函數(shù)與分佈函數(shù)關(guān)係（1）失效率函數(shù)唯一決定分佈原因是首頁積分得

即令得因而即（2）決定（有的定義可知）一個概率分佈可用它的失效率（如果存在的話）來描述。因此返回首頁一、收斂性

第七節(jié)收斂性和極限定理1．概率1收斂（或幾乎處處收斂）如果隨機變數(shù)序列以概率1收斂於X，或稱幾乎處處收斂於X，記作則稱首頁如果2．均方收斂對於所有的有隨機變數(shù)序列以均方收斂於X，記作且則稱首頁如果3．依概率收斂對於任意給定的正數(shù)，有隨機變數(shù)序列依概率收斂於X，記作則稱首頁如果4．依分佈收斂設(shè)，分別為隨機變數(shù)及X的分佈函數(shù)隨機變數(shù)序列以分佈收斂於X，記作則稱

對於的每一個連續(xù)點x，有首頁（1）若均方收斂，則必為依概率收斂；收斂性之間的關(guān)係（2）若以概率1收斂，則必為依概率收斂；（3）若依概率收斂，則必為依分佈收斂。均方收斂與以概率1收斂不存在確定的關(guān)係。注二、極限定理1．強大數(shù)定理

如果獨立同分佈，具有均值，則首頁2．中心極限定理

如果獨立同分佈，具有均值與方差，則注若令，其中獨立同分佈則強大數(shù)定理表明以概率1收斂於；中心極限定理表明當(dāng)時，有漸進正態(tài)分佈。首頁

基礎(chǔ)資產(chǎn)價格的變動

-------隨機微分方程

第一節(jié)引言

第二節(jié)隨機微分方程的求解

第三節(jié)隨機微分方程的主要形式

第四節(jié)股票價格對數(shù)正態(tài)分佈的特性

第一節(jié)引言隨機微分方程即將隨機價格的變動分解為可預(yù)測和不可預(yù)測兩部分，且分解過程用到在時刻t的資訊集。

對於不同的市場參與者來說他擁有不同的資訊集，那麼隨機微分方程的含義不同。如：假如一個市場參與者擁有“內(nèi)幕資訊”，可事先獲知影響價格變動的所有隨機事件，則在這種（非現(xiàn)實）情況下上式中的擴展項等於零。首頁隨機微分方程的具體形式以及誤差項的定義都要依賴於資訊集即維納過程與資訊集相對應(yīng)。原因參與者知道將如何變化，他就能完全預(yù)測這一變數(shù)，即對任一時刻而言都有因此這類參與者的隨機微分方程可寫作而其他參與者的隨機微分方程則是不變。表明首頁隨機微分方程可用於對衍生金融資產(chǎn)定價的原因?qū)稑?biāo)的資產(chǎn)的價格是如何隨時間而發(fā)生變動，此方程不但給出一個規(guī)範(fàn)的模型，而且其推導(dǎo)過程與金融市場中的交易者行為是一致的。實際上：在一個給定的交易日中，隨著時間的推移，交易者總是不斷地預(yù)測資產(chǎn)的價格並隨時記錄新事件的發(fā)生。這些事件中總會包含一些不可預(yù)測的部分，但過後這些不可預(yù)測部分也會被觀測，此時這些事件均已成為已知事件，並變?yōu)榻灰渍邠碛械男沦Y訊集的一部分。首頁隨機微分方程模型一般條件即隨著時間地推移，主參數(shù)和擴展參數(shù)不會發(fā)生太大幅度地變動。返回首頁第二節(jié)隨機微分方程的求解隨機微分方程所含未知數(shù)是一個隨機過程，因而求其解就是要找尋一個隨機過程，使其運動軌跡及發(fā)生概率都與其它需準(zhǔn)確測量的軌跡相關(guān)聯(lián)。一、解的含義首頁觀察在很短的且不連續(xù)的時間間隔上的有限差若此方程的解是一個隨機過程，則意味著1、如何找到一系列用ｋ來標(biāo)識的隨機變數(shù)，以滿足上式中的增量2、能否知道滿足方程的隨機過程的時態(tài)函數(shù)和分佈函數(shù)。3、對任一給定的和，能否找到一系列的亂數(shù)對於所有的ｋ而言都滿足上面的等式。首先首頁再尋求當(dāng)時間間隔h趨於0時的方程的解其次如果連續(xù)的時間過程，滿足下列方程則定義是隨機微分方程的解。首頁則隨機過程：二、解的類型1．強解已知主參數(shù)，擴展參數(shù)以及隨機變動項稱為隨機微分方程的強解。強解與一般微分方程的解是相似的注首頁2．弱解其中是一維納過程.求得過程已知主參數(shù)，擴展參數(shù)使其滿足下麵隨機微分方程則稱是隨機微分方程的弱解。首頁

與的區(qū)別相同點都是均值為0，方差等於的維納過程；密度函數(shù)的運算式相同。從這個意義上來講，這兩個隨機誤差項之間不存在什麼區(qū)別。不同點限定二者的一系列資訊集不同。

雖然基本的密度函數(shù)是相同的，但如果被不同的資訊集來衡量，那實際上這兩個隨機過程代表了現(xiàn)實生活中根本不同的兩種現(xiàn)象。說明1首頁其中的擴展項包含外生變數(shù)，它表示影響價格進行完全不可預(yù)測變動的極其微小的事件。這一系列小事件形成的“歷史”就是ｔ時刻的資訊集。計算強解是在給定時，求滿足方程的值，也就是說為得到強解，需要知道集合，強解與是相互對應(yīng)的。計算弱解時不需要考慮生成資訊集的過程，但需考慮與過程的相關(guān)聯(lián)。又過程可生成另外的資訊集，且它是的鞅。說明2因此，弱解需要滿足首頁強解和弱解具有相同的主項和擴展項，因此和具有相似的統(tǒng)計特性。給定均值和方差，兩解雖然有所不同，但我們並不能把二者區(qū)別開來。若誤差項已知，則金融分析家會選擇強解。三、解的選擇但是在運用解隨機微分方程的辦法來對衍生金融產(chǎn)品進行定價時，並不能準(zhǔn)確獲悉過程的實際情況，我們能夠運用的只有其波動率和波動趨勢，因而，在這種情況下給衍生產(chǎn)品定價，應(yīng)運用弱解。首頁四、隨機微分方程解的證明看一個特殊的隨機微分方程：

即在對看漲期權(quán)定價之中運用的布萊克——休斯模型。變形首先計算由於普通積分首頁而雖含有一個隨機項，但的係數(shù)是一個不隨時間而改變的常數(shù)。因故即隨機微分方程的任何解都必須滿足這一積分方程

下麵用伊藤定理來解決這一方程?？疾靷溥x項：首頁用伊藤定理來計算隨機微分即若則這正是給定的隨機微分方程。因此，求得隨機微分方程的強解為：首頁要求隨機微分方程的強解，應(yīng)考慮備選解法，即找出依賴於參數(shù)的函數(shù)，如然後運用伊藤定理來檢驗這一備選項是否滿足隨機微分方程或相應(yīng)的積分方程。注五、資產(chǎn)現(xiàn)值的應(yīng)用假設(shè)是某資產(chǎn)的價格，其價值的增加帶有不確定性，即則此隨機微分方程強解的備選答案是首頁且最有效的預(yù)測值是條件期望：則資產(chǎn)的現(xiàn)價為：即現(xiàn)值等於時刻Ｔ的預(yù)期價值用折現(xiàn)率ｒ來進行折現(xiàn)。首頁要證明結(jié)論成立，需先計算由於故求的方法：（兩種）（1）其中表示維納過程的條件密度函數(shù)利用維納過程的密度函數(shù)直接求。（很難）首頁（2）

利用伊藤定理間接來求。（簡單）首先，令其次，用伊藤定理再次，考慮相應(yīng)的積分方程最後，兩邊求均值而首頁故若記則有所以且故得即從而首頁即所以首頁特別即當(dāng)時間t=0時，資產(chǎn)價格等於預(yù)期將來的價格用折現(xiàn)率r來進行折現(xiàn)。返回首頁第三節(jié)隨機微分方程的主要形式本節(jié)介紹幾種特殊的隨機微分方程，並說明它們是代表何種資產(chǎn)的價格以及是如何運用的。一、常係數(shù)線性隨機微分方程形式為：其中是變數(shù)t的標(biāo)準(zhǔn)維納過程隨機微分方程中，主係數(shù)及擴展係數(shù)不隨時間的變動而變化，即與資訊集是不相關(guān)的。首頁方差適用條件在短暫的時間間隔h中，價格變動的均值（1）資產(chǎn)價格比較穩(wěn)定；（2）價格變化趨勢是線性的；（3）波動項不是無限大；（4）資產(chǎn)價格不存在一種規(guī)律的“跳躍性”。常係數(shù)的隨機微分方程描述的是資產(chǎn)價格圍繞線性趨勢進行的一種波動。首頁二、幾何隨機微分方程布萊克和休斯模型形式為：即主參數(shù)和擴展參數(shù)都依賴於時刻t所掌握的資訊，且趨勢變動和標(biāo)準(zhǔn)變動與是成正比的。變形即說明主項與擴展項對於的相對變動仍是一個不變的常數(shù)。幾何模型描述的是資產(chǎn)價格價格在一種指數(shù)趨勢上的隨機波動。對大多數(shù)資產(chǎn)價格來說，這種指數(shù)趨勢似乎更符合實際。首頁三、平方根過程形式為：

遵循指數(shù)變動趨勢，但標(biāo)準(zhǔn)差則是的平方根的函數(shù)。方差即方差與成正比的。在實際情況中，這會增大了相對於的變動。誤差項的方差與是成比例的。因此，若隨的增大，資產(chǎn)價格的變動率不是迅速增加，運用此模型更為合適。方差首頁四、均值調(diào)整過程形式為：若比均值小，則，這就使得傾向於為正數(shù)，故最終回復(fù)到均值。說明均值調(diào)整過程有一變動主趨勢，但此趨勢的偏差不是完全隨機的。過程可與長期趨勢發(fā)生較小的偏離，但最終會回復(fù)到正常趨勢，這種偏離的平均度是由參數(shù)來控制的，但參數(shù)變小時，偏離的時間會變長。這時資產(chǎn)的價格會顯示出一些可預(yù)見的週期性，使得模型與市場的有效性假設(shè)相違背。首頁五、奧倫斯坦——烏倫貝克過程形式為：其中主項與負相關(guān)，係數(shù)為；擴展項屬於常參數(shù)類型。屬於均值調(diào)整隨機微分方程的一個特例。說明這個模型表示資產(chǎn)價格在0附近波動，並且其偏離最終會回到長期的0均值狀態(tài)，參數(shù)控制這種偏離的時間，越大，回復(fù)均值的速度越快。首頁六、隨機波動率隨機微分方程的主參數(shù)和擴展參數(shù)可通過隨機性獲得，這對於衍生金融產(chǎn)品而言，更具有應(yīng)用價值。因為波動率不僅隨時間的變動而變動，而且在給定的價格下波動也是隨機的。如設(shè)資產(chǎn)價格的隨機微分方程：

的變動遵循隨機微分方程：其中維納過程，是相關(guān)的首頁資產(chǎn)波動率的長期均值為，但在任一時刻t，實際的波動率可能會偏離這一長期均值，調(diào)整係數(shù)為則市場參與者可以根據(jù)這些因素，更好地計算預(yù)期的資產(chǎn)價格及預(yù)期的價格波動率。運用這種漸進的隨機微分方程，我們可獲得愈來愈複雜的模型以反映現(xiàn)實生活中的金融現(xiàn)象。增量對變動率有不可預(yù)測的衝擊，它與對資產(chǎn)價格的衝擊是不相關(guān)的。返回首頁

下麵應(yīng)用伊托定理來推導(dǎo)變化所遵循的隨機過程。第四節(jié)股票價格對數(shù)正態(tài)分佈的特性

如果股票價格S遵循幾何布朗運動，即定義由於所以有伊托公式可得，函數(shù)G所遵循的過程為首頁由於和是常數(shù)，所以上式表明G遵循的是推廣的維納過程。它具有常數(shù)漂移率和常數(shù)方差率。從而表明，從時間t到T期間，的變化呈正態(tài)分佈特徵，其均值為方差為若令S表示現(xiàn)在時間t的股票價格，表示在未來某時T的股票價格，則在時間區(qū)間中的變化就是首頁即有其中表示均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為n的正態(tài)分佈。根據(jù)正態(tài)分佈的特徵，則下式也成立：這表明服從正態(tài)分佈，其標(biāo)準(zhǔn)差與成比例，也就是說股票價格對數(shù)變化的不確定性是以標(biāo)準(zhǔn)差來估算的，且與估算的時間長短的平方根成比例。首頁例6設(shè)有某種股票，其初始價格為40美元，年預(yù)期收益率為16%，年波動性為20%。六個月後，該股票價格的概率分佈是什麼？計算該分佈的均值和標(biāo)準(zhǔn)差（95%的置信區(qū)間）。解在六個月後，股票價格的隨機分佈服從對數(shù)正態(tài)分佈，即有故

由於一個正態(tài)變數(shù)，位於均值的標(biāo)準(zhǔn)差為1.96範(fàn)圍以內(nèi)的概率為95%，所以的置信區(qū)間為首頁故即是說，在六個月之後股票價格在32.55和56.56之間的概率為95%。由於服從正態(tài)分佈，從而具有對數(shù)正態(tài)分佈的特徵，因此可以得到的期望值和方差：首頁例7假設(shè)某種股票當(dāng)前的價格為20美元，每年的預(yù)期收益率為20%，每年的波動率為40%，則在一年後股票價格的均值和方差是多少？解一年後股票價格服從正態(tài)分佈，其均值為方差為首頁

馬爾可夫過程第一節(jié)馬爾可夫鏈的定義及其性質(zhì)第二節(jié)馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類第三節(jié)平穩(wěn)分佈與遍曆性第四節(jié)時間連續(xù)的馬爾可夫鏈習(xí)題課第一節(jié)馬爾可夫鏈的定義及其性質(zhì)一、馬爾可夫鏈的定義1．馬爾可夫鏈?zhǔn)醉撟?而與以前的狀態(tài)有限馬氏鏈狀態(tài)空間是有限集I={0,1,2,…，k}2．一步轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈在時刻n處於狀態(tài)i

的條件下，到時刻n+1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j

的條件概率，即稱為在時刻n的一步轉(zhuǎn)移概率，首頁注:由於概率是非負的，且過程從一狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移後，必到達狀態(tài)空間中的某個狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移概率滿足3．一步轉(zhuǎn)移矩陣稱為在時刻n的一步轉(zhuǎn)移矩陣首頁即有有限馬氏鏈狀態(tài)空間I={0，1，2，…，k}首頁4．齊次馬氏鏈即則稱此馬氏鏈為齊次馬氏鏈（即關(guān)於時間為齊次）5．初始分佈首頁注馬氏鏈在初始時刻有可能處於I中任意狀態(tài)，初始分佈就是馬氏鏈在初始時刻的概率分佈。6．絕對分佈概率分佈稱為馬氏鏈的絕對分佈或稱絕對概率定態(tài)分佈即首頁例1不可越壁的隨機遊動設(shè)一質(zhì)點線上段[1，5]上隨機遊動，狀態(tài)空間I={1，2，3，4，5}，每秒鐘發(fā)生一次隨機遊動，移動的規(guī)則是：（1）若移動前在2，3，4處，則均以概率向左或向右移動一單位，或停留在原處；（2）若移動前在1處，則以概率1移到2處；（3）若移動前在5處，則以概率1移到4處。試寫出一步轉(zhuǎn)移矩陣.首頁分析故12345首頁其一步轉(zhuǎn)移矩陣為若將移動規(guī)則改為（1）若移動前在2，3，4處，則均以概率向左或向右移動一單位；（2）若移動前在1，5處，則以概率1停留在原處。因為質(zhì)點在1，5兩點被“吸收”，故稱有兩個吸收壁的隨機遊動首頁分析例2

賭徒輸光問題賭徒甲有資本a元，賭徒乙有資本b元，兩人進行賭博，每賭一局輸者給贏者1元，沒有和局，直賭至兩人中有一人輸光為止。設(shè)在每一局中，甲獲勝的概率為p，乙獲勝的概率為，求甲輸光的概率。這個問題實質(zhì)上是帶有兩個吸收壁的隨機遊動。從甲的角度看，他初始時刻處於a，每次移動一格，向右移（即贏1元）的概率為p，向左移（即輸1元）的概率為q。如果一旦到達0（即甲輸光）或a+b（即乙輸光）這個遊動就停止。這時的狀態(tài)空間為{0，1，2，…，c}，c=a+b，。現(xiàn)在的問題是求質(zhì)點從a出發(fā)到達0狀態(tài)先於到達c狀態(tài)的概率。首頁考慮質(zhì)點從j出發(fā)移動一步後的情況解同理根據(jù)全概率公式有這一方程實質(zhì)上是一差分方程，它的邊界條件是首頁於是設(shè)則可得到兩個相鄰差分間的遞推關(guān)係於是欲求先求需討論r首頁當(dāng)而兩式相比首頁故當(dāng)而因此故首頁用同樣的方法可以求得乙先輸光的概率由以上計算結(jié)果可知首頁例3排隊問題顧客到服務(wù)臺排隊等候服務(wù)，在每一個服務(wù)週期中只要服務(wù)臺前有顧客在等待，就要對排在前面的一位提供服務(wù)，若服務(wù)臺前無顧客時就不能實施服務(wù)。則有求其轉(zhuǎn)移矩陣在第n週期已有一個顧客在服務(wù)，到第n+1週期已服務(wù)完畢首頁解先求出轉(zhuǎn)移概率首頁所以轉(zhuǎn)移矩陣為首頁說明：二、基本性質(zhì)性質(zhì)1的聯(lián)合分佈可由初始分佈及轉(zhuǎn)移概率所決定，即有首頁則性質(zhì)2表明一個馬氏鏈，如果按相反方向的時間排列，所成的序列也是一個馬氏鏈。首頁性質(zhì)3表明若已知現(xiàn)在，則過去與未來是獨立的。首頁則性質(zhì)4表明若已知現(xiàn)在，則過去同時對將來各時刻的狀態(tài)都不產(chǎn)生影響。特別首頁則性質(zhì)5表明馬氏鏈的子鏈也是馬氏鏈?zhǔn)醉撛隈R氏鏈的研究中，須研究“從已知狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過n次轉(zhuǎn)移後，系統(tǒng)將處於狀態(tài)j”的概率.三、n步轉(zhuǎn)移矩陣1．n步轉(zhuǎn)移概率系統(tǒng)在時刻m從狀態(tài)i經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移後處於狀態(tài)j的概率稱為n步轉(zhuǎn)移概率由於馬氏鏈?zhǔn)驱R次的，這個概率與m無關(guān)首頁顯然有2．n步轉(zhuǎn)移矩陣稱為n步轉(zhuǎn)移矩陣規(guī)定首頁3．絕對概率公式定理1絕對概率由初始分佈和n維轉(zhuǎn)移概率完全確定即有證注若對定態(tài)分佈，則首頁4．切普曼---柯爾莫哥洛夫方程定理2則證首頁注（1）用一步轉(zhuǎn)移概率表示多步轉(zhuǎn)移概率首頁注I={1，2，…，N}由矩陣的乘法規(guī)則，得表示：在時刻n，各狀態(tài)的概率等於其初始狀態(tài)的概率與n步轉(zhuǎn)移概率矩陣之積。若鏈?zhǔn)驱R次的，則有首頁例4甲、乙兩人進行比賽，設(shè)每局比賽中甲勝的概率是p，乙勝的概率是q，和局的概率是，（）。設(shè)每局比賽後，勝者記“+1”分，負者記“—1”分，和局不記分。當(dāng)兩人中有一人獲得2分結(jié)束比賽。以表示比賽至第n局時甲獲得的分數(shù)。（1）寫出狀態(tài)空間；（3）問在甲獲得1分的情況下，再賽二局可以結(jié)束比賽的概率是多少？首頁解（1）

記甲獲得“負2分”為狀態(tài)1，獲得“負1分”為狀態(tài)2，獲得“0分”為狀態(tài)3，獲得“正1分”為狀態(tài)4，獲得“正2分”為狀態(tài)5，則狀態(tài)空間為一步轉(zhuǎn)移概率矩陣首頁（2）二步轉(zhuǎn)移概率矩陣首頁（3）從而結(jié)束比賽的概率；從而結(jié)束比賽的概率。所以題中所求概率為返回首頁第二節(jié)馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類一、相通與閉集1．相通則稱自狀態(tài)i可到達狀態(tài)j則稱狀態(tài)i和狀態(tài)j相通說明如果自狀態(tài)i不能到達狀態(tài)j，首頁定理1即它滿足（1）自反性（2）對稱性證（3）傳遞性（1），（2）顯然，下證（3）首頁證3則由相通定義，根據(jù)切普曼---柯爾莫哥洛夫方程，有同理可證首頁說明

按相通關(guān)係是等價關(guān)係，可以把狀態(tài)空間I劃分為若干個不相交的集合（或者說等價類），並稱之為狀態(tài)類。若兩個狀態(tài)相通，則這兩個狀態(tài)屬於同一類。任意兩個類或不相交或者相同。2．閉集設(shè)C為狀態(tài)空間I的一個子集，則C稱為閉集注1

若C為閉集，則表示自C內(nèi)任意狀態(tài)i出發(fā)，始終不能到達C以外的任何狀態(tài)j。顯然，整個狀態(tài)空間構(gòu)成一個閉集。首頁吸收態(tài)指一個閉集中只含一個狀態(tài)注2若狀態(tài)空間含有吸收狀態(tài)，那麼這個吸收狀態(tài)構(gòu)成一個最小的閉集。3．不可約的

若除整個狀態(tài)空間I以外沒有其他的閉集，則稱此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s的。

如果閉集C的狀態(tài)都是相通的，則稱閉集C是不可約的。首頁例1其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關(guān)係，並畫出狀態(tài)傳遞圖。解先按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖首頁2/31/41/41/31/21/20121/2圖3---1由圖可知狀態(tài)0可到達狀態(tài)1，經(jīng)過狀態(tài)1又可到達狀態(tài)2；反之，從狀態(tài)2出發(fā)經(jīng)狀態(tài)1也可到達狀態(tài)0。因此，狀態(tài)空間I的各狀態(tài)都是互通的。又由於I的任意狀態(tài)i(i=0，1，2)不能到達I以外的任何狀態(tài)，所以I是一個閉集而且I中沒有其他閉集所以此馬氏鏈?zhǔn)遣豢杉s的。首頁例2其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試討論哪些狀態(tài)是吸收態(tài)、閉集及不可約鏈。解先按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖首頁111/21/21/2311/2圖3---24521

閉集，由圖可知狀態(tài)3為吸收態(tài)且閉集，閉集，其中是不可約的。又因狀態(tài)空間I有閉子集，故此鏈為非不可約鏈。首頁二、首達時間和狀態(tài)分類1．首達時間系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，首次到達狀態(tài)j的時刻稱為從狀態(tài)i出發(fā)首次進入狀態(tài)j的時間，或稱自i到j(luò)的首達時間。如果這樣的n不存在，就規(guī)定說明首頁自狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過n步首次到達狀態(tài)j的概率自狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)有窮步終於到達狀態(tài)j的概率注1首頁對於首次到達時間表示從狀態(tài)i出發(fā)首次返回狀態(tài)i所需的時間相應(yīng)的便是從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)有限步終於返回狀態(tài)i的概率，首頁2．首次到達分解式定理2

證設(shè)系統(tǒng)從狀態(tài)i經(jīng)n步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j，由條件概率及馬氏性得首頁說明(m=1，2，…，n)的所有可能值進行分解，定理3

證充分性由定理2得從而所以首頁必要性由定理2得所以推論首頁3．常返態(tài)與暫態(tài)態(tài)則稱狀態(tài)i為常返態(tài)則稱狀態(tài)i為暫態(tài)態(tài)注“常返”一詞，有時又稱“返回”、“常駐”或“持久”“暫態(tài)”也稱“滑過”或“非常返”定理4證則系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)移之後，必定以概率1返回狀態(tài)i。再由馬氏性系統(tǒng)返回狀態(tài)i要重複發(fā)生首頁這樣，系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，又返回，再出發(fā)，再返回，隨著時間的無限推移，將無限次訪問狀態(tài)i。將“不返回i”稱為成功，則首次成功出現(xiàn)的次數(shù)服從幾何分佈，這就是說也就是說以概率1只有有窮次返回i。首頁定理5證

令n=0，1，2，…因此，從狀態(tài)i出發(fā)，訪問狀態(tài)i的平均次數(shù)為由定理4，得證。首頁說明本定理的等價形式：i為暫態(tài)態(tài)，當(dāng)且僅當(dāng)定理6證如果i為常返態(tài)，且，則j也是常返態(tài)。因由切普曼---可爾莫哥洛夫方程得上式兩邊對所有的s相加，得又因為i為常返態(tài)，所以首頁故得從而即狀態(tài)j也是常返態(tài)定理7所有常返態(tài)構(gòu)成一個閉集證設(shè)i為常返態(tài)，即i和j相通。這是因為若自j出發(fā)不能到達i，那麼從i出發(fā)到達j後，就不能再返回i，這與i是常返態(tài)的相矛盾。再由定理6知，j也是常返態(tài)，這就是說，自常返態(tài)出發(fā)，只能到達常返態(tài)，不能到達暫態(tài)態(tài)。故常返態(tài)全體構(gòu)成一個閉集首頁4．狀態(tài)空間的分解如果已知類中有一個常返態(tài)，則這個類中其他狀態(tài)都是常返的；若類中有一個暫態(tài)態(tài)，則類中其他狀態(tài)都是暫態(tài)態(tài)。若對不可約馬氏鏈，則要麼全是常返態(tài)，要麼全是暫態(tài)態(tài)。定理8任一馬氏鏈的狀態(tài)空間I必可分解為其中N是暫態(tài)態(tài)集，而且首頁證記C為全體常返態(tài)所構(gòu)成的集合，則由定理7知C為閉集將C按相通關(guān)係分類：那麼再從餘下的狀態(tài)中任取一個狀態(tài)如此進行下去，並且顯然滿足條件（1）和（2）。首頁5．正常返態(tài)與零常返態(tài)平均返回時間從狀態(tài)i出發(fā)，首次返回狀態(tài)i的平均時間稱為狀態(tài)i平均返回時間.根據(jù)的值是有限或無限，可把常返態(tài)分為兩類：設(shè)i是常返態(tài)，則稱i為正常返態(tài)；則稱i為零常返態(tài)。首頁定理9設(shè)i是常返態(tài)，則（1）i是零常返態(tài)的充要條件是（2）i是正常返態(tài)的充要條件是證明（略）推論證因為首頁由定理9，上式第一項有從而推論得證。首頁說明用極限判斷狀態(tài)類型的準(zhǔn)則（2）i是零常返態(tài)（2）i是正常返態(tài)（1）i是暫態(tài)態(tài)且且首頁定理10證明由切普曼---可爾莫哥洛夫方程得由此可知由定理9知首頁6．有限馬氏鏈對有限狀態(tài)的馬氏鏈我們給出不加證明的性質(zhì)定理11（1）暫態(tài)態(tài)集N不可能是閉集；（2）至少有一個常返態(tài)；（3）不存在零常返態(tài)；（4）若鏈?zhǔn)遣豢杉s的，那麼狀態(tài)都是正常返的（5）其狀態(tài)空間可分解為是互不相交的由正常返態(tài)組成的閉集。首頁例3轉(zhuǎn)移矩陣試對其狀態(tài)分類。解按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖21/4111/41/411/4143首頁從圖可知，此鏈的每一狀態(tài)都可到達另一狀態(tài)，即4個狀態(tài)都是相通的?？紤]狀態(tài)1是否常返，首頁類似地可求得所以於是狀態(tài)1是常返的。又因為所以狀態(tài)1是正常返的。由定理可知，此鏈所有狀態(tài)都是正常返的。首頁例4

設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={0,1,2,…}，其一步轉(zhuǎn)移概率為其中試證此馬氏鏈?zhǔn)且粋€不可約常返態(tài)鏈證先證I不可約設(shè)i，j是I中任意兩個狀態(tài)，則有首頁類似地可證所以即I中任意兩個狀態(tài)都是相通的。因此，I是一個不可約的閉集再證I中狀態(tài)0是一個常返態(tài)：由狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)則，得所以首頁由定義知狀態(tài)0為常返態(tài)。因此，由定理知I中所有狀態(tài)都是常返態(tài)。故此馬氏鏈為不可約常返鏈。首頁三、狀態(tài)的週期與遍曆1．週期狀態(tài)對於任意的，令其中GCD表示最大公約數(shù)則稱為週期態(tài)，則稱為非週期態(tài)。定理12首頁證所以存在正整數(shù)m、n，使則有則有因此有類似地可證得故首頁（2）所以從而i為非週期態(tài)。又因為馬氏鏈不可約，所以j也是非週期態(tài)，從而該馬氏鏈?zhǔn)欠沁L期鏈。2．遍曆狀態(tài)若狀態(tài)i是正常返且非週期，則稱i為遍曆狀態(tài)。首頁例5設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={0,1,2,…}，轉(zhuǎn)移概率為試討論各狀態(tài)的遍曆性。解根據(jù)轉(zhuǎn)移概率作出狀態(tài)傳遞圖…1/21/21/21/21/21/20121/2圖3---431/2首頁從圖可知，對任一狀態(tài)都有，故由定理可知，I中的所以狀態(tài)都是相通的，因此只需考慮狀態(tài)0是否正常返即可?！蕪亩?是常返態(tài)。又因為所以狀態(tài)0為正常返。又由於故狀態(tài)0為非週期的從而狀態(tài)0是遍曆的。故所有狀態(tài)i都是遍曆的。返回首頁習(xí)題課1．帶有兩個反射壁的隨機遊動如果狀態(tài)空間I={0，1，2，…，m}，移動的規(guī)則是：（1）若移動前在0處，則下一步以概率p向右移動一個單位，以概率q停留在原處（p+q=1）；（2）若移動前在m處，則下一步以概率q向左移動一個單位，以概率p停留在原處；（3）若移動前在其他點處，則均以概率p向右移動一個單位，以概率q向左移動一個單位。設(shè)表示在時刻n質(zhì)點的位置，則{，}是一個齊次馬氏鏈，寫出其一步轉(zhuǎn)移概率矩陣。首頁qp右反射壁m-1mpq左反射壁120首頁2．帶有反射壁的隨機遊動設(shè)隨機遊動的狀態(tài)空間I={0，1，2，…}，移動的規(guī)則是：（1）若移動前在0處，則下一步以概率p向右移動一個單位，以概率q停留在原處（p+q=1）；（2）若移動前在其他點處，則均以概率p向右移動一個單位，以概率q向左移動一個單位。設(shè)表示在時刻n質(zhì)點的位置，則{，}是一個齊次馬氏鏈，寫出其一步轉(zhuǎn)移概率。首頁pq反射壁1230首頁3．一個圓周上共有N格（按順時針排列），一個質(zhì)點在該圓周上作隨機遊動，移動的規(guī)則是：質(zhì)點總是以概率p順時針遊動一格，以概率逆時針遊動一格。試求轉(zhuǎn)移概率矩陣。首頁4．一個質(zhì)點在全直線的整數(shù)點上作隨機遊動，移動的規(guī)則是：以概率p從i移到i-1，以概率q從i移到i+1，以概率r停留在i，且，試求轉(zhuǎn)移概率矩陣。首頁5．設(shè)袋中有a個球，球為黑色的或白色的，今隨機地從袋中取一個球，然後放回一個不同顏色的球。若在袋裏有k個白球，則稱系統(tǒng)處於狀態(tài)k，試用馬爾可夫鏈描述這個模型（稱為愛倫菲斯特模型），並求轉(zhuǎn)移概率矩陣。解這是一個齊次馬氏鏈，其狀態(tài)空間為I={—a，—a+1，…，—1，0，1，2，…，a}一步轉(zhuǎn)移矩陣是首頁1/31/211/31/211/312346．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={1，2，3，4}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為解試對其狀態(tài)分類。按一步轉(zhuǎn)移概率，畫出各狀態(tài)間的傳遞圖它是有限狀態(tài)的馬氏鏈，故必有一個常返態(tài)，又鏈中四個狀態(tài)都是互通的。因此，所有狀態(tài)都是常返態(tài)，這是一個有限狀態(tài)不可約的馬氏鏈。可繼續(xù)討論是否為正常返態(tài)首頁可討論狀態(tài)11/31/211/31/211/31234首頁狀態(tài)1是常返態(tài)狀態(tài)1是正常返態(tài)所以，全部狀態(tài)都是正常返態(tài)首頁7．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間I={1，2，3，4，5}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)的類及週期性解各狀態(tài)間的傳遞圖首頁對於任意有，即I為不可再分閉集。所以I中每一個狀態(tài)都是常返態(tài)，且此馬氏鏈為有限狀態(tài)不可約常返鏈。0.40.2110.50.50.80.631254所以狀態(tài)1的週期為3，由定理知，I中所有狀態(tài)都為週期態(tài)，且週期都為3。因此，這個馬氏鏈又是以3為週期的週期鏈。又因為馬氏鏈為有限狀態(tài)不可約鏈，所以所有狀態(tài)都是正常返狀態(tài)。首頁8．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為I={1，2，3}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關(guān)係。解0.50.50.5120.513可繼續(xù)討論正常返首頁9．設(shè)馬氏鏈的狀態(tài)空間為I={1，2，3，4}，其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試研究各狀態(tài)間的關(guān)係。解10.60.20.20.71120.334狀態(tài)空間為I分兩個部分：={1，2，3}，={4}

是閉集

中狀態(tài)4可到達中各狀態(tài)，且它非吸收狀態(tài)，所以不是閉集。返回首頁

第三節(jié)平穩(wěn)分佈與遍曆性一、平穩(wěn)分佈定義1其滿足絕對分佈定態(tài)分佈首頁絕對概率公式絕對概率由初始分佈和n維轉(zhuǎn)移概率完全確定即注若對定態(tài)分佈，則性質(zhì)1定態(tài)分佈一定是平穩(wěn)分佈性質(zhì)2若初始分佈是平穩(wěn)分佈，則絕對分佈也是平穩(wěn)分佈證是平穩(wěn)分佈，則首頁從而得（初始分佈為平穩(wěn)分佈）（切普曼---可爾莫哥洛夫方程）由上式得於是這時絕對分佈是定態(tài)分佈，從而它也是平穩(wěn)分佈。說明具有平穩(wěn)分佈的馬氏鏈在每一時刻處在狀態(tài)i的概率相等首頁二、遍曆性非週期、正常返狀態(tài)為遍曆狀態(tài)定義2使得則稱此馬氏鏈具有遍曆性馬氏鏈的遍曆性表明不論從哪一個狀態(tài)i出發(fā)，當(dāng)轉(zhuǎn)移的步數(shù)n充分大時，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率都接近於正常數(shù)首頁定理1則此馬氏鏈?zhǔn)潜闀训模抑械氖欠匠探Mj=0，1，2，…，s的滿足條件的唯一解注1定理表明不論從鏈中哪一狀態(tài)i出發(fā)，都能以正概率經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移到達鏈中預(yù)先指定的其他任一狀態(tài)。定理給出了求平穩(wěn)分佈的方法。注2首頁例1其一步轉(zhuǎn)移矩陣為試證此鏈具有遍曆性，並求出平穩(wěn)分佈。解由於首頁所以因此，該馬氏鏈具有遍曆性。由定理1得解得所以馬氏鏈的平穩(wěn)分佈為X123首頁定理2（1）若狀態(tài)是正常返，則該鏈存在平穩(wěn)分佈，且平穩(wěn)分佈（其中是從狀態(tài)j出發(fā)首次返回狀態(tài)j的平均時間）（2）若所有狀態(tài)是暫態(tài)態(tài)，或所有狀態(tài)是零常返態(tài)，則不存在平穩(wěn)分佈。（3）若是有限馬氏鏈，則一定存在平穩(wěn)分佈。（4）絕對分佈的極限是平穩(wěn)分佈，即首頁例2設(shè)有6個球（其中2個紅球，4個白球）分放於甲、乙兩個盒子中，每盒放3個，今每次從兩個盒中各任取一球並進行交換，以表示開始時甲盒中紅球的個數(shù)，（）表示經(jīng)n次交換後甲盒中的紅球數(shù)。(1)求馬氏鏈{，}的轉(zhuǎn)移概率矩陣；(2)證明{，}是遍曆的；（3）求（4）求首頁解其一步轉(zhuǎn)移矩陣為甲乙紅球0白球3紅球2白球1紅球1白球2紅球1白球2紅球2白球1紅球0白球3首頁並作出狀態(tài)傳遞圖1/32/95/92/32/91/30122/3（2）由於它是一個有限馬氏鏈，故必有一個常返態(tài)，又鏈中三個狀態(tài)0、1、2都相通，所以每個狀態(tài)都是常返態(tài)。所以是一個不可約的有限馬氏鏈，從而每個狀態(tài)都是正常返的。所以此鏈為非週期的。故此鏈?zhǔn)遣豢杉s非週期的正常返鏈，即此鏈?zhǔn)潜闀训?。首頁?）可以利用定理證明遍曆性首頁解之得故得首頁（4）首頁例3市場佔有率預(yù)測設(shè)某地有1600戶居民，某產(chǎn)品只有甲、乙、丙3廠家在該地銷售。經(jīng)調(diào)查，8月份買甲、乙、丙三廠的戶數(shù)分別為480，320，800。9月份裏，原買甲的有48戶轉(zhuǎn)買乙產(chǎn)品，有96戶轉(zhuǎn)買丙產(chǎn)品；原買乙的有32戶轉(zhuǎn)買甲產(chǎn)品，有64戶轉(zhuǎn)買丙產(chǎn)品；原買丙的有64戶轉(zhuǎn)買甲產(chǎn)品，有32戶轉(zhuǎn)買乙產(chǎn)品。用狀態(tài)1、2、3分別表示甲、乙、丙三廠，試求（1）轉(zhuǎn)移概率矩陣；（2）9月份市場佔有率的分佈；（3）12月份市場佔有率的分佈；（4）當(dāng)顧客流如此長期穩(wěn)定下去市場佔有率的分佈。首頁解（1）

由題意得頻數(shù)轉(zhuǎn)移矩陣為再用頻數(shù)估計概率，得轉(zhuǎn)移概率矩陣為（2）以1600除以N中各行元素之和，得初始概率分佈（即初始市場佔有率）首頁所以9月份市場佔有率分佈為（3）12月份市場佔有率分佈為首頁（4）由於該鏈不可約、非週期、狀態(tài)有限正常返的，所以是遍曆的。解方程組即得當(dāng)顧客流如此長期穩(wěn)定下去是市場佔有率的分佈為返回首頁討論對時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬爾可夫過程，取時間參數(shù)，狀態(tài)空間I={0,1,2,…}第四節(jié)時間連續(xù)的馬爾可夫鏈一、定義及性質(zhì)時間連續(xù)的馬爾可夫鏈轉(zhuǎn)移概率首頁齊次馬氏鏈轉(zhuǎn)移概率僅由t決定而與s無關(guān)2．性質(zhì)性質(zhì)1切普曼——柯爾莫哥洛夫方程首頁性質(zhì)2連續(xù)時間齊次馬氏鏈的有限維概率分佈由它的初始分佈和轉(zhuǎn)移矩陣所確定注性質(zhì)3注對時間來說是可逆性首頁性質(zhì)4已知現(xiàn)在，那麼過去與將來是獨立注性質(zhì)5

（遍曆性定理）馬爾可夫定理設(shè){,}是狀態(tài)空間I={0,1，2,…,s}的時間連續(xù)的齊次馬氏鏈，則首頁的滿足條件的唯一解。例1考慮一個電話總機接到的呼喚流，以表示這個總機在[0，t]中接到的呼喚次數(shù)，由於呼喚流在不相交的時間區(qū)間中接到的呼喚次數(shù)是相互獨立的，且服從泊松分佈，所以是一個時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程，而且是齊次的。寫出它的轉(zhuǎn)移概率。首頁當(dāng)呼喚次數(shù)時轉(zhuǎn)移概率當(dāng)時其狀態(tài)空間I={0，1，2，…}轉(zhuǎn)移概率為首頁1．隨機連續(xù)則稱{}是隨機連續(xù)的。定理1二、可爾莫哥洛夫微分方程時間連續(xù)的齊次馬氏鏈{,}是隨機連續(xù)的充要條件為：對任意的，有隨機連續(xù)直觀意義當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過很短時間，其狀態(tài)幾乎不變。首頁標(biāo)準(zhǔn)轉(zhuǎn)移概率

若時間連續(xù)的齊次馬氏鏈?zhǔn)请S機連續(xù)的，則稱其轉(zhuǎn)移概率是標(biāo)準(zhǔn)的。並且滿足性質(zhì):2．轉(zhuǎn)移概率的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2定理2並且對任意，有首頁（2）對時間連續(xù)的齊次有限馬氏鏈，，有若注1推論則對任意，有即為吸收態(tài)首頁等價它表明系統(tǒng)從狀態(tài)i出發(fā)，是繼續(xù)留在狀態(tài)i，還是跳躍到狀態(tài)j，在不計一個高階無窮小時，決定於與注2等價跳躍強度

與稱為跳躍強度3．密度矩陣由跳躍強度構(gòu)成的矩陣首頁若對一切，有由定理2推論可知也稱時間連續(xù)馬氏鏈?zhǔn)潜Ｊ氐摹?/p>

矩陣保守時間連續(xù)的齊次有限馬氏鏈?zhǔn)潜Ｊ氐摹?、可爾莫哥洛夫定理則首頁推論(1)(2)注1（1）與（2）兩式分別稱為可爾莫哥洛夫向前方程和向後方程，其矩陣形式（向前方程）（向後方程）首頁對時間連續(xù)齊次有限馬氏鏈，向前方程和向後方程均成立，且有如何求

注2在實際問題中往往是很困難。但考慮到密度矩陣，是由在的導(dǎo)數(shù)組成，即所以實際問題中先得到，再算注3費勒已經(jīng)證明了向後方程與向前方程有同一解但具體應(yīng)用哪一個方程組求解，要看具體問題而定。首頁設(shè)狀態(tài)空間I={0,1}時間連續(xù)馬氏鏈而由狀態(tài)1轉(zhuǎn)到0的概率為且規(guī)定在時間內(nèi)，由狀態(tài)0轉(zhuǎn)到1的概率為例2兩狀態(tài)鏈試求時間t時的轉(zhuǎn)移概率首頁解類似地所以密度矩陣於是相應(yīng)的可爾莫哥洛夫前進方程是即首頁據(jù)題意有初始條件解上列微分方程，可得滿足此初始條件的解。例如求由得首頁因此或於是故由得首頁類似地可解得三、生滅過程

生滅過程是一類特殊的連續(xù)馬氏鏈，它有許多重要的應(yīng)用。首頁設(shè)有同一類型的個體組成的一群體，其每一個體在任意時間內(nèi)，並設(shè)每一個體在此時間內(nèi)也會死亡，且壽命服從參數(shù)為的指數(shù)分佈。模型含義首頁若它的轉(zhuǎn)移概率滿足則稱此鏈為齊次生滅過程生率和滅率生滅過程定義首頁純生過程純滅過程由定義中的轉(zhuǎn)移規(guī)則知，生滅過程的狀態(tài)是互通的，並且在長為的一小段時間內(nèi)，若不計高階無窮小，狀態(tài)轉(zhuǎn)移只有三種可能：把理解為t時刻某群體的個體總數(shù)，這時經(jīng)過了生出了一個個體理解為經(jīng)過了，死去了一個個體首頁密度矩陣由即可得首頁可爾莫哥洛夫向前方程是向後方程是首頁假定平穩(wěn)分佈由可得由可知首頁定理4若其密度矩陣可表示成其中則是生滅過程。首頁

平穩(wěn)過程第一節(jié)基本概念第二節(jié)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程第四節(jié)遍曆性定理第一節(jié)基本概念一、嚴(yán)平穩(wěn)過程定義1若對任意n，任意則稱為嚴(yán)平穩(wěn)過程首頁二、嚴(yán)平穩(wěn)過程的特點1二維概率密度僅與時間差有關(guān)，而與時間起點無關(guān)。證同理有一維分佈函數(shù)也與t無關(guān)，即一維首頁對於二維概率密度，有證二維其中同理二維分佈函數(shù)也僅與時間差有關(guān)，而與時間起點無關(guān)，即首頁2若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則證（2）相關(guān)函數(shù)僅是時間差的函數(shù)：記（1）均值函數(shù)為常數(shù)：只對連續(xù)型的情況首頁記三、寬平穩(wěn)過程定義2如果它滿足：則稱為寬平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程首頁當(dāng)T為整數(shù)集或注2注1嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程。平穩(wěn)時間序列因為嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是二階矩過程。若嚴(yán)平穩(wěn)過程存在二階矩，則它一定是寬平穩(wěn)過程。寬平穩(wěn)過程也不一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。因為寬平穩(wěn)過程只保證一階矩和二階矩不隨時間推移而改變，這當(dāng)然不能保證其有窮維分佈不隨時間而推移。注3利用均值函數(shù)與協(xié)方差函數(shù)也可討論隨機過程的平穩(wěn)性。首頁因為均值函數(shù)協(xié)方差函數(shù)即表示協(xié)方差函數(shù)僅依賴於，而與t無關(guān)，與相關(guān)函數(shù)相同。首頁例1試討論隨機變數(shù)序列的平穩(wěn)性。且均值和方差為解因為注在科學(xué)和工程中，例1中的過程稱為“白雜訊”，它是實際中最常用的雜訊模型。首頁試討論隨機序列的平穩(wěn)性。例2

是在[0，1]上服從均勻分佈的隨機變數(shù)，其中T={1，2，…}解的密度函數(shù)為所以注例2中的過程是寬平穩(wěn)的，但不是嚴(yán)平穩(wěn)的返回首頁性質(zhì)1第二節(jié)平穩(wěn)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)一、自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)證性質(zhì)2證由許瓦茲不等式得注首頁性質(zhì)3證性質(zhì)4即對任意的2n個實數(shù)證首頁對於兩個平穩(wěn)過程，重要的是它們是否平穩(wěn)相關(guān)，因此先給出平穩(wěn)相關(guān)概念。二、互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)定義1平穩(wěn)相關(guān)注兩個平穩(wěn)過程當(dāng)它們的互相關(guān)函數(shù)僅依賴於時，它們才是平穩(wěn)相關(guān)的。首頁證性質(zhì)5

性質(zhì)6證性質(zhì)7證首頁證性質(zhì)8由性質(zhì)7得而有兩個數(shù)的幾何平均值不超過它們的算術(shù)平均值得證性質(zhì)9則和也是平穩(wěn)過程。其相關(guān)函數(shù)為則首頁則積性質(zhì)10也是平穩(wěn)過程其相關(guān)函數(shù)為例1設(shè)有兩個隨機過程其中U和V是均值都為零、方差都為的不相關(guān)隨機變數(shù)，試討論它們的平穩(wěn)性，並求自相關(guān)函數(shù)與互相關(guān)函數(shù)。首頁因為解所以同樣可求得首頁返回首頁第三節(jié)平穩(wěn)正態(tài)過程與正交增量過程一、平穩(wěn)正態(tài)過程

定義1則稱為平穩(wěn)正態(tài)過程。注平穩(wěn)正態(tài)過程一定是嚴(yán)平穩(wěn)過程。證由於首頁正態(tài)過程的n維特徵函數(shù)為由過程的平穩(wěn)性得所以對任一，有首頁即