2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考數(shù)學試卷

2024屆普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學全卷滿分150分，考試時間120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則的真子集個數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．72．已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足，則（）A． B．1 C． D．23．已知單位向量，的夾角為，則（）A．9 B． C．10 D．4．據(jù)科學研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時間t（分鐘）（在植物學上t表示從花朵完全綻放時刻開始到完全凋零時刻為止所需的時間）近似滿足函數(shù)關系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時間為10分鐘時的新鮮程度為，則當該種玫瑰花新鮮程度為時，其凋零時間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A．3分鐘 B．30分鐘 C．33分鐘 D．35分鐘5．已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知拋物線，過點且斜率為的直線l交C于M，N兩點，且，則C的準線方程為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是單調遞增數(shù)列，，，則實數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知離散型隨機變量X的分布列如下，則的最大值為（）X012PaA． B． C． D．1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某高中從本校的三個年級中隨機調查了五名同學關于生命科學科普知識的掌握情況，五名同學的成績?nèi)缦拢?4，72，68，76，80，則（）A．這五名同學成績的平均數(shù)為78 B．這五名同學成績的中位數(shù)為74C．這五名同學成績的上四分位數(shù)為80 D．這五名同學成績的方差為3210．已知正實數(shù)a，b滿足，則的可能取值為（）A．2 B． C． D．411．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，，，，點M的軌跡為，則（）A．為中心對稱圖形B．M到直線距離的最大值為5C．若線段上的所有點均在中，則最大為D．使成立的M點有4個三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中含的項的系數(shù)為______．13．已知，則______．14．三個相似的圓錐的體積分別為，，，側面積分別為，，，且，，則實數(shù)a的最大值為______．四、解答題：共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若，研究函數(shù)在上的單調性和零點個數(shù)．16．（15分）2024年由教育部及各省教育廳組織的九省聯(lián)考于1月19日開考，全程模擬高考及考后的志愿填報等．某高中分別隨機調研了50名男同學和50名女同學對計算機專業(yè)感興趣的情況，得到如下2×2列聯(lián)表．對計算機專業(yè)感興趣對計算機專業(yè)不感興趣合計男同學40女同學20合計（1）完善以上的2×2列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為該校學生是否對計算機專業(yè)感興趣與性別有關；（2）將樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從全校的學生中隨機抽取30名學生，求其中對計算機專業(yè)感興趣的學生人數(shù)的期望和方差．附：，其中．0.10.050.012.7063.8416.63517．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，且，為等邊三角形，平面平面直線l．（1）證明：平面；（2）若l與平面的夾角為，求四棱錐的體積．18．（17分）已知橢圓的左、右頂點分別為A、B，且，點在橢圓C上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若E，F(xiàn)為橢圓C上異于A，B的兩個不同動點，且直線與的斜率滿足，證明：直線恒過定點．19．（17分）三階行列式是解決復雜代數(shù)運算的算法，其運算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O為坐標原點、分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系，已知A，B是空間直角坐標系中異于O的不同兩點．（1）①若，，求；②證明：．（2）記的面積為，證明：．（3）證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．數(shù)學參考答案1．B【解析】由題意可得，故的真子集的個數(shù)為．故選B．2．A【解析】因為，則，所以，故．故選A．3．B【解析】由題意得．故，故選B．4．C【解析】由題意得，則，令，即，解得．故選C．5．D【解析】設上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得解得，則，解得．故選D．6．D【解析】設，，直線，聯(lián)立得，則，，又l經(jīng)過C的焦點，則，解得，故C的準線方程為．故選D．7．C【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，易得數(shù)列單調遞減，故是數(shù)列的最大項，則m的取值范圍為，故選C．8．C【解析】，故，易得，，則，故，，又因為，所以．故選C．9．CD【解析】A選項，這五名同學成績的平均數(shù)為，A錯誤；B選項，將五名同學的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學成績的中位數(shù)為76，B錯誤；C選項，，故成績從小到大排列后，第4個數(shù)即為上四分位數(shù)，即80，C正確；D選項，五名同學成績的方差為，D正確．故選CD．10．BD【解析】由題意可得，令，則，，且，故，所以．故選BD．11．ABC【解析】由題可得，故點M在以A為圓心、半徑分別為1，2的兩圓之間（包含邊界），為內(nèi)徑為1，外徑為2的圓環(huán)，A正確；直線過定點，故M到直線的距離最大時為M與點的距離，則，B正確；當恰與圓相切時，最大，此時直線與y軸重合，故，C正確；，則直線：或，直線與直線有無數(shù)點在上，故符合的M點有無數(shù)個，故D錯誤．故選ABC．12．1120【解析】的展開式的通項為，故令可得含項的系數(shù)為．13．【解析】由，可得，故．14．【解析】設三個圓錐的高分別為．母線與軸線的夾角為，則，由，得，同理由可得，則，則．令，，得，令，解得；令，解得，故在上單調遞增，在上單調遞減，所以，故，故．15．解：（1）當時，，則，則，，所以曲線在點處的切線方程為．（2）當時，，則，當時，，，，則，故在上單調遞增．又因為，所以在上的零點個數(shù)為1．16．解：（1）完善2×2列聯(lián)表如下：公眾號：高中試卷君對計算機專業(yè)感興趣對計算機專業(yè)不感興趣合計男同學401050女同學302050合計7030100則，故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，不能認為該校學生是否對計算機專業(yè)感興趣與性別有關．（2）由（1）知，對計算機專業(yè)感興趣的樣本頻率為，設抽取的30名學生中對計算機專業(yè)感興趣的學生的人數(shù)為X，所以隨機變量，故，．17．解：（1）證明：由題可知，平面，平面，平面．又平面，平面平面，．又平面，平面，平面．（2）以D為原點，平面內(nèi)垂直于的直線為x軸，所在直線為y軸，垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設等腰梯形的高為，則，，，，，設為平面的法向量，則即令得為平面的一個法向量．又，則可得直線l的一個平行向量，設為l與平面的夾角，由，解得．．18．解：（1）由題意可得，則，又點在C上，所以，解得，故橢圓C的標準方程為．（2）證明：由（1）可得，，，易知直線與直線的斜率一定存在且不為0，設直線的方程為，直線的方程為．由得，所以，故，則，故．由得，所以，故，則，故．若直線過定點，則根據(jù)橢圓