2024屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試青桐鳴大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

2024屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級、考場號、座位號、考生號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則的真子集個(gè)數(shù)為（）A．2 B．3 C．4 D．72．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則（）A． B．1 C． D．23．已知單位向量，的夾角為，則（）A．9 B． C．10 D．4．據(jù)科學(xué)研究表明，某種玫瑰花新鮮程度y與其花朵凋零時(shí)間t（分鐘）（在植物學(xué)上t表示從花朵完全綻放時(shí)刻開始到完全凋零時(shí)刻為止所需的時(shí)間）近似滿足函數(shù)關(guān)系式：（b為常數(shù)），若該種玫瑰花在凋零時(shí)間為10分鐘時(shí)的新鮮程度為，則當(dāng)該種玫瑰花新鮮程度為時(shí)，其凋零時(shí)間約為（參考數(shù)據(jù)：）（）A．3分鐘 B．30分鐘 C．33分鐘 D．35分鐘5．已知某圓臺的體積為，其上、下底面圓的面積之比為且周長之和為，則該圓臺的高為（）A．6 B．7 C．8 D．96．已知拋物線，過點(diǎn)且斜率為的直線l交C于M，N兩點(diǎn)，且，則C的準(zhǔn)線方程為（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A． B． C． D．8．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下，則的最大值為（）X012PaA． B． C． D．1二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．某高中從本校的三個(gè)年級中隨機(jī)調(diào)查了五名同學(xué)關(guān)于生命科學(xué)科普知識的掌握情況，五名同學(xué)的成績?nèi)缦拢?4，72，68，76，80，則（）A．這五名同學(xué)成績的平均數(shù)為78 B．這五名同學(xué)成績的中位數(shù)為74C．這五名同學(xué)成績的上四分位數(shù)為80 D．這五名同學(xué)成績的方差為3210．已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，則的可能取值為（）A．2 B． C． D．411．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，，點(diǎn)M的軌跡為，則（）A．為中心對稱圖形B．M到直線距離的最大值為5C．若線段上的所有點(diǎn)均在中，則最大為D．使成立的M點(diǎn)有4個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為______．13．已知，則______．14．三個(gè)相似的圓錐的體積分別為，，，側(cè)面積分別為，，，且，，則實(shí)數(shù)a的最大值為______．四、解答題：共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若，研究函數(shù)在上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)．16．（15分）2024年由教育部及各省教育廳組織的九省聯(lián)考于1月19日開考，全程模擬高考及考后的志愿填報(bào)等．某高中分別隨機(jī)調(diào)研了50名男同學(xué)和50名女同學(xué)對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣的情況，得到如下2×2列聯(lián)表．對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣對計(jì)算機(jī)專業(yè)不感興趣合計(jì)男同學(xué)40女同學(xué)20合計(jì)（1）完善以上的2×2列聯(lián)表，并判斷根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生是否對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣與性別有關(guān)；（2）將樣本的頻率作為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取30名學(xué)生，求其中對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣的學(xué)生人數(shù)的期望和方差．附：，其中．0.10.050.012.7063.8416.63517．（15分）如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為等腰梯形，且，為等邊三角形，平面平面直線l．（1）證明：平面；（2）若l與平面的夾角為，求四棱錐的體積．18．（17分）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，且，點(diǎn)在橢圓C上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若E，F(xiàn)為橢圓C上異于A，B的兩個(gè)不同動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率滿足，證明：直線恒過定點(diǎn)．19．（17分）三階行列式是解決復(fù)雜代數(shù)運(yùn)算的算法，其運(yùn)算法則如下：．若，則稱為空間向量與的叉乘，其中（），（），為單位正交基底．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)、分別以的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，已知A，B是空間直角坐標(biāo)系中異于O的不同兩點(diǎn)．（1）①若，，求；②證明：．（2）記的面積為，證明：．（3）證明：的幾何意義表示以為底面、為高的三棱錐體積的6倍．?dāng)?shù)學(xué)參考答案1．B【解析】由題意可得，故的真子集的個(gè)數(shù)為．故選B．2．A【解析】因?yàn)?，則，所以，故．故選A．3．B【解析】由題意得．故，故選B．4．C【解析】由題意得，則，令，即，解得．故選C．5．D【解析】設(shè)上、下底面圓的半徑分別為r，R，圓臺的高為h，則由題意可得解得，則，解得．故選D．6．D【解析】設(shè)，，直線，聯(lián)立得，則，，又l經(jīng)過C的焦點(diǎn)，則，解得，故C的準(zhǔn)線方程為．故選D．7．C【解析】由題意可得，由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，整理得，令，則，，易得數(shù)列單調(diào)遞減，故是數(shù)列的最大項(xiàng)，則m的取值范圍為，故選C．8．C【解析】，故，易得，，則，故，，又因?yàn)椋裕蔬xC．9．CD【解析】A選項(xiàng)，這五名同學(xué)成績的平均數(shù)為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，將五名同學(xué)的成績按從小到大排列：68，72，76，80，84，則這五名同學(xué)成績的中位數(shù)為76，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，故成績從小到大排列后，第4個(gè)數(shù)即為上四分位數(shù)，即80，C正確；D選項(xiàng)，五名同學(xué)成績的方差為，D正確．故選CD．10．BD【解析】由題意可得，令，則，，且，故，所以．故選BD．11．ABC【解析】由題可得，故點(diǎn)M在以A為圓心、半徑分別為1，2的兩圓之間（包含邊界），為內(nèi)徑為1，外徑為2的圓環(huán)，A正確；直線過定點(diǎn)，故M到直線的距離最大時(shí)為M與點(diǎn)的距離，則，B正確；當(dāng)恰與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)直線與y軸重合，故，C正確；，則直線：或，直線與直線有無數(shù)點(diǎn)在上，故符合的M點(diǎn)有無數(shù)個(gè)，故D錯(cuò)誤．故選ABC．12．1120【解析】的展開式的通項(xiàng)為，故令可得含項(xiàng)的系數(shù)為．13．【解析】由，可得，故．14．【解析】設(shè)三個(gè)圓錐的高分別為．母線與軸線的夾角為，則，由，得，同理由可得，則，則．令，，得，令，解得；令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，故．15．解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，則，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（2）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，故在上單調(diào)遞增．又因?yàn)?，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．16．解：（1）完善2×2列聯(lián)表如下：公眾號：高中試卷君對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣對計(jì)算機(jī)專業(yè)不感興趣合計(jì)男同學(xué)401050女同學(xué)302050合計(jì)7030100則，故根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為該校學(xué)生是否對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣與性別有關(guān)．（2）由（1）知，對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣的樣本頻率為，設(shè)抽取的30名學(xué)生中對計(jì)算機(jī)專業(yè)感興趣的學(xué)生的人數(shù)為X，所以隨機(jī)變量，故，．17．解：（1）證明：由題可知，平面，平面，平面．又平面，平面平面，．又平面，平面，平面．（2）以D為原點(diǎn)，平面內(nèi)垂直于的直線為x軸，所在直線為y軸，垂直于平面的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)等腰梯形的高為，則，，，，，設(shè)為平面的法向量，則即令得為平面的一個(gè)法向量．又，則可得直線l的一個(gè)平行向量，設(shè)為l與平面的夾角，由，解得．．18．解：（1）由題意可得，則，又點(diǎn)在C上，所以，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）證明：由（1）可得，，，易知直線與直線的斜率一定存在且不為0，設(shè)直線的方程為，直線的方程為．由得，所以，故，則，故．由得，所以，故，則，故．若直線過定點(diǎn)，則根據(jù)橢圓