第一章 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)(理)

第一章函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】

概念表示方法------元素、集合之間的關(guān)系

集合運(yùn)算:交、并、補(bǔ)

性質(zhì)

I映射I定義

-I圖象法

三要素

性質(zhì)

函數(shù)

平移變換)

對(duì)稱變換)一次、二次函數(shù)、反比例函數(shù)

圖象及其變換

翻折變換)

嘉函數(shù)

伸縮變換)

基本初等函數(shù)

分段函數(shù)

復(fù)合函數(shù)

抽象函數(shù)

函數(shù)與方程零點(diǎn)—C二分法、圖象法、方程根的分布

【考綱要求】

1.集合

(1)集合的含義與表示

①了解集合的含義、元素與集合的“屬于”關(guān)系.

②能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述具體問題.

(2)集合間的基本關(guān)系

①理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集.

②在具體情境中，了解全集與空集的含義.

(3)集合的基本運(yùn)算

①理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義,會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集.

②理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集.

③能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算.

2.函數(shù)

了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.

(1)在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列舉法、解析法)表

示函數(shù).

(2)了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.

(3)理解函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解函數(shù)奇偶性

的含義.

(4)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì).

3.指數(shù)函數(shù)

(1)了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景.

(2)理解有理數(shù)指數(shù)慕的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)幕的意義，掌握幕的運(yùn)算.

(3)理解指數(shù)函數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn).

(4)知道指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

4.對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì),知道用換底公式能將?般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常

用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.

(2)理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖象通過的特殊點(diǎn).

(3)知道對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.

(4)了解指數(shù)函數(shù)y=a”與對(duì)數(shù)函數(shù)y=蛇.x(a>0,且aWl)互為反函數(shù).

5.幕函數(shù)

(1)了解暴函數(shù)的概念.

(2)結(jié)合函數(shù)y=x,y=x；y=x\y=工，y=x的圖象，了解它們的變化情況.

x

6.函數(shù)與方程

(1)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性

及根的個(gè)數(shù).

(2)根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似解.

7.函數(shù)模型及其應(yīng)用

(1)了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及基函數(shù)的增長(zhǎng)特征,知道直線上升、指數(shù)增長(zhǎng)、對(duì)數(shù)增

長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義.

(2)了解函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)、分段函數(shù)等在社會(huì)生活中普遍使用

的函數(shù)模型)的廣泛應(yīng)用.

8.導(dǎo)數(shù)及幾何意義

(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.

(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

9.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

(1)能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，求函數(shù)y=c,y=x,y=/,)=■1,)，=為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

X

(2)能利用下面給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)

數(shù)，能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如/伍X+。)的復(fù)合函數(shù))的導(dǎo)數(shù).

常見基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和常用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算公式：

(c)=0(C為常數(shù))；(X。)=axa~](a￡Q*)；(sinx)=cosx；(cosx)=-sinx；

O=ex；(優(yōu))=ax\na(a>0,且aW1)；(Inx)=—；(log、x)=---(a>0，

xx\na

且qw1).

常用的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

法則1[f(x)+g(x)]=f'(x)±g'(x).

法則2[/(x)-g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)+g'(x).

法則3[2M]=fa)g(x)T(x)g'a)(g(x”o).

g(x)g(x)

10.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用

(1)了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)

區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次).

(2)了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極

小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)

式函數(shù)一般不超過三次).

(3)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題.

1L微積分

(1)了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念.

(2)了解微積分基本定理的含義.

【備考建議】

1.在集合學(xué)習(xí)中，要通過豐富的實(shí)例理解集合的概念,學(xué)習(xí)集合語言最好的方法是使用，

在關(guān)于集合之間的關(guān)系和運(yùn)算的學(xué)習(xí)中，使用Venn圖是重要且有效的.

2.含參數(shù)的集合問題，多根據(jù)集合中元素的互異性處理，有時(shí)需要用到分類討論、數(shù)形結(jié)

合思想；集合問題多與函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系，要注意各類知識(shí)的融會(huì)貫通.

3.函數(shù)不僅是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，還是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以函數(shù)知識(shí)在高考中占

有極其重要的地位.試題不但形式多樣，而且突出考查學(xué)生聯(lián)系與轉(zhuǎn)化、分類與討論、數(shù)與形

結(jié)合等重要的數(shù)學(xué)思想能力，知識(shí)覆蓋面廣、綜合性強(qiáng)、思維力度大、能力要求高，是高考中

考數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法，考能力、考素質(zhì)的主要知識(shí),所以在備考中要力爭(zhēng)做到：

(1)注重基礎(chǔ),抓住基本函數(shù)，結(jié)合數(shù)學(xué)思想,聯(lián)系實(shí)際應(yīng)用

①熟練掌握二次函數(shù)、反比例函數(shù)及形如y=x+q的函數(shù)的性質(zhì),重點(diǎn)從定義域、值域、

x

單調(diào)性、奇偶性、圖象等方面提煉歸納，特別是以上述幾種函數(shù)為模型的抽象函數(shù).

②注意與圖象、圖表相關(guān)的問題，能從圖表中讀取各種信息，注意利用平移、伸縮、對(duì)稱

變換，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力.反函數(shù)問題是此類問題的典型,新定義、新情景問題也大多以圖

表形式給出，要以基本函數(shù)為基礎(chǔ)強(qiáng)化由式到圖和有圖到式的轉(zhuǎn)化訓(xùn)練.

(2)明確高考命題趨勢(shì)

函數(shù)的基礎(chǔ)的地位決定了函數(shù)試題較多，高、中、低檔題目全有，題型齊全,重難點(diǎn)突出，

創(chuàng)新容易，與其他知識(shí)塊聯(lián)系較多，像函數(shù)的凸凹性、分段函數(shù)、周期函數(shù)、新定義新情景題

層出不窮.復(fù)習(xí)中應(yīng)注意捕捉此類信息,注重新題訓(xùn)練,防止新穎考題呈現(xiàn)于面前而無從F手

的情形出現(xiàn).

4.式的運(yùn)算、變形、求值、化簡(jiǎn)及等式的證明在數(shù)學(xué)中占有重要的地位,是研究方程、

不等式和函數(shù)的必備工具,很多數(shù)學(xué)問題的推理、判斷也需要在式的變形中解決,因此牢固地

掌握累、指、對(duì)數(shù)式的有關(guān)運(yùn)算、變形是本節(jié)的重點(diǎn).

5.指數(shù)函數(shù)以考查基本知識(shí)為主.但以細(xì)胞的分裂,考古中所用的%的衰減,藥物在人

體內(nèi)殘留量的變化等為背景命題是一個(gè)命題重點(diǎn).

指數(shù)函數(shù)的圖象直觀揭示了指數(shù)的?切性質(zhì),既是幫助歸納性質(zhì)的基礎(chǔ),又是數(shù)形結(jié)合

的依據(jù)，高考中對(duì)于指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的考查比較集中于單調(diào)性的應(yīng)用匕特別注意底數(shù)a的取

值對(duì)于單調(diào)性的影響.

6.對(duì)數(shù)函數(shù)的考查重點(diǎn),放在了對(duì)數(shù)函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)以及其他方面知識(shí)的交匯地方.這

類試題出現(xiàn)在選擇題、填空題時(shí)屬容易題,而出現(xiàn)在解答題中一般難度較高,應(yīng)認(rèn)真對(duì)待.

7.在求解含參數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)問題時(shí),常運(yùn)用化歸思想,將較復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化

為簡(jiǎn)單的問題.

8.注重一元二次函數(shù)的分類討論問題.

9.導(dǎo)數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中重要的知識(shí).由于其應(yīng)用的廣泛性，為我們解決有關(guān)函數(shù)的問題提

供了?般性的方法，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)還可以簡(jiǎn)捷地解決一些實(shí)際問題.本章中導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)運(yùn)

算、函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值是重點(diǎn)知識(shí)，因此要熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)法則及公式，會(huì)判

斷或討論函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)函數(shù)的極值與最值，會(huì)用導(dǎo)數(shù)解決一些實(shí)際問題.

10.定積分也是微積分的核心概念之一.通過定積分可以解決一些簡(jiǎn)單的幾何和物理問

題，還要體會(huì)導(dǎo)數(shù)和定積分之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)導(dǎo)數(shù)與定積分的思想方法.

11.在解決具體問題的過程中，要對(duì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)方法和初等方法作比較，體會(huì)導(dǎo)數(shù)方法

在研究函數(shù)性質(zhì)中的一般性和有效性.

【真題解析】

例1(2012全國(guó)新)已知集合4={1,2,3,4,5},3={(》,丁),64464,工一了€4}；,則8

中所含元素的個(gè)數(shù)為

A3B.6C.8P.10

簡(jiǎn)單計(jì)算，選D.

思路點(diǎn)撥：簡(jiǎn)單的集合的新運(yùn)算.

log(l-x),x<0

例2(2009山東卷理)定義在R上的函數(shù)*x)滿足f(x)=2

/(x-l)-/(x-2),x>0,

f(2009)的值為()

A.-lB.0C.lD.2

解:由已知得/(-I)=log22=l,/(0)=0,/(l)=解0)-/(-1)=-1,

/(2)=/⑴一/(0)=T,〃3)="2)—/(I)=—1—(—1)=0,

/(4)=/(3)-/(2)=0-(-1)=1,/(5)=7(4)-y(3)=1,/(6)=/(5)-/(4)=0,

所以函數(shù)f(x)的值以6為周期重復(fù)性出現(xiàn).，所以f(2009)=f(5)=1,故選C.

思路點(diǎn)撥：本題考查歸納推理以及函數(shù)的周期性和對(duì)數(shù)的運(yùn)算.

例3(2009山東卷理)函數(shù)y=號(hào)二的圖象大致為().

解：函數(shù)有意義，需使/-e"/0,其定義域?yàn)椴穦xN0},排除C,D,又因?yàn)?/p>

.-X"lx,1。

e+ee+I

y=1I==一=1+——，所以當(dāng)x>0時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，故選A.

思路點(diǎn)撥：本題考查了函數(shù)的圖象以及函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等性質(zhì).本題的難點(diǎn)在

于給出的函數(shù)比較復(fù)雜，需要對(duì)其先變形,再在定義域內(nèi)對(duì)其進(jìn)行考察其余的性質(zhì).

|lgx|,0<x<10,

例4(2010全國(guó))已知函數(shù)/(x)=11若a,仇c互不相等，且

—x+6,x>10.

[2

f(a)=f(b)=/(c),則abc的取值范圍是

(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)

解:不妨設(shè)a<b<c,由圖象和/(a)=/(/?)=/(c)可知:

0<6f<l,l</?<10,10<c<12,-lgtz=lg/?=-^c+6,所以ab=1,abc=c,故選C.

思路點(diǎn)撥：函數(shù)的圖象和簡(jiǎn)單的對(duì)數(shù)等運(yùn)算.

/?Inrh

例5(2011新課標(biāo))已知函數(shù)/。)=--+曲線y=/(x)在點(diǎn)(1J⑴)處的切線方

x+1x

程為x+2y-3=0。

(1)求〃、h的值;

Inxk

(2)如果當(dāng)x〉0,且xwl時(shí)，/(%)>——十一，求攵的取值范圍.

x-1X

/X+1.\

a(二T-nx)b

解：⑴尸(x)=

(x+1)2x2

1川)=1，

由于直線x+2y—3=0的斜率為——，且過點(diǎn)(1,1),故1即

2/'(1)=--,

%=1,

,a1解得a=l,h=l.

122

(2)由(1)知f(x)=@±+,，所以

X+1X

、/nxk、1...

/U)-(-;+-)='：~~(2\nx+^——------).

x-lXl-xX

生47皿，/、(Z—l)(x—-1)/八、?.,(k—l)(x**+1)+2.x

考慮函數(shù)h(x)=2Inx+------(x>0),則nh(zx)x=.

XX

①若女<0,由力'(x)="廠+D;(XT)一知，當(dāng)xW1時(shí)，h'(X)<0,h(x)遞減.而/z(l)=0

x

故當(dāng)xe(0,1)時(shí)，//(%)>0,可得一^〃(幻〉0；當(dāng)xe(1,+oo)時(shí)，h(x)<0,可

l-x

Inxk.Inxk

得——r〃(無)>0,從而當(dāng)x>0,且xwl時(shí)，f(x)-(——+—)>0,即f(x)>——十—?

l-xx-lXx-lX

②若0<k<l.由于(4-1)(/+1)+2%=伏-1〃2+2》+女—1的圖像開口向下，且

A=4-4(女一1)2>0,對(duì)稱軸x=」一>1當(dāng)xe(1,」一)時(shí)，(k-1)(x2+l)+2x>0,

\-k\-k

故"(x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)x￡(1,--—)時(shí)，，h(x)>0,可得一二~h(x)<0,與

\-kl-x2

題設(shè)矛盾.

③若kNl.此時(shí)/+IN2X,(Z:-l)(x2+l)+2x>0=>A'(x)>0,而h(1)=0,故當(dāng)

xe(1,+oo)時(shí)，h(x)>0,可得一^—―h(x)<0,與題設(shè)矛盾.

1-x2

綜合得，k的取值范圍為(-00,0].

思路點(diǎn)撥：求參數(shù)的范圍一般用離參法，然后用導(dǎo)數(shù)求出最值進(jìn)行求解.若求導(dǎo)后不易

得到極值點(diǎn)，可二次求導(dǎo)，還不行時(shí)，就要使用參數(shù)討論法了.即以參數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)，看是

否符合題意，求得答案.此題用的便是后者.

例6(2012全國(guó)新)已知函數(shù)/(x)滿足/(x)=/3ei—/(0)x+gx2.

(1)求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

(2)f(x)>^x2+ax+b,求(。+1迫的最大值.

(1)???/(X)=/'⑴/T一/(0)x+|x2,.-./,(x)=/'⑴e'T-/(0)+x.

令x=1得/(0)=1./(0)=/⑴eT=1,.-./，(1)=e.

f(x)=ex-x+^x2f'(x)=-1+x.

故當(dāng)XG(一OO,0)時(shí)f(x)<0;當(dāng)X￡(0,OO)時(shí)f\x)>0.

.?./(x)單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-00,0).

⑵由已知得/(%)2；+ax+。，即e*—(。+1)工一人20.①

(i)若Q+](0,令g(x)=e*—(。+1)%_人，g(x)=/_(〃+1)〉0,y=g(x)在

xwR上單調(diào)遞增.

l-h

當(dāng)x<0且x<------時(shí)，g(x)="-(〃+l)x-b<0,與①矛盾.

(2+1

(ii)當(dāng)Q+1>0時(shí)，令g(x)=ex-(a+1)x-b,g(x)=e*-(〃+1).

當(dāng)x￡(-oo,ln(df+1))時(shí)，g(x)<0：當(dāng)x￡(ln(6r+l),-i-oo)時(shí)，g(x)>0.

8(工)在(一00,111(。+1))上單調(diào)遞減，在(ln(a+l),+8)上單調(diào)遞增.

/.x=ln(a+1)時(shí)，g(x)min=(〃+1)—(。+l)ln(Q+l)-b>0,/?<(Q+1)—(〃+l)ln(〃+1).

②

則(a+l)bV(a+1)2-(a+1)2ln(tz+1).

令尸（。）=（。+1）2—（a+iyln（a+l）,.\F\d）=（a+1）（1-2ln（a+1））.

\_\_」

/在（一1,前一1）上單調(diào)遞增，在（涓一1,+8）上單調(diào)遞減，，尸（。）在。=>—1處取

得最大值.

F

"Wmax=j）.,.（?+1）^<j.

.?.當(dāng)a=&-1/=五時(shí)，②式成立.綜上，（。+1屹的最大值為

思路點(diǎn)撥：利用導(dǎo)數(shù)公式及求出解析式，求導(dǎo)后求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.通過構(gòu)造函數(shù)及適

當(dāng)放縮求函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.

1.1集合

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.⑴指定的對(duì)象的全體構(gòu)成一個(gè)集合，其中每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素，集合的元

素具有------、------、------三個(gè)特性.

⑵根據(jù)集合中元素的多少，集合可為------、------和------.

2.集合有三種表示方法，分別是----------和-----它們各有缺點(diǎn)，用什么方

法表示集合，要具體問題具體分析.

3.⑴子集：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果集合4中的任何一個(gè)元素都是集合5中的元素,

則集合4是集合3的------記作A三8（或B3A）=（xeAnxeB）.

子集有如下性質(zhì)：

A==A（A為任意集合）.

⑵兩集合相等：對(duì)于兩個(gè)集合A與B,如果------,則稱A與8相等，記作A=B

⑶真子集:若-----，則集合A是集合B的真子集，記作AuB.

空集0是任何非空集合A的真子集（0uA）

4.⑴由屬于集合A且屬于集合8的所有元素組成的集合，叫做A與B的交集，記作

APIB,即AD8=---

⑵AP|A=，AP|0=-------AHB=BC\A,AC\B=A^A^B

5.⑴由屬于集合A或集合B的所有元素組成的集合，叫做A與8的并集，記作AUB,

即AUB=---.

⑵AUA=,AU0=,4U8=8UA,AUB=BoA=B.

6.已知集合AqS,由S中不屬于4的所以元素組成的集合，叫做集合S中子集A的

記作C/.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.已知集合尸={0/},。=k|——3》<0,X€2},若pno=0，則b等于（）

A.1或2B.2C.lD.8

2.集合A={。為}的真子集的個(gè)數(shù)是（）

A.lB.2C.3D.4

3.函數(shù)〃=卜B=111（尤2+1）1卜/?}，N=卜|2,<2,xe/?},則MDN等于（）

A.[0,+oo）B.[O,1）C.（l,+oo）D.（O,1]

4.已知集合A={—1,3,2加一1},集合8={3,m2},若則實(shí)數(shù)加=----.

5.已知集合A={x,2,l1,8=k2,工+），,0},若A=8,貝1」》2°|2+>2。12=----,

A=B=------.

【典型例題】

例1已知集合朋=1x|x=/?z+-^,mezj,?/=|x|x=-^--^,nezj

「=卜|%=今+：,〃臼則”,可,「滿足的關(guān)系是（）

A.M=NuPB.MuN=PC.MuNuPD.NuP=M

例2已知集合A={x|x?-6x+8<o},B={x|（x-a）-（x-3a）<O}.

⑴若AqB,求a的取值范圍；

⑵若An8=。，求a的取值范圍；

⑶若An8={x[3<x<4},求a的取值范圍

例3已知集合{xeRix?-4ax+2a+6=0}；8={xeR|x<0}若Ad8K0,求

實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【規(guī)律總結(jié)】

1.解答集合問題時(shí):通常將集合語言與圖形語言進(jìn)行互化.如對(duì)元素為離散型的集合

通常轉(zhuǎn)化為Venn圖，對(duì)元素為連續(xù)形集合通常轉(zhuǎn)化到數(shù)軸上，又往往借助函數(shù)圖象進(jìn)

行思考.

2.對(duì)于AqB,一般要分為A=。與Aw。討論.

3.集合的兒種等價(jià)形式

⑴AUB=8=AqB

⑵An6=6=6qA

⑶A=3OA=B,且8cA

⑷4nBz）0=AnB工。

4..在解決AClBw。問題時(shí)，可以利用補(bǔ)集思想，先研究API3=。的情況，然后取

補(bǔ)集.

5..含參數(shù)的集合問題，多根據(jù)集合中元素的互異性處理，有時(shí)需要用到分類討論、數(shù)

形結(jié)合的思想.

【拓展訓(xùn)練】

一、選擇題

1.若集合M=｛凡仇c｝中的元素是A4BC的三邊長(zhǎng)，則AABC一定不是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

2.已知命題：

①｛偶數(shù)｝=｛x|x=2k,keZ｝;

②sin30°eQ；

③｛X|W?2,X€N卜｛-2,—1,0,1,2｝；

④{(x,y)|x+y=3,且x-y=1}={1,2}.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè).

3.設(shè)尸和。是兩個(gè)集合，定義集合P-Q={x|xeP,且x定。},若

P={x|log2x<l},2={x||x-2|<1},那么P—Q等于

A.{%|0<x<1}B.{%|0<x<1}C.{%11<x<2}D.{%|2<x<3}

二、填空題

4.已知集合”={(x,y)|x+y=2},N={(x,y)|x-y=4},那么集合MPlN為

5.定義集合運(yùn)算：A*8={z|z=xy,xeA,ywB},設(shè)A={1,2},8={0,2}則集合

A*8的所有元素之和為-----.

6.設(shè)集合S={x|k—Z>3},T={x[a<x<a+8},SUT=R，則”的取值范圍是

三、解答題

7.集合S={x|x410,_axeN+},4uS,BuS,_aAriB={4,5},

(C/)n4=卜,2,3},(GA)n(C,B)={6,7,8}.求集合L和8.

8.集合A={(x,y)|X：+機(jī)X-y+2=o},B={(x,y)|x-y+1=0,0<x<2},

若AflBw。，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

9.設(shè)集合A=卜,？-3x+2=o},B=|x|x2+2(a+l)x+(a2-5)=o|

(1)若4口8={2},求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若AU6=A,求實(shí)數(shù)a的取值范圍若Afl8={2},

［解題思路］對(duì)于含參數(shù)的集合的運(yùn)算，首先解出不含參數(shù)的集合，然后根據(jù)己知條件求參數(shù)。

10.已知全集￡/=/?,集合4=卜|二片21卜集合8=卜|》2-2x—〃?<0

(1)當(dāng)加=3時(shí),求API”;

(2)若8={x|-1<x<4},求小的值.

1.2函數(shù)及其表示

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.⑴設(shè)A、B是非空數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/，使對(duì)于集合中的A中的

—,在集合8中都有-----和它對(duì)應(yīng)，那么就稱/:Af8為從集合4到集合8的一

個(gè)函數(shù)，記作——.

⑵對(duì)于函數(shù)y=/(x),xeA,其中x叫做自變量，x的取值范圍4叫做-----;與工的

值相對(duì)應(yīng)的y值叫做------,函數(shù)值的集合｛/(%)|xwA｝叫做函數(shù)的——.

⑶函數(shù)的-----和-------兩要素可確定一個(gè)函數(shù).

⑷函數(shù)的三種表示方法是----------------------.

2.在函數(shù)定義域內(nèi)，對(duì)于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對(duì)應(yīng)法則，這樣的函

數(shù)通常叫做------分段函數(shù)的定義域是各段定義域的-------，其值域是各段值域

的------.

3.設(shè)A、8是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系/,使對(duì)應(yīng)集合中的A

任意一個(gè)元素x,在集合5中都有-----確定的要素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱/:A->8

對(duì)應(yīng)為從集合A到集合8的一個(gè)—.

由映射的定義可以看出，映射是-----概念的推廣，函數(shù)是?種特殊的映射，要注意

構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合4、8必須是------.

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.給出下列四個(gè)命題，正確的有（）

①函數(shù)就是定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系；

②若函數(shù)的定義域只含有一個(gè)元素，則值域也含有一個(gè)元素；

③因f（x）=5這個(gè)函數(shù)值不隨x的變化而變化，所以/（0）=5也成立；

④定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)值域也隨之確定

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.設(shè)用={x|—2Wx<2},N={y[0Wy<2},給出下列四個(gè)圖形，其中能表示以集

合M為定義域，N為值域的函數(shù)關(guān)系是（）

3.設(shè)/,g都是由A到4的映射，其對(duì)應(yīng)法則如下表（從上到下）

表1映射/的對(duì)應(yīng)法則

原象1234

象4321

表2映射g的對(duì)應(yīng)法則

原象1234

象4321

則與/卜⑴]相同的是

A-B,g[/（2）]C.g[f（3）]D.g[/⑷]

l-x2,x<1'1、

4.設(shè)函數(shù)=?則/的值為

x2+x-2,x>1西

5.如圖所示，有一邊長(zhǎng)為。的正方形鐵皮，將其四個(gè)角各截

去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的小正方形，然后折成一個(gè)無蓋的盒子，寫出

體積V以x為自變量的函數(shù)式是------這個(gè)函數(shù)定義域是一

【典型例題】

例1已知下列四組函數(shù)，其中表示同一個(gè)函數(shù)的是

/一4

(1)f(x)=---—>g(x)=x+2；

x-2

(2)f(x)=x,g(x)=2叫”+1(neTV)；

(3)f(n)=2n-l,g(n)=2n+l(nGN)；

(4)f(x)=x2-2x-l,g(x)=t2-2t-l.

例2動(dòng)點(diǎn)P從邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)B出發(fā)順次經(jīng)過C,D再到A停止，設(shè)x

表示點(diǎn)P的行程，y表示PA的長(zhǎng)，求y關(guān)于x的函數(shù).

例3⑴設(shè)f(x)是一次函數(shù),且f[f(x)]=4x+3,求f(x)；

(2)設(shè)二次函數(shù)產(chǎn)f(x)的最大值為13,且f(3)=f(T)=5,求f(x)的解析式;

(3)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，若f(x)+g(x)=----,求f(x).

x-1

【規(guī)律總結(jié)】

1.相同函數(shù)的判定

解析式相同的兩個(gè)函數(shù)不一定是同?個(gè)函數(shù).定義域、對(duì)應(yīng)法則是函數(shù)的二要素.由

于只要定義域、對(duì)應(yīng)法則確定，函數(shù)便確定，故兩個(gè)函數(shù)相同，只須定義域與解析式(對(duì)

應(yīng)法則)相同.

2.解析式的求法

求解析式這類問題抽象性較強(qiáng)，解題關(guān)鍵在于抓住函數(shù)對(duì)應(yīng)法則f的本質(zhì).由函數(shù)f(x)

的含義可知，在函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則f不變的條件下，自變量換字母，甚至變換為

其他字母的代數(shù)式，對(duì)函數(shù)本身并無影響，利用這一特征可解決此類相關(guān)問題，常用的

方法有：

(1)代入法：如已知f(x)=x2-1,求f(x+x?)；

(2)待定系數(shù)法：已知f(x)的函數(shù)類型，要求f(x)的解析式時(shí)，可根據(jù)類型設(shè)其解析式,

從而確定其系數(shù)即可；

(3)換元法：適用于已知f[g(x)]的表達(dá)式；

(4)拼湊法：已知f[g(x)]的解析式，要求f(x)時(shí)，可以從f[g(x)]的解析式中拼

湊出“g(x)”，即用g(x)來表示，再將解析式兩邊的g(x)用x代替即可；

(5)方程組法：已知f(x)與f[g(x)]滿足的關(guān)系式，要求f(x)時(shí)，可以用6(x)代替

兩邊所有的x,得到關(guān)于f(x)及f[6(x)]的方程組，解之即可求出f(x).

3.函數(shù)與方程思想

用函數(shù)觀點(diǎn)理解方程是將方程f(x)=0的解視為函數(shù)尸f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的

橫坐標(biāo)，方程f(x)=a的解可視為y=f(x)的圖象與直線y=a交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

【拓展訓(xùn)練】

選擇題

1.下列說法中，不正確的是()

A.函數(shù)的值域中每一個(gè)數(shù)在定義域中都有數(shù)與之對(duì)應(yīng)

B.函數(shù)的定義域和值域一定是不含數(shù)0的集合

C.定義域和對(duì)應(yīng)法則完全相同的函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)

D.若函數(shù)的定義域中只有一個(gè)元素，則值域也只含有一個(gè)元素

2.下列各圖象中，不可能表示函數(shù)y=f(x)的圖象的是()

Y|

3.若f(x)=」方，則f(上)等于()

l+XX

1

A.f(x)B.C.-f(x)D.f(-x)

二.填空題

4.已知函數(shù)/(x)滿足/(x)+2/(3=3x,則/(x)=.

x

x2111

5.已知f(x)=——那么f(l)+f(2)+f(3)+f(4)+f(-)+f(-)+f(—)=

i+x2234-----------

[1,x>0,_

6.已知f(x)=<則不等式tx+(x+2)?f(x+2)<5的解集是.

[-1,%<0,-----------------

三.解答題

7.二次函數(shù)/*)滿足/(x+1)-/(x)=2x,ja/(0)=l.

⑴求/(x)的解析式；

⑵在區(qū)間［-1,1］匕卜=/(刈的圖象恒在》=2犬+加的圖象匕心試確定實(shí)數(shù)機(jī)的范圍.

271x<2

8.設(shè)/(x)='解不等式/(x)-2>0的集為.

2

log2(x-l),x>2,

9.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的實(shí)數(shù)x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+l,且f(1)

=1.

(1)若XGN*,試求f(x)的表達(dá)式；

(2)若xwN*,且xN2時(shí)，不等式f(x)>(a+7)x-(a+10)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

范圍.

10.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對(duì)教室用藥物消毒法進(jìn)行消毒.已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每

立方米空氣中含藥量y（毫克）與時(shí)間￡（小時(shí)）成正比；藥物釋放完畢后，y與f的函數(shù)關(guān)

y（亳克）

系式為y（“為常數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提

供的信息，回答下列問題：

（1）從藥物釋放開媽，每立方米空氣中的含藥量y（毫克）

與時(shí)間t（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系式

“小時(shí)I

為；

（2）據(jù)測(cè)定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫

克以下時(shí)，學(xué)生方可進(jìn)教室，那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過..小時(shí)后,

學(xué)生才能回到教室.

1.3函數(shù)的定義域與值域

【基礎(chǔ)知識(shí)】

1.函數(shù)的定義域

(1)函數(shù)的定義域是，在研究函數(shù)問題

時(shí)，需優(yōu)先考慮.

(2)已知f(x)的定義域是［a,b］,求f［g(x)］中x的取值集合，是指滿足

的x的取值集合；而已知f［g(x)］的定義域是［a,b］,指的是

2.常見函數(shù)的定義域、值域

函數(shù)定義域值域

y=kx+b(kwO)

y=—(kw0)

x

y=ax2+bx+c(a^0)

y=logflx(a>0,且aw1)

y=aA(a>0,且aw1)

y=x+—(a>0)

x

丫="'+b函一"w0)

cx+d

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1.函數(shù)y」gd-x)的定義域是()

x—3

A.(-oo,3)U(3,4]B.(-oo,4)

C.(3,4)D.(-00,3)U(3,4)

2.若函數(shù)產(chǎn)f(x)的定義域是[0,2]則函數(shù)g(x)=用2的定義域是()

x-1

A.[0,1]B.[0,1)C.[0,1)U(1,4]D.(0,1)

3.若函數(shù)f(x)=logJT(a>0,且awl)的定義域和值域都是［0,1］，則a等于()

,1V2

A.—B.，r2rC.---D.2

32

4.f(x)=71-x2+Vx2-1的值域是.

5.(2007重慶)若函數(shù)f(x)的定義域是R,則a的取值范圍是

【典型例題】

例1求下列函數(shù)的定義域:

(1)y=—；(2)y=44-X?；(3)y=yj5-x+y/x-5--：---

x-xX*2*-9

例2求下列函數(shù)的值域:

(1)y=4-,2x+3-/(2)y=2x+V1-2x；

1-x3x

(3)y=------；(4)y=-~~--

2x+5x+4

例3(1)函數(shù)y=lg(x?-ax+1)的定義域是R時(shí)，求a的取值范圍;

(2)函數(shù)y=lg(x2-ax+l)的值域是R時(shí),求a的取值范圍;

【規(guī)律總結(jié)】

1.函數(shù)定義域的三類題型

第一類是給出函數(shù)的解析式，這時(shí)函數(shù)的定義域是使解析式有意義的自變量的取值

集合；

第二類是實(shí)際問題或幾何問題，此時(shí)除要考慮解析式有意義外，還要考慮實(shí)際問題

或幾何問題有意義；

第三類是不給出函數(shù)的解析式，而由f(X)的定義域確定函數(shù)f[g(X)]的定義

域或由f[g(X)]的定義域確定函數(shù)f(X)的定義域.

(1)熟練掌握基本初等函數(shù)(尤其是分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、

反三角函數(shù))的定義域是求函數(shù)定義域的關(guān)鍵.

(2)對(duì)于復(fù)合函數(shù)求定義域問題，其一般步驟是：若已知f(x)的定義域[a,b],

其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域應(yīng)由不等式a<g(x)Wb解出.

2.函數(shù)值域的常見求法

求函數(shù)的值域是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，它沒有固定的方法和模式，常用的方法有：

(1)直接法——從自變量的范圍出發(fā)，推出y=f(x)的取值范圍；

(2)配方法——配方法是求“二次函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)=af2(x)+b

f(x)+c的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法；

(3)反函數(shù)法——利用函數(shù)和它的反函數(shù)的的定義域與值域的互逆關(guān)系，通過求

反函數(shù)的定義域，得到原函數(shù)的值域.形如y=絲三里(aw0)的函數(shù)的值域，

cx+d

均可使用反函數(shù)法.此外，這種類型的函數(shù)值域也可使用“分離常數(shù)法”求

解；

(4)判別式法——把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)x于的二次方程F(x,y)=0,通過方程有實(shí)根，

ar4-A丫+「

判別式A20,從而求得原函數(shù)的值域，形如y='——!——不同

ax2+b2x+c2

時(shí)為零)的函數(shù)的值域常用此法求解；

注意事項(xiàng)：①函數(shù)的定義域應(yīng)為R；②分子、分母沒有公因式.

(5)換元法一一運(yùn)用代數(shù)或三角代換，將所給函數(shù)化成值域容易確定的另一

函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域，形如y=ax+b±y/cx+d(a,b,c,d均為常數(shù)，

且a#0)的函數(shù)常用此法求解；

(6)不等式法——利用基本不等式：a+bN2j益(a,bwR+)求函數(shù)的值域，要注意

基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；

(7)單調(diào)性法——確定函數(shù)在定義域(或某個(gè)定義域的子集)上的單調(diào)性求出函數(shù)

的值域.形如y=:的函數(shù)值域均可使用此法求解；

6+4

(8)求導(dǎo)法——當(dāng)一個(gè)函數(shù)在定義域上可導(dǎo)時(shí)，可根據(jù)其導(dǎo)數(shù)求最值；

(9)數(shù)形結(jié)合法——當(dāng)一個(gè)函數(shù)圖象可作時(shí)，通過圖象可求其值域和最值；或利用

函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法求出函數(shù)的值域.

【拓展訓(xùn)練】

一、選擇題

1.函數(shù)f(x)=-\n^x2-3x+2+7-X2-3X+4)的定義域?yàn)?)

X

A.(-00,-4)U[2,+oo)；B.(-4,0)U(0,1)；C.[,-4,0)11(0,1];D.[-4,0)U(0,1)

2f-1

2.函數(shù)y=^的值域是

T+1

A.[0,1]B.(-1,1)C.(0,11D.(0,1)

3.函數(shù)----的定義域是R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

ax'+4ax+3

333

A.{a|aeR}B.{a0<a<-}C.{a|a>-}D.{a|0<a<-}

444

二、填空題

1

,則函數(shù)"xh/GH的值域是________

4.若函數(shù)y=/(x)的值域是7u)

v

5.函數(shù)f(x)=log2(a+4)(a>0,且a#1)的值域是.

6.函數(shù)f(x)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f(x+2),若f(1)=-5,則f(f(5))=

/(x)

三、解答題

7.設(shè)函數(shù)/*)=/+工+；的定義域是[〃,”+1](〃是正整數(shù))，那么/(x)的值域中共有

多少個(gè)整數(shù).

8.設(shè)函數(shù)f(x)=V-x2+2x+8的定義域是A,函數(shù)g(x)=的定義域是B,

V1-lx-°I

求AAB=①時(shí)，a的取值范圍.

9.求下列函數(shù)的值域:

2,,、/+5