初中八年級(jí)數(shù)學(xué)課件-最短路徑問(wèn)題“黃岡賽”一等獎(jiǎng)

人教版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第十三章軸對(duì)稱玉林市育才中學(xué)任教教師：徐玉生最短路徑問(wèn)題新課導(dǎo)入1.如圖，連接A、B兩點(diǎn)的所有連線中，哪條最短？為什么？AB①②③②最短，因?yàn)閮牲c(diǎn)之間，線段最短2.如圖，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與該直線l上各點(diǎn)連接的所有線段中，哪條最短？為什么？PlABCDPC最短，因?yàn)榇咕€段最短3.在我們前面的學(xué)習(xí)中，還有哪些涉及比較線段大小的基本事實(shí)？三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊；斜邊大于直角邊.4.如圖，如何做點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)？AlA′知識(shí)講解1、牧馬人飲馬問(wèn)題“兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短”“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”等的問(wèn)題，我們稱之為最短路徑問(wèn)題.

現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑問(wèn)題，本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史的著名的“牧馬人飲馬問(wèn)題”.AB①②③PlABCD

如圖，牧馬人從點(diǎn)A地出發(fā)，到一條筆直的河邊l飲馬，然后到B地，牧馬人到河邊的什么地方飲馬，可使所走的路徑最短？C抽象成ABl數(shù)學(xué)問(wèn)題作圖問(wèn)題：在直線l上求作一點(diǎn)C,使AC+BC最短問(wèn)題.實(shí)際問(wèn)題ABl問(wèn)題1

現(xiàn)在假設(shè)點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在l上找到一個(gè)點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A，點(diǎn)B的距離的和最短？AlBC根據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”，可知這個(gè)交點(diǎn)即為所求.連接AB,與直線l相交于一點(diǎn)C.問(wèn)題2

如果點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，又應(yīng)該如何解決？想一想：對(duì)于問(wèn)題2，如何將點(diǎn)B“移”到l

的另一側(cè)B′處，滿足直線l

上的任意一點(diǎn)C，都保持CB與CB′的長(zhǎng)度相等？Al利用軸對(duì)稱，作出點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′.BB′作法：（1）作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l

相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．ABlB′C例1

如圖，已知點(diǎn)D、點(diǎn)E分別是等邊三角形ABC中BC、AB邊的中點(diǎn)，AD=5，點(diǎn)F是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BF+EF的最小值為（）

A．7.5B．5C．4D．不能確定解析：△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，即點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線AD對(duì)稱.∵點(diǎn)F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可轉(zhuǎn)化為求CF+EF的最小值，故連接CE即可，線段CE的長(zhǎng)即為BF+EF的最小值.B

總結(jié)：此類(lèi)求線段和的最小值問(wèn)題，找準(zhǔn)對(duì)稱點(diǎn)是關(guān)鍵，而后將求線段長(zhǎng)的和轉(zhuǎn)化為求某一線段的長(zhǎng)，而再根據(jù)已知條件求解.求三角形周長(zhǎng)的最小值，先確定動(dòng)點(diǎn)所在的直線和固定點(diǎn)，而后作某一固定點(diǎn)關(guān)于動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)，而后將其與另一固定點(diǎn)連線，連線與動(dòng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為三角形周長(zhǎng)最小時(shí)動(dòng)點(diǎn)的位置.課堂訓(xùn)練1、如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）PQlAMPQlBMCP