高考數(shù)學練習題

同構(gòu)備檄建

例毀1.(202()?新課標卷I［文教/2)若2*-2,<3-*-3->',則()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(j-x+l)<0C.In|x-^|>0D.In|x-y|<Q

【分析】將已知2、-2><3-工-37按照“左右形式形式相當，一邊一個變量”的目的變形,

然后逆用函數(shù)的單調(diào)性.

【解析】由2、一2>'<3-x-3-y移項變形為2、一3T<2>,-3-丫，設/(x)=2X-3r

易知/(x)是定義在R上的增函數(shù)，故由2、一3-、<2>'一3-》，可得x<y,

所以y-x>0=>y-x+l>l,從而ln(y-x+1)>(),故選A.

例散2.(2020?新課標［理數(shù)?12)若2"+lo&a=4'+21og/,貝|()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

［分析］：h妨+尸=2b2b

4+2logZ?=2log2+logb2=2+log2b,-1

...2"+log?=2rb+log2〃-1,設f(x)=2X+log孑

利用作差法結(jié)合fM的單調(diào)性即可得到答案.

［解析］：妨+2Z,

4"+210gb=2log/2=2"+log2=2+log2b2-l

：.2"+logg=22h+log獨—1,故2"+log4<2"+log2。

設f(x)=2*+k)&x,則f(x)為增函數(shù)，所以f(a)<f(2b),所以。<2b.

2ah22bft2

f(a)-f(b)-2+log2<2—(2+log2b)-2+log2Z?-(2+log2b)-

2Z?//

2-2-log2/?,

當。=1時，/(a)—/(加)=2>0,此時/(a)〉/(〃)，有a>62

當人=2時，/(a)-/(/?2)=-l<0,此時/(。)</(加)，有“<從，所以C、D錯誤.

故選B.

【點評】本題需構(gòu)造函數(shù)，其基本策略是：“左右形式相當，一邊一個變量，取左或取

右，構(gòu)造函數(shù)妥當“，我們稱之為“同構(gòu)函數(shù)”，然后再利用函數(shù)的單調(diào)性求值.

城1.(2012?全國聯(lián)賽)如果cos'Qsin'0<7(cos34sin'0),2M,則優(yōu)勺取

值范圍是.

71571

【答案】(_,一)

44

Q1n

城.圖2.(2012?遼寧競賽)不等式------+—――d—5x>0的解集是

a+iyx+i---------------

(2Y2

【解析】原不等式可化為:+5.77T>J+5X

構(gòu)造函數(shù)/(x)=f+5x,則/'(x)=3x2+5>0,/(x)在R上單增

2

所以——〉*,解之得x<-2或-1〈尤<1

X+1

所以原不等式解集是{乂％<-2或T<x<1}.

雙圖3.(202()?南通五月模擬?14)已知先［0,2砂，若關(guān)于k的不等式

Jsin&-%(sirPacos3。)在(-00,-2］上恒成立，則領取值范圍

為.

【分析】本題的實質(zhì)是含參數(shù)6(這里當然是sin。、cose)的不等式恒成立問題，應

抓住已知條件Jsin%Jcosak(sin361-cos3e)的對稱結(jié)構(gòu),構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的

單調(diào)性布列不等式.

【解析】看至4鬧瓦而應A(sin3Qcos3(9)想“對稱結(jié)構(gòu)”，將它變形為:

ksin30-Jsine>kcos30-Jcos。,

設/(x)=止一r(x)=3kx?=

易知當Z:G(-CO,-2］時，f\x)=3kx2-<0,故/(x)在［0,+oo)單減,

「sinacos。

所留Lin企0,解之得：

['cosfeO4

所以。的取值范圍1。,可.

i41

丸圖4.(2019?南師附中期中?14)已知函數(shù)/。)=3*—3-*,

/(l-21og3/)+/(31og3/-I)>log,t,則r的取值范圍是

3

【分析】這里可以發(fā)現(xiàn)log；=-log'#(2k)g'E)—(31og'Tl)^

3

/(1-2log3/)+/(31og3Z-l)2log〃移項變形為

3

X

/(31og3r-l)+(31og；T)>(21og；+1)-/(I-21og力，易知f(x)=3-3T是奇

函數(shù)，-/(l-21og3r)=/(21og/+l),故進一步變形為

/(31og3r-l)+(31og3r-l)>/(2log,-1)+(2log3z-1),此時，得到一個“左右形

式相當，一邊一個變量”的不等式，令F(x)=/(x)+x,問題轉(zhuǎn)化為

F(3log-1)>F(2log^l),只需研究F(x)=/(x)+x的單調(diào)性，逆用該函數(shù)的

單調(diào)性即可.

【解析】???log'=-log>-(1-2log；)-(31og；-l)

3

???/(I-2log3r)+/(31og3r-l)2log"可變形為：

3

/(31og3r-l)+(3哨-1)>(21og'-1)-/(I-21ogt)

???/(x)=3X—3-x是奇函數(shù)

.?.-/(l-21og3Z)=/(2k)g.l)

/(31og3r-l)+(31og3/-l)>/(2log3z-l)+(2log.^-1)

令F(x)=/(x)+x=3*—3-*+x,則F\x)=In33'+In3-3"+l>0

二尸(x)單增

...Slog^-l>210§;-1,即log‘20,解之得INI

所以f的取值范圍是［1,+8).

雙圓5.(202()?南通如皋創(chuàng)新班四月模擬2)已知實數(shù)a,Z?e(O,2),且滿足

a2-b2-44_2"_4。，則a+b的值為.

4

【分析】將標_昭_4=或_2“_4/?化為：/+2"=(2—勿2+2?,設/0)=/+2，，

則/(x)在(0,2)上遞增，由/(a)=/(2-b),得的值.

2a2b2

【解析】由/_。2_4=，一2°-4/；,化簡為：a+2=2~+(b-2)

即cr+2"=(2-b)2+22-b,設/(x)=/+2X

則/(x)在(0,2)上遞增，因為a,be(0,2)

所以2?e(0,2),且/(a)=/(2一8)，所以a=2—b,即a+b=2.

雙圓6.(2020?淮陰中學、姜堰中學12月考?14))已知實數(shù)x,x滿足xe"=e3,

121

x(inx-2)=/,則xx=_□.

2'212-

【分析】由已知條件考慮將兩個等式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式，令In為-2=r，w=e"2,得

到以=e3,研究函數(shù)/(x)=xe'的單調(diào)性，求出玉"關(guān)系，即可求解.

解法一：實數(shù)x,x滿足=/,x(inx-2)=/,

12I22

2t+2

x>0,x>eflnx-2=r>0,x=e,則

1222

f(x)=xev(x>0),/r(x)=(x+l)e*>0(x>0),

所以/(x)在(0,+a))單調(diào)遞增，而/(再)=f(t)=e3,

x=t=\nx-2,:.xx=x(\nx-2)=e5.

121222

解析二：對xe*1=/兩邊取自然對數(shù)得：lnx+x=3,

111

對x(inx-2)=/兩邊取自然對數(shù)得：Inx+ln(lnx-2)=5(※)

2222

為使兩式結(jié)構(gòu)相同，將(:※)進一步變形為：(lnx2-2)+ln0n及一2)=3

設/(x)=lnx+x,則/'(x)J+l>0

X

所以/(九)在(0,+8)單調(diào)遞增，/(%)=3的解只有一個.

5

x=Inx-2,：.xx=(inx-2)x--e

I2I222

【點評】兩種解法實質(zhì)相同，其關(guān)鍵是對已知等式進行變形，使其“結(jié)構(gòu)相同”，然后構(gòu)

造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用是同一方程求解.

雙@7.設方程x+2*=4的根為加，設方程x+log*=4的根為〃，則

m+n=.

【答案】4

雙圓8.已知蘇一3〃+5a=1,b3~3b2+5b=5,那么a+b的值是.

【解析】由題意知a3-3a2+5a-3=-2,加一3〃+5b—3=2,

設/(x)=x3—3J^+5X—3,則/(?)=—2,f(h)=2.

因為/(x)圖象的對稱中心為(1,0),所以a+b=2.

點評：本題的難點在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對稱性，對于三次函數(shù)/。?=以3+加2+次+］其對

稱中心為(xo,/(X0)),其中一'(沏)=0.

鞏固9.(宿遷,2()18?期中)不等式x6—(x+2)3+X~<x4—(x+2)"+x+2的解集

是.

【分析】直接解顯然是不對路的.觀察不等式的特征，發(fā)現(xiàn)其含有(x+2)、x兩個因式，

將不等式轉(zhuǎn)化為“一邊一個變量''的形式為：

x-x4(x+2>—(x+2)+(x+2),構(gòu)造函數(shù)y(x)=x3—x2+x,題

目轉(zhuǎn)化為求解/(/)</(x+2)的問題.因為/'(X)=3x2-2x+1,易知

/'(x)=31-2x+1>0恒成立，故/(x)為R上的單調(diào)增函數(shù)，所以由

/(丁)4,f(x+2)立得：x2<x+2,解之得-14x<2.

【方法點撥】

1.一個式子中出現(xiàn)兩個變量，適當變形后，兩邊結(jié)構(gòu)相同(如例1);

2.兩個式子也可適當變形，使其結(jié)構(gòu)相同,然后構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解題，或

運用同一方程代入.

專做2應臺就備裁，曹看的解不等式型

例做1.(2020?新課標卷/理數(shù)-12)已知函數(shù)/(x)=|3x+l|-2|x-l|.

(D畫出y=/(%)的圖像；

(2)求不等式，(x)>/(x+l)的解集.

【分析】(1)略；(2)在同一直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)/(X)、/(X+1)的圖象，根據(jù)圖象即

可解出.

【解析】(1)略；

(2)將函數(shù)/(*)的圖象向左平移1個單位，可得函數(shù)/(X+1)的圖象，如圖所示：

7

由—X—3=5(x+l)—1,解得x=—.

、一、/7、6

所以不等式的解集為|—00,-6|?

I)

FA2-2x,x<2

鞏固1.(2020?揚州三檢?12)已知函數(shù)‘⑴一'&-1x>2'則關(guān)于x的不等式

,21

/(l—x)</(2—x)的解集為.

【分析】作出函數(shù)/(x)圖象，考察動區(qū)間［1一％2—對間圖象的單調(diào)性，易得，當1一%=1

2

即xJ時，y(l-%)=/(2-x),此即為“臨界值”，而動區(qū)間右移時滿足題意，故

2

,11

22

所以不等式/(I一x)</(2—x)的解集為(一oo,?|.

2~x,爛0,

風@2.(2018?全國卷)設函數(shù)段)=則滿足J(x+l)<7(2x)的x的取值范圍是

,1,x>0,

A.(-00,-1](0,+8)

C.(-1,0)(—8,0)

【解析】法一:分類討論法

fr+1<0,

①當｛即爛一1時，

l2x<0,

Xx+l)</(2x),即為2飛+|)<2-巴

即一(x+l)<-2x,解得x<l.

因此不等式的解集為(一8,-1].

fv+1<0,

②當(B寸，不等式組無解.

(2x>0

(r+l>0,

③當[即一1VE0時，

l2i<0,

/+1)勺3),即為l<2-2x,解得x<0.

因此不等式的解集為(一1,0).

1+1>0,

④當｛即x>0時，火x+l)=l,“

l2x>0,

綜上，不等式於+1)勺(2x)的解集為(-00,

0).法二：數(shù)形結(jié)合法

2菖A<0,

,-W=

,1,x>0,

函數(shù)y(x)的圖象如圖所示.

結(jié)合圖象知，要使式x+1)勺(2x),

a+1<0,,[x+l>0,

則需,2x<0,或｛

2x<x+1

/.x<0,故選D.

雙3.已知，(x)=(x+l)同一3x.若對于任意xGR,總有/(x)g(x+“)恒成立，則常數(shù)a的

最小值是.

爐—2x,x>0,

【提示】/a)=tx2_；x,]；o,，作出函數(shù)的圖象得：

作平行于x軸的直線/與左)圖象有三個交點，設最左邊與最右邊的交點分別為M,N,

如圖所示，則。的最小值即為線段MN長的最大值.設直線/的方程為y=t,

可得MN=3*1++4一/=3+(i+f+邛二汴=3+542(1,工。(4一。

<3+5+l+f+4-f=3+10

所以，a的最小值是3十口0

【說明】

1.本題的難點是要能結(jié)合函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)常數(shù)“的最小值即為線段MN長的最大值.

2.本題也可使用導數(shù)知識解決.

鞏固4.已知函數(shù)/(x)=x(l-a|x|)+l(a>0),若/(x+a)4/(x)對任意的xeR恒成立,

則實數(shù)a的取值范圍是.

【解析】設g(x)=x(l-a|x|)(a>()),則/(x+a)〈/(x)og(x+a)<g(x)對任意的

xeH恒成立，意即將g(x)圖象上的每一點向左平移a個單位后，所得到的圖象不可能

在g(x)的上方.

fx(l-ax),x>0

因為g(x)=x(l-a|x|)=〈

[x(l+ax),x<0

2

如圖，由圖象得，tz>_,又因為?！?,故。2血.

雙圖5.(2020?鎮(zhèn)江?高三上學期期末?12)已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x>0時，

/(x)=x2-4%,則不等式/(%)>x的解集為.

【答案】(-0°,一5)D(5,4-00)

鞏固.已知函數(shù)/(尤)=則不等式/'(的解集為.

6X\X-2\9/(I)

【答案】［-L+8)

4<3三次備裁逐

例題1.(2020?浙江9)已知a,beR且。厚0,若(*_a)(*-力(戶24-6巨0在電0上恒成立，則

()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【分析】本題的實質(zhì)是考察三次函數(shù)的圖象，設/(x)=(x-a)(x-份(尢-2。-6),欲滿足

題意，從形上看則必須在X>0時有兩個重合的零點才可以，對。分(7>0與"<0兩種情況

討論，結(jié)合三次函數(shù)的性質(zhì)分析即可得到答案.

【解析】因為所以awo且。NO,設/(x)=(x—a)(x—8)(x-2a—/?),則/(x)

的零點為x,=a,x2-b,x3-2a+h

當a〉0時，則々<匕，為>0，要使/(x)NO,必有2a+b=a,且〃<0,即6=-a,

且&<0,所以b<0；

當。<0時，則x2>x3,x,<0,要使/(x)?0,必有〃<0.

綜上一定有b<0.

故選：C

點評：①本題使用了作三次函數(shù)示意圖的方法——序軸標根法，它是高次不等式的常用解法.

“序軸標根法”又稱“數(shù)軸穿根法”或"穿針引線法“，所謂序軸就是省去原點和單位，只表示

數(shù)的大小的數(shù)軸.序軸上標出的兩點中，左邊的點表示的數(shù)比右邊的點表示的數(shù)小.為了形象

地體現(xiàn)正負值的變化規(guī)律，可以畫一條浪線從右上方依次穿過每一根所對應的點，穿過最后一個

點后就不再變方向(自右往左，蛇形穿根，奇(次賽)過偶(次第)不過)，這種畫法俗稱

“穿針引線法用數(shù)軸標根法解不等式的步驟：移項、求根、標根、畫線、選解.

②本題要求學生功底扎實，思維層次要高，尤其對于處理函數(shù)、不等式等題型數(shù)形結(jié)合思想教

軸標根法的優(yōu)勢就體現(xiàn)出來,所謂胸有藍“圖”，一路坦途.

鞏固1.若函數(shù)f(x)=2A3—or2+1(。€R)在(0,+a))內(nèi)有且只有一個零點，則/(x)在［—1,1］

上的最大值與最小值的和為.

【解析】因為/(。)=1，且由/'(x)=6x2-2a￥=6x(x-la)=0得：x=0或x=」a

33

所以函數(shù)/(x)的圖象是增-減-增型，且在x=0或x三1a處取得極值

Iaa3a2

|/(-)=2-(-)+1=0

欲使函數(shù)在(0,+a))內(nèi)有且只有一個零點，當且僅當〈,

a

i->0

13

解之得a=3.

當尤￡-1,0］時，/(尤)增；xw［0,l］時，/(X)減,

故/Wmax=/(O)=1,/(x)min=min{/(l)J(-l)}=-4,

所以fM在［T,l］上的最大值與最小值的和為-3.

風圓2.已知函數(shù)/(尤)的導函數(shù)為/'(X)=ar(x+2)。一。)(aw0),若函數(shù)/(x)在x=-2處取

到極小值，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】(―8,—2)U(0,+8)

鞏曲3.若函數(shù)/(%)二%2q一《在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，則實數(shù)。的取值范圍是.

一,［x2(x-a),x>a

【解析】/(x)=/\x-a\=<^,

\-x"(x-a),x<a

函數(shù)/(x)的一個極值點是x=0,所以以0為界與。比較，進行分類討論.

①當a>0時，如圖一，由/(x)=—3f+2公=0得，*=0或》二"，

,3

欲使函數(shù)/⑴二廠卜叫在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，只需％=±之2,即此3.

3

②當時，如圖二，/(%)=耳%-4在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞增，滿足題意.

綜上知，實數(shù)a的取值范圍是(一oo,0］U［3,+oo).

風圖4.若函數(shù)/(幻=(》-2)2卜一《在區(qū)間［2,4］上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍

是.

【答案】(-OO,2］U［5,+OO)

雙@5..設函數(shù)/(x)=ax,-3x+1(xe7?),若對于任意的xe［-1,1］都有/(x)20成立，則

實數(shù)。的值為.

【解析】若x=0,則不論a取何值，/(%)>0顯然成立；

,31

當x>0即xe(O,l］時，/'(x)=a。-3x+l20可化為，a>——r

x-JC

-31../、3(1-2%)../、(11

設g(x)=一一一，則g(x)=^>所以g(x)在區(qū)間0,一I上單調(diào)遞增，在區(qū)

x2%3尤4［2

間「1J上單調(diào)遞減，因此g(x)=g「l'=4,從而aN4；

\\2I］m”⑸

當元<0即XE］—1,0)時，/(%)=-3x+l20可化為QW7一y

.z、3(l-2x)

g(x)=：>0n

g(x)在區(qū)間［-1,0)上單調(diào)遞增，因此g(龍)田“=g(-l)=4,從而a<4,綜上q=4.

雙圓6.已知awR,函數(shù)f(x)=,求函數(shù))，=/。)在區(qū)間［1,2］上的最小值.

【分析】對右進行討論，結(jié)合函數(shù)的一階導數(shù)值判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進而求出函數(shù)

的最小值.

【解析】設此最小值為m.

①當。W1時，在區(qū)間［⑵上J(x)=x3-ax2.

2

因為：f1(x)=3x2-2ax-3Mx--ci)>0,xG(1,2),

3

則f(x)是區(qū)間［1,2］上的增函數(shù)，所以m=f(1)=1-a..

②當1<a<2時，在區(qū)間工］上,/(犬)=x2x-\a>?由/(〃)=0知：m=f{a}=0.

③當a>2時，在區(qū)間［1,2］上，/(x)=or2-X3.

「2

/z(x)=2ax-3x2=3x(］。-x).

若。23,在區(qū)間(1,2)內(nèi)F(x)>0,從而f(x)為區(qū)間［1,2］上的增函數(shù)，

由此得:m=f(1)=a-1.

2

若2<a<3,則1<_a<2

3

22

當1<x<時"/(x)>0,從而/'⑶為區(qū)間［1,讓的增函數(shù)

33

22

當_<x<2時/從而“⑴為區(qū)間［22］上的減函數(shù).

33

因此，當2<a<3時,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

7

當2<a?_時4(〃-2)<a-1,故m=4(。-2)；

3

7

當—<a<3時，a-\<4(。-2),故加=a-1.

3

1一4,當a<川寸；

0,當l<a42時；

I7

綜上所述，所求函數(shù)的最小值"2二’4(0—2),當2<a〈I時；

7

。一1,當a〉_時；

I3

雙⑥7.已知函數(shù)/(九)=尤|尤2—12］的定義域是［0,刈，值域是。卬角，則實數(shù)。的取值范

圍是

【解析一】易知：當0?xW2,7(x)增；當24xW2小,/(x)減；當x22g\/(x)

增，且f(2)=f(4)=16.

①當0<m《2時，/(x)[0,加]增

12「

-m(m2-12)=atn2,a--in+—e[4,+8)；

m

②當2<〃區(qū)4時，。/=16,a=：e[l,4)；

m

12

③當〃z24時，m(/??2-12)=aivr,a-m--c(l,+8)；

m

綜上，?>1.

【解析二】僅考慮函數(shù)/(幻在x>0時的情況，

[12x-x3,x<2

可知〃幻=〈7函數(shù)/⑴在工=2時，取得極大值16.

3

[x-\2xfx22f~

3.令13—12%=16,解得，x=

4.作出函數(shù)的圖象(如圖所

示)，

函數(shù)/⑴的定義域為[0,機],值域為[0,am2],分為以下情況考慮：(1)當0<機<2時，函

數(shù)的值域為Q訊12-"於)],有皿122)=?！?，所以。二12一〃？，因為0<<2,所以。>4；

m

(2)當2W/nW4時，函數(shù)的值域為[0,16],有2=16,所以。=及,，因為2WmW4,

nr

所以1W〃W4；(3)當〃z>4時，函數(shù)的值域為[0,/加層一⑵],有加(加2一12)=〃團2,所以

a=m--,因為m>4,所以a>\\綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是。21.

m

當做4撤列奇儒項型

制題1.（新課標1.文科46）數(shù)列｛〃“｝滿足。“+2+（―1）〃?！?3〃-1,前16項和為540,則

4=一"

【分析】對〃為奇偶數(shù)分類討論，分別得出奇數(shù)項、偶數(shù)項的遞推關(guān)系，由奇數(shù)項遞推

公式將奇數(shù)項用的表示，由偶數(shù)項遞推公式得出偶數(shù)項的和，建立的方程，求解即可得

出結(jié)論.

n

【解析】an+2+(-\)a=3n-l,

當〃為奇數(shù)時，4+2=?！?3"-1；當〃為偶數(shù)時，a“+2+a“=3〃-1.

設數(shù)列｛小｝的前〃項和為Sn,

S|6=。|+〃2+03+“4+

=%+%+。5…+。15+(%+。4)+…(。]4+。16)

=%+(a[+2)+(4+10)+(a1+24)+(q+44)+(a1+70)

+3]+102)+(4+140)+(5+17+29+41)

=8%+392+92=8卬+484=540,

4=7.

點評：本題綜合考查數(shù)列的遞推公式的應用、數(shù)列的并項求和、分類討論思想和數(shù)學計算

能力.

品圖1.數(shù)列｛4｝滿足4+1+(—l)"a"=2〃-1,則其前60項和為.

【輛斤】由a+(-l)Ma=2/j-l,可得a-a=1,a+a=3,a-a=5,a+a=7,

H+1n21324354

a&_a〕7,%_4=11,…，600—499=199

所以a3+a1=2,6f4+a2=8,6t7+a5=2,df8+a6=24,a9+an=2f

。設+a1o=40,…，

所以從第一項起，每四項的和構(gòu)成以10為首項，16為公差的等差數(shù)列

所以｛a｝前60項和為15x10+坨上xl6=1830.

“21

雙團2.已知數(shù)列｛〃｝的前〃項和為S,S=(-l)na-_,nwN*,則

nnnn

S[+$2+S3+…+S]oo=旦

1

3---1)

雙03.設S為數(shù)列｛a｝的前n項和,S=(—l)"a—”N*,則

〃n2”

(1)%==；(21S1+S2H----FS1(X)=_U.

【解法一】?..S,,=(T)"%一J,當〃22時，S,i=(-1)"T%-白

兩式相減得s「s,i=(—D'q—J—(―1尸%+白，即

a=(—l)"a-(-ir'a+J_

nnM-12〃

當〃是偶數(shù)時，a=。+a+J_,所以a即〃是奇數(shù)時，。=一\

n

"""-12〃2"2"'

當〃是奇數(shù)時，2a“=-a._]+$-,a,z=-2a“+J,即當〃是偶數(shù)時，

N乙乙

1

Cl=-r

"2"

?111

,?5+5H---1-S-(-a-_)+(?-_)+??-+(<7-_)_

x111、

(a+a+…+Q)—(Q+Q+???+Q)_J+_—+_)

24100I3992222100

11111

++?-?+)+(+

'F2423￥252"2222100

1+i

_+??■+

27F2,(K)2222iou不2100

【解法二】=(-l)"?-J_S=(-1)"(S-S)-1

〃n2〃nnrt-12〃

1s=—i,即當〃是奇數(shù)時，s=—i

當〃是偶數(shù)時，s=s—s

nni

2"w—i2”〃，

當〃是奇數(shù)時，S=—S+s-\S=2S+_L=0,即當〃是偶數(shù)時，S=0；

nnn-\n-\n2nn

,11

S+S+…+S=-(+++)-2-產(chǎn)[]_]).

121002^-2^-21oojI?2i°°

F

雙@4.已知數(shù)列｛4｝的前”項和為S,對任意“eN,S=(-1)"。+土〃-3且

?-)0-勺)<°恒成立，則實數(shù)，的取值范圍是

3

【解析】當"=1時，a=一

211

當〃〉時，S=(—l)"Tq++n-4,所以a=(-l)z+(-\)-a一」1

當〃為偶數(shù)時，41=自一1；

3-二，〃為偶數(shù)

所以〃

曲-1,〃為奇數(shù)

當〃為偶數(shù)時，0n=3一

)。一。)<01工、“、，311

又因為/,+,”恒成二，a<t<a所以一_<￡<一

n+lnf44

忒05.各項均為正數(shù)的數(shù)列｛6,｝的前〃項和為S”，且3邑=44+1,則工見《=2?

【解析】???3S”=%：.3S?,,=anAan(n>2)

兩式相減得3(S「S,z)=a“(a"+「a”」)，即3a“=a,,(a,,+|-a-i)

又因為｛a“｝的各項均為正數(shù)，所以qM—a.1=3(?>2)

當〃=1時，由3S〃=a/“+i得3sl=3at—a、出,所以。2=3

故生，。4，。6，。8,…是以。2=3為首項，公差為3的等差數(shù)列

nx(n-l)3〃(〃+l)

???Z%=〃x3+-----------x3=-----------

k=l22

應圖6.(2020?濱海中學?14)設數(shù)列｛〃｝滿足Q=1,a=1,a=4,4=,數(shù)列｛〃｝前

n1234彳-〃

n項和是S，對任意的,/(x)=a,,+2x+(a+a-2a)cosx-^4^,

〃T~〃〃+2向

nn+2

若/'(0)=0,當〃是偶教時，s”的表達式是.

解析：r(x)等-(a,-Jinx"，

nn+2

因為/'(0)=0,所以%+2_q+4=0,即上=3,所以數(shù)列｛a｝中所有的奇

aaa

0”n+2nn+2

數(shù)項成等比數(shù)列，所有的偶數(shù)項成等比數(shù)列，所以當n是偶數(shù)時,

1.〃一/)1-1-

I14M1I

<)J2K

S,,的表達式是4------z+=—+

1-4T3x2“1.

4

雙圓7.若數(shù)列｛aj滿足a“+a”|+a?,2=3n-6,且數(shù)列｛a“｝的前〃項的和S總滿足

S=Arr+Bn+C(其中A、8、C為常數(shù))，則數(shù)列以“｝的通項公式是

4=

【答案】a=n-3

雙圖8.若數(shù)列｛a｝滿足a+a+a=3〃-6,且a=」，若數(shù)列｛a｝單調(diào)遞增,

n〃"+I〃+22-21?

則ax的取值范圍為.

172

【答案】al(-__)

152

專題5+

惻數(shù)1.(2020?新課標I?理科21)已知函數(shù)/(x)=e、+ax2-x,當啟0時，/(x)/_,.

2箝+1,

求。的取值范圍.

【分析】遇到於)e“+ga)的形式變形為eqa),其求導后的結(jié)果是em(x)y=e2//a)+

廳(%)],其導數(shù)方程是多項式形式，所以它的根與指數(shù)函數(shù)無關(guān)，有利于更快捷地解決問題.

【解析】/(%)/x3+1等價于I1x3-ax2+x+1)e_A<1.

22

設函數(shù)g(x)-(—x3-ax2+x+1)e-v(x>0)則

2

g'a)=-(2.R-ax14-x+l-Jx2+2ar-l)eT==，x-(2a+3)x+4a+2]e'x

222

=一2x(x-2a-l)(x-2)e~x.

2

(i)若2a+10O,即〃4」，則當工￡(0,2)時，g'a)>0.所以g(x)在(0,2)單調(diào)

2

遞增，而g(0)=1,故當(0,2)時，g(x)>1,不合題意.

(ii)若0<%+1<2,即一則當K￡(0,勿+1)U(2,E)時，g'(x)<0;當工￡(2〃+1,

2)時,g'(x)>0.所以g(x)在(0,Ml),(2,也o)單調(diào)遞減，在(為+1,2)單調(diào)遞增.由于g(0)=l,

7-e2

所以g(x)0當且僅當^(2)=(7-4?)e-2<l,即色------

4

所以當匕￥4a<1時，g(x)Wl.

42

(iii)若2a+l>2,即a-->則gCOWJ3+x+De-*.

22

7—e?113-x

由于0w[-----，+故由(ii)可得(\+x+l)e<1.

427

故當?！箷r，^(x)<l.

2

,7—e2

綜上，。的取值范圍是[-----,4-00).

4

點評：

解決形如於)e'+ga)常見結(jié)論e'*+l(有時甚至9之32+犬+1),從形的角度看，它揭

2

示了曲線與其切線的位置關(guān)系，從數(shù)的角度看，它提供了一種將指數(shù)型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為多項式

型結(jié)構(gòu)的方法，從而順利突破難點.

現(xiàn)@1.已知e^l+or對任意1何0,+8)成立，則實數(shù)々的取值范圍是.

【解析】根據(jù)常用不等式e0+l,且y=x+1與>=9,相切于(0,1),又y=ax+1也過點(0,1),

觀察圖象可知，要使對任意x￡[0,+oo)成立，則好1,即實數(shù)〃的取值范圍為

城.因2.已知士I與對一切正實數(shù)x恒成立，則實數(shù)/的最大值為.

2x+l

y-4-A-'V--v--I—1

【解析】因為e2x+l,所以,_>~;---=1.則也1,所以r的最大值為1.

2r+12x+1

雙@3.已知函數(shù)yU)=e“一l—x—or2,當定0時次1巨0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為

【解析一】由/(1)=厘一1—2ax,又已。+1,所以/(元)=91—1—20^^:一%￥=(1—2〃)工，

所以當1-2壯0,即aS：時/(X)>0(A->0),而負0)=0,于是當近0時次幻羽,滿足題意；又中0

時,e*>x+1,所以可得「*>1—x,從而當“>；時/(x)=e"一1—2a%<ex_e'-e-'+2a(e-A—1)

=(1-e-')-(e'-2a),故當xe(0,ln2a)時/(x)<0,而/(0)=0,于是當xG(0,ln2a)時<x)<0,不

合題意.

/-co,-

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為〔"

【解析二】因為e'2x+l,所以當好0時,e'Na^+x+l恒成立，故只需討論a>0的情形.令尸(x)

=e-v(l+x+ax2)—1,問題等價于PCOWO,由Ff(x)=e-x[—ax2+(2a—1)x]=0得元]=0,?=

2〃一1

a

②當OVaW1時,F(x)在［0,+oo)上單調(diào)遞減，所以F(x)SF(O)=O恒成立；

2

②當時，因為F(x)在［0眼］上單調(diào)遞增，所以尸(工2巨尸(0)=0恒成立，此時尸(?士0不恒成

2

卜00,-

立.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是I2J

現(xiàn)⑥4.