2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 第一章直線與圓本章總結(jié)提升 課件34張

第一章本章總結(jié)提升網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引

網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建·歸納整合專題突破·素養(yǎng)提升專題一求直線或圓的方程通過直線與圓的方程的求解可提升學(xué)生數(shù)學(xué)運算的學(xué)科素養(yǎng),從而借助運算方法解決實際問題;通過運算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成程序化思考問題的品質(zhì).【例1】

圓C的圓心在直線l1:x-y-1=0上,與直線l2:4x+3y+14=0相切,且截直線l3:3x+4y+10=0所得的弦長為6,求圓C的方程.規(guī)律方法

確定圓的方程的主要方法一是定義法,二是待定系數(shù)法.定義法主要是利用直線和圓的幾何性質(zhì),確定圓心坐標(biāo)和半徑,從而得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;待定系數(shù)法則是設(shè)出圓的方程(多為一般式),再根據(jù)題目條件列方程(組)求出待定的系數(shù).變式訓(xùn)練1已知直線l經(jīng)過兩條直線l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交點,且直線l的一個方向向量v=(-3,2),則直線l的方程為(

)A.-3x+2y+1=0 B.3x-2y+1=0C.2x+3y-5=0 D.2x-3y+1=0C專題二與圓有關(guān)的最值問題通過建立形與數(shù)的聯(lián)系,利用幾何圖形描述問題,借助幾何直觀理解問題,來解決與圓有關(guān)的斜率、截距、距離等最值問題.【例2】

已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.規(guī)律方法

解決與圓有關(guān)的最值問題的常用方法(1)形如

的最值問題,可轉(zhuǎn)化為定點(a,b)與圓上的動點(x,y)的斜率的最值問題;(2)形如t=ax+by的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動直線的截距的最值問題;(3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動點到定點的距離平方的最值問題.變式訓(xùn)練2已知點P(x,y)在圓x2+y2-6x-6y+14=0上.(1)求

的最大值和最小值;(2)求x2+y2+2x+3的最大值與最小值.(2)x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2表示點P與A(-1,0)的距離的平方加上2.連接AC,交圓C于B,延長AC,交圓C于D(圖略),AD為最長,且為|AC|+r=5+2=7,則x2+y2+2x+3的最大值為72+2=51,x2+y2+2x+3的最小值為32+2=11.專題三直線與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題直線與圓位置關(guān)系的判斷方法有兩種,其一為幾何法,按圓心到直線的距離為d與圓的半徑長為r的大小關(guān)系來劃分三種位置關(guān)系;其二是代數(shù)法,聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組,消元后得到一個一元二次方程,根據(jù)判別式Δ的符號來劃分.這兩種方法以幾何法為主.研究直線與圓的位置關(guān)系,集中體現(xiàn)了直觀想象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).【例3】

已知直線l:2mx-y-8m-3=0和圓C:x2+y2-6x+12y+20=0.(1)當(dāng)m∈R時,證明直線l與圓C總相交;(2)m取何值時,直線l被圓C截得的弦長最短?并求此弦長.(1)證明

直線的方程可化為y+3=2m(x-4),由直線方程的點斜式可知,直線恒過點P(4,-3).由于42+(-3)2-6×4+12×(-3)+20=-15<0,所以點P在圓內(nèi),故當(dāng)m∈R時直線l與圓C總相交.解

圓的方程可化為(x-3)2+(y+6)2=25.設(shè)l與C交于A,B兩點.規(guī)律方法

直線與圓問題的類型(1)求切線方程:可以利用待定系數(shù)法結(jié)合圖形或代數(shù)法求得.(2)弦長問題:常用幾何法(垂徑定理),也可用代數(shù)法結(jié)合弦長公式求解.變式訓(xùn)練3已知圓C關(guān)于直線x+y+2=0對稱,且過點P(-2,2)和原點O.(1)求圓C的方程;(2)相互垂直的兩條直線l1,l2都過點A(-1,0),若l1,l2被圓C所截得的弦長相等,求此時直線l1的方程.解

(1)由題意知,直線x+y+2=0過圓C的圓心,設(shè)圓心C(a,-a-2).由題意,得(a+2)2+(-a-2-2)2=a2+(-a-2)2,解得a=-2.所以圓心C(-2,0),半徑r=2,所以圓C的方程為(x+2)2+y2=4.專題四直線與圓的方程的實際應(yīng)用在直線與圓的方程的實際應(yīng)用中會用到數(shù)學(xué)建模.數(shù)學(xué)建模的主要步驟為:發(fā)現(xiàn)和提出問題,建立和求解模型,檢驗和完善模型,分析和解決問題.【例4】

街頭有一片綠地,綠地的四條邊界(單位:m)如圖所示,其中ABC為圓弧,求此綠地的面積(精確到0.1m2).解

設(shè)圓弧ABC所對的圓心為點E,建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系,各點坐標(biāo)分別為A(0,7),B(3,8),C(7,6),所以過A,B,C三點的圓弧的方程為(x-3)2+(y-3)2=25(0≤x≤7,y>0),連接EA,EC,AC,則|EA|=|EC|=5.規(guī)律方法

1.解決直線與圓的實際應(yīng)用題的步驟

2.建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系應(yīng)遵循的三個原則(1)若曲線是軸對稱圖形,則可選它的對稱軸為坐標(biāo)軸.(2)常選特殊點作為直角坐標(biāo)系的原點.(3)盡量使已知點位于坐標(biāo)軸上.變式訓(xùn)練4某高速公路隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由一段圓弧和一個長方形的三邊構(gòu)成(如圖所示).已知隧道總寬度AD為6m,行車道總寬度BC為2m,側(cè)墻面高EA,FD為2m,弧頂高M(jìn)N為5m.(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求圓弧所在的圓的方程;(2)為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度之差至少要有0.5m.請計算車輛通過隧道的限制高度是多少.解

(1)以EF所在直線為x軸,以