高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期中試題(含答案)

2012-2013學(xué)年第一學(xué)期贛州市十一縣（市）期中聯(lián)考

高二年級數(shù)學(xué)（理科）試卷

選擇題（每小題5分,滿分50分,在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求

的）

1.有兩個問題：①某企業(yè)有500名青年人，400名中年人，100名老年人，為了了解他們的

身體狀況，現(xiàn)從中抽取一個容量為100的樣本；②從20名學(xué)生中選出3人參加座談會.

則應(yīng)該采取的抽樣方法分別為

A.①簡單隨機抽樣；②系統(tǒng)抽樣B.①分層抽樣；②簡單隨機抽樣

C.①系統(tǒng)抽樣；②分層抽樣D.①分層抽樣；②系統(tǒng)抽樣

2.甲、乙兩人進行投籃練習(xí)，每人練習(xí)5輪，每輪投球30個，

根據(jù)統(tǒng)計的進球數(shù)制成如圖所示的莖葉圖，則下列結(jié)論中錯誤的是

A.甲的中位數(shù)是14B.乙的極差為18

C.甲、乙兩人這5輪進球的平均數(shù)相等D.乙的投籃水平比甲高

3、如果一個幾何體的三視圖都是等腰三角形，那么這個幾何體可能是（）

A、圓錐B、正四棱錐C、正三棱錐D、正三棱臺

4、若a2是異面直線，加c是異面直線，則a,c的位置關(guān)系是（）

A、異面B、相交或平行C、相交、平行或異面D、平行或異面

5、用a表示一個平面，機表示一條直線，則。內(nèi)一定有無數(shù)多條直線與相（）

A、平行B、相交C、垂直D、異面

6.（5分）設(shè)1、m是兩條不同的直線，a、p是兩個不同的平面，則下列論述正確的是（）

A.若1〃a,m〃a,則l〃mB.若1〃a,1〃B,則a〃B

C.若l〃m,1J,a,則mJ.aD.若1〃a,a_LB,貝

7.（3分）在下列命題中，不是公理的是（）

A.平行于同一個平面的兩個平面平行

B.過不在同一直線上的三個點，有且只有個平面

C.如果一條直線上的兩點在同一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有點都在此平面內(nèi)

D.如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有條過該點的公共直線

8.（3分）設(shè)有直線m、n和平面a、B,下列四個命題中，正確的是（）

A.若m//a,n〃a,則m//nB.若mUa,nCa,m〃B,n//B,貝Ua〃0

C.若aJ_B,mCa,則m_LBD.若a,m±P,m《a,則m//a

9、一批熱水器共有98臺，其中甲廠生產(chǎn)的有56臺，乙廠生產(chǎn)的有42臺，用分層抽樣從中

抽取一個容量為14的樣本，那么甲、乙兩廠各抽取的熱水器的臺數(shù)是（）

A、9,5B、8,6C、10,4D、7,7

10.（5分）如圖是某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖，則甲、乙兩人這

兒場比賽得分的中位數(shù)之和是（）

甲乙

531

368245

479326378

1457

A.64B.63C.62D.61

11.如圖是2012年某校元旦晚會舉辦的挑戰(zhàn)主持人大賽上,七位評委為某選手打出的分?jǐn)?shù)的

莖葉統(tǒng)計圖，去掉一個最高分和一個最低分后，所剩數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為（）

484,85B.84,84

79

C.85,84D.85,85

844647

93

12.已知某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分的莖葉圖如圖所示，則甲、乙兩人得分

的中位數(shù)之和是（）

A62B63C64D65

甲乙

80

463125

368254

3893161679

2449

150

13.下表是某家庭1?4月份用水量（單位：噸）的一組數(shù)據(jù)：

月份X1234

用水量y4.5432.5

由散點圖可知，用水量y與月份工之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是

y--0.7x4-6;，貝！JQ=

A.10.5B.5.15C.5.2D.5.25

甲乙

8067

54110

2243

14、已知線性回歸方程的系數(shù)b的估計值是1.23,9=5,5=4,則線性回歸方程是（）

A、y=1.23x+4B、y=0.94x+1.23

C、y=1.23x+0.08D、y=0.08x+1.23

15.已知x與y之間的一組數(shù)據(jù):

X0123

y1357

則y與x的線性回歸方程為y^bx+a必過定點（）

A.（2,2）B.（1,2）C.（1.5,4）D.（1.5,0）

16、從一批羽毛球產(chǎn)品中任取一個，如果其質(zhì)量小于4.8克的概率是0.3,質(zhì)量不小于4.85

克的概率是0.32,那么質(zhì)量在［4.8,4.85）克范圍內(nèi)的概率是（）

A、0.62B、0.38C、0.7D、0.68

17.（3分）在某市創(chuàng)建全國文明城市工作驗收時，國家文明委有關(guān)部門對某校2014-2015

學(xué)年高二年級6名學(xué)生進行了問卷調(diào)查，6人得分情況如下：5,6,7,8,9,10.把這6

名學(xué)生的得分看成一個總體.如果用簡單隨機抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得

分組成一個樣本，則該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率為（）

AB.4

115

18如圖，是圓。的直徑，OC_LAB，假設(shè)向圓內(nèi)隨機撒一粒黃豆（黃豆的體積忽略

不計），則它落在陰影部分的概率為

112

A.——D.—

2兀3兀兀

19、如圖，在矩形ABCD中，AB=4,BC=2,隨機向矩形內(nèi)丟一粒

豆子（豆子的體積忽略不計），則豆子落入圓內(nèi)的概率為（）

4.（5分）在區(qū)間［-工，工］上隨機取一個x,sinx的值介于-工與工之間的概率為（）

22J22

A.1B.2C.1D.2

3兀23

解答：解：-A<sinx<工，

22

當(dāng)2L］時，xe（-2L,工）.?.在區(qū)間「工，工1上隨機取一個數(shù)X,

2266L22J

K

sinx的值介于-工到工之間的概率P=H,故選A.

22K3

20.一個均勻正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設(shè)

事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3,事件C

表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4,貝lj()

A.A與8是互斥而非對立事件B.A與8是對立事件

C.夕與C是互斥而非對立事件D.6與C是對立事件

21.已知3=(2+102/1),3=(6,24-1,2),若Z/區(qū)則西4的值分別為()

1111

A.一,-B.5,2C.-----,-----D.-5,-2

5252

22.下課以后，教室里最后還剩下2位男同學(xué)，2位女同學(xué).如果沒有2位同學(xué)一塊兒走，則

第2位走的是男同學(xué)的概率是()

.

1S=L.=1|

23.某流程圖如圖所示，若輸出的S=57,則判斷框內(nèi)的條件為1_上司一

,一比，+1|

A.Z>4Q.k>5C.k>6

if

1是

」一出S/

1

24.如果執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入c=6,m=4,那么輸出的p等于()

A.720B.360\C.240D.60/

/輸入,m/

+上)]

/碼/

25、若向量萬=(1,2),b=(1,-1),，則2G與5的夾角等于()

7T71兀3萬

A、---B、——C、—D、--

4644

26.(5分)在如圖的正方體中，M、N分別為棱BC和棱CG的中點，則異面直線AC和MN所

成的角為()

D.Ci

AB

A.30°B.45°C.60°D.90°

27.（5分）將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為（）

俯視圖

A.返B.炎C.返D.2M

12343

解答：解：由三視圖知幾何體是一個側(cè)面與底面垂直的三棱錐，

底面是斜邊上的高是1的直角三角形，則兩條直角邊是近，斜邊是2,

底面的面積是*Xj]X叱1，與底面垂直的側(cè)面是一個邊長為2的正三角形,

???三棱錐的高是百，...三棱錐的體積是』x1故選B.

33

29.設(shè)平面a與平面相交于直線相，直線a在平面a內(nèi)，直線b在平面夕內(nèi)，且b,

則“a_L￡”是的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

30.（3分）若如圖所示的程序框圖輸出的S是30,則在判斷框中M表示的“條件”應(yīng)該是

（）

A.n23B.n，4C.n》5D.n26

?SM)?n-0

輸出S

3L若直線2以一〃v+2=0（tz>0,/?>0）被圓x2+V+2x-4y+i=o截得的弦

長為4,則'的最小值為（）

A.-B.一

42

32.如圖，四棱錐P一力用》中，底面4?徵是矩形，49_L平面力及刀，且如=49=1,AB=2,

點E是48上一點,當(dāng)二面角P—比*1—〃的平面角為■時，AE=（）人

1「rN

A.1B.-C.2r2D.2r3/:\

二.填空題（每小題5分,滿分25分,把答案填在題中橫線上）

1.從2000個編號中抽取20個號碼入樣，采用系統(tǒng)抽樣的方法,則抽樣的間隔

為___________

2.先后拋擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為6的概率是

3.（3分）為了解學(xué)生數(shù)學(xué)答卷情況，某市教育部門在2015屆高三某次測試后抽取了n名

同學(xué)的第H卷進行調(diào)查，并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出了樣本的頻率分布直方圖（如圖），已知從左

到右第三小組（即［70,80）內(nèi)）的頻數(shù)是50,則n=.

<7SO607090分?jǐn)?shù)

4.（3分）已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)如表，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回

歸方程為?=bx+0.35,那么b的值為

x3456

y2.5344.5

5.（3分）某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品的數(shù)量之比依次為3：4：7,

現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出容量為n的樣本，樣本中A型產(chǎn)品有15件，那么樣本容量n為

6.已知的取值如下表:

X2345

y2.23.81.55.5

從散點圖分析，y與x線性相關(guān)，且回歸方程為$=1.46x+a,則實數(shù)a的值為

【答案】-1.11

-2+3+4+5-22+38+45+55

【解析】試題分析：由表格數(shù)據(jù)可知方二/十一十"十。=3.5,y==4,

44

中心點（3.5,4）代入回歸方程得。=一1.11

7.閱讀以下程序：INPUTx

IFx<0THEN

y-x2-3x+5

ELSE

y=（x-l）2

ENDIF

PRINTy

END

若輸出y=9,則輸入的x值應(yīng)該是

8.三棱柱A8C—AQiG中，底面邊長和側(cè)棱長都相等，/8A4|=NC4A=60。，則異面直

線AB\與BCi所成角的余弦值為._

9.（5分）一個正方體的各頂點均在同一球的球面上，若該球的體積為逆兀，則該正方

體的表面積為.

10.（5分）如圖水平放置的三棱柱的側(cè)棱長為1,且側(cè)棱AAi_L平面ABC”主視圖是邊長為

1的正方形，俯視圖為一個等邊三角形，則該三棱柱的左視圖面積為.

Bi主視圖俯視圖

11.隨機抽取某產(chǎn)品〃件，測得其長度分別為4,%，…，4，則如圖所示的程序框圖中

輸出的s=.4-

12.（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的a=5,則輸出的結(jié)果是

〃?0.S?0

I"二,+1Is/

S?S+2*（&榮］

I

分析：算法的功能是求S=2422+23+…+2”的值，當(dāng)輸入的a=5時，確定跳出循環(huán)的n值,

利用等比數(shù)列的前n項和公式求得輸出S的值.

解答：解：由程序框圖知：算法的功能是求S=2'+242、…+2"的值，

當(dāng)輸入的a=5時,跳出循環(huán)的n值為5,

2（1—碎）

輸出S=2'+22+—+2=-=-^：-=—^=26-2=62.

1-2

13、把下面求n!（n!=nX（n-1）X……X3X2X1）的程序補充完整:

_______________"n="；n

i=l

s=l

WHILE_______________

i=i+1

WEND

PRINTs

END

14.（3分）某校早上8：00開始上課，假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7：30?7：50之間

到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概

率為__（用數(shù)字作答）.

分析：設(shè)小張到校的時間為X,小王到校的時間為y.（x,y）可以看成平面中的點試驗的

全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Q={（x,y]30<x<50,30Wy<50}是一個矩形區(qū)域，則小張比

小王至少早5分鐘到校事件A={（x,y）|y-x25}作出符合題意的圖象，由圖根據(jù)兒何概

率模型的規(guī)則求解即可.

解答：解：設(shè)小張到校的時間為x,小王到校的時間為y.（x,y）可以看成平面中的點試

驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域為Q={（x,y]30<xW50,30<yW50}是一個矩形區(qū)域，對應(yīng)

的面積$=20X20=400,

則小張比小王至少早5分鐘到校事件A={x|y-x25}作出符合題意的圖象，則符合題意的區(qū)

域為aABC,聯(lián)立[丫-X-5得C（45,50）,聯(lián)立[丫-'七得RC。，35）,則S&、B產(chǎn)工X15X15,

y=50（x=302

—15X15Q

由幾何概率模型可知小張比小王至少早5分鐘到校的概率為二---------■;過，故答案為：

20X2032

9

32,

三、解答題：（本大題共6個小題，共75分，解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

1.（本小題滿分12分）

已知射擊運動員甲射擊一次，命中9環(huán)（含9環(huán)）以上的概率為0.56,命中8環(huán)的概

率為0.22,命中7環(huán)的概率為0.12.

（1）求甲射擊一次，命中不足8環(huán)的概率；（2）求甲射擊一次，至少命中7環(huán)的概率.

2、（本小題12分）等腰RfA48c中，ZC=90°.

（1）在線段BC上任取一點M,求使NC4M<30。的概率；

（2）在NC48內(nèi)任作射線AM,求使NC4M<30。的概率.

3.（本小題12分）若點（p,q）,在回〈3,卜區(qū)3中按均勻分布出現(xiàn)

（1）點加（乂月橫、縱坐標(biāo)分別由擲骰子確定，第一次確定橫坐標(biāo)，第二次確定縱坐標(biāo),

則點M（x,y）落在上述區(qū)域內(nèi)的概率？

（2）試求方程￡+2px-g2+i=o有兩個實數(shù)根的概率.

4.（本小題12分）現(xiàn)有?枚質(zhì)地均勻的骰子，連續(xù)投擲兩次，計算:

（1）一共有多少種不同的結(jié)果？

（2）其中向上的點數(shù)之和是7的結(jié)果有多少種？

（3）向上的點數(shù)之和是7的概率是多少？

5、（本大題滿分12分）

某超市在2015年元旦期間舉行抽獎活動，規(guī)則是：從裝有編號為0,1,2,3四個小球的抽獎箱

中同時抽出兩個小球，兩個小球號碼之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等

獎.

（1）求中三等獎的概率；（2）求中獎的概率.

6.已知盒中裝有僅顏色不同的玻璃球6個，其中紅球2個、黑球3個、白球1個.

（1）從中任取1個球，求取得紅球或黑球的概率；

（II）列出一次任取2個球的所有基本事件.

（HI）從中取2個球，求至少有?個紅球的概率.

解答：解：（I）從6只球中任取1球得紅球有2種取法，得黑球有3種取法，得紅球或

黑球的共有2+3=5種不同取法，任取一球有6種取法，

所以任取1球得紅球或黑球的概率得P[],

(II)將紅球編號為紅1,紅2,黑球編號為黑1,黑2,黑3,則一次任取2個球的所有基

本事件為：

紅1紅2紅1黑1紅1黑2紅1黑3紅1白

紅2白紅2黑1紅2黑2紅2黑3黑1黑2

黑1黑3黑1白黑2黑3黑2白黑3白

(III)由(II)知從6只球中任取兩球一共有15種取法，其中至少有?個紅球的取法共有9

種，所以其中至少有一個紅球概率為22三二.

155

7.(12分)已知函數(shù)=f-2℃+4。2必匕€R

⑴若。從集合｛0,1,2,3｝中任取一個元素，。從集合｛0,1,2｝中任取一個元素，求方程

/(X)=0有兩個不相等實根的概率；

(2)若。從區(qū)間［0,2］中任取一個數(shù)，b從區(qū)間［0,3］中任取一個數(shù)，求方程/(x)=O沒有實

根的概率.

7.解:(D：a取集合｛0,1,2,3｝中任一個元素,b取集合｛0,1,2｝中任一個元素,

：.a,。的取值的情況有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),

(2,2)(3,0),(3,1),(3,2).其中第一個數(shù)表示。的取值，第二個數(shù)表示匕的取值，

即基木事件總數(shù)為12.

設(shè)”方程=0有兩個不相等的實根”為事件A,

當(dāng)a20,人》0時，方程/(x)=O有兩個不相等實根的充要條件為a>26.

當(dāng)a>26時，a,6取值的情況有(1,0),(2,0),(3,0),(3,1),

即/包含的基本事件數(shù)為4,

41

方程/(x)=0有兩個不相等實根的概率p(A)=五=§...........6分

(2)???a從區(qū)間［0,2］中任取一個數(shù)，6從區(qū)間［0,3］中任取一個數(shù)，則試驗的全部結(jié)果

構(gòu)成區(qū)域。=｛(且，Z>)|0WaW2,0W6W3｝,

這是一個矩形區(qū)域，其面積S0=2X3=6.

設(shè)“方程/(x)=0沒有實根”為事件反則事件6所構(gòu)成的區(qū)域為

#=｛(a,6)|0WaW2,0W6W3,a<2b｝,

它所表示的部分為梯形，其面積S'=6-1x2xl=5

2

S's

由幾何概型的概率計算公式可得方程f(x)=0沒有實根的概率p(B)=—=y……

12分

8、（本小題14分）在人群流量較大的街道，有一中年人吆喝“送錢”，只見他手拿一黑色小

布袋，袋中有3只黃色、3只白色的乒乓球（其體積、質(zhì)地完成相同），旁邊立著一塊小黑

板寫道：

摸球方法：從袋中隨機摸出3個球，若摸得同一顏色的3個球，攤主送給摸球者5元錢;

若摸得非同一顏色的3個球，摸球者付給攤主1元錢。

（1）摸出的3個球為白球的概率是多少？

（2）摸出的3個球為2個黃球1個白球的概率是多少？

（3）假定一天中有100人次摸獎，試從概率的角度估算一下這個攤主一個月（按30天計）

能賺多少錢？

9.（本小題滿分12分）

某汽車制造廠為了檢測A,B兩種輪胎的性能，分別從這兩種輪胎中隨機抽取8個進行

測試，下面記錄的是每個輪胎行駛的最遠(yuǎn)路程數(shù)（單位：100km）:

輪胎A:96,112,97,108,100,103,86,98；

輪胎5:108,101,94,105,96,93,97,106.

（1）分別計算A,8兩種輪胎行駛最遠(yuǎn)路程的平均數(shù)、極差；

（2）匕檄A,8兩種輪胎的性能，估計哪一種較為穩(wěn)定？

10.（12分）為慶祝國慶，某中學(xué)團委組織了“歌頌祖國，愛我中華”知識競賽，從參加考

試的1000名學(xué)生中抽出60名學(xué)生，將其成績（成績均為整數(shù)）分成六段［40,50）,

［50,60）,…，［90,100］后畫出如圖的部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列

問題：

（1）求第四小組的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（2）估計這次考試的平均分和參加這次考試乃分以上的人數(shù)；

40507080901()0分?jǐn)?shù)

10.解：（1）因為各組的頻率和等于1,故第四組的頻率：

4=1-（0.025+0.015x2+0.01+0.005）x10=0.3...........3分

（2）依題意，利用組中值估算抽樣學(xué)生的平均分

45」+55.力+65.力+75?力+85?%+95.￡=45x0.1+

55x0.15+65x0.15+75x0.3+85x0.25+95x0.05=71

則估計這次考試的平均分是71分............................9分

75分以上的數(shù)為：（一+0.025+0.005）x10x1000=450

所以估計參加這次考試的學(xué)生中75分以上的人數(shù)為450人。..........12

11.（12分）某校50名學(xué)生參加2013年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽初賽，成績?nèi)拷橛?0分到140分

之間.將成績結(jié)果按如下方式分成五組：第一組［90,100）,第二組［100,110）,第五組［130,

140］,按上述分組方法得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）若成績大于或等于100分且小于120分認(rèn)為是良好的，求該校參賽學(xué)生在這次數(shù)學(xué)聯(lián)

賽中成績良好的人數(shù)；

（2）若從第一、五組中共隨機取出兩個成績，求這兩個成績差的絕對值大于30分的概率.

解：（1）由頻率分布直方圖知，成績在［100,120）內(nèi)的人數(shù)為：

50X0.16+50X0.38=27（人）,

.?.該班成績良好的人數(shù)為27人；（5分）

（2）由頻率分布直方圖知，成績在［90,100）的人數(shù)為50X0.06=3人，設(shè)為x、y；

成績在［130,140］的人數(shù)為50X0.08=4人，設(shè)為A、B、C、D；

若m,nd［90,100）時，有xy,xz,yz3種情況；

若m,ne［130,140］時,有AB,AC,AD,BC,BD,CD6種情況;

若m,n分別在［90,100）和［130,140］內(nèi)時,

有xA>xB,xC,xD,yA,yB,yC>yD,zA,zB,zC,zD12種情況；

基本事件總數(shù)為21種，事件-n|>30”所包含的基本事件個數(shù)有12種；

.?.概率為P(|m-n|>30)=12(12分)

21~7

12.(本小題13分)為了讓學(xué)生了解更多“奧運會”知識，某中學(xué)舉行了一次"奧運知識競

賽"，共有800名學(xué)生參加了這次競賽.為了解本次競賽成績情況，從中抽取了部分學(xué)生的

成績(得分均為整數(shù)，滿分為100分)進行統(tǒng)計.請你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分

布表，解答下列問題：

(1)若用系統(tǒng)抽樣的方法抽取50個樣本，現(xiàn)將所有學(xué)生隨機地編號為000,001,002,--

799,試寫出第二組第一位學(xué)生的編號；

(2)填充頻率分布表的空格(直接填在表格內(nèi))，并作出頻率分布直方圖；

(3)若成績在85.5~95.5分的學(xué)生為二等獎，問參賽學(xué)生中獲得二等獎的學(xué)生約為多少人？

分組頻數(shù)頻率

60.5-70.50.16

70.5?80.510

80.5-90.5180.36

90.5-100.5

合計50

13.(本小題12分)某電腦公司有6名產(chǎn)品推銷員，其工作年限與年推銷金額數(shù)據(jù)如下表:

推銷員編號12345

工作年限X/年35679

推銷金額y/萬元23345

(I)求年推銷金額y關(guān)于工作年限x的線性回歸方程

(H)若第6名推銷員的工作年限為11年，試估計他的年推銷金額.

14.已知一個幾何體的三視圖如圖所示.

(I)求此幾何體的表面積；

(H)在如圖的正視圖中，如果點A為所在線段中點，點B為頂點，求在幾何體側(cè)面上從點

A到點B的最短路徑的長.

解：(I)由三視圖知：幾何體是一個圓錐與一個圓柱的組合體，且圓錐與圓柱的底面半徑

為2,母線長分別為2&、4,

其表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和圓柱的一個底面積之和.

S網(wǎng)錐惻2nX2X4y兀；

2

S圓柱惻=2nX2X4=16冗；

S圓柱底二兀X2~=4兀.

???幾何體的表面積S=20Ji+46兀；

(II)沿A點與B點所在母線剪開圓柱側(cè)面，如圖：

則AB=VEA2+EB2=722+(2H)^Vl+Jl2)

???以從A點到B點在側(cè)面上的最短路徑的長為2c7熊.

15.已知向量片(sinA,sinB),匕=(cosB,cosA),口。1fzsin2C,且A、B^C分別為aABC

三邊a、b、c所對的角.

(1)求角C的大??；

(2)若sinA、sinC、sinB成等差數(shù)列，且CA-CB^IS，求c邊的長.

16.在等差數(shù)列｛aj中，ai=2,ai+a?+a3=12.

(1)求數(shù)列｛數(shù)的通項公式;

(2)令卜?qn,求數(shù)歹I」｛b“｝的前n項和S,

nn

17、(本大題滿分12分)

已知圓C：Y+(y_i)2=5,直線2mx-y+1—m=0且直線0與圓C交于A、B兩點.

(1)若|A3|=J萬，求直線［的傾斜角；

(2)若P(l,l)滿足2麗=麗，求此時直線1的方程.

18.(12分)如圖，在直三棱柱ABC-ABG中，AB=AC,D,E分別是棱BC,CG上的點(點

D不同于點C),且ADLDE,F為BC的中點.求證：

(1)平面ADE_L平面BCCB；

(2)直線AF〃平面ADE.

Ai__---------Ci

B

19.如圖，在棱長為a的正方體ABCD-ABCD中，點E是棱》D的中點，點F在棱BB上,

且滿足BF=2FB.

(1)求證：EFlAiCi；

(2)在棱GC上確定一點G,使A,E,G,F四點共面，并求此時GG的長；

(3)求平面AEF與平面ABCD所成二面角的余弦值.

分析：(1)連結(jié)BD,BD,由已知條件推導(dǎo)出AiC」DD”從而得到AG_L平面BBDD.由

此能證明EF1A.C,.

(2)以點D為坐標(biāo)原點，以DA,DC,DDi所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直

角坐標(biāo)系，利用向量法能求出當(dāng)GG=工4寸，A,E,G,F四點共面.

(3)利用己知條件求出平面AEF的法向量和平面ABCD的一個法向量，由此能求出平面AEF

與平面PQ所成二面角的余弦值.

解答:(1)證明：連結(jié)BD,BD,；四邊形AB明Di是正方形，??.BDLAC.

在正方體ABCD-ABCD中，

???DDi_L平面A3CD,ACU平面ABCD”J_DDi.

VBiDinDDi=D.,BIDI,DDC平面BBDD,；.AC_L平面BBDD.

：EFU平面BBDD,.'.EF±AiCi.

(2)解：以點D為坐標(biāo)原點，

以DA,DC,D?所在的直線分別為x軸，y軸，z軸，

建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，

則A(a,0,0),Ai(a,0,a),C,(0,a,a),E(0,0,—a)，F(xiàn)(a,a,—a)，

23

?*,AjCp(-a,a,0)，EF=(a，a,--1a)-

設(shè)G(0,a,h),

?.,平面ADDA〃平面BCCB,平面ADDAn平面AEGF=AE,

平面BCCiB,A平面AEGF=FG,

，存在實數(shù)入，使得花二人標(biāo).

,AE=(~a>0,>FG=(-a,0,h~—a)>

二(-a,0,h-￡a)=入(~a,0,￡a)?

x=1,，,C1G=

?*,h=-|a-,CC1-CG=a--|a=?1a,

...當(dāng)GG=1a時，A,E,G,F四點共面.

6a

(3)解：由(1)知靠=(-a,0,￡a)，AF=(0,a,￡a)?

設(shè)鼻(x,y,z)是平面AEF的法向量，

，1

z-—?__ax+—az=0

則,m'?二°,即，取z=6,則x=3,y=-2.

.n，AF=0ay+^az=0.

o

所以鼻(3,-2,6)是平面AEF的一個法向量.

而可二（0,0,a）是平面ABCD的一個法向量,

設(shè)平面AEF與平面ABCD所成的二血角為0,

I0X3+0X(-2)+aX6|6

則cos6—

A/32+(-2)2+62Xlai~7

故平面AEF與平面PQ所成二面角的余弦值為3.

7

20.(12分)已知直線L：mx-y-2=0與圓C：(x+1)2+(y-2)2=1,

（1）若直線L與圓C相切，求m的值.

（2）若m=-2,求圓C截直線L所得的弦長.

21.(15分)已知等比數(shù)列｛aj的前n項和S“滿足:S4-S.=28,且備+2是a2,a,的等差中項.

(1)求數(shù)列均｝的通項公式；

(2)若數(shù)列｛&｝為遞增數(shù)列,b“二1Tn=bi+b2+…+b”,問是否存在最小正

log2an-log2an+2

整數(shù)n使得T"＞」成立？若存在，試確定n的值，不存在說明理由.

2

22.如圖，將邊長為2,有一個銳角為60°的菱形ABCD,沿著較短的對角線BD對折，使得

AC=遍，0為BD的中點.

(I)求證：A0J_平面BCD

(II)求三棱錐A-BCD的體積；

(III)求二面角A-BC-D的余弦值.

分析：(I)山已知條件推導(dǎo)出A0L0C,A0±BD,山此能證明A0J_平面BCD.

(II)三棱錐A-BCD的體積匕-唧=LS^BCDXAO-

3

(HI)過0作OE_LBC于E,連AE,則AE_LBC,所以NAE0是二面角A-BC-D的平面角，由

此能求出二面角A-BC-D的余弦值.

解答：(I)證明：在菱形ABCD中，ZA=60°,AB=BD=2,0為BD的中點，

.*.A0=V5=0C,0B=l,對折后，AC=AZ.ACMO^OC2,AA010C,XA01BD,

；.AO_L平面BCD.

(II)解：［?△BCD是邊長為2的等邊三角形，.??szkBCD,X2X2Xsin60°=?，

AO=J22_^^3＞又A0,平面BCD,.?.三棱錐A-BCD的體積網(wǎng)一

=

0-1SABCDXA0r|X而X7?L

(Ill)解:過0作OEJ_BC于E,連AE,則AELBC,

ZAEO是二面角A-BC-D的平面角,

由題意知AO=2OE,AE=JgOE,.?.cos/AEO=%近，二面角A-BC-D的余弦值為近.

AE55

23.(13分)如圖，三棱柱ABC-A/iG中，441_L平面45C,BC1AC,

BC=AC=AAt=2,0為AC的中點.

（1）求證：45]〃平面

（2）求二面角5-。]。一。的余弦值；

（3）設(shè)4片的中點為G,問：在矩形BC。/1內(nèi)是否存在點”，

使得GH_L平面5￡>G.若存在，求出點〃的位置，若不存在，說明理由.

20.（13分）如圖，三棱柱中，■平面A5C,BC±AC,

8C=AC=A4=2,。為AC的中點.

(1)求證：力男〃平面BZ)G；

(2)求二面角B—GD-C的余弦值；

(3)設(shè)的中點為G,問:在矩形BCG片內(nèi)是否存

在點白，使得GHJL平面方DC-若存在，求出點

目的位置，若不存在，說明理由.

20.(1)連結(jié)為C,設(shè)片CD6cLM,連結(jié)M),在/L481c中，M為4C中點，

D為AC中點，又???金當(dāng)0面必G，少般u面應(yīng))g,

：.金紇〃面80cl..................................4分

(2)過C作C￡_LCN且設(shè)C￡nGZ)=￡,連結(jié),/5C±ffi^CC1A-GDu

面工Cg4，:.BCLCQ.又C￡_LCQ,「?，：.CXDLBE,

.?./，￡8為二面角8-6。一。的平面角，設(shè)為夕................5分

在放△曲C中，BC=2,由理xqi)=CiCxOC可得C￡=乎，

.?.tan6=3=有，即二面角B—CiO—C的余弦值為《.........8分

(3)以￡為坐標(biāo)原點，亍耳為x軸，束為y軸，短瓦為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

依題意，得：C,(0,0,0)>0(1,2,0),8(0,2,2)、G(l,l,l),假設(shè)存在“(0,，”,〃)

麗=(一1,加一一1),電=(1,2,0),麗=(一1,0⑵

由G”_L平面BG。，得：

GHLCD=>(-l,m-l,/?-l)E(l,2,0)=0m=~

2

同理，由麗，麗得：?!=-

2

即：在矩形BCG4內(nèi)是存在點“，使得G”_L平面8Z)G.此時點〃到4G的