3.3二項式定理與楊輝三角課件-高二上學期數(shù)學人教B版選擇性2

課時6

二項式定理與楊輝三角新授課

小張在進行投籃練習，共投了10次，只考慮是否投中，那么不難知道，投籃結(jié)果可以分成11類：投中0次，投中1次，投中2次……投中10次.而投中0次只有1(即

)種情況，投中1次有

.種情況，投中2次有

種情況…投中10次有

種情況.

因此，小張投籃10次，結(jié)果共有種情況.那么上式的結(jié)果是多少呢？情境導入：1.能用多項式運算法則和計數(shù)原理推導二項式定理.2.能應(yīng)用定理對二項式進行展開，會求特定的項或系數(shù).目標一：通過具體實例正確理解排列數(shù)的概念.

任務(wù)1：通過探究(a+b)2，(a+b)3的展開式的形成過程，推導(a+b)n的展開式.寫出下列式子的展開式：(1)(a+b)1；(2)(a+b)2；(3)(a+b)3.從(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

①出發(fā)，觀察中右邊各項是如何形成的，由此總結(jié)出一般規(guī)律.問題1：(a+b)3展開式中，a2b是如何得到的？a3，ab2，b3呢？

注意到(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)，而展開式中的任何一項都是在右邊3個括號中各取一個字母相乘得到的(例如，第一個括號取a,第二個取b,第三個取a,則得到a2b).因此展開式中每一項都一定是3次項，即展開式中只能含有a3,a2b,ab2,b3.

問題2：根據(jù)以上分析，你能否用組合數(shù)表示(a+b)3的展開式中a2b的個數(shù)？a3,ab2,b3的個數(shù)分別如何表示？

要得到a2b，①式右邊的三個括號中，要有1個取b(剩下的2個均取a)，因此共

有

個a2b.

同理可知，①式右邊展開后有

個ab2.

類似地，a3可以看成①式右邊的3個括號中取0個b得到的結(jié)果，而b3可以看成①式右邊的3個括號中取3個b得到的結(jié)果，因此(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)

①問題3：(a+b)4的展開式是什么？(a+b)n(n∈N*)呢？新知講解

一般地，當n是正整數(shù)時，有上述公式稱為二項式定理，等式右邊的式子稱為(a+b)n的展開式，它共有n+1項，其中

是展開式中的第k+1項(通常用Tk+1表示)，

稱為第k+1項的二項式系數(shù)，我們將

稱為二項展開式的通項公式.

注意：通項公式

中，要求n是正整數(shù)，k是滿足0≤k≤n的自然數(shù)，以后不再聲明.思考：觀察二項式定理，你能發(fā)現(xiàn)它有哪些特點嗎？二項式定理的特點：(1)二項式展開式的項數(shù)為n+1項，比二項式的指數(shù)大1；(2)每一項的次數(shù)均為n，與左邊的冪指數(shù)相等；(3)各項中字母a的次數(shù)由n逐項減1到0，按降冪排列，字母b的次數(shù)由0逐項加1到n，按升冪排列；(4)各項的二項式系數(shù)是.另外：通項公式表示二項展開式的第k+1項，而不是第k項；該項的二項式系數(shù)是,而不是

.歸納總結(jié)目標二：能應(yīng)用定理對二項式進行展開，會求特定的項或系數(shù).

任務(wù)1：利用二項式定理，求二項展開式.寫出(2-x)5的展開式.解：在二項式定理中，令a=2，b=–x，n=5，可得寫出(1+x)6的展開式.練一練解：在二項式定理中，令a=1，b=x，n=6，可得

任務(wù)2：由通項公式，完成下列問題.問題1：求二項式

的展開式中第6項的二項式系數(shù)和第6項的系數(shù).由已知得二項展開式的通項為∴第6項的二項式系數(shù)為

第6項的系數(shù)為二項式系數(shù)與項的系數(shù)的區(qū)別:二項式系數(shù)只與各項的項數(shù)有關(guān)，而且與a，b的值無關(guān)；項的系數(shù)指的是該項除變量外的常數(shù)部分，它不僅與各項的項數(shù)有關(guān)，而且與a，b的值有關(guān).歸納總結(jié)問題2：已知在

的展開式中,第6項為常數(shù)項.(1)求n;(2)求含x2項的系數(shù);解：通項公式為(1)∵第6項為常數(shù)項,∴k=5時，有

，即n=10.(2)令

,得

，所求的系數(shù)為

.

求形如(a+b)n(m∈N+)的展開式中與特定項相關(guān)的量的步驟：

1.利用二項式定理寫出二項展開式的通項公式

,常把字母和系數(shù)分開寫(注意特號不要出錯)；

2.根據(jù)題目中的相關(guān)條件(如常數(shù)項要求指數(shù)為零，有理項要求指數(shù)為整數(shù))列出相應(yīng)方程(組)或不等式(組)，解出k.

3.把k代入通項公式中，即可求出Tk+1,有時還需要先求n,再求k,才能求出Tk+1,或者其他量.歸納總結(jié)求

的展開式中含x3的項.練一練解：因為