高等數(shù)學(xué)第三版課后答案習(xí)題全1

習(xí)題一

1.下列函數(shù)是否相等，為什么？

(l)./'(x)=E,g(x)=\x\；(2)y=sin2(3x+1),〃=sin2(3/+1);

2

x-l

(3)/(x)=-----,g(x)=x+1.

x-1

解:⑴相等.

因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域相同，都是實(shí)數(shù)集R;由=|x|知兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則也相同;所以

兩函數(shù)相等.

(2)相等.

因?yàn)閮珊瘮?shù)的定義域相同，都是實(shí)數(shù)集R,由已知函數(shù)關(guān)系式顯然可得兩函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則

也相同，所以兩函數(shù)相等.

(3)不相等.

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)的定義域是｛x|xeR,XH1｝，而函數(shù)g(x)的定義域是實(shí)數(shù)集R,兩函數(shù)的

定義域不同,所以兩函數(shù)不相等.

2.求下列函數(shù)的定義域

(l)y=V4-x+arctan—;

x

(3心力(4)y=arccos(2sinx).

解:(1)要使函數(shù)有意義，必須

4-x>0x<4

即

XH0XK0

所以函數(shù)的定義域是(-00,0)U(0,4].

(2)要使函數(shù)有意義，必須

x+3>0x2—3

lg(l-x)*0即xw0

l-x>0x<l

所以函數(shù)的定義域是[-3,0)U(0,1).

(3)要使函數(shù)有意義，必須

f—1*0即xw±l

所以函數(shù)的定義域是(-oo,-l)U(-l,l)U(1,+00).

(4)要使函數(shù)有意義，必須

-1<2sinx<1即--<sinx<—

22

TTTT57r7TT

即——+2kn<x<—+2kn或---F2左兀<x<——+2%兀,(k為整數(shù)).

6666

7T71

也即——+/C7l<X<—+/C7l(k為整數(shù)).

66

所以函數(shù)的定義域是[一T士T+%兀,T」T+桁],左為整數(shù).

66

sinY3t0

3.求函數(shù)歹=F的定義域與值域.

0,x=0

解：由已知顯然有函數(shù)的定義域?yàn)長(zhǎng)8,+8),又當(dāng)XR0時(shí),,可以是不為零的任意實(shí)數(shù)，此

X

時(shí),sin，可以取遍卜11］上所有的值，所以函數(shù)的值域?yàn)椋垡?,1

X

1—x1

4.沒(méi)/")=「，求/(0)J(—x)J(—).

1+xX

研7-/n\1-01\1一(—X)l+x//I、Xx—1

解：/(0)==l,/(-x)=---二=,/(-)=-f=

1+0.l+(-x)1-x'x_1x+1

la1-r——

X

fl,-l<x<0

5.設(shè)〃x)=?——，求/GT).

[x+1,0<x<2

1,——1<01,0<x<l

解：/(x—1)=s=s.

(1)+1,0<x-l<2[x,1<X<3

6.設(shè)/(x)=2*,g(x)=xlnx,求/(g(x)),g(/(x)),/(/(x))和g(g(x)).

解：〃g(x))=23)=2vh\

g(/(x))=/(x)lnf(x)=2Fn2"=(xIn2)-2\

/(/(%))=2/W=22\

g(g(x))=g(x)Ing(x)=xInxln(xInx).

lx+］

7.證明:/(幻=2》3-1和g(x)=J;一互為反函數(shù).

證油y=2/-1解得x=

2

故函數(shù)/(x)=2/-1的反函數(shù)是y=3^-—(xGR)，這與g(x)=3^-是同一個(gè)函

數(shù)，所以/(》)=2/_1和8(功=欄1互為反函數(shù).

8.求下列函數(shù)的反函數(shù)及其定義域：

1—Y

(1)^=--；(2)y=ln(x+2)+l;

1+x

(3)^=32X+5;(4)^=l+cos3x,xe[0,7t].

解：(1)由歹=上巴解得》=上上，

-1+x1+y

1—Y1—Y

所以函數(shù)y=-1的反函數(shù)為y=」(XW-l).

1+x1+x

(2)由^=m(》+2)+1得8=?尸|一2,

所以，函數(shù)y=ln(x+2)+l的反函數(shù)為y=ei—2(xeR).

2V+5

(3)由y=3解得x=；(log3y-5)

所以，函數(shù)y=32x+5的反函數(shù)為y=:(log?x-5)(x>0).

(4)由y=1+cos3x得cosx=Ny-l，又xw[0,無(wú)],故x=arccos-1.

又由一1<cosx41得0W1+cos3x<2,

即0?y42,故可得反函數(shù)的定義域?yàn)檠?],所以,函數(shù)歹=l+cos3X,XE[0,兀]的反函

數(shù)為y=arccosVx-1(0<x<2).

9.判斷下列函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性及單調(diào)性：

X

(l)y=:~r；(2)尸x+lnx

1+x

YXX]

解:(1)函數(shù)的定義域?yàn)?-8,+8),當(dāng)x<0時(shí)，有----0,當(dāng)x〉0時(shí)，有--------<—=—,

1+%"1+x2x2

1x

故Vxe(-8,+oo),有yVQ.即函數(shù)y=丁一j?有上界.

X

又因?yàn)楹瘮?shù)少=——r為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，山對(duì)稱性及函數(shù)有上界知，函

1+X

X

數(shù)必有下界，因而函數(shù)歹=一方有界.

1+x

3

乂由32=怠一怠」；「北二雪知，"X…<1時(shí)，乂>必，而

當(dāng)王>&且X\X2>1時(shí)，必<三.

Y

故函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào).

14-X

(2)函數(shù)的定義域?yàn)?0,+8),

X/M>0,3Xj>0HXj>M;3x2>e">0,使In%>河.

取方=max{Xj,x2}，則有x0+Inx0>須+Inx2>2M>M,

所以函數(shù)y=x+lnx在定義域內(nèi)是無(wú)界的.

又當(dāng)0<x,<x2時(shí)，有xx-x2<0,lnX,-lnx2<0

故％-y2=(Xj+lnXj)-(x2+lnx2)=(x1-x2)+(lnx1-Inx2)<0.

即當(dāng)o<%%時(shí)，恒有y}<y2，所以函數(shù)歹=工+in%在(o,+8)內(nèi)單調(diào)遞增.

10.判斷下列函數(shù)的奇偶性：

(1)/(x)=y/l-x+Jl+x;(2)y=e2x-e~2x+sinx.

解：(1)?.,/(-x)=Jl_(_「)+Jl+(-X)=Jl+X+y/l-x=/(x)

，/(x)=Jl-X+Jl+x是偶函數(shù).

(2)f(-x)-e-2x-e2x+sin(-x)=e-2x-e2x+sinx=-(e2x-e~2x+sinx)=—f(x)

函數(shù)歹=e2x-e-2r+sinx是奇函數(shù).

11.設(shè)/(X)定義在(-8,+8)匕證明：

(1)/(X)+/(—%)為偶函數(shù);⑵/⑴一/(f)為奇函數(shù).

證:⑴設(shè)F(x)=/(x)+/(-x)，則VxG(-00,4-00),

有尸(r)=/(_%)+〃%)=尸(X)

故/(x)+/'(—X)為偶函數(shù).

(2)設(shè)G(x)=/(x)-/(-x),則VxG(-00,4-00),

有G(r)==-[/(x)-/(-x)]=-G(x)

4

故/(x)-/(-x)為奇函數(shù).

12.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，年銷售量為106件,每批生產(chǎn)需要準(zhǔn)備費(fèi)1()3元,而每件的年庫(kù)存費(fèi)為

0.05元，如果銷售是均勻的，求準(zhǔn)備費(fèi)與庫(kù)存費(fèi)之和的總費(fèi)用與年銷售批數(shù)之間的函數(shù)(銷售

均勻是指商品庫(kù)存數(shù)為批量的一半).

解：設(shè)年銷售批數(shù)為x,則準(zhǔn)備費(fèi)為10\;

又每批有產(chǎn)品—件，庫(kù)存數(shù)為—件，庫(kù)存費(fèi)為—x0.05元.

x2x2x

IO6xf)OS

設(shè)總費(fèi)用為廁y=10底+.

2x

13.郵局規(guī)定國(guó)內(nèi)的平信，每20g付郵資0.80元，不足20g按20g計(jì)算，信件重量不得超過(guò)2kg,

試確定郵資y與重量x的關(guān)系.

XXXX

解：當(dāng)X能被20整除，即［―］=—時(shí)，郵資y=—X0.80=—;

2020-2025

VVY

當(dāng)X不能被20整除時(shí)，即［或］K立時(shí)，由題意知郵資歹=玄+1xO.80.

x

0<x<2000>—;

25L20j20

綜上所述有y=

YX

x0.80,0<X<2000.M—^―.

L20j20

其中［上［J上+1］分別表示不超過(guò)二，三+1的最大整數(shù).

_20jL20」2020

14.已知水渠的橫斷面為等腰梯形，斜角夕=40°,如圖所示.當(dāng)過(guò)水?dāng)嗝娴拿娣e為定值

So時(shí),求濕周與水深h之間的函數(shù)關(guān)系式,并指明其定義域.

解：

S。=；處/。+BC)=1h(2hcot(p+BC+BC)=h(BC+hcot夕)

從而B(niǎo)C=^--hcot(p.

L^AB+BC+CD(AB=CD)

=2-^-+BC=2-^—+^-hcot(p

sin(psin^9h

SQ2-coseSq2-cos40°

hsin。hsin40°

5

由〃〉0,8C=*-。cote〉0得定義域?yàn)?0,tan40°).

h

15.下列函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的？

(l)y=(l+x2)4;(2)y=sin2(l+2x);

(3)y=(l+10-?)^;]

(4)7=

1+arcsin2x

12

解：(1)y=(1+X?"是由V=〃",〃=l+X?復(fù)合而成.

(2)y=sin?(1+2x)是由y=/,,,=sin匕y=1+2x復(fù)合而成.

2[

(3)y=(1+10""是由y=l+=10u,w=-x5復(fù)合而成.

(4)y=-----------是由y=,u=1+u,u=arcsinw,w=2x復(fù)合而成.

1+arcsin2x

16.證明：

(1)arcsinhx=ln(x+Jl+x、);(2)arctanhx=—In,-l<x<1

2\-x

證：⑴由y=sinhx=二一得e2x_2yex_l=0

解方程e2、—2ye、—l=0得e、=j±Jl+y2,

因?yàn)閑*>0,所以e"=y+Jl+y2,x=ln(y+Jl+y2)

所以y=sinhx的反函數(shù)是y=arcsinhx=ln(x+Vl+x2)(-00<x<+00).

,1e'—e'/口2x1+yi1+y111+P

⑵由y=tanhx=------i#e-=----，得2x=In----,x=—In----;

e'+e—xl-y]_y21-y

又由H±〉o得一i<v<i,

1—v

所以函數(shù)^=tanhx的反函數(shù)為

11+x

y=arctanhx=—In----(-1<X<1).

21-x

17.寫出下列數(shù)列的通項(xiàng)公式，并觀察其變化趨勢(shì)：

1234579

(1)0,(2)1,0,-3,0,5,0,-7,0,-?-;(3)-3,—

3456357

〃一1

解：(l)x=----，當(dāng)?00時(shí)->1.

w〃+1

/-、〃一1

(2)x=77COS---兀，

w2

6

當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，有三種變化趨勢(shì):趨向于+8,趨向于0,趨向于-8.

(3)x,=(-1)"匹！?，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，變化趁勢(shì)有兩種，分別趨于1,-1.

2/7-1

18.對(duì)下列數(shù)列求Q=limx〃，并對(duì)給定的￡確定正整數(shù)NR),使對(duì)所有/7>N(￡),有

|居-。|<￡：

I

(1凡=—sin—=0.001;(2)xw=J〃+2-VA?,￡=0.0001.

n2

1.mt<L<￡，只須〃>,.?。?|-I，則

解：⑴Q=limx〃=0,Ve>0,要使氏-0|-sin一

n2n￡!_￡」

當(dāng)〃〉N時(shí),必有氏一o|<￡.

當(dāng)￡=0.001時(shí),N=—=1000或大于1000的整數(shù).

Lo.ooiJ

____221

⑵公理"。,丸〉0,要使卜-0|=|后一分卜不二方(而二3<￡

只要五>」即〃〉4即可.

88

取白=-1.，則當(dāng)〃〉N時(shí),有氏-0卜￡.

當(dāng)￡=0.0001時(shí)，N=―?—=1()8或大于108的整數(shù).

Lo.oooi2J

19.根據(jù)數(shù)列極限的定義證明：

(l)lim4=0；(2)lim^4=1;

〃->8〃〃->82〃+12

J/+2

(3)lim-------=1;(4)lim0.99…9=1.

〃T00jqAT8

證：(l)V￡>0,要使-4-0=只要〃〉JL取N

，則當(dāng)n>N時(shí)，恒有

nnv￡

4-0<￡.故lim4~=0.

nn

3/7—135<上<上<￡，只要〃〉9，取魄］

(2)\/￡〉0,要使叫一，則當(dāng)

2M+122(2〃+1)4/7n￡

7

、…l/3〃-133w-l3

n>N忖，怛有---------<￡.故hm--------=-.

2?+12?—>oO2〃+12

J/+/a2

(3)Ve>0,要使-------------1(7<￡，只要，取

nn(\Jn2+a2+〃)

=[,],則當(dāng)〃>汽時(shí),恒有\(zhòng)ln2+a2J/+〃2

n-1<￡,從而lim-----------=1.

n〃T8n

〃個(gè)

(4)因?yàn)閷?duì)于所有的正整數(shù)〃，有____人、<1,故\/￡>0,不防設(shè)￡<1,要使

0.999,,,9—1

〃個(gè)=」-<￡,只要〃>二^,取N=-Inf

則當(dāng)〃>N時(shí)，恒有

0.99??,9—110nInlOIn10

<￡,故lim°.99…9=1.

0.99,,,9—1t〃T8

20.若limx“=a,證明lim⑷=|a|,并舉反例說(shuō)明反之不定成立.

"T8M—>00

證：limx“=0，由極限的定義知,V￡>0JN>0,當(dāng)〃〉N時(shí),恒有氏—

W—>00

而卜“|一|同<|瑞一同<￡

V￡>0JN>0,當(dāng)〃>N時(shí)，恒有||x?|-|a||<￡,

由極限的定義知!吧上|=|乩

但這個(gè)結(jié)論的逆不成立.如x“=(-l)n,limlxI=1,但limx,不存在.

H—>00〃―>00

21.利用單調(diào)有界準(zhǔn)則證明F列數(shù)列有極限，并求其極限值：

⑴再=JI,x"+|="￡,〃=1,2,…；(2)%=1,居+[=1+—一，〃=1,2,….

1+%

證:⑴：=0<2，不妨設(shè)x*<2，則

xk+｝=J2x*<—2x2=2.

故對(duì)所有正整數(shù)"有怎<2，即數(shù)列｛當(dāng)｝有上界.

又x“+1_x”=—=反(及一反)

顯然有>0,又由X”<2得<J5,從而%+]-%>0即x“+]>xn,

即數(shù)列｛居｝是單調(diào)遞增的.

8

由極限的單調(diào)有界準(zhǔn)則知，數(shù)列｛x“｝有極限.

設(shè)limx“=a，則4=41a，于是/=2a,a=2,a=0(不合題意，舍去),：.limxa=2.

(2)因?yàn)閄1=1>0,且小+1=1+上

l+x“

所以0<X"<2,即數(shù)列有界

又x.-%=(1+」^|J1+3-1=—仁也一

+，

""I1+xJI1+vJ(l+x?)(l+V1)

由1+x,>O』+x,i〉0知x“+1-x”與同號(hào)，

從而可推得X"+1-X”與％-X同號(hào)，

13

而玉=l,x2=1+—=—,x2-xx>0

故x“+i-x”>0，即當(dāng)+i〉x.

所以數(shù)列｛x,,｝單調(diào)遞增，由單調(diào)有界準(zhǔn)則知，｛x,J的極限存在.

設(shè)limxn=a,

M->00

1+\/~51—s/s,

解得------,a=------(不合題意，舍去).

rri、i1-1+6

所以hmx=------.

〃一>8n2

22.用函數(shù)極限定義證明:

sinx3x2-1x2-4

(1)lim----=0;⑵史FL(3)lhn—.-4;

X-X

i-4x2

(4)lim------=2;(5)limxsin—=0.

2x4-11°x

2

證：(l)Ve>0,要使

sinxsinx,1

------0----^―<

xX|x|

只須|x|>L,取X>L，則當(dāng)X>x時(shí)，必有

￡g

sinx

------0<￡,

x

9

,,「sinx八

故hm-----=0.

A—>+<?X

(2)V￡〉0,要使

只須|x|>則當(dāng)Ixl>x時(shí)，必有

3x2-1

故lim?一=3.

Xf8X+4

(3)We>0,要使

---(-4)=卜+2|<￡,

x+2

只要取5=￡,則

/一4

當(dāng)0<|x+2|<b時(shí)，必有_1-(-4)<^,

x+2

x2—4

故——=4

x+2x+2

(4)Ve〉0,要使

1—4x~_II1

----------2=|2x+l|=2X4-—<￡,

2x4-12

只須X+1取6=￡,則

222

當(dāng)0<x+』<S時(shí)，必有！二4》——2<￡

22x+l

l-4x2

故lim-5—=2.

XT」2x+l

(5)Ve>0,要使

xsin——0=xsin—W|x|<￡,

xx

只要取5=￡,則

10

當(dāng)0<|x—0]<5時(shí)，必有xsin——0<￡,

x

i%limxsin—=0.

a。x

23.求下列極限：

2

x2-3X+X

(2)1叫，

⑴物一I1x4-32x+1J

F-l/-X

(3)lim(4)lim/；;

XT82x2-x-15XT0°X-3x4-1

x2+1(〃+1)(〃+2)(〃+3).

(5)lim(6)lim

XTOO2%+r“TOO5"

(7)若lim1%_6,求a和b.

xT8(2x+l)2

X2-3!*-3)9-33

(1)hm———=*匕------=-----=一.

22

x+1lim(x+1)9+15

XT3

⑵|im-+x=順'+幻=

x"-3x?+iiim(x4-3x2+l)l4-3xl2+l

(3)lim

XT8

(4)lim

XTCO

⑸型駕魂?百"

lim^^

由無(wú)窮大與無(wú)窮小的關(guān)系知,二00.

Z82X+1

(〃+i)5+2)(〃+3)1..rnr3、

(6)lim----------r--------=-hm1+-1+-1+—

〃T85〃5〃八n八nJ

L.J1}J2、..J3)1

=—lim1+--vhm1+--lim]+—=—.

5〃T0G(n)"f8(n)nJ5

11

x2+17(1-a)x2-(t7+b)x+(1-6)

24.解:因?yàn)?------ax-h=-——-——----------——-

X+lX+1

由已知-知，分式的分子與分母的次數(shù)相同，且x項(xiàng)的系數(shù)之

f°lx+l)2

比為工，于是

2

l-a=O且一(”+.△

12

3

解得=l,b=一一.

a2

25.利用夾逼定理求下列數(shù)列的極限：

(l)lim[(n+l)*-n*],O<Jt<l;

〃一>8

(2)lim荷+館+…+或,其中q,q,，為給定的正常數(shù)；

〃一>8V

X

(3)lim(l+2n+3")?;

〃T8

(4)limA/l+—.

“f00Y/7

解：6丫0<(“+及_〃*=/(1+與_]<nk(l+-)-l=工

_n」〃

而lim0=0,當(dāng)后v1時(shí),lim—=0

lim[(/7+l)*-?A]=0.

M—>00

(2)記a=max{%,%，…，/}

則有Na"<4a；+琥+…+a；“<6a"

1

n

即Q<擊；+可+…+a；<m-a

而lima=a,limm'；a=a,

M—>00〃T8

故lim0Q：+域+??-+4=a

n—>oo丫

即lim0a；+a；+…+q；=max{q,為「??，?“

M->00'

111

(3)???(3")"<(l+2"+3")"<(3-3")?

12

￡M+l

即3<(l+2〃+3〃尸<3V

n+\

而lim3=3,lim3v=3

M—>00“TOO

故lim(l+2〃+3")〃=3.

,,1,1

(4)V1<1+-<1+-

Vnn

而liml=O,lim(l+—)=1

"TOOn

故limA/l+—=1.

"TooA/〃

26.通過(guò)恒等變形求下列極限:

1+2+3+…-1)(2)+；+…+

(l)lim

2，

n>00

x~—2x+1....x2—6x+8

(3)limz

XTlx2-l9

2

3X

⑸limx2(73+2-A/X3-2)；

%z(6)lim

XT+oo'vvXTO1-V1+X2

3

ry[x-y[5/c、，.l-cotx

(8)hm------------------j—

⑺則不TT2-cotx-cotX

4

(1——yfx)'??(1—yfx)

)(

(9)lim(l+x)(l+x2…i+產(chǎn))(|Y|<i);(10)lim

x—>00jr->l(1-X尸

13x—X+1

（）(12)lim

U耽1.x1-x3A-?l

X1

log〃(l+x).a-1

(13)lim(14)lim

x->0Xx->0X

3sinx

(15)lim(l+2x)sin-v;(16)limln

Xf0X

1+2+3+???+(〃-1)

解:(l)limHm嗎D==L

M->COn2

13

(2)lim|1+；+…+!］=lim

〃一>8"—>81一”

1--

2

x——2x+l(x—I)2(［、八

(3)lim-------------=lrim----------=lrim(x-1)=0.

x—1Ix—le

/八「x~-6x+8..(x—2)(x—4)..x—22

(4)hm------------二lim----------------二lim-------二-

^->4x-5x+4^->4(x-l)(x-4)v-*4x-13

-/___________、4\［x^

(5)limx2(J3+2-VX3-2)=Hm/——/=lim=2.

X1

V1+7

2

(6)lim—=lim￡。+{1+三［=_］而(1+y/1+x)=-2.

XT。1一J1+工2XT。-XXT0

(近一v^)(yp"+

(7)limR/=lim

X-<515(Vx-V5)(Vx+V5)(V?+V5x+^25)

(x-5)(G+小)

=lim

XT5(x-5乂癢+歸+歷)

Vx+V52A/52

lim

x-?5++3^25~3^5,

1-cot3X

(8)lim—lim

2-cotx-cotx(1-cotx)+(1-cotx)

4

..(1-cotx)(l+cotx+cot2x)

limz

Xf：(1一cotx)(l+1+cotX+cotx)

「14-cotx+cot2X3

lim---------------------=—.

->-2+cotx+cotx4

x4

⑼lim(l+x)(l+x2)-(l+x2")(|x|<1)

A-->00

_］加(1一Q(1+丫)(1++>一(1++2’)

X->001-x

M+l

1-x21

lrim---------=------

x-*8i-x1-x

14

(lO)lim。一人網(wǎng)一安)：(1一心

,I(1-x)

=Iim__________________________________—___________________________________

—(17產(chǎn)(1+4)(1+&+炳(1+盯+癢+炳…(1+豉+"+…+

'7(1+-^X)(l+y/x+VX2)(1+yfx+#X?+\JX?),?,(1+\[x+NX2+???+yfx")

11

2x3x4x?.?x力n\

2

Z11X1.(I3、rl+x+x?-3[.x+x—2

(Il)hm-----------------=lim---------------------=lim-------------------------丁

l-x3J—(l-x)(l+x+x2)—(l-x)(l+x+x2)

(x-l)(x+2)—(x+2)

=lim----------------------=lim------------=-1.

—(l-x)(l+x+x)XT11+x+x

g..(x-1)2吧(x-l)2n

(12)vhm-^----=—二4------------=0

Ji廠-x+]lim(：r-x+1)

「—X+1

/.lim-----------=oo.

—(I)?

(13)...log“(l+x)=]og“(]+#

X

1

x

而lim(l+x)=e.而limlogrtu=logrte=-----

x->04feIntz

XTOxInQ

(14)令〃=ax-1,則x=log/l+v),當(dāng)x—>0時(shí)，〃>0.

所以lim心」=lim——-——=-r-l-_-=In4(利用(13)題的結(jié)果).

…。x"f"og“(l+〃)]沁°g"(+")

〃f°u

33,4一、6x_,_、

———————ln(l+2x)---：——ln(l+2x)

(15)lim(l+2x)sinA=limesinx=lime2xsinA

x->0X->0X->0

lim6—^―In(l+2x)2x61im-^―limln(l+2x)2jr

x->0sinx__?x->0sinxx->0

_6xlxlne

=e=e.

,,sinx..sinx1

(16)令M=-------貝nijIhmz/=lim-------=1

Xx->0XTOx

15

Sinx

而limInw=0所以limIn----=0.

M->1XfOX

\_

27.利用重要極限lim(l+“)：=e,求下列極限:

fx+3Yx+1

(則+爐(2)hm--

X^x\x-2J

3

(3)lim(l+3tan2x)cot2jc;(4)lim(cos2x)1；

x->0

(5)limx[ln(2+x)-lnx];

x->oo

解:(l)lim|1+-

(2)limf-=limG+—1

limfl+^—15

…Ix-2j

2]JI

223tan2jc

⑶曬(1+3tan~x)c°''=limQ+3tan2Xptanx=lim(l+3tanx)=』

3\I]8$2Z

33,、

—incoszxlime，%--1)產(chǎn))

(4)lim(cos2x)『limer

x->0x->0x—0

3(c」x-l)網(wǎng)21)產(chǎn)I

=limex

KTO

erC0S2X-1...r.,一，、產(chǎn)2x-l

3hm------；-----innInl+(cos2x-l)

,x->0x

X

(5)limx[ln(24-x)-Inx]=lim2?—?In^+X=lim21nf1+—|

XTOOXTOO2XI00VX)

z(X\

=21imln1+-r=21n