數(shù)學-專項：平行線的判定與性質(zhì)的綜合運用（原版）

七年級下冊數(shù)學《第五章相交線與平行線》專題：平行線的判定與性質(zhì)的綜合運用◆◆1、平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行．◆◆2、平行線的判定方法：（1）定義法：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線互相平行．（2）判定定理1：同位角相等，兩直線平行．（3）判定定理2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（4）判定定理3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行．（5）兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（6）在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．◆◆3、平行線的性質(zhì)性質(zhì)定理1：兩直線平行，同位角相等．性質(zhì)定理2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．性質(zhì)定理3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．◆◆4、平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別．區(qū)別：性質(zhì)是由形到數(shù)，用于推導角的關(guān)系并計算；判定是由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．

題型題型一平行線的判定【例題1】（2022?南京模擬）如圖，以下條件能判定EG∥CH的是（）A．∠FEB＝∠ECD B．∠AEG＝∠DCH C．∠GEF+∠HCE＝180° D．∠HCE＝∠CEG

解題技巧提煉本題考查了平行線的判定，在復雜的圖形中具有相等關(guān)系或互補關(guān)系的兩角首先要判斷它們是否是同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角，被判斷平行的兩直線是否由“三線八角”而產(chǎn)生的被截直線．平行公理的推論可以看做是平行線的一種判定方法，在解題中要注意該結(jié)論在證明直線平行時應用．【變式1-1】（2022春?隆陽區(qū)校級月考）如圖所示，以下5個條件：①∠B＝∠4+∠5；②∠2＝∠4；③∠1＝∠5；④∠B＝∠3；⑤∠D+∠4+∠5＝180°．其中一定能判定AD∥BC的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-2】（2021秋?上蔡縣校級期末）如圖，下列條件能判斷直線l1∥l2的有（）①∠1＝∠3；②∠2+∠4＝180°；③∠4＝∠5；④∠2＝∠3；⑤∠6＝∠2+∠3A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1-3】（2022春?商城縣期末）學習過平行線后，小龍同學想出了“過已知直線m外一點P畫這條直線的平行線的新方法”，他是通過折一張半透明的正方形紙得到的．觀察圖（1）～（4），經(jīng)兩次折疊展開后折痕CD所在的直線即為過點P的已知直線m

的平行線．從圖中可知，小龍畫平行線的依據(jù)有（）①兩直線平行，同位角相等；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；③同位角相等，兩直線平行；④內(nèi)錯角相等，兩直線平行．A．①② B．②③ C．①④ D．③④【變式1-4】（2022秋?城關(guān)區(qū)校級期末）已知：如圖，∠B＝80°，∠C＝50°，AC平分∠BAF．求證：EF∥BC．【變式1-5】（2022秋?秦州區(qū)校級期末）如圖，點G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，F(xiàn)G平分∠AGC，請說明AE∥GF的理由．解：因為∠BAG+∠AGD＝180°（），∠AGC+∠AGD＝180°（），所以∠BAG＝∠AGC（）．因為EA平分∠BAG，所以∠1=12（因為FG平分∠AGC，所以∠2=12得∠1＝∠2（），所以AE∥GF（）．

【變式1-6】（2022秋?臨汾期末）如圖，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F．求證：CE∥DF．題型二題型二平行線的性質(zhì)【例題2】（2022秋?宣漢縣校級期末）如圖，AB∥CD，DE∥CB，∠B＝35°，則∠D＝（）A．145° B．150° C．120° D．165°解題技巧提煉1、兩直線平行時，應聯(lián)想到平行線的三個性質(zhì)，由兩條直線平行的位置關(guān)系得到兩個相關(guān)角的數(shù)量關(guān)系，由角的關(guān)系求相應角的度數(shù)．2、利用平行線的性質(zhì)可以角的度數(shù)，證明兩直線垂直等.

【變式2-1】（2022秋?綠園區(qū)校級期末）如圖，AB∥CD，一副三角尺按如圖所示放置，∠AEG＝20°，則∠HFD的度數(shù)為（）A．40° B．35° C．30° D．25°【變式2-2】（2022春?梁子湖區(qū)期中）如圖，將一條對邊互相平行的紙帶進行兩次折疊，折痕分別為AB、CD，若CD∥BE，∠1＝40°，則∠2的度數(shù)是（）A．90° B．100° C．105° D．110°【變式2-3】（2022春?麗水期末）如圖，平面反光鏡AC斜放在地面AB上，一束光線從地面上的P點射出，DE是反射光線．已知∠APD＝120°，若要使反射光線DE∥AB，則∠CAB應調(diào)節(jié)為度．【變式2-4】（2022秋?明水縣校級期末）如圖，CD∥AB，OE平分∠AOD，OE⊥OF，∠D＝50°，求∠BOF的度數(shù)．

【變式2-5】（2022秋?伊川縣期末）如圖，AB∥CD，CE與AB交于點O，OF平分∠AOE，OG⊥OF．（1）若∠C＝50°，求∠BOF的度數(shù)；（2）求證：OG平分∠AOC．題型三題型三平行線的判定與性質(zhì)的綜合運用【例題3】（2022秋?望花區(qū)校級期末）如圖，AF∥CD，BC平分∠ACD，BD平分∠EBF，且BC⊥BD，下列結(jié)論：①BC平分∠ABE；②AC∥BE；③∠BCD+∠D＝90°；④∠DBF＝60°．其中正確的個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

解題技巧提煉1、平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．2、應用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設和結(jié)論，切莫混淆．3、平行線的判定與性質(zhì)常常綜合運用，見到角相等或互補就應該相等能否判定兩直線平行，見到兩直線平行就應該想到能否證明相關(guān)的角相等或互補.【變式3-1】（2022秋?伊川縣期末）如圖，AD∥BC，∠BAD的平分線交CD于點F，交BC的延長線于點E，∠B+∠BCD＝180°，求證：∠CFE＝∠E．【變式3-2】（2022春?鳳泉區(qū)校級期末）如圖，點D、E在AB上，點F、G分別在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2．（1）試判斷直線EF與直線CD的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若EF⊥AB，∠1＝56°，求∠ADG的度數(shù)．

【變式3-3】（2022秋?輝縣市校級期末）如圖，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠A，試說明：BE∥CF．【變式3-4】（2022秋?朝陽區(qū)校級期末）如圖，AB⊥AC，點D、E分別在線段AC、BF上，DF、CE分別與AB交于點M、N，若∠1＝∠2，∠C＝∠F，求證：AB⊥BF．【變式3-5】（2022春?鳳慶縣期末）如圖，已知∠A＝∠AGE，∠D＝∠DGC．（1）求證：AB∥CD；（2）若∠2+∠1＝180°，且∠BEC＝2∠B+30°，求∠C的度數(shù)．專專題難點突破練

1、如圖，已知AE平分∠BAC交BC于點E，AF平分∠CAD交BC的延長線于點F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，試判斷AD與BC是否平行．2．（2022秋?封丘縣校級期末）如圖，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求證：EF∥AD．3．（2022春?興城市期末）如圖，已知：AB∥CD，CD∥EF，AE平分∠BAC，AC⊥CE，有下列結(jié)論：①AB∥EF；②2∠1﹣∠4＝90°；③2∠3﹣∠2＝180°；④∠3+12∠4＝135°．其中，正確的結(jié)論有

4．（2023?臨川區(qū)校級一模）如圖：已知∠1+∠2＝180°，∠A＝∠C，BC平分∠DBE．（1）AE與FC平行嗎？說明理由．（2）AD與BC的位置關(guān)系如何？為什么？（3）DA平分∠BDF嗎？為什么？5．（2022秋?二道區(qū)校級期末）【提出問題】若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角有怎樣的數(shù)量關(guān)系？【解決問題】分兩種情況進行探究，請結(jié)合如圖探究這兩個角的數(shù)量關(guān)系．（1）如圖1，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1＝∠2；（2）如圖2，AB∥EF，BC∥DE，試證：∠1+∠2＝180°；【得出結(jié)論】由（1）（2）我們可以得到結(jié)論：若兩個角的兩邊分別平行，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為；【拓展應用】（3）若兩個角的兩邊分別平行，其中一個角比另一個角的2倍少60°，求這兩個角的度數(shù)．（4）同一平面內(nèi)，若兩個角的兩邊分別垂直，則這兩個角的數(shù)量關(guān)系為．

6．（2021?衢江區(qū)校級開學）將一副三角板中的兩個直角頂點C疊放在一起（如圖①），其中∠A＝30°，∠B＝60°，∠D＝∠E＝45°．（1）猜想∠BCD與∠ACE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠BCD＝4∠ACE，求∠BCD的度數(shù)；（3）若按住三角板ABC不動，繞頂點C轉(zhuǎn)動三角DCE，試探究∠BCD等于多少度時CE∥AB，并簡要說明理由．7．（2022秋?鄲城縣校級期末）一副直角三角尺疊放如圖1所示，現(xiàn)將45°的三角尺ADE固定不動，將含30°的三角尺ABC繞頂點A順時針轉(zhuǎn)動至圖2位置的過程中，使兩塊