2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版選擇性

2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程新授課1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.3.會(huì)利用雙曲線解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.回顧：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？定義：與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(大于兩個(gè)定點(diǎn)間的距離)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.根據(jù)焦點(diǎn)位置的不同，其標(biāo)準(zhǔn)方程為

或思考：把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么樣的？知識(shí)點(diǎn)1：雙曲線的定義動(dòng)手操作：如圖(A)，取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2上，點(diǎn)F1到點(diǎn)F2的長(zhǎng)為2c(c>0).把筆尖放在拉鏈開口的咬合處M，點(diǎn)M到點(diǎn)F1的距離與點(diǎn)M到點(diǎn)F2的距離之差等于2a(c>a>0).隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖就畫出一條曲線.這條曲線上的點(diǎn)M滿足下面的條件：|MF1|-|MF2|=2a.同理可畫出另一支(如圖B).這條曲線上的點(diǎn)M滿足下面的條件：|MF2|-|MF1|=2a.這兩條曲線合起來叫作雙曲線，每一條曲線叫作雙曲線的一支.雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(大于零且小于︱F1F2︱)的點(diǎn)的集合(或軌跡)叫作雙曲線.概念講解F1F2焦距焦點(diǎn)M①兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2——雙曲線的焦點(diǎn);②兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離|F1F2|——焦距.問題：請(qǐng)仿照求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法，根據(jù)雙曲線的定義，并選擇恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系來求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.知識(shí)點(diǎn)2：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程給定雙曲線，它的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，焦距|F1F2|=2c(c＞0)，雙曲線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之差的絕對(duì)值為2a(0<a<c)，F(xiàn)1F2PxOy(x,y)建系以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸建立坐標(biāo)系.F1F2PxOy(x,y)設(shè)P(x,y)，根據(jù)雙曲線的定義，可得||PF1|-|PF2||=2a，即|PF1|-|PF2|=±2a.設(shè)點(diǎn)列式根據(jù)雙曲線的定義可知，2c＞2a＞0,∴c2-a2＞0.代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2.F1F2PxOy(x,y)化簡(jiǎn)整理得：①雙曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)都是方程①的解;以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)與雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)的距離之差的絕對(duì)值都為2a，令

其中b＞0.

我們稱方程①是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.即以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在雙曲線上．F1F2PxOy(x,y)它表示焦點(diǎn)在

x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是

F1（-

c，0），F(xiàn)2（c，0）的雙曲線，這里①思考：

如果焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在y軸上，且F1，F(xiàn)2的坐標(biāo)分別為(0，-c)，(0，c)，那么雙曲線的方程是什么？F1F2PxOy歸納總結(jié)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程圖形方程焦點(diǎn)a,b,c之間的關(guān)系F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c)，F(xiàn)2(0,c)c2=a2+b2

a，b大小不定F1F2PxOyF1F2PxOy例1:已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-5，0)，F(xiàn)2(5，0)，該雙曲線上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是6，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，又c=5，a=3，∴b2=c2-a2=16.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為∴可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為練一練1.已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,－2)，F(xiàn)2(0,2)，且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3,－2)，求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由于雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，故可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由雙曲線的定義知∴a

=1．

又c

=2，∴b2

=

c2－a2

=4－1=3．∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為歸納總結(jié)1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：(1)確定雙曲線的類型，并設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求出a2,b2的值，寫出標(biāo)準(zhǔn)方程.2.當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸不確定時(shí)，需分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論，特別地，當(dāng)已知雙曲線經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可設(shè)雙曲線的方程為Ax2+By2=1(AB<0)來求解.例2:相距2km的兩個(gè)哨所A，B聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時(shí)間比在B哨所遲4s.已知當(dāng)時(shí)的聲速為340m/s，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程.解：設(shè)爆炸點(diǎn)為P，由已知，得|PA|-|PB|=340×4=1360(m).∴點(diǎn)P在以點(diǎn)A，B為焦點(diǎn)的雙曲線并靠近點(diǎn)B的那一支上.以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).∵|AB|=2km=2000m>1360m，|PA|＞|PB|，例2:相距2km的兩個(gè)哨所A，B聽到遠(yuǎn)處傳來的炮彈爆炸聲，在A哨所聽到爆炸聲的時(shí)間比在B哨所遲4s.已知當(dāng)時(shí)的聲速為340m/s，試判斷爆炸點(diǎn)在什么樣的曲線上，并求出曲線的方程.由2a=1360，2c