2023內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題試卷和答案

中考PAGE1試卷機(jī)密★啟用前2023年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁，滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必先將自己的考生號(hào)、姓名、座位號(hào)等信息填寫在試卷和答題卡的指定位置．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)條形碼上的相關(guān)信息后，將條形碼粘貼在答題卡的指定位置．3．答題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共有10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．1.下列各式計(jì)算結(jié)果為的是（）A. B. C. D.2.關(guān)于的一元一次不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則的值為（）A.3 B.2 C.1 D.03.定義新運(yùn)算“”，規(guī)定：，則的運(yùn)算結(jié)果為（）A. B. C.5 D.34.如圖，直線，直線與直線分別相交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.5.幾個(gè)大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)位置小正方體的個(gè)數(shù)，該幾何體的主視圖是（）A. B. C. D.6.從1，2，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記作和．若點(diǎn)的坐標(biāo)記作，則點(diǎn)在雙曲線上的概率是（）A. B. C. D.7.如圖是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（）A. B. C. D.8.在平面直角坐標(biāo)系中，將正比例函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到一次函數(shù)的圖象，則該一次函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.9.如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（）A.8 B.4 C.3.5 D.310.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為與關(guān)于直線對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)．若，則的值為（）A. B. C. D.二、填空題：本大題共有6小題，每小題3分，共18分．請(qǐng)將答案填在答題卡上對(duì)應(yīng)的橫線上．11.若為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，則________．12.若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則________．13.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為________．14.已知二次函數(shù)，若點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，且，則的值為________．15.如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為________．16.如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；②；③四邊形是菱形；④其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）三、解答題：本大題共有7小題，共72分．請(qǐng)將必要的文字說明、計(jì)算過程或推理過程寫在答題卡的對(duì)應(yīng)位置．17.（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．（2）解方程：．18.在推進(jìn)碳達(dá)峰、碳中和進(jìn)程中，我國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷兩旺，連續(xù)8年保持全球第一．圖為我國(guó)某自主品牌車企2022年下半年新能源汽車的月銷量統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）通過計(jì)算判斷該車企2022年下半年的月均銷量是否超過20萬輛；（2）通過分析數(shù)據(jù)說明該車企2022年下半年月銷量的特點(diǎn)（寫出一條即可），并提出一條增加月銷量的合理化建議．19.為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．（1）求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；（2）求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．20.隨著科技發(fā)展，掃地機(jī)器人已廣泛應(yīng)用于生活中，某公司推出一款新型掃地機(jī)器人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品2022年每個(gè)月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)的銷售價(jià)格隨銷售月份的變化而變化、設(shè)該產(chǎn)品2022年第（為整數(shù)）個(gè)月每臺(tái)的銷售價(jià)格為（單位：元），與的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖中為一折線）．（1）當(dāng)時(shí)，求每臺(tái)的銷售價(jià)格與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該產(chǎn)品2022年第個(gè)月的銷售數(shù)量為（單位：萬臺(tái)），m與的關(guān)系可以用來描述，求哪個(gè)月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺(tái)的銷售價(jià)格銷售數(shù)量）21.如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．（1）求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）（2）若，半徑為3，，求的長(zhǎng)．22.如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．（1）如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線段垂直平分線上，并說明理由；（2）如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于點(diǎn)，直線交拋物線于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）線段上一點(diǎn)，連接，且．①求證：是直角三角形；②的平分線交線段于點(diǎn)是直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

機(jī)密★啟用前2023年初中學(xué)業(yè)水平考試試卷數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷共6頁，滿分120分．考試時(shí)間為120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必先將自己的考生號(hào)、姓名、座位號(hào)等信息填寫在試卷和答題卡的指定位置．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)條形碼上的相關(guān)信息后，將條形碼粘貼在答題卡的指定位置．3．答題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本大題共有10小題，每小題3分，共30分．每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．1.下列各式計(jì)算結(jié)果為的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方運(yùn)算法則即可判斷．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，不符合題意；C、，符合題意；D、，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查同底數(shù)冪的乘除法及冪的乘方運(yùn)算法則，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．2.關(guān)于的一元一次不等式的解集在數(shù)軸上的表示如圖所示，則的值為（）A.3 B.2 C.1 D.0【答案】B【解析】【分析】先求出不等式的解集，然后對(duì)比數(shù)軸求解即可．【詳解】解：解得，由數(shù)軸得：，解得：，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查求不等式的解集及參數(shù)，熟練掌握求不等式解集的方法是解題關(guān)鍵．3.定義新運(yùn)算“”，規(guī)定：，則的運(yùn)算結(jié)果為（）A. B. C.5 D.3【答案】D【解析】【分析】根據(jù)新定義的運(yùn)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】題目主要考查新定義的運(yùn)算，理解題意中的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．4.如圖，直線，直線與直線分別相交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且．若，則的度數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由，，可得，由，可得，進(jìn)而可得的度數(shù)．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確角度之間的數(shù)量關(guān)系．5.幾個(gè)大小相同的小正方體搭成幾何體的俯視圖如圖所示，圖中小正方形中數(shù)字表示對(duì)應(yīng)位置小正方體的個(gè)數(shù)，該幾何體的主視圖是（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)各層小正方體的個(gè)數(shù)，然后得出三視圖中主視圖的形狀，即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)俯視圖可知，這個(gè)幾何體中：主視圖有三列：左邊一列1個(gè)，中間一列2個(gè)，右邊一列2個(gè)，所以該幾何體的主視圖是故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了學(xué)生對(duì)三視圖掌握程度和靈活運(yùn)用能力，同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)空間想象能力方面的考查，熟練掌握三視圖的判斷方法是解題關(guān)鍵．6.從1，2，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)，分別記作和．若點(diǎn)的坐標(biāo)記作，則點(diǎn)在雙曲線上的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出點(diǎn)坐標(biāo)的所有情況的個(gè)數(shù)，然后求出其中在雙曲線上的坐標(biāo)的個(gè)數(shù)，根據(jù)隨機(jī)事件概率的計(jì)算方法，即可得到答案．【詳解】解：從1，2，3這三個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù)，點(diǎn)的坐標(biāo)共有6種情況：，，，，，，并且它們出現(xiàn)的可能性相等．點(diǎn)坐標(biāo)在雙曲線上有2種情況:，．所以，這個(gè)事件的概率為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查隨機(jī)事件的概率，關(guān)鍵是掌握隨機(jī)事件概率的計(jì)算方法：如果在一次試驗(yàn)中，有種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件包含其中的種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概率．7.如圖是源于我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖，它是由四個(gè)全等直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)兩個(gè)正方形的面積分別求出兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，然后結(jié)合題意進(jìn)一步設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，再接著利用勾股定理得到關(guān)于的方程，據(jù)此進(jìn)一步求出直角三角形各個(gè)直角邊的邊長(zhǎng)，最后求出的值即可.【詳解】∵小正方形的面積為，大正方形的面積為25，∴小正方形的邊長(zhǎng)為1，大正方形的邊長(zhǎng)為5，設(shè)直角三角形短的直角邊為，則較長(zhǎng)的直角邊為，其中，∴，其中，解得：，，∴，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理與一元二次方程及三角函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.8.在平面直角坐標(biāo)系中，將正比例函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到一次函數(shù)的圖象，則該一次函數(shù)的解析式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)的平移規(guī)律求解即可．【詳解】解：正比例函數(shù)的圖象向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得：，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查一次函數(shù)的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．9.如圖，是銳角三角形的外接圓，，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（）A.8 B.4 C.3.5 D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．【詳解】解：∵是銳角三角形的外接圓，，∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，∴，∵的周長(zhǎng)為21，∴即，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為與關(guān)于直線對(duì)稱，反比例函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)．若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)B作軸，根據(jù)題意得出，再由特殊角的三角函數(shù)及等腰三角形的判定和性質(zhì)得出，，利用各角之間的關(guān)系，確定，B，D三點(diǎn)共線，結(jié)合圖形確定，然后代入反比例函數(shù)解析式即可．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B作軸，∵，∴，∴，，∴，，∴，，∵與關(guān)于直線對(duì)稱，∴，∴，∴，B，D三點(diǎn)共線，∴，∵，∴，∴，∴，將其代入得：，故選：A．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)及反比例函數(shù)的確定，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共有6小題，每小題3分，共18分．請(qǐng)將答案填在答題卡上對(duì)應(yīng)的橫線上．11.若為兩個(gè)連續(xù)整數(shù)，且，則________．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)夾逼法求解即可．【詳解】解：∵，即，∴，∴，∴．故答案為：3．【點(diǎn)睛】題目主要考查無理數(shù)的估算，熟練掌握估算方法是解題關(guān)鍵．12.若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則________．【答案】##【解析】【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，然后代入求解即可．【詳解】解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，．13.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線相交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，對(duì)角線的長(zhǎng)為半徑畫弧，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出陰影部分的面積為扇形的面積，然后由勾股定理得出，再由扇形的面積公式求解即可．【詳解】解：正方形，∴，，∴，∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴∴陰影部分的面積為扇形的面積，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查正方形的性質(zhì)及扇形的面積公式，理解題意，將陰影部分面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．14.已知二次函數(shù)，若點(diǎn)在該函數(shù)的圖象上，且，則的值為________．【答案】2【解析】【分析】將點(diǎn)代入函數(shù)解析式求解即可．【詳解】解：點(diǎn)在上，∴，，解得：(舍去)故答案為：2．【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的特點(diǎn)，理解題意正確求解是解題關(guān)鍵．15.如圖，在中，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到．連接，交于點(diǎn)D，則的值為________．【答案】5【解析】【分析】過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，利用勾股定理求得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可證、是等腰直角三角形，可得，再由，得，證明，可得，即，再由，求得，從而求得，，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)D作于點(diǎn)F，∵，，，∴，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，即，∵，，∴，∴，即，又∵，∴，∴，，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．16.如圖，是正五邊形的對(duì)角線，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①平分；②；③四邊形是菱形；④其中正確的結(jié)論是________．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【解析】【分析】根據(jù)正五邊形的性質(zhì)得出各角及各邊之間的關(guān)系，然后由各角之間的關(guān)系及相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定依次證明即可．【詳解】解：①∵正五邊形，∴，，∴，∴，∴平分；正確；②∵，，∴，∴，∵，∴，即，故②錯(cuò)誤；③∵，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；正確；④∵，，∴，∴，∴，即，正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】題目主要考查正多邊形的性質(zhì)及相似三角形、菱形的判定和性質(zhì)，熟練掌握運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．三、解答題：本大題共有7小題，共72分．請(qǐng)將必要的文字說明、計(jì)算過程或推理過程寫在答題卡的對(duì)應(yīng)位置．17.（1）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．（2）解方程：．【答案】（1），1；（2）【解析】【分析】（1）首先利用完全平方公式和平方差公式計(jì)算，然后合并同類項(xiàng)，最后代入求解即可；（2）根據(jù)解分式方程的一般步驟進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）原式．當(dāng)時(shí)，原式．（2）方程兩邊乘，得．解得．檢驗(yàn)：將代入，∴是原方程的根．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的乘法混合運(yùn)算以及化簡(jiǎn)求值，以及解分式方程，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．18.在推進(jìn)碳達(dá)峰、碳中和進(jìn)程中，我國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷兩旺，連續(xù)8年保持全球第一．圖為我國(guó)某自主品牌車企2022年下半年新能源汽車的月銷量統(tǒng)計(jì)圖．請(qǐng)根據(jù)所給信息，解答下列問題：（1）通過計(jì)算判斷該車企2022年下半年的月均銷量是否超過20萬輛；（2）通過分析數(shù)據(jù)說明該車企2022年下半年月銷量的特點(diǎn)（寫出一條即可），并提出一條增加月銷量的合理化建議．【答案】（1）該車企2022年下半年的月均銷量超過20萬輛（2）2022年下半年月銷量的特點(diǎn)：月銷量呈遞增趨勢(shì)；12月的銷量最大；有三個(gè)月的銷量超過了20萬輛；中位數(shù)為20.5萬輛；月均銷量超過20萬輛等建議：充分了解客戶需求，及時(shí)處理客戶反饋，提供優(yōu)質(zhì)的售后服務(wù)【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的定義求解即可；（2）利用條形統(tǒng)計(jì)圖中的數(shù)據(jù)進(jìn)行闡述即可．【小問1詳解】解：（萬輛），，∴該車企2022年下半年的月均銷量超過20萬輛．【小問2詳解】2022年下半年月銷量的特點(diǎn)：月銷量呈遞增趨勢(shì)；12月的銷量最大；有三個(gè)月的銷量超過了20萬輛；中位數(shù)為20.5萬輛；月均銷量超過20萬輛等．建議：充分了解客戶需求，及時(shí)處理客戶反饋，提供優(yōu)質(zhì)的售后服務(wù)．【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)及中位數(shù)等統(tǒng)計(jì)知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．19.為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)、錘煉學(xué)生意志，某校組織一次定向越野拉練活動(dòng)．如圖，A點(diǎn)為出發(fā)點(diǎn)，途中設(shè)置兩個(gè)檢查點(diǎn)，分別為點(diǎn)和點(diǎn)，行進(jìn)路線為．點(diǎn)在點(diǎn)的南偏東方向處，點(diǎn)在A點(diǎn)的北偏東方向，行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．（1）求行進(jìn)路線和所在直線的夾角的度數(shù)；（2）求檢查點(diǎn)和之間的距離（結(jié)果保留根號(hào)）．【答案】（1）行進(jìn)路線和所在直線的夾角為（2）檢查點(diǎn)和之間的距離為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，，，再由各角之間的關(guān)系求解即可；（2）過點(diǎn)A作，垂足為，由等角對(duì)等邊得出，再由正弦函數(shù)及正切函數(shù)求解即可．【小問1詳解】解：如圖，根據(jù)題意得，，，，．在中，，．答：行進(jìn)路線和所在直線的夾角為．【小問2詳解】過點(diǎn)A作，垂足為．，，．,在中，，．,在中，，，．答：檢查點(diǎn)和之間的距離為．【點(diǎn)睛】題目主要考查解三角形的應(yīng)用，理解題意，作出相應(yīng)輔助線求解是解題關(guān)鍵．20.隨著科技的發(fā)展，掃地機(jī)器人已廣泛應(yīng)用于生活中，某公司推出一款新型掃地機(jī)器人，經(jīng)統(tǒng)計(jì)該產(chǎn)品2022年每個(gè)月的銷售情況發(fā)現(xiàn)，每臺(tái)的銷售價(jià)格隨銷售月份的變化而變化、設(shè)該產(chǎn)品2022年第（為整數(shù)）個(gè)月每臺(tái)的銷售價(jià)格為（單位：元），與的函數(shù)關(guān)系如圖所示（圖中為一折線）．（1）當(dāng)時(shí)，求每臺(tái)銷售價(jià)格與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）設(shè)該產(chǎn)品2022年第個(gè)月的銷售數(shù)量為（單位：萬臺(tái)），m與的關(guān)系可以用來描述，求哪個(gè)月的銷售收入最多，最多為多少萬元？（銷售收入每臺(tái)的銷售價(jià)格銷售數(shù)量）【答案】（1）（2）第5個(gè)月的銷售收入最多，最多為3375萬元【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；（2）根據(jù)銷售收入每臺(tái)的銷售價(jià)格銷售數(shù)量求得銷售收入為萬元與銷售月份之間的函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，設(shè)每臺(tái)的銷售價(jià)格與之間的函數(shù)關(guān)系式為．∵圖象過兩點(diǎn)，，解得∴當(dāng)時(shí)，每臺(tái)的銷售價(jià)格與之間的函數(shù)關(guān)系式為．【小問2詳解】設(shè)銷售收入為萬元，①當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，（萬元）．②當(dāng)時(shí)，，，∴隨的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，（萬元）．，∴第5個(gè)月的銷售收入最多，最多為3375萬元．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)在銷售問題中的應(yīng)用，理清題中的數(shù)量關(guān)系并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21.如圖，是的直徑，是弦，是上一點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接．（1）求證：；（請(qǐng)用兩種證法解答）（2）若，的半徑為3，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解析（2）8【解析】【分析】（1）證法一：連接，得到，因?yàn)?，所以；證法二：連接，可得，則，根據(jù)，可得，即可得到結(jié)果；（2）連接，根據(jù)角度間的關(guān)系可以證得為直角三角形，根據(jù)勾股定理可得邊的長(zhǎng)，進(jìn)而求得結(jié)果．【小問1詳解】證法一：如圖，連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∴∵，∴，∴，證法二：如圖，連接，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∴，∴，【小問2詳解】解：如圖，連接，∵，，∴，∵，∴，∴，∴．∵的半徑為3，∴，在中，，∵，∴，∴，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角為直角，勾股定理，找到角度之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．22.如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)分別是邊，線段上的點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．（1）如圖1，連接．當(dāng)時(shí)，試判斷點(diǎn)是否在線段的垂直平分線上，并說明理由；（2）如圖2，若，且，①求證：；②當(dāng)時(shí)，設(shè)，求的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）．【答案】（1）點(diǎn)在線段的垂直平分線上（2）①證明見解析，②【解析】【分析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)及垂直平分線的判定證明即可；（2）①根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，再由各角之間的關(guān)系得出，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可；③連接．利用等邊三角形的判定和性質(zhì)得