山東省煙臺龍口市2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期期末階段性測試初四數(shù)學(xué)試題（120分鐘）一、書寫與卷面（3分）書寫規(guī)范卷面整潔二、選擇題（本題共10個小題，每小題3分，滿分30分）每小題有且只有一個正確答案，請把正確答案的字母代號涂在答題卡上．1.在中，，若三角形各邊同時擴大至原來的倍，則的值（）A.不變 B.擴大至倍 C.縮小為原來的 D.無法確定【答案】A【解析】【分析】此題考查了三角函數(shù)的定義，根據(jù)題意畫出圖形，求出擴大后的值，比較即可，解題的關(guān)鍵是正確理解三角函數(shù)的定義．【詳解】如圖，設(shè)，，，則擴大后三邊長是，，，∵，∴擴大后，故選：．2.將二次函數(shù)的圖象向上平移2個單位，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)表達式是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了函數(shù)的平移規(guī)律（即上加下減、左加右減），掌握規(guī)律即可解題．【詳解】解：由題可知，二次函數(shù)的圖象向上平移了2個單位，根據(jù)規(guī)律可得出平移后的函數(shù)表達式為．故選：D．3.將兩個長方體如圖放置，則所構(gòu)成的幾何體的左視圖可能是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)左視圖是從物體左面看所得到的圖形即可解答．【詳解】解：根據(jù)左視圖的概念可知，從物體的左面看得到的視圖是C，

故答案選：C．【點睛】本題考查了簡單幾何體的左視圖，注意主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形．4.如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，若，則的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)圓周角定理求得的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出的度數(shù)即可．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，故選：B.【點睛】此題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及圓周角定理，比較簡單，牢記有關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．5.Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，若以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，則r可能為（）A.3 B.4 C.4.8 D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出BC=8，再利用面積法求出CD的長，即可得到答案．【詳解】如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC=8，∵，∴CD=，∴當(dāng)時，以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交，故選：D．．【點睛】此題考查勾股定理，三角形的面積法求斜邊上的高線，直線與圓相交的交點個數(shù)，理解以點C為圓心r為半徑的圓與AB所在直線相交先求出最短距離進行判斷是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在矩形中，以點A為圓心，以長為半徑畫弧交于點E，將扇形剪下來做成圓錐，若，則該圓錐底面半徑為（）A. B. C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】此題考查圓錐的計算，正方形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握扇形的弧長公式．首先由正方形的性質(zhì)得到是等腰直角三角形，進而得到，然后由勾股定理求出，然后根據(jù)扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長列方程求解即可．【詳解】解：在矩形中，，∵，是等腰直角三角形，，，，扇形的弧長等于圍成的圓錐的底面圓的周長，圓錐的底面圓的半徑為，，解得．故選：A．7.如圖，若要測量小河兩岸正對的兩點A，B的距離，可以在小河邊取的垂線上的一點C，測得米，，則小河寬為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，根據(jù)正切的定義可得米．【詳解】解；在中，米，∴米，故選：C．8.某校舉行“激情十月，唱響青春”為主題的演講比賽，決賽階段只剩下甲、乙、丙、丁四名同學(xué)，則甲、乙同學(xué)獲得前兩名的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)列表法或者樹狀圖分析出所有可能的結(jié)果，然后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：列表如下：第一名第二名甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，?。┍ū?，甲）（丙，乙）（丙，?。┒。ǘ?，甲）（丁，乙）（丁，丙）由列表可知，共有12種等可能結(jié)果，其中甲、乙同學(xué)獲得前兩名的情況有2種，則甲、乙兩名同學(xué)獲得前兩名的概率是．故選：D．【點睛】本題考查畫樹狀圖或列表法求概率，列表適用于兩個因素問題，三個或三個以上因素的問題只能用樹狀圖．9.二次函數(shù)中的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：…014……1670…下列結(jié)論正確的是（）A. B.當(dāng)函數(shù)值時，對應(yīng)x的取值范圍是C.頂點坐標(biāo)為 D.若點，都在拋物線上，則【答案】B【解析】【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題根據(jù)表中數(shù)據(jù)找出二次函數(shù)的對稱軸，利用二次函數(shù)圖象對稱性、增減性和頂點坐標(biāo)特點，即可解題．【詳解】解：根據(jù)，和，，可知二次函數(shù)的對稱軸為，所以頂點坐標(biāo)為，錯誤，即C項不符合題意．根據(jù)，，，即離對稱軸越近，函數(shù)值越小，所以二次函數(shù)開口向上，即，所以A項錯誤，不符合題意．，，結(jié)合二次函數(shù)對稱性可知，，，所以當(dāng)函數(shù)值時，對應(yīng)x的取值范圍是，正確，即B項符合題意．，，，根據(jù)離對稱軸越近，函數(shù)值越小，有，所以D項錯誤，不符合題意．故選：B．10.如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，E是BC邊上的一個動點，AE⊥EF，EF交DC于F,設(shè)BE=，F(xiàn)C=，則當(dāng)點E從點B運動到點C時，關(guān)于的函數(shù)圖象是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意得到Rt△ABE∽Rt△ECF，繼而得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系式，由解析式得到函數(shù)的圖象．【詳解】解：∵，∴，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴．∴，即，∴，，故選．【點睛】本題考查二次函數(shù)的解析式的求法和函數(shù)圖象的識別，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分）11.在函數(shù)中，自變量的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式有意義，分母不等于0列式計算即可得解．【詳解】解：由題意得，x＋2≠0，解得x≠?2．故答案為：x≠?2．【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的范圍，一般從三個方面考慮：（1）當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；（2）當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；（3）當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．12.如圖，一把三角尺，，．將其放置在量角器上，點O與圓心重合，若三角尺的直角邊和量角器所在圓的半徑相等，點C是斜邊與量角器邊緣的交點，若B點的對應(yīng)刻度為，則C點的對應(yīng)刻度為_______．【答案】##82度【解析】【分析】本題考查圓心角與它所對弧關(guān)系，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理．關(guān)鍵是由等邊三角形的性質(zhì)得到．連接，由，，推出是等邊三角形，得到，由B點的對應(yīng)刻度為，即可求出D點的對應(yīng)刻度．【詳解】解：連接，如圖，在中，∵，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵B點的對應(yīng)刻度為，∴D點的對應(yīng)刻度是．故答案為：．13.如圖，小樹AB在路燈的照射下形成樹影BC．若樹高，樹影，樹與路燈的水平距離，則路燈的高度OP為_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)在同一燈光照射下任何物體的高度與其影子的比值不變建立等量關(guān)系即可求解．【詳解】解：在同一燈光照射下任何物體的高度與其影子的比值不變：∵當(dāng)樹高AB=2m，樹影BC=3m，且BP=4.5m∴，代入得：∴故答案為：．【點睛】本題考查利用相似三角形測高，掌握同一燈光照射下任何物體的高度與其影子的比值不變是解題關(guān)鍵．14.利用計算器進行計算時，按鍵順序如下：計算結(jié)果是_______．【答案】4【解析】【分析】本題考查了計算器的應(yīng)用和銳角三角函數(shù)值，根據(jù)計算器的按鍵順序，寫出計算的式子，然后求值，即可解題．【詳解】解；由題知，，故答案為：4．15.二次函數(shù)的圖象如圖所示，點為坐標(biāo)原點，點在軸的正半軸上，點、在函數(shù)圖象上，四邊形為菱形，且，則菱形的面積為______．【答案】【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．連接交于，根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，利用含度的直角三角形三邊的關(guān)系得，設(shè)，得到，利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征得，得出，，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：連接交于，如圖，四邊形為菱形，，，，，設(shè)，則，，把代入，得，解得（舍去），，，，∴，，∴菱形的面積為：，故答案為：．16.如圖，等邊三角形ABC的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為點D，E，F(xiàn)，若，則圖中陰影部分的面積為________．【答案】【解析】【分析】如圖所示，連接，設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓圓心為O，連接，證明都是的中位線，得到，則是等邊三角形，得到，，過點O作于G，則，，求出，在再根據(jù)進行求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接，設(shè)等邊三角形的內(nèi)切圓圓心為O，連接，∵是等邊三角形，∴，∵是的內(nèi)切圓，∴點O是三條角平分線的交點，∵等邊三角形的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為點，∴，∴點D為的中點，同理，E、F也是對應(yīng)邊的中點，∴都是的中位線，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，過點O作于G，則，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了正多邊形與圓，三角形的內(nèi)切圓，垂徑定理，三角形中位線定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，扇形面積，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共9個小題，滿分69分）17.計算：．【答案】【解析】【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值化簡，而后根據(jù)先乘除后加減，乘除法法則和加減法法則計算即可．本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的計算．熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值，實數(shù)的運算順序和法則，是解題的關(guān)鍵．【詳解】原式．18.如圖，正方形紙板在投影面α上的正投影為，其中邊與投影面平行，與投影面不平行，若正方形的邊長為4厘米，，求投影的面積．【答案】【解析】【分析】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．也考查了銳角三角函數(shù)和矩形的性質(zhì)．過B點作于H，如圖，利用求出的長，再利用平行投影的性質(zhì)得到、的長，然后根據(jù)矩形的面積公式計算即可．【詳解】解：過B點作于H．∵，∴．∵正方形紙板在投影面α上的正投影為，∴，，∴四邊形的面積19.某商店經(jīng)營兒童益智玩具，已知成批購進時的單價是20元，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價是30元時，月銷售量是230件，銷售單價每上漲1元，月銷售量就減少10件，但每件玩具售價不能高于40元，設(shè)每件玩具的銷售單價上漲了x元時（x為正整數(shù)），月銷售利潤為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件玩具的售價定為多少元時，月銷售利潤恰為2520元？【答案】（1）；且x為正整數(shù)；（2）售價定為32元．【解析】【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解一元二次方程，列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)利潤等于售價減去進價再乘以銷量，列出函數(shù)關(guān)系式，即可求解；（2）根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解．【小問1詳解】解：根據(jù)題意，得．自變量x的取值范圍是且x為正整數(shù)；【小問2詳解】解：當(dāng)時，得，解得，（不合題意，舍去）．當(dāng)時，（元）．答：每件玩具的售價定為32元時，月銷售利潤恰為2520元．20.如圖所示，甲、乙兩個帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個面積相等的扇形（兩個轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其它完全相同），轉(zhuǎn)盤甲上的數(shù)字分別是，轉(zhuǎn)盤乙上的數(shù)字分別是（指針恰好停留在分界線上，需重新轉(zhuǎn)一次），若同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤甲指針?biāo)傅臄?shù)字記為a，轉(zhuǎn)盤乙指針?biāo)傅臄?shù)字記為b，請用列表法求滿足的概率．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了列表法求解概率，先列出表格得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到滿足的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可．【詳解】解：同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針?biāo)傅臄?shù)字所有可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：857共有9種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，其中兩個轉(zhuǎn)盤指針?biāo)笖?shù)字之和為負數(shù)的有3種，∴同時轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤，指針?biāo)笖?shù)字之和為負數(shù)的概率為．即的概率為21.如圖，等邊的邊長為8，的半徑為，點O從A點開始，在的邊上沿方向運動．（1）從A點出發(fā)至回到A點，與的邊相切______次；（2）當(dāng)與邊相切時，求的長度．【答案】（1）6；（2）2或．【解析】【分析】（1）由移動過程可知，圓與各邊各相切2次；（2）與邊相切時，O分別在邊與邊上兩種情況：當(dāng)O在邊上，與邊相切時；當(dāng)O在邊上，即與邊相切時．【小問1詳解】從A點出發(fā)至回到A點，依次與相切、相切、相切、相切、相切、相切，∴從A點出發(fā)至回到A點，與的邊相切了6次．故答案為：6；【小問2詳解】與邊相切時，O分別在邊與邊上兩種情況．如圖所示，當(dāng)O在邊上，與邊相切時，切點為D，連接，則．∵，∴．∴，∴；當(dāng)O在邊上，即與邊相切時，切點為E，連接，則，∵，∴，∴，∴∴，綜上所述，當(dāng)與邊相切時，的長度為2或．【點睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和切線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22.某風(fēng)景區(qū)為提高旅游安全性，決定將到達景點步行臺階的傾角由改為，已知原臺階坡面長為5（所在地面為水平面），調(diào)整后的臺階坡面為．求：（1）調(diào)整后的臺階坡面會加長多少？（2）調(diào)整后的臺階約多占多長一段水平地面？（結(jié)果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）會加長（2）2.6【解析】【分析】本題主要考查了三角形函數(shù)的應(yīng)用，利用三角函數(shù)解正確解直角三角形是解題關(guān)鍵．（1）首先在中解得的長度，再在中解得的長度，然后由求解即可．（2）在和中，分別解得和的長度，然后由求解即可．【小問1詳解】解：由題意，得，，，，∴在中，，∴在中，，∴．答：調(diào)整后的臺階坡面會加長；【小問2詳解】在中，，在中，，∴．答：調(diào)整后的臺階約多占水平地面2.6．23.在一個不透明的口袋里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共4只，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1001502005008001000摸到白球的次數(shù)m73117152370604751摸到白球的頻率（1）請估計：當(dāng)n很大時，摸到白球的頻率將會接近____；隨機摸出一個球，摸到白球的概率是____，摸到黑球的概率是____；（2）試估算，口袋中黑球的個數(shù)____，白球的個數(shù)____；（3）從口袋中任意摸出一個球，記下顏色后放回口袋中攪拌均勻，再任意摸出一個球，請用樹狀圖的方法求兩次摸到的球的顏色正好相同的概率．【答案】（1），，；（2）1，3；（3）．【解析】【分析】（1）本題考查了由頻率估計概率，隨著n的增大，頻率逐漸穩(wěn)定在，即得到摸到白球的概率，從而得到摸到黑球的概率．（2）本題考查了概率的相關(guān)計算，根據(jù)概率乘以總數(shù)即可解題．（3）本題考查了用樹狀圖求概率，根據(jù)題意畫出樹狀圖，得到兩次摸到的球的顏色正好相同得情況數(shù)再除以總得情況種數(shù)，即可解題．【小問1詳解】解：由題知，摸到白球頻率逐漸接近：，則摸到白球的概率可看作：，摸到黑球的概率：．【小問2詳解】解：由（1）可知摸到白球的概率為摸到黑球的概率為，而小球總數(shù)為4，所以口袋中黑球的個數(shù)：，口袋中白球的個數(shù)：．【小問3詳解】解：畫樹狀圖，得：共有16種等可能的結(jié)果，其中兩次摸到的球的顏色正好相同的有10種情況，兩次摸到的球的顏色正好相同的概率為．24.如圖，在中，，以為直徑作交于點，過點作，垂足為，交延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，，求的值．【答案】24.證明見解析；25.．【解析】【分析】（）連接，，由等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)可得，從而有是的中位線，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求證；（）由，得，證明，由性質(zhì)可知即可求解；此題考查了三角形的中位線，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【小問1詳解】證明：連接，，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴，∵，∴是的中位線，∴，∵，∴，∵是半徑，∴是的