【數(shù)學(xué)】山東省威海市2024屆高三上學(xué)期期末試題（解析版）

山東省威海市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意得：或，，所以.故選：D2.已知向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】向量，，，.故選：B.3.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，得.所以.故選：A.4.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】.故選：C.5.若正實(shí)數(shù)，，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，因?yàn)闉檎龜?shù)，故可得；則，在定義域上是單調(diào)增函數(shù)，故，又，故.故選：D.6.已知函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且的兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)是，，則“，”是“，”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】由題意知，，對(duì)任意，而函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，由，，可得，，充分性成立，反之，，顯然可推出，，必要性成立，故“，”是“，”的充要條件，故選：C7.已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，且與雙曲線的右支交于點(diǎn)，若，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】連接，則，如圖所示：由，得，而點(diǎn)Q在雙曲線的右支上，則，因?yàn)椋?，即，則雙曲線的離心率為：，故選：D8.在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，，二面角為，則該四棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取中點(diǎn)為，連接，設(shè)其交點(diǎn)為，連接；因?yàn)?，故點(diǎn)在底面的投影必在直線上，過(guò)作底面的垂線，垂足為；連接；顯然，故二面角的平面角為，因?yàn)?，故三角形為直角三角形；在三角形中，，則，故為中點(diǎn)；過(guò)作的平行線，顯然其垂直于平面，則該棱錐外接球球心必在該垂線上，設(shè)其為，又，，，故點(diǎn)在面的下方；過(guò)作垂直于的延長(zhǎng)線，垂足為，連接，如下圖所示：設(shè)該四棱錐外接球半徑為，；在三角形中，，故，解得.故四棱錐外接球表面積為.故選：B.二、選擇題9.某學(xué)校從高一年級(jí)名學(xué)生中抽取部分學(xué)生某次考試的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（）A.B.估計(jì)高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分落在C.估計(jì)高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的第三四分位數(shù)為D.估計(jì)高一學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)為【答案】AC【解析】由頻率分布直方圖可知，故A正確；由A項(xiàng)結(jié)論可知平均數(shù)為，故B錯(cuò)誤；設(shè)第三四分位數(shù)為，易知前三個(gè)區(qū)間占比，前四個(gè)區(qū)間占比為，即第三四分位數(shù)位于，有，故C正確；由圖得區(qū)間占比，故可估計(jì)約有，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.在正方體中，，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A.存在，兩點(diǎn)，使得B.C.與所成的最大角為D.與平面所成的最大角的正弦值為【答案】ABD【解析】在正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，由在線段上，得，則，，由在線段上，得，則，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，即，而，則，A正確；對(duì)于B，，，，則，B正確；對(duì)于C，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與所成的角為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，設(shè)平面的法向量，則，令，得，，設(shè)與平面所成的角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ABD11.質(zhì)點(diǎn)和在以原點(diǎn)為圓心，半徑為上逆時(shí)針作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，同時(shí)出發(fā).的角速度大小為，起點(diǎn)為與軸正半軸的交點(diǎn)；的角速度大小為，起點(diǎn)為射線與的交點(diǎn).則當(dāng)與重合時(shí)，的坐標(biāo)可以為（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】依題意，點(diǎn)的起始位置，點(diǎn)的起始位置，則，設(shè)當(dāng)與重合時(shí)，用時(shí)間為，于是，即，則，所以，對(duì)于A，若，則或，解得，或，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，即，故B正確；對(duì)于C，若，則或，解得，或，因?yàn)?，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，即，故D正確；故選：BD.12.定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.若關(guān)于的方程的解構(gòu)成遞增數(shù)列，則（）A.B.若數(shù)列為等差數(shù)列，則公差為C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】因?yàn)椋灾芷谑?，，故A正確；當(dāng)時(shí)，令，則，即，時(shí)，，得或；時(shí)，，得；又當(dāng)時(shí)，.故關(guān)于對(duì)稱，故時(shí)，的根為或，則函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有個(gè)根.即當(dāng)，在的根為，此時(shí)數(shù)列公差為，，故B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)?shù)茫瑢?duì)稱軸為，此時(shí)；當(dāng)，對(duì)稱軸為，此時(shí)；故當(dāng)時(shí)，且則，故D正確.故選：ACD.三、填空題13.已知曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，因?yàn)榈男甭蕿椋瑒t，即，故．故答案為：.14.展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為________.【答案】80【解析】結(jié)合題意可得：所以的系數(shù)為.故答案為:.15.已知函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】根據(jù)題意，，解得，又，則；當(dāng)，，由題可得，解得；綜上所述，的取值范圍是.故答案為：.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，則的最小值為________.【答案】3【解析】如圖所示，易知，直線過(guò)定點(diǎn)，且Q在以為直徑的圓上，不妨設(shè)其圓心為E，顯然半徑，分別過(guò)E，P作準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，G，結(jié)合拋物線定義有，當(dāng)且僅當(dāng)均在線段上時(shí)取得等號(hào).故答案為：3四、解答題17.在中，角所對(duì)的邊分別為記的面積為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.解：（1）因?yàn)?，所以，可得，因?yàn)?，所以?）由余弦定理可知，即，因?yàn)椋?，所以，可得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以的最大值為18.如圖，在多面體中，四邊形為直角梯形，為矩形，平面平面，，，，，是的中點(diǎn)，與相交于點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面所成角的正弦值.（1）證明：在線段上取點(diǎn)使得，連接，，由，，可得，所以，所以且，又，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）解：因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又，所以，，兩兩垂?以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，在梯形中，，則，，，，所以，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得，令，則；設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，可得令，則.因?yàn)椋云矫媾c平面所成角的正弦值為.19.記數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）若為等差數(shù)列，求；（2）若，證明：.（1）解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，則當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由得，，所以，因?yàn)椋?，，因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，所以，所以，化簡(jiǎn)得，所以，所以.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，可得，因?yàn)?，可得，由?）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，，當(dāng)時(shí)也符合上式，所以.因?yàn)?，所?20.甲、乙、丙人做傳球練習(xí)，球首先由甲傳出，每個(gè)人得到球后都等可能地傳給其余人之一，設(shè)表示經(jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中的概率.（1）求，；（2）證明：是等比數(shù)列，并求；（3）已知：若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則．記前次（即從第次到第次傳球）中球傳到乙手中的次數(shù)為，求．（1）解：因?yàn)楸硎窘?jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中的概率，所以，第一次傳到乙手中的概率為：，第二次傳到乙手中的概率為：.（2）證明；記表示事件“經(jīng)過(guò)次傳遞后球傳到乙手中”，若發(fā)生，則一定不發(fā)生，所以，即，即，又，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即.（3）解：由題意，次傳球后球在乙手中的次數(shù)，服從兩點(diǎn)分布，且,所以由（2）可知，，則.21.已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作直線交于，兩點(diǎn)（異于，），當(dāng)垂直于軸時(shí)，.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線交直線于點(diǎn)，證明：，，三點(diǎn)共線.（1）解：如圖所示，由，可得，所以，即，因?yàn)椋?，解得，，所以的?biāo)準(zhǔn)方程為.（2）證明：由題意知，直線斜率不為，如圖所示設(shè)，，而，由，整理得，顯然，則,因?yàn)?，所以，?則，所以，又因?yàn)橛泄颤c(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線.22.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求的值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為，.（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，由于，所以與的函數(shù)值正負(fù)相反，又，所以是的極大值點(diǎn)，當(dāng)