高數(shù)課件平時習(xí)題課

無窮級數(shù)習(xí)題課一、基本練習(xí)題

二、經(jīng)典題型三、往年考研試題

1.判斷級數(shù)的斂散性，若收斂求其和

解（1）原級數(shù)而故原級數(shù)發(fā)散（2）而故原級數(shù)收斂，其和

2.用比較判別法判定下列級數(shù)的斂散性解因為所以又因為調(diào)和級數(shù)發(fā)散，故發(fā)散因為故原級數(shù)收斂。而幾何級數(shù)收斂，解因為故原級數(shù)收斂。而幾何級數(shù)收斂，說明

此題利用根值判別法更方便？？解因為故原級數(shù)收斂。而級數(shù)收斂，解

3.用比值判別法判定下列級數(shù)的斂散性解由于故原級數(shù)收斂。解由于故原級數(shù)收斂。一般項中含有階乘時要用比值判別法討論級數(shù)的斂散性解由于故原級數(shù)發(fā)散。解由于故原級數(shù)收斂。

4.用根值判別法判定下列級數(shù)的斂散性解由于故原級數(shù)收斂。解由于故原級數(shù)收斂。

5.判定下列級數(shù)哪些是絕對收斂，哪些是條件收斂解由于故原級數(shù)絕對收斂。而收斂解故原級數(shù)絕對收斂。各項取絕對值得由于都收斂，所以收斂解故原級數(shù)絕對收斂。各項取絕對值得級數(shù)由比值判別法知級數(shù)收斂所以收斂，？

6.求下列冪級數(shù)的收斂半徑和收斂域解收斂半徑故收斂域為當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)收斂解收斂半徑當(dāng)時，發(fā)散，收斂，所以級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，收斂，收斂，所以級數(shù)收斂故收斂域為解收斂半徑當(dāng)時，收斂，發(fā)散，方法1所以級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，收斂，發(fā)散，所以級數(shù)發(fā)散故收斂域為解收斂半徑先討論級數(shù)方法2利用冪級數(shù)的性質(zhì)討論收斂半徑再討論級數(shù)所以級數(shù)收斂半徑又因為在級數(shù)的收斂區(qū)間內(nèi)，所以級數(shù)收斂，故只需討論級數(shù)即可，方法同1。解利用比值判別法級數(shù)收斂；此級數(shù)缺奇數(shù)冪項，不能直接用公式求半徑當(dāng)即時，所以收斂半徑為級數(shù)發(fā)散當(dāng)即時，當(dāng)時，級數(shù)為發(fā)散故級數(shù)的收斂域為解利用比值判別法此級數(shù)是非標(biāo)準(zhǔn)型級數(shù)且缺奇數(shù)冪項討論級數(shù)令，所以收斂半徑為級數(shù)收斂；當(dāng)即時，當(dāng)時，級數(shù)為發(fā)散級數(shù)發(fā)散當(dāng)即時，故級數(shù)的收斂域為又因為當(dāng)時，原級數(shù)收斂，故原級數(shù)的收斂域為解得解收斂半徑當(dāng)時，收斂；令，討論級數(shù)注意：此處要令若令則原級數(shù)的收斂半徑與新級數(shù)的收斂半徑會不相同故原級數(shù)的收斂域為當(dāng)時，發(fā)散又，所以級數(shù)的收斂域為當(dāng)時，原級數(shù)收斂解得

7.求下列級數(shù)的收斂域，并求和函數(shù)解令兩邊積分收斂半徑當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，故收斂域為第七章無窮級數(shù)故令兩邊積分解收斂半徑當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時，級數(shù)收斂收斂域為。還原變量，得再兩邊積分令兩邊求導(dǎo)故＝級數(shù)，并確定收斂域

8.利用已知展開式把下列函數(shù)展開為的冪解又因為故解又因為故冪級數(shù)，并確定收斂域

9.利用已知展開式把下列函數(shù)展開為的解又因為故解

10.證明下列級數(shù)收斂，并求和解因為故級數(shù)收斂，且和為。解因為故級數(shù)收斂，且和為。

11.判定下列級數(shù)的斂散性解利用比值判別法故級數(shù)收斂。級數(shù)一般項中含有時，一般要用比值判別法判斷斂散性解利用比值判別法故級數(shù)發(fā)散。解利用比值判別法故級數(shù)收斂。解利用根值判別法故級數(shù)收斂。級數(shù)一般項中含有時，一般要用根值判別法判斷斂散性解原級數(shù)發(fā)散。知，所以級數(shù)發(fā)散，由比較判別法12.判定下列級數(shù)的斂散性解故原級數(shù)收斂。思考：是否還有其它方法？比值、根值？而級數(shù)收斂，解故原級數(shù)收斂。對級數(shù)所以收斂，解而級數(shù)僅當(dāng)收斂，故其它情況均發(fā)散。原級數(shù)當(dāng)時收斂，

13.求下列函數(shù)項級數(shù)的收斂域解收斂半徑令，則當(dāng)時級數(shù)發(fā)散級數(shù)的收斂域為則故原級數(shù)收斂域為。解收斂半徑令則即級數(shù)的收斂域為解得故原級數(shù)收斂域為。當(dāng)時級數(shù)收斂；當(dāng)時級數(shù)發(fā)散解收斂半徑令則即故原級數(shù)收斂域為。級數(shù)的收斂域為當(dāng)時級數(shù)均發(fā)散解得解收斂半徑令則當(dāng)時級數(shù)均發(fā)散故原級數(shù)收斂域為即級數(shù)的收斂域為解得解收斂半徑令則當(dāng)時級數(shù)均收斂故原級數(shù)收斂域為即級數(shù)的收斂域為解得14.求下列冪級數(shù)的收斂域解收斂半徑當(dāng)時，令，當(dāng)時，考慮級數(shù)所以級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，發(fā)散；當(dāng)時，兩級數(shù)均收斂，原級數(shù)的收斂域為收斂當(dāng)時，所以級數(shù)收斂域為解收斂半徑當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，收斂域為解考慮兩個級數(shù)和收斂半徑分別為和所以原級數(shù)的收斂半徑為收斂當(dāng)時，Why?所以原級數(shù)收斂收斂當(dāng)時，收斂收斂故原級數(shù)收斂域為。

15.求下列冪級數(shù)的和函數(shù)解由于設(shè)收斂域為兩式相加得即解由于故收斂域為當(dāng)級數(shù)均收斂，令逐項求導(dǎo)再積分得考研真題部分?jǐn)?，?012）解級數(shù)條件收斂，則的范圍為（）絕對收斂16.已知級數(shù)絕對收條件收斂故選域及和函數(shù)。（2012）解17.求冪級數(shù)的收斂時，級數(shù)發(fā)散，故收斂域為級數(shù)收斂；當(dāng)時，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，設(shè)故級數(shù)的和函數(shù)為（2011）解則冪級數(shù)18.設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，的收斂域為（）部分和數(shù)列無界發(fā)散因此當(dāng)時，收斂；級數(shù)收斂，的收斂域為，是交錯級數(shù)，

當(dāng)時，條件和萊布尼茨定理知，由已知由阿貝爾定理得，則原級級數(shù)的收斂域為，故選。的是（）（2011）19.設(shè)是數(shù)列，則下列結(jié)論正確若收斂，則收斂則收斂若收斂，若收斂，則收斂則收斂若收斂，解所以收斂。結(jié)論的逆命題不一定正確，故選。若收斂，則任意加括號后所得的級數(shù)一定收斂，但此和函數(shù)。（2010）解20.求冪級數(shù)的收斂域及時，級數(shù)收斂，級數(shù)收斂；當(dāng)時，當(dāng)時，級數(shù)發(fā)散，故收斂域為設(shè)（2009）解半徑為

21.冪級數(shù)的收斂

22.已知連續(xù)復(fù)利為0.05，現(xiàn)存入（