2024年高考數(shù)學(xué)優(yōu)等生培優(yōu)第40講 不等式的性質(zhì)與解法-解析版94

第40講不等式的性質(zhì)與解法通關(guān)一、文字語(yǔ)言與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的轉(zhuǎn)換文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)文字語(yǔ)言數(shù)學(xué)符號(hào)大于＞至多≤小于＜至少≥大于等于≥不少于≥小于等于≤不多于≤通關(guān)二、不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)別名內(nèi)容注意性質(zhì)1對(duì)稱性a＞bb＜a;a＜bb＞a可逆性質(zhì)2傳遞性a＞b,b＞ca＞c;a＜b,b＜ca＜c同向性質(zhì)3可加性a＞ba＋c＞b＋c可逆性質(zhì)4可乘性a＞b,c＞0ac＞bc;a＞b,c＜0ac＜bcc的符號(hào)性質(zhì)3推論1稱項(xiàng)法則a＋b＞ca＞c－b可逆性質(zhì)3推論2同向可加性a＞b,c＞da＋c＞b＋d同向性質(zhì)4推論1同向同正可乘性a＞b＞0,c＞b＞0ac＞bd同向，同正性質(zhì)4推論2可乘方性同正性質(zhì)4推論3可開方性同正性質(zhì)4推論4倒數(shù)法則同號(hào)結(jié)論一、不等式的性質(zhì)1.加法法則(同向不等式可加性):a＞ba＋c＞b＋c(c∈R).2.乘法法則:若a＞b,則3.除法法則:若a＞b且c≠0,則【例1】若實(shí)數(shù)a,b滿足a＞b,則下列不等式一定成立的是() A. B. C. D.【答案】D【解析】,因?yàn)閍＞b，a－b＞0，，所以.故選D.【變式】當(dāng)a＞b＞c時(shí)，下列不等式恒成立的是(). A.ab＞ac B.a|c|＞b|c| C.|ab|＜|bc| D.(a－b)|c－b|＞0【答案】D【解析】A選項(xiàng),必須滿足a＞0,故不恒成立;B選項(xiàng),|c|＝0時(shí),結(jié)論不成立;C選項(xiàng),b＝0時(shí),結(jié)論顯然不成立;D選項(xiàng),因?yàn)閍＞b＞c,所以a－b＞0,又因?yàn)閨c－b|＞0,所以D選項(xiàng)正確.故選D.結(jié)論二、比較大小1.作差法:任意兩個(gè)代數(shù)式a，b可以作差a－b后比較a－b與0的關(guān)系,進(jìn)一步比較a與b的大小.①a－b＞0?a＞b;②a－b＜0?a＜b;③a－b＝0?a＝b.2.作商法:任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式a，b可以作商a÷b后比較與1的關(guān)系,進(jìn)一步比較a與b的大小.①;②;③.若代數(shù)式a，b都為負(fù)數(shù),也可以用作商法.3.中間量法:若兩個(gè)代數(shù)式a，b不容易直接判斷大小,可引入第三個(gè)量c分別與a，b作比較,若滿足a＞c且c＞b,則a＞b.第三個(gè)量就是中間量.這種方法就是中間量法,其實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性.一般選擇0或1為中間量.【例2】若a＞b＞0,則下列不等式中一定成立的是(). A． B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閍＞b＞0，所以，所以，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)椋疆?dāng)a＞b＞0，且ab＜1時(shí)，,此時(shí)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閍＞b＞0，所＝＝，C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)閍＞b＞0，所以－＝＝＜0，，D選項(xiàng)正確.故選D.【變式】設(shè)實(shí)數(shù)a,b滿足0＜a＜b,且a＋b＝1,則下列四數(shù)中最大的是(). A. B. C.2ab D.a【答案】B【解析】由已知有b＞＞a＞0,且＞2ab,排除C、D選項(xiàng).作差比較A、B選項(xiàng).由＝＝又ab＜,即ab＜,所以1－4ab＞0,所以＞故選B.結(jié)論三、一元二次不等式的圖象一元二次方程的根有兩個(gè)相異的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根沒有實(shí)數(shù)根的解集R的解集【例3】不等式的解集為______________.【答案】【解析】不等式化為，解得.所以不等式的解集為.【變式】不等式的解集為(). A. B.或 C.或 D.【答案】【解析】因?yàn)?所以,即,解得或,所以不等式的解集為或.故選B.結(jié)論四、分式不等式1.一般地,解分式不等式的基本思想是化分式不等式為整式不等式或整式不等式組,即（1）;（2）;（3)(4)2.穿根法步驟(1)將f(x)最高次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù);(2)將f(x)分解為若干個(gè)一次因式或二次不可分解的因式的積,然后求出f(x)＝0的解,并在數(shù)軸上標(biāo)出;(3)自數(shù)軸正方向起,用曲線從右至左、自上而下依次從各解穿過(guò)數(shù)軸,奇穿偶不穿;(4)記數(shù)軸上方為正,下方為負(fù),根據(jù)不等號(hào)寫出解集.【例4】不等式的解集為(). A.{x|x＜－2或x＞3} B.{x|x＜–2或1＜x＜3} C.{x|－2＜x＜1或x＞3} D.{x|－2＜x＜1或1＜x＜3|【答案】C【解析】.利用數(shù)軸穿根法解得－2＜x＜1或x＞3.故選C.【變式】不等式的解集是(). A. B. C. D.【答案】D【解析】,于是且x≠1.故選D.結(jié)論五、絕對(duì)值不等式1.|f(x)|＜a(a＞0)?－a＜f(x)＜a;2.|f(x)|＞a(a＞0)?f(x)＜－a或f(x)＞a;3.|f(x)|＜g(x)?－g(x)＜f(x)＜g(x);4.|f(x)|＞g(x)?f(x)＜－g(x)或f(x)＞g(x).【例5】若不等式|x－a|＜1的解集為{x|1＜x＜3},則實(shí)數(shù)α的值為_______.【答案】2【解析】因?yàn)閨x－a|＜1,所以－1＜x－a＜1,所以a－1＜x＜a＋1,所以不等式|x–a|＜1的解集為{x|a－1＜x＜a＋1}.因?yàn)椴坏仁絴x－a|＜1的解集為{x|1＜x＜3},所以a－1＝1且a＋1＝3,