13.2.4 平面與平面的位置關(guān)系 2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊

高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊第13章立體幾何初步13.2基本圖形位置關(guān)系13.2.4平面與平面的位置關(guān)系第1課時(shí)兩平面平行課標(biāo)闡釋1.理解并掌握平面與平面平行的判定定理.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解并掌握平面與平面平行的性質(zhì)定理.(數(shù)學(xué)抽象)3.能夠應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明相關(guān)問題.(直觀想象、邏輯推理)4.了解兩個(gè)平行平面間的距離的概念.(數(shù)學(xué)抽象)思維脈絡(luò)【激趣誘思】《老子》中說:“上善若水,水善利萬物而不爭.”一滴水,可方可圓,澤潤萬物;一個(gè)人,能方能圓,方圓相濟(jì),便可活得豁達(dá)、圓滿.“方中有圓,圓中有方”是大自然的規(guī)律,也是為人處世的準(zhǔn)則.“天行健,君子以自強(qiáng)不息;地勢坤,君子以厚德載物.”在這里,圓是天地周而復(fù)始運(yùn)轉(zhuǎn)不息的象征,方是大地之曠遠(yuǎn)寬厚穩(wěn)重的象征.我國古代的錢幣,外部是圓形,內(nèi)部是方孔,看似樸實(shí)無華,但蘊(yùn)含著古人智慧和人生哲理.我們學(xué)習(xí)過的旋轉(zhuǎn)體圓柱就蘊(yùn)含著長方形的截面,它是如何得到的?能否用數(shù)學(xué)原理解釋截面的形狀?【知識梳理】

一、平面平行和平面相交的定義1.兩個(gè)平面互相平行的定義:如果兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),那么稱這兩個(gè)平面互相平行.2.兩個(gè)平面相交的定義:如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么由基本事實(shí)3可知,它們相交于經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)的一條直線,此時(shí)稱這兩個(gè)平面相交.微思考兩個(gè)平面平行,那么兩個(gè)平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎?提示

不一定.因?yàn)閮蓚€(gè)平面平行,所以分別在這兩個(gè)平面內(nèi)的任意兩條直線無公共點(diǎn),它們平行或異面.二、兩個(gè)平面的位置關(guān)系

位置關(guān)系兩平面平行兩平面相交公共點(diǎn)沒有公共點(diǎn)有一條公共直線符號表示α∥βα∩β=a圖形表示

微練習(xí)如果空間的三個(gè)平面兩兩相交,則下列判斷正確的是

(填序號).

①不可能只有兩條交線;②必相交于一點(diǎn);③必相交于一條直線;④必相交于三條平行線.答案

①解析

空間的三個(gè)平面兩兩相交,可能只有一條交線,也可能有三條交線,這三條交線可能交于一點(diǎn).三、兩個(gè)平面平行的判定定理

文字語言如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,那么這兩個(gè)平面平行

兩條相交直線不能改成兩條直線符號語言a?α,b?α,a∩b=A,a∥β,b∥β

?α∥β圖形語言

名師點(diǎn)析

定理中,要緊緊抓住“兩條”“相交”“平行”這六個(gè)字,否則條件不充分,結(jié)論不成立.微判斷

(1)若一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.(

)(2)若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行.(

)(3)若α∥β,β∥γ,則α∥γ.(

)(4)若a?α,α∥β,則a∥β.(

)×√√√微練習(xí)在正方體EFGH-E1F1G1H1中,下列四對截面彼此平行的一對是(

)A.平面E1FG1與平面EGH1B.平面FHG1與平面F1H1GC.平面F1H1H與平面FHE1D.平面E1HG1與平面EH1G答案

A解析

如圖,∵EG∥E1G1,EG?平面E1FG1,E1G1?平面E1FG1,∴EG∥平面E1FG1.又G1F∥H1E,同理可證H1E∥平面E1FG1,又H1E∩EG=E,H1E,EG?平面EGH1,∴平面E1FG1∥平面EGH1.其他選項(xiàng)均不平行.四、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

文字語言兩個(gè)平面平行,如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交,那么兩條交線平行符號語言α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b圖形語言

名師點(diǎn)析

(1)定理成立的條件:兩平面平行,第三個(gè)平面與這兩個(gè)平面都相交.(2)定理的實(shí)質(zhì)——面面平行?線線平行,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與判定定理交替使用,可實(shí)現(xiàn)線面、線線、面面平行間的相互轉(zhuǎn)化.微練習(xí)(1)已知長方體ABCD-A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',則EF與E'F'的位置關(guān)系是(

)A.平行

B.相交

C.異面

D.不確定(2)若平面α∥平面β,直線a?α,點(diǎn)M∈β,過點(diǎn)M的所有直線中(

)A.不一定存在與a平行的直線 B.只有兩條與a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線 D.有且只有一條與a平行的直線答案

(1)A

(2)D解析

(1)由面面平行的性質(zhì)定理易得.(2)由于α∥β,a?α,M∈β,過M有且只有一條直線與a平行,故D項(xiàng)正確.五、公垂線與公垂線段1.與兩個(gè)平行平面都垂直的直線,叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線,它夾在這兩個(gè)平行平面間的線段,叫作這兩個(gè)平行平面的公垂線段.2.兩個(gè)平行平面的公垂線段都相等.公垂線段的長度叫作兩個(gè)平行平面間的距離.微判斷

(1)夾在兩平行平面間的平行線段相等.(

)(2)若平面α∥平面β,l?平面β,m?平面α,則直線l與m的距離就是平面α∥平面β間的距離.(

)√×探究一平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用例1如圖,在四棱錐P-ABCD中,E,F,G分別是PC,PD,BC的中點(diǎn),DC∥AB,求證:平面PAB∥平面EFG.證明

∵E,G分別是PC,BC的中點(diǎn),∴EG∥PB,又EG?平面PAB,PB?平面PAB,∴EG∥平面PAB.∵E,F分別是PC,PD的中點(diǎn),∴EF∥CD,又AB∥CD,∴EF∥AB,∵EF?平面PAB,AB?平面PAB,∴EF∥平面PAB,又EF∩EG=E,EF,EG?平面EFG,∴平面EFG∥平面PAB.反思感悟

證明兩個(gè)平面平行的方法證明兩個(gè)平面平行,可以用定義,也可以用判定定理.但用定義證明時(shí),需說明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn),這一點(diǎn)不容易做到(可用反證法),所以通常用判定定理證明兩個(gè)平面平行,其步驟如下:變式訓(xùn)練1如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分別是AB,AC,A1B1,A1C1的中點(diǎn).求證:(1)B,C,H,G四點(diǎn)共面;(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明

(1)∵GH是△A1B1C1的中位線,∴GH∥B1C1.又B1C1∥BC,∴GH∥BC,∴B,C,H,G四點(diǎn)共面.(2)∵E,F分別為AB,AC的中點(diǎn),∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG,BC?平面BCHG,∴EF∥平面BCHG.∵A1G∥EB且A1G=EB,∴四邊形A1EBG是平行四邊形,∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG,GB?平面BCHG,∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF=E,A1E,EF?平面EFA1,∴平面EFA1∥平面BCHG.探究二平面與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用例2如圖,已知平面α∥平面β,點(diǎn)P是平面α,β外的一點(diǎn)(不在α與β之間),直線PB,PD分別與α,β相交于點(diǎn)A,B和C,D.(1)求證:AC∥BD;(2)已知PA=4,AB=5,PC=3,求PD的長.分析(1)由面面平行的性質(zhì)定理直接推證;(2)先由三角形相似得對應(yīng)線段成比例,再求值.(1)證明

∵PB∩PD=P,∴直線PB和PD確定一個(gè)平面γ,則α∩γ=AC,β∩γ=BD.又α∥β,∴AC∥BD.(2)解

由(1)得AC∥BD,2.空間中的計(jì)算問題一般利用有關(guān)判定或性質(zhì)定理將原問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,本例就是利用面面平行的性質(zhì)定理將三維降成二維,最后利用平面幾何中的比例性質(zhì)解決的,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用.延伸探究

在本例中,若P在α與β之間,在第(2)問條件下求CD的長.解

如圖,∵PB∩PC=P,∴PB,PC確定平面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD.又α∥β,∴AC∥BD,∴△PAC∽△PBD,探究三線面平行、面面平行的綜合問題例3如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中點(diǎn),在棱AB上是否存在一點(diǎn)E,使DE∥平面AB1C1,如果存在,請指出并證明你的結(jié)論;如果不存在,請說明理由.分析先找出過DE與平面AB1C1平行的平面,可直接找出過D,E與△AB1C1的三邊平行的直線,進(jìn)而確定平面,然后確定其與棱AB的交點(diǎn),即可找出E點(diǎn)位置,然后利用定理進(jìn)行證明即可.解

當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí),DE∥平面AB1C1.證明如下,如圖所示,取BB1的中點(diǎn)F,連接EF,FD,DE,AC1.因?yàn)镈,E,F分別為CC1,AB,BB1的中點(diǎn),所以EF∥AB1.因?yàn)锳B1?平面AB1C1,EF?平面AB1C1,所以EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.因?yàn)镋F∩FD=F,EF?平面EFD,FD?平面EFD,所以平面EFD∥平面AB1C1.因?yàn)镈E?平面EFD,所以DE∥平面AB1C1.反思感悟

1.證明直線與平面平行,除了定義法、判定定理法以外,還可以用兩平面平行的性質(zhì),也就是說為了證明直線與平面平行,也可以先證明兩平面平行,再由兩平面平行的性質(zhì)得到線面平行.2.空間中線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化如下:變式訓(xùn)練2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是AB,A1D1的中點(diǎn).判斷直線MN與平面BB1D1D的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.解

MN∥平面BB1D1D,證明如下,取AD中點(diǎn)E,連接ME,NE,根據(jù)題知ME∥BD,ME?平面BDD1B1,BD?平面BB1D1D,所以ME∥平面BB1D1D.又因?yàn)镹E∥DD1,同理可證NE∥平面BB1D1D,NE∩EM=E,所以平面EMN∥平面BB1D1D,因?yàn)镸N?平面EMN,故MN∥平面BB1D1D.

素養(yǎng)形成一題多解典例

已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不在同一個(gè)平面內(nèi),P,Q分別是對角線AE,BD的中點(diǎn).求證:PQ∥平面CBE.證明

方法一

如圖①,取AB的中點(diǎn)G,連接PG和GQ.因?yàn)镻是AE的中點(diǎn),所以PG∥EB.又PG?平面CBE,EB?平面CBE,所以PG∥平面CBE.同理可證GQ∥平面CBE.又PG∩GQ=G,PG?平面PGQ,GQ?平面PGQ,所以平面PGQ∥平面CBE.因?yàn)镻Q?平面PGQ,PQ?平面CBE,所以PQ∥平面CBE.方法二

如圖②,連接AC,則Q∈AC,且Q是AC的中點(diǎn).因?yàn)镻是AE的中點(diǎn),所以PQ∥EC.因?yàn)镻Q?平面CBE,EC?平面CBE,所以PQ∥平面CBE.方法點(diǎn)睛

線線、線面、面面間的平行關(guān)系的判定和性質(zhì),常常是通過線線關(guān)系、線面關(guān)系、面面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化來表達(dá)的,因此在證明有關(guān)問題時(shí),應(yīng)抓住“轉(zhuǎn)化”這種思想方法來達(dá)到論證的目的.高中數(shù)學(xué)蘇教版必修第二冊第13章立體幾何初步13.2基本圖形位置關(guān)系13.2.4平面與平面的位置關(guān)系第2課時(shí)兩平面垂直課標(biāo)闡釋1.了解二面角及其平面角的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.掌握兩個(gè)平面互相垂直的定義和畫法.(直觀想象、數(shù)學(xué)抽象)3.理解并掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,并能解決有關(guān)面面垂直的問題.(邏輯推理、直觀想象)思維脈絡(luò)【激趣誘思】現(xiàn)在建筑師傅在砌墻時(shí),一般不用傳統(tǒng)的鉛錘,而是采用砌墻紅外線儀.該儀器操作方便,測量精確,堪稱砌墻神器.如圖所示,砌墻時(shí),將該儀器吊放在屋頂,調(diào)整好位置和角度,打開儀器后會自動(dòng)產(chǎn)生橫線和豎線,建筑師傅只需順著光線操作就能保證墻是垂直于地面的.你知道其中的數(shù)學(xué)原理嗎?【知識梳理】

一、二面角1.一般地,一條直線和由這條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫作二面角,這條直線叫作二面角的棱;每個(gè)半平面叫作二面角的面.2.畫法:3.記法:二面角

α-AB-β或二面角

α-l-β.4.二面角的平面角:(1)若有①O∈l;②OA?α,OB?β;③OA⊥l,OB⊥l,則二面角α-l-β的平面角是∠AOB.(2)二面角α的大小范圍是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫作直二面角.微思考(1)平面幾何中,“角”是如何定義的?提示

從一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫作角.(2)如圖,觀察教室內(nèi)門與墻面,當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時(shí),門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀.①數(shù)學(xué)上,用哪個(gè)概念來描述門所在的平面與墻面所形成的角?提示

二面角.②平時(shí),我們常說“把門開大一點(diǎn)”,在這里指的是哪個(gè)角大一點(diǎn)?提示

二面角的平面角.微練習(xí)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AB-D的平面角的大小是

.

答案

45°解析

∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥AD,AB⊥AD1,∴∠D1AD為二面角D1-AB-D的平面角.易知∠D1AD=45°.微判斷

(1)異面直線a,b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直,則a,b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ).(

)(2)二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒有關(guān)系.(

)√√二、平面與平面垂直1.平面與平面垂直的定義一般地,如果兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角,那么就說這兩個(gè)平面互相垂直.2.平面與平面垂直的判定定理

文字語言如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,那么這兩個(gè)平面垂直符號語言l⊥α,l?β?α⊥β圖形語言

3.平面與平面垂直的性質(zhì)定理

文字語言兩個(gè)平面垂直,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線,那么這條直線與另一個(gè)平面垂直符號語言α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β圖形語言

名師點(diǎn)析

(1)判定定理可簡述為“線面垂直,則面面垂直”.因此要證明平面與平面垂直,可轉(zhuǎn)化為尋找平面的垂線,即證線面垂直.(2)兩個(gè)平面互相垂直的判定定理不僅是判定兩個(gè)平面互相垂直的依據(jù),而且是找出與一個(gè)平面垂直的另一個(gè)平面的依據(jù).(3)此定理有一個(gè)推論:a∥α,a⊥β

?α⊥β.在做選擇、填空題時(shí)可直接應(yīng)用.微思考(1)如何畫兩個(gè)相互垂直的平面?提示

兩個(gè)互相垂直的平面通常畫成如圖中的兩種樣子,此時(shí),把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直.(2)在如圖所示的長方體中,AA'與平面ABCD有什么位置關(guān)系?AA'在長方體的哪幾個(gè)面內(nèi)?這幾個(gè)面與底面ABCD有什么位置關(guān)系?提示

AA'與平面ABCD垂直;AA'在平面AA'B'B內(nèi),也在平面AA'D'D內(nèi),這兩個(gè)平面都與底面垂直.微練習(xí)(1)在三棱錐P-ABC中,已知PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,如圖,則在三棱錐P-ABC的四個(gè)面中,互相垂直的面有

對.

答案

3解析

平面PAB⊥平面PAC,平面PAB⊥平面PBC,平面PAC⊥平面PBC.(2)已知長方體ABCD-A1B1C1D1,在平面AB1上任取一點(diǎn)M,作ME⊥AB于E,則(

)A.ME⊥平面AC

B.ME?平面ACC.ME∥平面AC D.以上都有可能答案

A解析

由于ME?平面AB1,平面AB1∩平面AC=AB,且平面AB1⊥平面AC,ME⊥AB,則ME⊥平面AC.微判斷

(1)已知兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線.(

)(2)已知兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無數(shù)條直線.(

)(3)已知兩個(gè)平面垂直,則過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線,則此垂線必垂直于另一個(gè)平面.(

)×√×探究一二面角的求法例1如圖,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,(1)二面角D'-AB-D的大小為

.

(2)二面角A'-AB-D的大小為

.

答案

(1)45°

(2)90°解析

(1)在正方體ABCD-A'B'C'D'中,AB⊥平面AD',所以AB⊥AD',AB⊥AD,因此∠D'AD為二面角D'-AB-D的平面角.在Rt△D'DA中,∠D'AD=45°,所以二面角D'-AB-D的大小為45°.(2)因?yàn)锳B⊥平面AD',所以AB⊥AD,AB⊥AA',因此∠A'AD為二面角A'-AB-D的平面角,又∠A'AD=90°,所以二面角A'-AB-D的大小為90°.要點(diǎn)筆記

在二面角棱上找一特殊點(diǎn),在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線,兩射線夾角即為所求二面角的平面角.變式訓(xùn)練1如圖,AB是☉O的直徑,PA垂直于☉O所在的平面,C是圓周上的一點(diǎn),且PA=AC,求二面角P-BC-A的大小.解

由已知PA⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴PA⊥BC.∵AB是☉O的直徑,且點(diǎn)C在圓周上,∴AC⊥BC.又PA∩AC=A,PA,AC?平面PAC,∴BC⊥平面PAC.又PC?平面PAC,∴PC⊥BC.又BC是二面角P-BC-A的棱,∴∠PCA是二面角P-BC-A的平面角.由PA=AC知△PAC是等腰直角三角形,∴∠PCA=45°,即二面角P-BC-A的大小是45°.探究二平面與平面垂直的判定例2如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PC⊥平面ABCD,求證:平面PDB⊥平面PAC.證明

∵PC⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PC⊥BD.∵四邊形ABCD為菱形,∴AC⊥BD.又PC∩AC=C,PC,AC?平面PAC,∴BD⊥平面PAC.∵BD?平面PBD,∴平面PDB⊥平面PAC.要點(diǎn)筆記

證明平面與平面垂直的方法(1)利用定義:證明二面角的平面角為直角.(2)利用面面垂直的判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直.變式訓(xùn)練2如圖,已知三棱錐S-ABC中,側(cè)棱SA=SB=SC,∠ABC=90°,求證:平面ABC⊥平面ASC.證明

作SH⊥AC交AC于點(diǎn)H,連接BH,∵SA=SC,∴AH=HC.在Rt△ABC中,H是AC的中點(diǎn),∴BH=AC=AH.又SH=SH,SA=SB,∴△SAH≌△SBH(SSS),∴SH⊥BH.又AC∩BH=H,AC,BH?平面ABC,∴SH⊥平面ABC.又SH?平面ASC,∴平面ABC⊥平面ASC.探究三平面與平面垂直的性質(zhì)定理例3如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,平面PAB⊥平面PBC.求證:BC⊥AB.證明

如圖,在平面PAB內(nèi),作AD⊥PB于點(diǎn)D.∵平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,AD?平面PAB,∴