北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項講練 專題6.7 反比例函數(shù)與面積問題（知識講解）

專題6.7反比例函數(shù)與面積問題（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能根據(jù)反比例函數(shù)圖象求出其面積，或據(jù)面積求出解析式；．2.掌握并運用K值的幾何意義解決問題；．3.充分利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題?！疽c梳理】反比例函數(shù)()中的比例系數(shù)的幾何意義過雙曲線()上任意一點作軸、軸的垂線，所得矩形的面積為.過雙曲線()上任意一點作一坐標(biāo)軸的垂線，連接該點和原點，所得三角形的面積為.特別說明：只要函數(shù)式已經(jīng)確定，不論圖象上點的位置如何變化，這一點與兩坐標(biāo)軸的垂線和兩坐標(biāo)軸圍成的面積始終是不變的.【典型例題】類型一、已知比例系數(shù)求特殊四邊形面積1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為矩形，點B在函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象上，邊AB與函數(shù)y2＝（x＞0）的圖象交于點D．求四邊形ODBC的面積．【答案】3【分析】根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義可知：△AOD的面積為1，矩形ABCO的面積為4，從而可以求出陰影部分ODBC的面積．解：∵點D是函數(shù)y2＝（x＞0）圖象上的一點，∴△AOD的面積為，∵點B在函數(shù)y1＝（x＞0）的圖象上，四邊形ABCO為矩形，∴矩形ABCO的面積為4，∴陰影部分ODBC的面積＝矩形ABCO的面積-△AOD的面積＝4-1＝3，故選：B．【點撥】本題考查反比例函數(shù)的幾何意義，解題的關(guān)鍵是正確理解的幾何意義．舉一反三：【變式1】如圖，正比例函數(shù)y＝kx(k>0)與反比例函數(shù)y＝的圖象相交于A，C兩點，過點A作x軸的垂線交x軸于點B，連接BC，則的面積等于多少？【答案】4【分析】由于點A、C位于反比例函數(shù)圖象上且關(guān)于原點對稱，則S△OBA=S△OBC，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義作答即可．解：因為過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S是個定值，即S=|k|．所以△ABC的面積等于2×|k|=|k|=4．【點撥】主要考查了反比例函數(shù)y＝中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為|k|，是經(jīng)?？疾榈囊粋€知識點；這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，做此類題一定要正確理解k的幾何意義．圖象上的點與原點所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關(guān)系即S=|k|．【變式2】已知，反比例函數(shù)和的部分圖象如圖所示，點P在上，PC垂直x軸于點C，交于點A（2，1），PD垂直y軸于點D，交于點B，連接OA，OB．（1）求B點和P點的坐標(biāo)；（2）求四邊形AOBP的面積．【答案】（1）B點的坐標(biāo)為（，3），P點的坐標(biāo)為（2，3）；（3）4【分析】（1）由題意可知，P點的橫坐標(biāo)與A（2，1）相同，縱坐標(biāo)與B相同，分別代入反比例解析式，得到點P和點B的坐標(biāo)；（2）由題意，利用矩形的面積減去兩個三角形的面積，即可得到答案．解：（1）由題意知，P點的橫坐標(biāo)與A（2，1）相同，縱坐標(biāo)與B相同，∵P點在上，把代入得，∴P點的坐標(biāo)為（2，3），B點的縱坐標(biāo)為3．又∵B點在上，把代入得，∴B點的坐標(biāo)為（，3），P點的坐標(biāo)為（2，3）．（2）如圖，由（1）知OC=2，OD=3，AC=1，BD=，用S表示圖形的面積，由題意得：，，，=4．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，以及利用間接法求四邊形的面積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解題．類型二、已知面積求比例系數(shù)或解析式2．如圖所示，已知雙曲線，經(jīng)過Rt△OAB斜邊OB的中點D，與直角邊AB交于點C，DE⊥OA，，求反比例函數(shù)的解析式．【答案】【分析】過點D作DM⊥AB于點M，利用三角形中位線定理可得，，然后證明△BDM≌△DOE，從而得到，，最后設(shè)D()，則B()，利用反比例函數(shù)的幾何意義可得，從而得到，即可求解．解：過點D作DM⊥AB于點M，∵AB⊥OA，∴DM∥OA，∴∠BDM＝∠BOA，，∵D是斜邊OB的中點，DE⊥OA，∴OD=DB，，在△BDM和△EOD中∴△BDM≌△DOE(AAS)，∴，．設(shè)D()，則B()．∵，∴．即，解得：．∴反比例函數(shù)的解析式為．【點撥】本題主要考查了反比例函數(shù)的幾何意義，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，熟練掌握反比例函數(shù)的幾何意義，三角形的中位線定理是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，點A，B關(guān)于y軸對稱，S△AOB＝8，點A在雙曲線y＝，求k的值．【答案】k＝﹣4．【分析】記AB與y軸的交點為C，先據(jù)軸對稱求得S△AOC的面積，由反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，即可求出2k的絕對值，再根據(jù)反比例函數(shù)在第二象限有圖象即可確定2k符號．求得2k的值，再除以2可得k值．解：如下圖，記AB與y軸的交點為C，∵點A，B關(guān)于y軸對稱，∴AB垂直于y軸，且AC＝BC，∴S△AOC＝S△AOB＝，∵S△AOC＝|2k|，∴|2k|＝4，∴∵在第二象限，∴2k＝﹣8∴k＝﹣4．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，求得S△AOC=4和利用反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義求出k值是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，直線x=t(t>0)與雙曲線y=(k1>0)交于點A，與雙曲線y=(k2<0)交于點B，連接OA，OB．(1)當(dāng)k1、k2分別為某一確定值時，隨t值的增大，△AOB的面積_______(填增大、不變、或減小)(2)當(dāng)k1+k2=0，S△AOB=8時，求k1、k2的值.【答案】（1）不變；（2）k1＝8，k2＝﹣8．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義即可得出答案；（2）由題意可知S△AOB＝k1﹣k2，然后與k1+k2＝0構(gòu)成方程組，解之即可．解：（1）不變.∵S△AOC＝|k1|，S△BOC＝|k2|，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝（|k1|+|k2|），∵k1，k2分別為某一確定值，∴△AOB的面積不變.故答案為：不變；（2）由題意知：k1＞0，k2＜0，∴S△AOB＝k1﹣k2＝8，∵k1+k2＝0，∴k1＝8，k2＝﹣8．【點撥】本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，屬于?？碱}型，熟知反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義是解題的關(guān)鍵．類型三、反比例函數(shù)和面積問題?？碱}3．如圖，點A（﹣2，y1）、B（﹣6，y2）在反比例函數(shù)y＝（k＜0）的圖象上，AC⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為C、D，AC與BD相交于點E．（1）根據(jù)圖象直接寫出y1、y2的大小關(guān)系，并通過計算加以驗證；（2）結(jié)合以上信息，從①四邊形OCED的面積為2，②BE＝2AE這兩個條件中任選一個作為補充條件，求k的值．你選擇的條件是（只填序號）．【答案】（1），見解析；（2）見解析，①（也可以選擇②）【分析】（1）觀察函數(shù)的圖象即可作出判斷，再根據(jù)A、B兩點在反比例函數(shù)圖象上，把兩點的坐標(biāo)代入后作差比較即可；（2）若選擇條件①，由面積的值及OC的長度，可得OD的長度，從而可得點B的坐標(biāo)，把此點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，即可求得k；若選擇條件②，由DB=6及OC=2，可得BE的長度，從而可得AE長度，此長度即為A、B兩點縱坐標(biāo)的差，（1）所求得的差即可求得k．解：（1）由于圖象從左往右是上升的，即自變量增大，函數(shù)值也隨之增大，故；當(dāng)x=-6時，；當(dāng)x=-2時，∵，k＜0∴即（2）選擇條件①∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD∴四邊形OCED是矩形∴OD?OC=2∵OC=2∴OD=1即∴點B的坐標(biāo)為(-6,1)把點B的坐標(biāo)代入y＝中，得k=-6若選擇條件②，即BE=2AE∵AC⊥x軸，BD⊥y軸，OC⊥OD∴四邊形OCED是矩形∴DE=OC，CE=OD∵OC=2，DB=6∴BE=DB-DE=DB-OC=4∴∵AE=AC-CE=AC-OD=即由（1）知：∴k=-6【點撥】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、大小比較，熟練掌握反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】如圖，四邊形ABCD是矩形，點A在第四象限y1＝﹣的圖象上，點B在第一象限y2＝的圖象上，AB交x軸于點E，點C與點D在y軸上，AD＝，S矩形OCBE＝S矩形ODAE．（1）求點B的坐標(biāo)．（2）若點P在x軸上，S△BPE＝3，求直線BP的解析式．【答案】（1）B（，2）；（2）直線BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義求得k＝3，得出，由題意可知B的橫坐標(biāo)為，代入即可求得B的坐標(biāo)；（2）設(shè)P（a，0），根據(jù)三角形面積求得P的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得直線BP的解析式．解：（1）∵S矩形OCBE＝S矩形ODAE，點B在第一象限y2＝的圖象上，∵點A在第四象限y1＝﹣的圖象上，∴S矩形ODEA＝2∴S矩形OCBE＝×2＝3，∴k＝3，∴y2＝，∵OE＝AD＝，∴B的橫坐標(biāo)為，代入y2＝得，y＝＝2，∴B（，2）；（2）設(shè)P（a，0），∵S△BPE＝PE?BE＝，解得a＝﹣或，∴點P（﹣，0）或（，0），設(shè)直線BP的解析式為y＝mx+n（m≠0），①若直線過（，2），（﹣，0），則，解得，∴直線BP的解析式為y＝x+1；②若直線過（，2），（，0），則，解得，∴直線BP的解析式為y＝﹣x+3；綜上，直線BP的解析式是y＝x+1或y＝﹣x+3．【點撥】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，求得B點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【變式2】反比例函數(shù)與一次函數(shù)交于點A（1，2k－1）．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）若一次函數(shù)與x軸交于點B，且△AOB的面積為3，求一次函數(shù)的解析式．【答案】（1）y=；（2）y=－或y=.【分析】首先根據(jù)反函數(shù)經(jīng)過點A列出一元一次方程求出k的值；根據(jù)點A的坐標(biāo)和三角形的面積得出點B的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法分別求出一次函數(shù)解析式.解：（1）由已知可