淺談對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí)

淺談對(duì)數(shù)學(xué)建模的初步認(rèn)識(shí)組員：吳超10200115、王芳10200114、章超10200129、信息與計(jì)算科學(xué)101班淺談對(duì)數(shù)學(xué)建模的初步認(rèn)識(shí)從現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象到數(shù)學(xué)模型模型是為了一定目的，對(duì)客觀(guān)事物的一部分進(jìn)行簡(jiǎn)縮、抽象、提煉出來(lái)的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。在現(xiàn)實(shí)生活中，我們會(huì)見(jiàn)到許許多多的模型，如：玩具、照片、飛機(jī)、火箭模型等這類(lèi)實(shí)物模型；水箱中的艦艇、風(fēng)洞中的飛機(jī)等這類(lèi)物理模型；地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖等這類(lèi)符號(hào)模型。數(shù)學(xué)模型的分類(lèi)有很多不同的分法，如按應(yīng)用領(lǐng)域分，有人口、交通、經(jīng)濟(jì)、生態(tài)等；按數(shù)學(xué)方法分，有初等數(shù)學(xué)、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計(jì)等；按表現(xiàn)特性分，有確定和隨機(jī)、靜態(tài)和動(dòng)態(tài)、離散和連續(xù)、線(xiàn)性和非線(xiàn)性等等；按建模目的分，有描述、優(yōu)化、預(yù)報(bào)、決策等。數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型的全過(guò)程：對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。下圖為數(shù)學(xué)建模全過(guò)程：其中，表述是指根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問(wèn)題“翻譯”成數(shù)學(xué)問(wèn)題；求解是指選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答；解釋是指將數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象；驗(yàn)證是指用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答。全過(guò)程就是一個(gè)從實(shí)踐到理論，在從理論回到實(shí)踐的過(guò)程。二．?dāng)?shù)學(xué)建模的相關(guān)基本概念當(dāng)需要從定量的角度分析和研究一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，人們就要在深入調(diào)查研究、了解對(duì)象有關(guān)信息、作出合理、簡(jiǎn)化的假設(shè)、分析內(nèi)在規(guī)律等工作的基礎(chǔ)上，用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言，把它表述為數(shù)學(xué)式子，也就是數(shù)學(xué)模型，然后用通過(guò)計(jì)算得到的模型結(jié)果來(lái)解釋實(shí)際問(wèn)題，并接受實(shí)際的檢驗(yàn)。這個(gè)建立數(shù)學(xué)模型(MathematicalModel)的全過(guò)程就稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模(MathematicalModeling)。即數(shù)學(xué)建模是一個(gè)由“模型準(zhǔn)備→模型假設(shè)→模型構(gòu)成→模型求解→模型分析→模型檢驗(yàn)→模型應(yīng)用”的過(guò)程。例：商人怎樣安全過(guò)河？三名商人各帶一個(gè)隨從乘船渡河，一只小船只能容納二人，由他們自已劃行，隨從們密約，在河的一岸，一旦隨從的人數(shù)比商人多，就殺人越貨，但是如何乘船渡河大權(quán)掌握在商人手中，商人們?cè)鯓硬拍馨踩珊幽?？這里是要用數(shù)學(xué)方法求解，一是為了給出建模的示例，二是因?yàn)檫@類(lèi)模型可以解決相當(dāng)廣泛的一類(lèi)問(wèn)題，比邏輯思索的結(jié)果容易推廣。由于問(wèn)題已經(jīng)理想化了，所以不必再作假設(shè)。安全渡河問(wèn)題可以視為一個(gè)多步?jīng)Q策過(guò)程。每一步即船由此岸駛向彼岸或從彼岸駛回此岸，都要對(duì)船上的人員作出決策，在保證安全的前題下，在有限步內(nèi)使人員全部過(guò)河，用狀態(tài)變量表示某一岸的人員狀況，決策變量表示船上的人員狀況，表示船上的人員狀況，可以找出狀態(tài)隨決策變化的規(guī)律。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在狀態(tài)的充許變化范圍確定每一步的決策，達(dá)到渡河的目標(biāo)模型的過(guò)成。1.模型的過(guò)成：記第k次渡河前此岸的商人數(shù)為xk,隨從數(shù)為yk,k=1,2,……，xk,yk=0,1,2,3，將二維向量sk=(xk,yk)定義為狀態(tài)，安全渡河條件下的狀態(tài)集稱(chēng)為允許狀態(tài)集合，允許狀態(tài)集合記作S，不難寫(xiě)出S={（x,y）|x=0,y=0,1,2,3;x=y=1,2}-（1）記第k次渡船上的商人數(shù)為uk，隨從數(shù)為vk，將二維向量dk=(uk,vk)定義為決策，允許決集合記作D，由小船的容量可知D={（u,v）|u+v=1,2}-(2)因?yàn)閗為奇數(shù)時(shí)船由此岸駛向彼岸，k為奇數(shù)時(shí)船由此岸駛向彼岸，所以狀態(tài)sk隨決策dk變化的規(guī)律是：s(k+1)=sk+(-1)^k*dk-(3)式稱(chēng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，這樣，制定安全渡河方案歸結(jié)為如下的多步?jīng)Q策問(wèn)題：求決策d∈D(k=1,2,……n)，使?fàn)顟B(tài)sk∈S按照轉(zhuǎn)移規(guī)律(3),由初始狀態(tài)s1=(3,3)經(jīng)有限n步后到達(dá)狀態(tài)s（n+1）=(0,0).2.模型求解根據(jù)（1）、（3）式通過(guò)計(jì)算機(jī)編寫(xiě)一段程序，來(lái)求解多步?jīng)Q策問(wèn)題是可行的，不過(guò)當(dāng)商人和隨從數(shù)都不多的情況下還可以用圖解法解此模型更為方便。在xoy坐標(biāo)系上畫(huà)出如圖所示的方格，方格點(diǎn)上的坐標(biāo)同時(shí)也表示狀態(tài)s=(x,y).允許狀態(tài)集是沿方格線(xiàn)移動(dòng)1或2格，k為奇數(shù)時(shí)向左、下方移動(dòng)，k為偶數(shù)時(shí)向右、上方移動(dòng)。要確定一系列的dk使由s1=(3,3)經(jīng)過(guò)那些點(diǎn)最終移至原點(diǎn)（0,0),左圖中給出了一種決策方案,最終有s=(0,0).3.評(píng)注這里介紹的模型是一種規(guī)格化的方法，使我們可以用計(jì)算機(jī)求解，從而具有推廣意義，譬如當(dāng)商人和隨從人數(shù)增加或小船容量加大時(shí)，靠邏輯思考就困難了，而這種模型則仍可方便地求解，如商人及隨從數(shù)各增加1名，小船不變?nèi)绾吻蠼?？六．信息與計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)建模我們這個(gè)班是信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)的。信息與計(jì)算科學(xué)專(zhuān)業(yè)（以下簡(jiǎn)稱(chēng)信計(jì)專(zhuān)業(yè)）是一個(gè)以信息技術(shù)與計(jì)算技術(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)為研究對(duì)象的理科類(lèi)新專(zhuān)業(yè)。信計(jì)專(zhuān)業(yè)培養(yǎng)的人才，一方面必須具備寬厚的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和熟練的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，另一方面，必須具有較強(qiáng)的創(chuàng)新能力和實(shí)際應(yīng)用能力，能應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)知識(shí)解決信息技術(shù)、科學(xué)與工程計(jì)算以及社會(huì)各領(lǐng)域中的實(shí)際問(wèn)題。而要用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題，首要和關(guān)鍵的一步是要將現(xiàn)實(shí)問(wèn)題用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行翻譯，將實(shí)際問(wèn)題抽象、簡(jiǎn)化為一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，即數(shù)學(xué)建模。通過(guò)數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，可以讓學(xué)生真正理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的計(jì)算機(jī)應(yīng)用能力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)