專題5.8三角函數(shù)最值（值域）與零點問題（強化訓練）-2023-2024學年高一數(shù)學重難點突破及混淆易錯規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題5.8三角函數(shù)最值（值域）與零點問題題型一利用輔助角公式求最值（值域）題型二利用二次函數(shù)求最值（值域）題型三利用換元法求最值（值域）題型四分式型三角函數(shù)求最值（值域）題型五含絕對值的三角函數(shù)求最值（值域）題型六恒成立問題題型七函數(shù)的零點個數(shù)問題題型八函數(shù)的零點之和問題題型一 利用輔助角公式求最值（值域）1．函數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡，進而利用輔助角公式化簡，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值.【詳解】，其中，∴的最大值為.故選：.2．函數(shù)，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，可得，因為，可得，所以當時，即時，函數(shù)取得最小值，最小值為，即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故選：C.3．函數(shù)的最大值為．【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值作答.【詳解】依題意，，所以當，即時，.故答案為：34．函數(shù)在上的值域是.【答案】【分析】化簡得到，根據(jù)求出函數(shù)值域.【詳解】，又∵，∴，，所以，故函數(shù)在上的值域是.故答案為：5．已知函數(shù)，的最小值為.【答案】【分析】運用降次公式、輔助角公式化簡即可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以當時，取得最小值為.故答案為：.6．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】(1)(2)(3)最小值為0，最大值為3【分析】（1）利用三角恒等變換公式求出函數(shù)的解析式，即可求最小正周期；（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法求解；（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求區(qū)間上的最值.【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期.（2）令，則，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（3）因為，所以，當，即時，；當，即時，，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0，最大值為3.7．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當時，求函數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式對函數(shù)化簡可得，然后由可求出函數(shù)的增區(qū)間，（2）由，得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的取值范圍【詳解】（1）由已知得：，，，單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）當，所以當，即時，取得最小值當，即時，取得最大值，所以的取值范圍為題型二 利用二次函數(shù)求最值（值域）8．已知，則函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡的解析式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.【詳解】，設(shè)，則的開口向下，對稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，也即的最大值為.故選：A9．函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系可得，運用換元法將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域即可.【詳解】因為，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，當時，，所以，即的值域為.故選：D.10．已知函數(shù)的最大值為4，則正實數(shù)的值為（

）A． B．2 C．或2 D．2或【答案】B【分析】利用三角恒等變換的知識化簡，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正數(shù)的值.【詳解】.令，則，，開口向下，對稱軸為，當時，則，無解.當時，則.綜上所述，的值為.故選：B11．已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先應(yīng)用二倍角余弦公式化簡，再換元，應(yīng)用給定范圍求二次函數(shù)最值即可.【詳解】,,對稱軸為,應(yīng)用二次函數(shù)的對稱性可知，當時,則的最大值為.故選：C.12．設(shè),則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)進行化簡,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題求解即可.【詳解】,令,則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為,則函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又,所以函數(shù)的最小值為,即的最小值為.故選:C.13．已知.(1)若，求在上的值域；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】利用同角三角函數(shù)的平方式整理函數(shù)解析式，再利用換元法化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）由題意可知，令,當時，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，所以.（2）由(1)可知：，令，則，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.14．已知函數(shù)．(1)當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用輔助角公式及降冪公式化一，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由（1）得，再根據(jù)平方關(guān)系利用換元法結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，令，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），令，，，，，，，∴當時，取最大值為，當時，取最小值為，值域為．題型三 利用換元法求最值（值域）15．函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令并求范圍，則，進而有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最小值.【詳解】令，∴，∴，∴當，有最小值.故選：D16．已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式整理函數(shù)解析式，換元，根據(jù)輔助角公式，整理可得二次函數(shù)，可得答案.【詳解】，令，即，由，則.故選：A.17．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域為.【答案】【解析】用換元法，設(shè)t＝sinx－cosx，則sinxcosx＝，且，問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某個區(qū)間上的值域．【詳解】設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，，∴.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].當t＝1時，ymax＝1；當t＝－時，ymin＝.∴函數(shù)的值域為.【點睛】本題考查求三角函數(shù)的值域，解題方法是換元法，在出現(xiàn)與的函數(shù)中一般可設(shè)進行換元．換元時注意新元的取值范圍．18．函數(shù)的值域為.【答案】【分析】令，函數(shù)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由于，令，則，于是函數(shù)化為，而，所以當時，函數(shù)取最小值，當時，函數(shù)取最大值，故值域為.故答案為：.19．已知，．(1)若x是第二象限角，用m表示出；(2)若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求t的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）對等式平方得，計算得，根據(jù)范圍即可得到答案；（2）由（1）對方程轉(zhuǎn)化為在上有實數(shù)根，分和討論，當時，分離參數(shù)得，求出右邊范圍即可.【詳解】（1）由可得解得，所以，又因為x是第二象限角，所以，所以，所以．（2）方程，可化為在上有實數(shù)根．①當時，顯然方程無解；

②當時，方程等價于．

根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論得：在上單調(diào)遞減，則，所以使得方程在上有實數(shù)根．故的最小值是2．題型四 分式型三角函數(shù)求最值（值域）20．函數(shù)的最大值為

．【答案】【分析】化簡函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得的最大值.【詳解】，∵，∴，，，∴函數(shù)的最大值為．故答案為：21．函數(shù)的值域為．【答案】【解析】將函數(shù)，變形為，再根據(jù)求解.【詳解】因為函數(shù)，所以，因為，解得或.故答案為：【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.22．值域為A．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：令且，則可得，所以，故選擇B考點：求三角函數(shù)值域23．若，則函數(shù)的值域是．【答案】【詳解】令．則．于是，．又，而，則，即．因此，．24．當時，函數(shù)的最小值是.【答案】【分析】化簡，根據(jù)，得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值，即可得函數(shù)的最小值.【詳解】，當時，，所以，，即的最小值為.故答案為：題型五 含絕對值的三角函數(shù)求最值（值域）25．（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．在上有無數(shù)個零點C．在上單調(diào)遞減 D．的最大值為【答案】ACD【分析】判斷函數(shù)奇偶性判斷A；求出函數(shù)取值范圍判斷B；確定函數(shù)單調(diào)性判斷C；求出函數(shù)的最大值判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，A正確；當時，，在上無零點，B錯誤；當時，，在上單調(diào)遞減，C正確；對，，當且僅當時取等號，D正確.故選：ACD26．（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．為圖象的一條對稱軸C．的最小值為1D．在上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】A由成立即可排除；B判斷是否成立即可；C應(yīng)用換元法，結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可判斷；D根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】，，是的周期，故A錯誤；，為圖象的一條對稱軸，故B正確；令，則有，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，函數(shù)取得最小值1，故C正確；函數(shù)由和復(fù)合而成，當時，函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：BCD27．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是以為周期的函數(shù)B．是曲線的對稱軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為D．若函數(shù)在上恰有2021個零點，則【答案】ACD【分析】根據(jù)周期性定義判斷A，由對稱性定義判斷B，在一個周期區(qū)間上分類討論，并利用與的關(guān)系換元求得最值判斷C，先研究函數(shù)在上的零點個數(shù)然后根據(jù)周期性得上周期性，從而得參數(shù)范圍判斷D．【詳解】因為，所以是以為周期的函數(shù)，故A正確；又，故B錯誤；由A知只需考慮在上的最大值．①當時，，令，則，且，即，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以的最大值為，最小值為．②當時，，令，則，且，即，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，最小值為，綜上可知：函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；因為是以為周期的函數(shù)，可以先研究函數(shù)在的零點個數(shù)，易知．當時，令，解得或1，在上無解，在上僅有一解，當時，令，解得或1．在上無解，在上無解．綜合可知：函數(shù)在上有兩個零點，分別為和．又因為是以為周期的函數(shù)，所以，若，則在上恰有個零點．又已知函數(shù)在上恰有2021個零點，所以，故D正確．故正確的是ACD．故選：ACD．28．設(shè)函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①；②在上單調(diào)遞增；③的值域為；④在上的所有零點之和為，則正確結(jié)論的序號為.【答案】①②④【分析】由，得到，可判定①正確，設(shè)，作出其圖象，求得函數(shù)的值域為，可判定③錯誤；由在上單調(diào)遞增，結(jié)合周期性，可得判定②正確；由，得到，結(jié)合圖象，得到，可判定④正確.【詳解】因為函數(shù)，，可得，即，因為，所以，所以，所以①正確，設(shè)，顯然是以為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示，由圖可知的值域為，所以③錯誤，由的圖象可知，在上單調(diào)遞增，又因為是周期為的函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以②正確，因為，所以，所以，由，可得由圖象可知在內(nèi)有四個零點，設(shè)四個零點從左到右依次為，則，所以,所以④正確.正確的序號為①②④．故答案為:①②④．29．（多選）關(guān)于函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．的最小正周期是 B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在有3個零點 D．的最大值為【答案】BD【分析】對于A，舉出反例推翻即可；對于B，求出函數(shù)表達式即可驗證；對于C，求出函數(shù)表達式即可驗證；對于D，由周期性結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可驗證.【詳解】對于A，，即不是的最小正周期，故A錯誤；對于B，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故B正確；對于C，當時，，由此可知在有無數(shù)個零點，故C錯誤；對于D，注意到，即是以為周期的一個周期函數(shù)，故我們只需考慮它在一個周期內(nèi)的最大值的情況即可，由C選項分析可知，當時，，此時，當且僅當時，等號成立，綜上所述，的最大值為，故D正確.故選：BD.30．關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在有4個零點 D．是的一個周期【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點、周期性對選項進行分析，由此確定正確選項.【詳解】A.因為的定義域為，又，∴是偶函數(shù)，故A正確；B.當時，，在單調(diào)遞減，故B正確；C.當時，令，得或，又在上為偶函數(shù)，∴在上的根為，0，，有3個零點，故C錯誤；D.，則是的一個周期，故D正確．故選：ABD.31．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于原點中心對稱 D．的值域為【答案】BD【分析】化簡函數(shù)，畫出的圖象，從而利用圖象可一一判斷各選項.【詳解】因為當為第一或第三象限角時，，又，可得，所以；當為第二或第四象限角時，，又，可得，所以；當時，.綜上，，作出的部分圖象如圖所示.對于A，結(jié)合圖象可得的最小正周期為，A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞減，B正確；對于C，的圖象不關(guān)于原點中心對稱，錯誤；對于D，的值域為，D正確.故選：BD題型六 恒成立問題32．，對任意恒成立，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)最值的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的最值進行求解即可.【詳解】因為對任意的實數(shù)x都成立，所以說明當時，函數(shù)有最大值，所以有，，∴，，∵，∴當時，有最小值，為．故選：D.33．若不等式在時恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】參變分離可得，再設(shè)，結(jié)合基本不等式求解的最小值即可.【詳解】解析依題意知，，結(jié)合，知，不等式轉(zhuǎn)化為，須.設(shè)，由，知，設(shè)，當且僅當，即，時等號成立，因此實數(shù)的取值范圍是.故選：A34．關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】令,，將不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次不等式，根據(jù)一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，即，令，，有令，，要使不等式對于任意恒成立，只需滿足，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，即，得或，有最小值，，得，所以實數(shù)的最大值為.故答案為：.35．已知函數(shù)，最小正周期為(1)求的值及的的取值集合；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍【答案】(1)2，；(2).【分析】（1）利用給定的周期求出，再解正弦函數(shù)不等式即得.（2）根據(jù)給定條件，求出的取值集合，再換元并借助二次函數(shù)列出不等式組求解即得.【詳解】（1）由函數(shù)的最小正周期為，得，于是，由，得，因此，解得，所以，的取值集合是.（2）由（1）知，，由，得，于是，則，令，，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，因此，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.36．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，且圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性求得函數(shù)的周期，即可求得，再利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先求出函數(shù)的值域，不等式恒成立，即恒成立，進而可得出答案.【詳解】（1）由題意可得的最小正周期，則，因為的圖象經(jīng)過點，所以，所以，解得，因為，所以，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因為，所以，所以，則，因為對任意的，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范圍為.37．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若當時，關(guān)于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再求其單調(diào)減區(qū)間即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為，再求的最小值即可.【詳解】（1）因為．又函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題意可知，不等式恒成立，即．因為，所以．所以，即，所以.38．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對，使得關(guān)于x的不等式恒成立，求實數(shù)m的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）結(jié)合圖像，由最大最小值可得，由可得，由函數(shù)圖像經(jīng)過點可求，從而可得答案.（2）原不等式等價于,使得成立，令，利用函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可得答案.【詳解】（1）由所給函數(shù)圖像可知，，，即，所以，又圖像過點，所以，，解得，，

因為，所以當時，，故.（2）若對于，關(guān)于x的不等式恒成立，即對于，關(guān)于x的不等式恒成立，即對于，恒成立.當時，，令時，為減函數(shù)，所以當時，取得最小值為，即的最小值為，故實數(shù)，所以m的最大值為.題型七 函數(shù)的零點個數(shù)問題39．把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，可以得到函數(shù)的圖象，則的圖象與直線的交點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮以及平移變換可得到函數(shù)的解析式，作出函數(shù)以及的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】由題意將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到的圖象，再將該圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，作出以及的圖象，如圖，

由圖象可知的圖象與直線的交點個數(shù)為3，故選：C40．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點的個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為方程的根，令，先確定的根，再得的根，結(jié)合函數(shù)圖象即可獲解.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：

令，則函數(shù)的零點滿足，即，所以??，當時，則，結(jié)合函數(shù)的圖象可得的根有3個；當時，則，結(jié)合函數(shù)的圖象可得的根有1個；當時，則，結(jié)合函數(shù)的圖象可得的根有0個；綜上可得，函數(shù)的零點的個數(shù)是個.故選：C.41．函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】把函數(shù)拆分為兩個函數(shù)，分別作出圖象，結(jié)合交點個數(shù)來求解答案.【詳解】；在同一直角坐標系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，又，；所以函數(shù)和恰有3個交點，即函數(shù)有3個零點，故選：C.42．函數(shù)，的零點個數(shù)為．【答案】【分析】由可知或，在上分別解出符合題意得的取值即可.【詳解】令，由二倍角公式可得，即，解得或，當時，若時，解得或；若，解得或；綜上所述，函數(shù)在上的零點個數(shù)為個.故答案為：43．若函數(shù)對定義域內(nèi)任意實數(shù)x均滿足，其中，則稱是“等值函數(shù)”．若函數(shù)（a＞0）是“2等值函數(shù)”，則實數(shù)a＝，函數(shù)在區(qū)間上零點個數(shù)為【答案】2【分析】根據(jù)是“2等值函數(shù)”，則對恒成立，列式可求得，的最小正周期為8，結(jié)合圖象確定與的交點個數(shù)，即可得出答案.【詳解】是“2等值函數(shù)”，對恒成立，，不恒為，又.的最小正周期為8，把視為第一個周期，則區(qū)間包含個周期，且每個周期內(nèi)與的交點均在前半個周期內(nèi)，如圖，

故函數(shù)在區(qū)間上共有253×2＝506個零點．故答案為：2，506．44．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求在上的值域；(3)試討論函數(shù)在上零點的個數(shù).【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）利用三角恒等變換和正弦型函數(shù)的周期公式即可得到答案；（2）利用整體法求出，再通過正弦型函數(shù)的值域求解方法即可；（3）等價轉(zhuǎn)化為方程在上的解的個數(shù)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)與值域即可.【詳解】（1）函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期為.（2）在上，，可得.（3）函數(shù)在上零點的個數(shù)，即方程在上的解的個數(shù).，當或時，方程有一個解，當時，方程有2個解，當或時，方程無解.綜上可得，當或時，一個零點；當時，2個零點；當或時，沒有零點.45．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個單位后得到的圖象，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，最小正周期為(2)答案見解析【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡得到，利用整體代入法可求得的單調(diào)遞減區(qū)間；由正弦型函數(shù)最小正周期的求法可得最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得，分別在、的情況下，得到的單調(diào)性和值域，通過分析最值可確定不同取值范圍時，的零點個數(shù).【詳解】（1），令，解得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，最小正周期.（2）由題意得：；當時，，當，即時，單調(diào)遞增，值域為；當，即時，單調(diào)遞減，值域為；則當，即時，無零點；當，即時，有且僅有一個零點；當，即時，有兩個不同零點；當，即時，有且僅有一個零點；當，即時，有且僅有一個零點；；當，即時，無零點；綜上所述：當時，無零點；當時，有且僅有一個零點；當時，有兩個不同零點題型八 函數(shù)的零點之和問題46．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為（

）A．16 B．32 C．36 D．48【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及推理可得出函數(shù)的周期、對稱中心，根據(jù)零點定義轉(zhuǎn)化為方程解的關(guān)系，結(jié)合圖象以及對稱性即可求解.【詳解】依題意函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，又，所以函數(shù)關(guān)于軸對稱，且，所以，即，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；令，得，由反比例函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，又當時，，結(jié)合對稱性和周期性作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖可知，函數(shù)和的圖象有8個交點，且交點關(guān)于中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為.故選：B47．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論錯誤的是（

）A．的圖像關(guān)于點對稱 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．存在使得 D．在上的零點之和為【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判斷即可.【詳解】因為，所以A正確，故不符合題意；因為，所以B錯誤，故符合題意；因為，所以C正確，故不符合題意；當時，由，得或，因為時，，所以在上的實根之和為0，所以D正確，故不符合題意．故選：B．48．（多選）已知函數(shù)，（其中是大于的常數(shù)），則的所有零點之和可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】當時，令，則，令，，則兩函數(shù)都關(guān)于對稱，作兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析即可得出答案.【詳解】，當時，，故當時，函數(shù)無零點，當時，令，則，令，，則兩函數(shù)都關(guān)于對稱，作函數(shù)，的圖象，如圖所示，當時，函數(shù)，的圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點，所以，故C正確；當時，函數(shù)，的圖象有四個交點，即函數(shù)有四個零點，所以，故A正