專題5.8三角函數(shù)最值（值域）與零點(diǎn)問題（強(qiáng)化訓(xùn)練）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破及混淆易錯(cuò)規(guī)避（人教A版2019必修第一冊）（解析版）

專題5.8三角函數(shù)最值（值域）與零點(diǎn)問題題型一利用輔助角公式求最值（值域）題型二利用二次函數(shù)求最值（值域）題型三利用換元法求最值（值域）題型四分式型三角函數(shù)求最值（值域）題型五含絕對值的三角函數(shù)求最值（值域）題型六恒成立問題題型七函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題題型八函數(shù)的零點(diǎn)之和問題題型一 利用輔助角公式求最值（值域）1．函數(shù)的最大值為（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式和二倍角公式化簡，進(jìn)而利用輔助角公式化簡，然后由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得的最大值.【詳解】，其中，∴的最大值為.故選：.2．函數(shù)，，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得，因?yàn)椋傻?，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，即函數(shù)在區(qū)間上的最小值為.故選：C.3．函數(shù)的最大值為．【答案】3【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式、輔助角公式化簡函數(shù)，再利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值作答.【詳解】依題意，，所以當(dāng)，即時(shí)，.故答案為：34．函數(shù)在上的值域是.【答案】【分析】化簡得到，根據(jù)求出函數(shù)值域.【詳解】，又∵，∴，，所以，故函數(shù)在上的值域是.故答案為：5．已知函數(shù)，的最小值為.【答案】【分析】運(yùn)用降次公式、輔助角公式化簡即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，取得最小值為.故答案為：.6．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.【答案】(1)(2)(3)最小值為0，最大值為3【分析】（1）利用三角恒等變換公式求出函數(shù)的解析式，即可求最小正周期；（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法求解；（3）根據(jù)三角函數(shù)的圖象性質(zhì)求區(qū)間上的最值.【詳解】（1），所以函數(shù)的最小正周期.（2）令，則，故該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.（3）因?yàn)?，所以，?dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上的最小值為0，最大值為3.7．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換公式對函數(shù)化簡可得，然后由可求出函數(shù)的增區(qū)間，（2）由，得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出的取值范圍【詳解】（1）由已知得：，，，單調(diào)遞增區(qū)間為：（2）當(dāng)，所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，所以的取值范圍為題型二 利用二次函數(shù)求最值（值域）8．已知，則函數(shù)的最大值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化簡的解析式，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值.【詳解】，設(shè)，則的開口向下，對稱軸，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，也即的最大值為.故選：A9．函數(shù)的值域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合三角函數(shù)平方關(guān)系可得，運(yùn)用換元法將問題轉(zhuǎn)化為求在上的值域即可.【詳解】因?yàn)?，令，則，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，即的值域?yàn)?故選：D.10．已知函數(shù)的最大值為4，則正實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．2 C．或2 D．2或【答案】B【分析】利用三角恒等變換的知識化簡，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得正數(shù)的值.【詳解】.令，則，，開口向下，對稱軸為，當(dāng)時(shí)，則，無解.當(dāng)時(shí)，則.綜上所述，的值為.故選：B11．已知函數(shù)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先應(yīng)用二倍角余弦公式化簡，再換元，應(yīng)用給定范圍求二次函數(shù)最值即可.【詳解】,,對稱軸為,應(yīng)用二次函數(shù)的對稱性可知，當(dāng)時(shí),則的最大值為.故選：C.12．設(shè),則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)進(jìn)行化簡,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問題求解即可.【詳解】,令,則原函數(shù)轉(zhuǎn)化為,則函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),又,所以函數(shù)的最小值為,即的最小值為.故選:C.13．已知.(1)若，求在上的值域；(2)若，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】利用同角三角函數(shù)的平方式整理函數(shù)解析式，再利用換元法化簡函數(shù)解析式，結(jié)合正弦函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】（1）由題意可知，令,當(dāng)時(shí)，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，，所以.（2）由(1)可知：，令，則，令，由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則.14．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若，求函數(shù)的值域．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先利用輔助角公式及降冪公式化一，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）由（1）得，再根據(jù)平方關(guān)系利用換元法結(jié)合二次函數(shù)得性質(zhì)即可得解.【詳解】（1）函數(shù)，令，得，，∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，；（2），令，，，，，，，∴當(dāng)時(shí)，取最大值為，當(dāng)時(shí)，取最小值為，值域?yàn)椋}型三 利用換元法求最值（值域）15．函數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令并求范圍，則，進(jìn)而有，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最小值.【詳解】令，∴，∴，∴當(dāng)，有最小值.故選：D16．已知函數(shù)，則的最大值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式整理函數(shù)解析式，換元，根據(jù)輔助角公式，整理可得二次函數(shù)，可得答案.【詳解】，令，即，由，則.故選：A.17．函數(shù)y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域?yàn)?【答案】【解析】用換元法，設(shè)t＝sinx－cosx，則sinxcosx＝，且，問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的值域．【詳解】設(shè)t＝sinx－cosx，則t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝，，∴.∴y＝－＋t＋＝－(t－1)2＋1，t∈[－，].當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝1；當(dāng)t＝－時(shí)，ymin＝.∴函數(shù)的值域?yàn)?【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)的值域，解題方法是換元法，在出現(xiàn)與的函數(shù)中一般可設(shè)進(jìn)行換元．換元時(shí)注意新元的取值范圍．18．函數(shù)的值域?yàn)?【答案】【分析】令，函數(shù)化為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.【詳解】由于，令，則，于是函數(shù)化為，而，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，故值域?yàn)?故答案為：.19．已知，．(1)若x是第二象限角，用m表示出；(2)若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求t的最小值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）對等式平方得，計(jì)算得，根據(jù)范圍即可得到答案；（2）由（1）對方程轉(zhuǎn)化為在上有實(shí)數(shù)根，分和討論，當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)得，求出右邊范圍即可.【詳解】（1）由可得解得，所以，又因?yàn)閤是第二象限角，所以，所以，所以．（2）方程，可化為在上有實(shí)數(shù)根．①當(dāng)時(shí)，顯然方程無解；

②當(dāng)時(shí)，方程等價(jià)于．

根據(jù)減函數(shù)加減函數(shù)為減函數(shù)的結(jié)論得：在上單調(diào)遞減，則，所以使得方程在上有實(shí)數(shù)根．故的最小值是2．題型四 分式型三角函數(shù)求最值（值域）20．函數(shù)的最大值為

．【答案】【分析】化簡函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的值域求得的最大值.【詳解】，∵，∴，，，∴函數(shù)的最大值為．故答案為：21．函數(shù)的值域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥繉⒑瘮?shù)，變形為，再根據(jù)求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，所以，因?yàn)?，解得?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的值域，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.22．值域?yàn)锳．B．C．D．【答案】B【詳解】試題分析：令且，則可得，所以，故選擇B考點(diǎn)：求三角函數(shù)值域23．若，則函數(shù)的值域是．【答案】【詳解】令．則．于是，．又，而，則，即．因此，．24．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是.【答案】【分析】化簡，根據(jù)，得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解的最大值，即可得函數(shù)的最小值.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，所以，，即的最小值為.故答案為：題型五 含絕對值的三角函數(shù)求最值（值域）25．（多選）設(shè)函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．在上有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)C．在上單調(diào)遞減 D．的最大值為【答案】ACD【分析】判斷函數(shù)奇偶性判斷A；求出函數(shù)取值范圍判斷B；確定函數(shù)單調(diào)性判斷C；求出函數(shù)的最大值判斷D.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，，是偶函數(shù)，A正確；當(dāng)時(shí)，，在上無零點(diǎn)，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，C正確；對，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，D正確.故選：ACD26．（多選）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．為圖象的一條對稱軸C．的最小值為1D．在上單調(diào)遞增【答案】BCD【分析】A由成立即可排除；B判斷是否成立即可；C應(yīng)用換元法，結(jié)合三角函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求最值即可判斷；D根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】，，是的周期，故A錯(cuò)誤；，為圖象的一條對稱軸，故B正確；令，則有，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值1，故C正確；函數(shù)由和復(fù)合而成，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故D正確．故選：BCD27．（多選）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．是以為周期的函數(shù)B．是曲線的對稱軸C．函數(shù)的最大值為，最小值為D．若函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，則【答案】ACD【分析】根據(jù)周期性定義判斷A，由對稱性定義判斷B，在一個(gè)周期區(qū)間上分類討論，并利用與的關(guān)系換元求得最值判斷C，先研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)然后根據(jù)周期性得上周期性，從而得參數(shù)范圍判斷D．【詳解】因?yàn)?，所以是以為周期的函?shù)，故A正確；又，故B錯(cuò)誤；由A知只需考慮在上的最大值．①當(dāng)時(shí)，，令，則，且，即，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞減．所以的最大值為，最小值為．②當(dāng)時(shí)，，令，則，且，即，則，易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的最大值為，最小值為，綜上可知：函數(shù)的最大值為，最小值為，故C正確；因?yàn)槭且詾橹芷诘暮瘮?shù)，可以先研究函數(shù)在的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，易知．當(dāng)時(shí)，令，解得或1，在上無解，在上僅有一解，當(dāng)時(shí)，令，解得或1．在上無解，在上無解．綜合可知：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，分別為和．又因?yàn)槭且詾橹芷诘暮瘮?shù)，所以，若，則在上恰有個(gè)零點(diǎn)．又已知函數(shù)在上恰有2021個(gè)零點(diǎn)，所以，故D正確．故正確的是ACD．故選：ACD．28．設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)?；④在上的所有零點(diǎn)之和為，則正確結(jié)論的序號為.【答案】①②④【分析】由，得到，可判定①正確，設(shè)，作出其圖象，求得函數(shù)的值域?yàn)椋膳卸á坼e(cuò)誤；由在上單調(diào)遞增，結(jié)合周期性，可得判定②正確；由，得到，結(jié)合圖象，得到，可判定④正確.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，，可得，即，因?yàn)椋?，所以，所以①正確，設(shè)，顯然是以為周期的周期函數(shù)，作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示，由圖可知的值域?yàn)?，所以③錯(cuò)誤，由的圖象可知，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)槭侵芷跒榈暮瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以②正確，因?yàn)?，所以，所以，由，可得由圖象可知在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，設(shè)四個(gè)零點(diǎn)從左到右依次為，則，所以,所以④正確.正確的序號為①②④．故答案為:①②④．29．（多選）關(guān)于函數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的最小正周期是 B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在有3個(gè)零點(diǎn) D．的最大值為【答案】BD【分析】對于A，舉出反例推翻即可；對于B，求出函數(shù)表達(dá)式即可驗(yàn)證；對于C，求出函數(shù)表達(dá)式即可驗(yàn)證；對于D，由周期性結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可驗(yàn)證.【詳解】對于A，，即不是的最小正周期，故A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間單調(diào)遞減，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，由此可知在有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對于D，注意到，即是以為周期的一個(gè)周期函數(shù)，故我們只需考慮它在一個(gè)周期內(nèi)的最大值的情況即可，由C選項(xiàng)分析可知，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，綜上所述，的最大值為，故D正確.故選：BD.30．關(guān)于函數(shù)的敘述正確的是（

）A．是偶函數(shù) B．在區(qū)間單調(diào)遞減C．在有4個(gè)零點(diǎn) D．是的一個(gè)周期【答案】ABD【分析】根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)、周期性對選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】A.因?yàn)榈亩x域?yàn)椋?，∴是偶函?shù)，故A正確；B.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，故B正確；C.當(dāng)時(shí)，令，得或，又在上為偶函數(shù)，∴在上的根為，0，，有3個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；D.，則是的一個(gè)周期，故D正確．故選：ABD.31．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．在上單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于原點(diǎn)中心對稱 D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【分析】化簡函數(shù)，畫出的圖象，從而利用圖象可一一判斷各選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楫?dāng)為第一或第三象限角時(shí)，，又，可得，所以；當(dāng)為第二或第四象限角時(shí)，，又，可得，所以；當(dāng)時(shí)，.綜上，，作出的部分圖象如圖所示.對于A，結(jié)合圖象可得的最小正周期為，A錯(cuò)誤；對于B，在上單調(diào)遞減，B正確；對于C，的圖象不關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，錯(cuò)誤；對于D，的值域?yàn)?，D正確.故選：BD題型六 恒成立問題32．，對任意恒成立，則的最小值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)最值的定義，結(jié)合余弦函數(shù)的最值進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閷θ我獾膶?shí)數(shù)x都成立，所以說明當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以有，，∴，，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，為．故選：D.33．若不等式在時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】參變分離可得，再設(shè)，結(jié)合基本不等式求解的最小值即可.【詳解】解析依題意知，，結(jié)合，知，不等式轉(zhuǎn)化為，須.設(shè)，由，知，設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號成立，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：A34．關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】/【分析】令,，將不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于的一元二次不等式，根據(jù)一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，令，，有令，，要使不等式對于任意恒成立，只需滿足，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，即，得或，有最小值，，得，所以實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：.35．已知函數(shù)，最小正周期為(1)求的值及的的取值集合；(2)當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【答案】(1)2，；(2).【分析】（1）利用給定的周期求出，再解正弦函數(shù)不等式即得.（2）根據(jù)給定條件，求出的取值集合，再換元并借助二次函數(shù)列出不等式組求解即得.【詳解】（1）由函數(shù)的最小正周期為，得，于是，由，得，因此，解得，所以，的取值集合是.（2）由（1）知，，由，得，于是，則，令，，不等式恒成立，即恒成立，設(shè)，因此，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.36．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且圖象相鄰的兩條對稱軸之間的距離是.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的，不等式恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)余弦函數(shù)的對稱性求得函數(shù)的周期，即可求得，再利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得解；（2）先求出函數(shù)的值域，不等式恒成立，即恒成立，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）由題意可得的最小正周期，則，因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，所以，所以，解得，因?yàn)?，所以，令，解得，即的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)椋?，所以，則，因?yàn)閷θ我獾?，不等式恒成立，所以恒成立，所以，解得，故m的取值范圍為.37．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再求其單調(diào)減區(qū)間即可.（2）首先將題意轉(zhuǎn)化為，再求的最小值即可.【詳解】（1）因?yàn)椋趾瘮?shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，解得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由題意可知，不等式恒成立，即．因?yàn)?，所以．所以，即，所?38．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)若對，使得關(guān)于x的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）結(jié)合圖像，由最大最小值可得，由可得，由函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)可求，從而可得答案.（2）原不等式等價(jià)于,使得成立，令，利用函數(shù)單調(diào)性求解最小值即可得答案.【詳解】（1）由所給函數(shù)圖像可知，，，即，所以，又圖像過點(diǎn)，所以，，解得，，

因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故.（2）若對于，關(guān)于x的不等式恒成立，即對于，關(guān)于x的不等式恒成立，即對于，恒成立.當(dāng)時(shí)，，令時(shí)，為減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即的最小值為，故實(shí)數(shù)，所以m的最大值為.題型七 函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題39．把函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度，再把圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，可以得到函數(shù)的圖象，則的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的伸縮以及平移變換可得到函數(shù)的解析式，作出函數(shù)以及的圖象，數(shù)形結(jié)合，即可得答案.【詳解】由題意將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象，再將該圖象向右平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，即，作出以及的圖象，如圖，

由圖象可知的圖象與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為3，故選：C40．設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】作出函數(shù)的圖象，將問題轉(zhuǎn)化為方程的根，令，先確定的根，再得的根，結(jié)合函數(shù)圖象即可獲解.【詳解】函數(shù)的圖象如下圖所示：

令，則函數(shù)的零點(diǎn)滿足，即，所以??，當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合函數(shù)的圖象可得的根有3個(gè)；當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合函數(shù)的圖象可得的根有1個(gè)；當(dāng)時(shí)，則，結(jié)合函數(shù)的圖象可得的根有0個(gè)；綜上可得，函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是個(gè).故選：C.41．函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】把函數(shù)拆分為兩個(gè)函數(shù)，分別作出圖象，結(jié)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)來求解答案.【詳解】；在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)和的圖象，又，；所以函數(shù)和恰有3個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故選：C.42．函數(shù)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】【分析】由可知或，在上分別解出符合題意得的取值即可.【詳解】令，由二倍角公式可得，即，解得或，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，解得或；若，解得或；綜上所述，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè).故答案為：43．若函數(shù)對定義域內(nèi)任意實(shí)數(shù)x均滿足，其中，則稱是“等值函數(shù)”．若函數(shù)（a＞0）是“2等值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a＝，函數(shù)在區(qū)間上零點(diǎn)個(gè)數(shù)為【答案】2【分析】根據(jù)是“2等值函數(shù)”，則對恒成立，列式可求得，的最小正周期為8，結(jié)合圖象確定與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得出答案.【詳解】是“2等值函數(shù)”，對恒成立，，不恒為，又.的最小正周期為8，把視為第一個(gè)周期，則區(qū)間包含個(gè)周期，且每個(gè)周期內(nèi)與的交點(diǎn)均在前半個(gè)周期內(nèi)，如圖，

故函數(shù)在區(qū)間上共有253×2＝506個(gè)零點(diǎn)．故答案為：2，506．44．已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求在上的值域；(3)試討論函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)(2)(3)答案見解析【分析】（1）利用三角恒等變換和正弦型函數(shù)的周期公式即可得到答案；（2）利用整體法求出，再通過正弦型函數(shù)的值域求解方法即可；（3）等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程在上的解的個(gè)數(shù)，再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)與值域即可.【詳解】（1）函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期為.（2）在上，，可得.（3）函數(shù)在上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即方程在上的解的個(gè)數(shù).，當(dāng)或時(shí)，方程有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)解，當(dāng)或時(shí)，方程無解.綜上可得，當(dāng)或時(shí)，一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，沒有零點(diǎn).45．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期；(2)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到的圖象，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，最小正周期為(2)答案見解析【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡得到，利用整體代入法可求得的單調(diào)遞減區(qū)間；由正弦型函數(shù)最小正周期的求法可得最小正周期；（2）根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得，分別在、的情況下，得到的單調(diào)性和值域，通過分析最值可確定不同取值范圍時(shí)，的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1），令，解得：，的單調(diào)遞減區(qū)間為，最小正周期.（2）由題意得：；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)椋划?dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減，值域?yàn)?；則當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；；當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)；綜上所述：當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同零點(diǎn)題型八 函數(shù)的零點(diǎn)之和問題46．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為（

）A．16 B．32 C．36 D．48【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及推理可得出函數(shù)的周期、對稱中心，根據(jù)零點(diǎn)定義轉(zhuǎn)化為方程解的關(guān)系，結(jié)合圖象以及對稱性即可求解.【詳解】依題意函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，又，所以函數(shù)關(guān)于軸對稱，且，所以，即，所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱；令，得，由反比例函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)的圖象關(guān)于中心對稱，又當(dāng)時(shí)，，結(jié)合對稱性和周期性作出函數(shù)和的圖象，如圖所示，由圖可知，函數(shù)和的圖象有8個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于中心對稱，所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點(diǎn)之和為.故選：B47．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱 B．的圖像關(guān)于直線對稱C．存在使得 D．在上的零點(diǎn)之和為【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋訟正確，故不符合題意；因?yàn)椋訠錯(cuò)誤，故符合題意；因?yàn)?，所以C正確，故不符合題意；當(dāng)時(shí)，由，得或，因?yàn)闀r(shí)，，所以在上的實(shí)根之和為0，所以D正確，故不符合題意．故選：B．48．（多選）已知函數(shù)，（其中是大于的常數(shù)），則的所有零點(diǎn)之和可能是（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】當(dāng)時(shí)，令，則，令，，則兩函數(shù)都關(guān)于對稱，作兩函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析即可得出答案.【詳解】，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，令，則，令，，則兩函數(shù)都關(guān)于對稱，作函數(shù)，的圖象，如圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以，故C正確；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，所以，故A正