2022屆興義市高三第五次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1,寧波古圣王陽明的《傳習(xí)錄》專門講過易經(jīng)八卦圖，下圖是易經(jīng)八卦圖（含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦）,

每一卦由三根線組成（“一”表示一根陽線，“——”表示一根陰線）.從八卦中任取兩卦，這兩卦的六根線中恰有四根陰

線的概率為（）

2.已知集合用={%|-1<》<5},'=卜|國<2},則（）

A.{x|-l<%<2}B.{x[—2<x<5}C.{x|-l<x<5}D.{x[0<x<2}

3.中國古典樂器一般按“八音”分類.這是我國最早按樂器的制造材料來對樂器進(jìn)行分類的方法，最先見于《周禮?春

官?大師》，分為“金、石、土、革、絲、木、匏（pa。）、竹”八音，其中“金、石、木、革”為打擊樂器，“土、匏、竹”

為吹奏樂器，“絲”為彈撥樂器.現(xiàn)從“八音”中任取不同的“兩音”，則含有打擊樂器的概率為（）

4.已知/（x）為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)xe（-1,0）時(shí)，y（x）=3'+j

A.-2

5.我國古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果，其中的《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，

有豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn).這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.某中學(xué)

擬從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選2部專著中至少有一部是漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期專著的概率為（）

3749

A.B.—C.-D.

5105lo

%>1

6.已知實(shí)數(shù)X,)‘滿足,則Z=/+>2的最大值等于()

尤+2y-6W0

A.2B.272C.4D.8

___2___一一1一

7.如圖，在AABC中，AN=-NCP是BN上一點(diǎn),若AP=rAB+§AC,則實(shí)數(shù)/的值為()

B

213

B.-C.一D.-

3564

e\x<\

8.已知函數(shù)/(x)=<若方程/(X)-如-1=0恰有兩個(gè)不同實(shí)根，則正數(shù)，”的取值范圍為()

/(x-2),x>1,

p-\\

ARU(LeT)U(L-1]

D.

9.已知函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且滿足/。)=/(2—幻，當(dāng)xe［O,l］時(shí)，/(x)=x,則函數(shù)

x+4

尸(x)=/(x)+「I在區(qū)間1-9/0］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()

1-2%

A.9B.10C.18D.20

在(*-工)'°的展開式中，/的系數(shù)為()

10.

2x

-120B.120D.15

51

11.函數(shù)g(x)=公由(〃>+0)(/4>0,?！?〈2?)的部分圖象如圖所示，已知g(0)=gG,函數(shù)y=/(x)

的圖象可由y=g(x)圖象向右平移;個(gè)單位長度而得到，則函數(shù)/(x)的解析式為()

A./(x)=2sin2xB./(x)=2sinf2x+-1-

C./(x)=-2sinxD./(x)=2sin^2x-yj

12.已知平面向量￡,以滿足W，忖=1,且悔+4叩+即則￡與石的夾角為()

TC7t_27rc5乃

A.-Bn.-C.—D.—

6336

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖，機(jī)器人亮亮沿著單位網(wǎng)格，從A地移動到B地，每次只移動一個(gè)單位長度，則亮亮從A移動到B最近的走

法共有一種.

14.一個(gè)房間的地面是由12個(gè)正方形所組成，如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面，已知每一塊長方形瓷磚可以覆

蓋兩塊相鄰的正方形，即或，則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有種.

15.已知函數(shù)/(x)=-x3+x+a,xe[—,e]與g(x)=3/，tr-x-l的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，則〃的取值范圍為

16.在正方體ABCD-AMGA中，已知點(diǎn)P在直線Ag上運(yùn)動，則下列四個(gè)命題中：①三棱錐。-G6P的體積不

變;②。PL'C；③當(dāng)P為AB1中點(diǎn)時(shí)，二面角P-AG-C的余弦值為半；④若正方體的棱長為2,貝!||。日+忸日

的最小值為次+4及；其中說法正確的是(寫出所有說法正確的編號)

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)記S,,為數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，已知S“=〃2,等比數(shù)列也｝滿足么=q,4=%.

(1)求｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)求也｝的前〃項(xiàng)和7“?

18.(12分)第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》中，提出推行生

活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關(guān)法規(guī)宣傳

普及的關(guān)系，對某試點(diǎn)社區(qū)抽取5()戶居民進(jìn)行調(diào)查，得到如下的2x2列聯(lián)表.

分類意識強(qiáng)分類意識弱合計(jì)

試點(diǎn)后5

試點(diǎn)前9

合計(jì)50

已知在抽取的5()戶居民中隨機(jī)抽取1戶，抽到分類意識強(qiáng)的概率為()58.

(1)請將上面的2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識的強(qiáng)弱與政府宣傳普及工作有

關(guān)？說明你的理由；

(2)已知在試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的9戶居民中，有3戶自覺垃圾分類在12年以上，現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的9戶居民

中，隨機(jī)選出3戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在12年以上的戶數(shù)為X,求X分布列及

數(shù)學(xué)期望.

參考公式：K2=-----------------------------,其中〃=a+/?+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

下面的臨界值表僅供參考

2

P（K>k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

19.(12分)在△ABC中，角AB,C的對邊分別為a,且csin8=bsin(乙一。)+屜.

3

(1)求角C的大??；

(2)若c=",a+/?=3,求AB邊上的高.

20.(12分)設(shè)函數(shù)/(x)=e'-ax-l(aeR).

(1)討論函數(shù)/(x)的單調(diào)性；

(2)若關(guān)于x的方程ln(ar+a+l)=x+l有唯一的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.

21.(12分)已知等差數(shù)列｛%｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，S“為等差數(shù)列｛”“｝的前〃項(xiàng)和，4=1,

(1)求數(shù)列｛斯｝的通項(xiàng)斯；

(2)設(shè)瓦=詼-3",求數(shù)列｛瓦｝的前“項(xiàng)和7”.

x=—1—3f

22.(10分)已知直線/的參數(shù)方程為c“。為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，工軸的非負(fù)半軸為極軸且取相同

、y=2+4r

的單位長度建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為p=2叵cosp-.

(1)求直線/的普通方程及曲線。的直角坐標(biāo)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)P(-1,2),直線/與曲線C交于A3兩點(diǎn)，求|AB|+|B4|?|PB|的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.B

【解析】

根據(jù)古典概型的概率求法，先得到從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)，再找出這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本

事件數(shù)，代入公式求解.

【詳解】

從八卦中任取兩卦基本事件的總數(shù)〃==28種，

這兩卦的六根線中恰有四根陰線的基本事件數(shù)有6種，

分別是（巽，坤），（兌，坤），（離，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），

所以這兩卦的六根線中恰有四根陰線的概率是p=~=^.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型的概率，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.A

【解析】

考慮既屬于"又屬于N的集合，即得.

【詳解】

:N={x[-2<%<2},McN={x|-1WX<2}.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

3.B

【解析】

分別求得所有基本事件個(gè)數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式可求得結(jié)果.

【詳解】

從“八音,，中任取不同的“兩音,，共有C2=28種取法；

“兩音”中含有打擊樂器的取法共有C；-C：=22種取法；

土―2211

..所求概率〃=與=R。

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查古典概型概率問題的求解，關(guān)鍵是能夠利用組合的知識求得基本事件總數(shù)和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù).

4.D

【解析】

2

判斷-1<log3-<0,利用函數(shù)的奇偶性代入計(jì)算得到答案.

2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求值，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.

5.D

【解析】

利用列舉法，從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有1。種情況，所選2部專著中至

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有9種情況，由古典概型概率公式可得結(jié)果.

【詳解】

《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》、《緝古算經(jīng)》，這5部專著中有3部產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝

時(shí)期.記這5部專著分別為仇C,d,e,其中”,仇c產(chǎn)生于漢、魏、晉、南北朝時(shí)期.從這5部專著中選擇2部作為“數(shù)

學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，基本事件有阪ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10種情況，所選2部專著中至少有一部

是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的基本事件有共9種情況，所以所選2部專著中至

m9

少有一部是漢、魏、晉、南北朝時(shí)期專著的概率為2=—=77.故選D.

n10

【點(diǎn)睛】

本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的

關(guān)鍵，基本事件的探求方法有（1）枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；（2）樹狀圖法：適合于較

為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫出：先（A，4），（A，員）….（A，紇）,

再（4,旦），（4，修）…（4,紇）依次（怎即（&,灰）….（人迅）…這樣才能避免多寫、漏寫現(xiàn)象的發(fā)生.

6.D

【解析】

畫出可行域，計(jì)算出原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離，由此求得2的最大值.

【詳解】

畫出可行域如下圖所示，其中A0,|),C(2,2),由于=『+(|]=亭」℃|=2起，所以|0C|>|Q4|,

所以原點(diǎn)到可行域上的點(diǎn)的最大距離為2加.

所以z的最大值為(2夜『=8.

故選：D

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查根據(jù)可行域求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.

7.C

【解析】

—?2—?

由題意，可根據(jù)向量運(yùn)算法則得到(1-/n)AB，從而由向量分解的唯一性得出關(guān)于，的方程，求出

f的值.

【詳解】

由題意及圖，AP=AB+BP=AB+mBN=AB+m^AN-AB^=mAN+AB,

又，AN=-NC,所以=/.AP=~mAC+(1-/n)而，

l-m=t

—1—51

又經(jīng)=，48+彳4。，所以21,解得m=h,f=w，

3—m--66

［53

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查平面向量基本定理，根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基礎(chǔ)題.

8.D

【解析】

當(dāng)X>1時(shí)，函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示，方程兩個(gè)不同實(shí)根，即函數(shù)/(X)和y=，"+l有圖像兩個(gè)交

點(diǎn)，計(jì)算七0=?,kBC^e-\,根據(jù)圖像得到答案.

【詳解】

當(dāng)x>l時(shí)，/(x)=/(x-2),故函數(shù)周期為2,畫出函數(shù)圖像，如圖所示:

方程/(x)-如T=0,HP/(x)=mx+l＞即函數(shù)/(x)和y=〃a+l有兩個(gè)交點(diǎn).

fM=ex,f\x)=ex,故/(0)=1,8(1,e),C(3,e),L=?，L1.

根據(jù)圖像知：加-

本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，確定函數(shù)周期畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.

9.B

【解析】

r4-4-

由已知可得函數(shù)/(x)的周期與對稱軸，函數(shù)尸(X)=/(x)在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)/(X)

1-2%

y4-4-

與g(x)=---圖象在［-9,10］上交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出函數(shù)/(X)與g(x)的圖象如圖，數(shù)形結(jié)合即可得到答案.

1-2%

【詳解】

Y+4+4

函數(shù)尸(x)=f(x)+工^在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等價(jià)于函數(shù)/(X)與g(X)=一二’圖象在［-9,10］上交

1-2%1-2%

點(diǎn)的個(gè)數(shù)，

由f(x)=f(2-x),得函數(shù)/(x)圖象關(guān)于x=l對稱，

?：f(X)為偶函數(shù)，取x=x+2,可得/(x+2)=/(-x)=/(x),得函數(shù)周期為2.

又\?當(dāng)xG［0,1］時(shí)，f(x)=x,且/(x)為偶函數(shù)，...當(dāng)0］時(shí)，f(x)=-x,

,、x+4x+419

g(x)=------=-----=—H-------,

l-2x2x-124x-2

作出函數(shù)/(x)與g(X)的圖象如圖：

x+4

即函數(shù)尸(x)=/(x)+-----在區(qū)間［-9,10］上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為10.

1-2%

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題.

10.C

【解析】

寫出(X—'-)|°展開式的通項(xiàng)公式&i=Go(-令1()—2「=4,即廠=3,則可求系數(shù).

2x2

【詳解】

(X—」-尸的展開式的通項(xiàng)公式為Co/T(—1-)'令10-2r=4,即r=3時(shí),系數(shù)為

2x2x2

a1a

%(—］)=T5.故選C

【點(diǎn)睛】

本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題.

11.A

【解析】

由圖根據(jù)三角函數(shù)圖像的對稱性可得2x2=1,利用周期公式可得0,再根據(jù)圖像過K，0),(0,6)，即

可求出e，A,再利用三角函數(shù)的平移變換即可求解.

【詳解】

r-T><

由圖像可知一=——2x—=—,即7=7，

2662

所以T=主，解得。=2,

CO

又=公由上?+夕卜。，

兀

所以§+°=Z兀(keZ),由0<°<2萬，

所以9=W或日，

又g@=百，

所以Asin°=百，(A>0),

.2兀

所以夕=-^~,A=2,

即g(x)=2sin+,

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)的圖象由y=g(x)圖象向右平移?個(gè)單位長度而得到，

所以y=/(x)=2sin12+=2sin2x.

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考查了由圖像求三角函數(shù)的解析式、三角函數(shù)圖像的平移伸縮變換，需掌握三角形函數(shù)的平移伸縮變換原則，屬

于基礎(chǔ)題.

12.C

【解析】

根據(jù)［21+4=忖+q，兩邊平方上￡+囚2=卜+甲，化簡得焉石=—3(,，再利用數(shù)量積定義得到

2a|\i)cos(a,=-3(a)求解.

【詳解】

因?yàn)槠矫嫦蛄俊?幾滿足同=；,忖=1,且所相￡+0,

所以|2￡+B/=W+B『，

所以2^5=—36『，

所以2abcos(a,b\=-3,)?

所以cos(a,B)=-；,

0rr

所以￡與坂的夾角為年.

故選：c

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的模，向量的夾角和數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.80

【解析】

分三步來考查，先從A到。，再從C到。，最后從。到3,分別計(jì)算出三個(gè)步驟中對應(yīng)的走法種數(shù)，然后利用分步

乘法計(jì)數(shù)原理可得出結(jié)果.

【詳解】

分三步來考查：①從A到C,則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個(gè)單位，一步是向上移動一個(gè)單位，此時(shí)有C；種

走法；

②從。到。，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個(gè)單位，三步是向上移動一個(gè)單位，此時(shí)有C；種走法；

③從。到8,由①可知有C；種走法.

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有C；C：C；=80種不同的走法.

故答案為：80.

【點(diǎn)睛】

本題考查格點(diǎn)問題的處理，考查分步乘法計(jì)數(shù)原理和組合計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中等題.

14.11

【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定，再由此進(jìn)行分類，在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進(jìn)行分類，在

其中會有相同元素的排列問題，需用到“縮倍法采用分類計(jì)數(shù)原理，求得總的方法數(shù).

【詳解】

(1)先貼如圖這塊瓷磚,

然后再貼剩下的部分，按如下分類:

5<人|-------1；5!!=,1,

E

2個(gè)

3!

一個(gè)?|卜31

1個(gè)—=3,

2!

(2)左側(cè)兩列如圖貼磚,

然后貼剩下0的部分:

3個(gè)3!

03!

1個(gè)

2個(gè)：2!=2,

綜上，一共有1+4+3+1+2=11(種).

故答案為：11.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分類計(jì)數(shù)原理，排列問題，其中涉及到相同元素的排列，用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.

15.［2,e3-2］

【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關(guān)于“軸對稱的點(diǎn)的等價(jià)命題是方程-_?+%+0=-3/加+%+1在區(qū)間心⑼上有解，化簡方程

e

。-1=丁-3/以在區(qū)間A，e］上有解，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，求出單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)性質(zhì)得解.

e

【詳解】

解：根據(jù)題意，若函數(shù)/(xQ-f+x+advxWe)與g(x)=31nx-x-l的圖象上存在關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，

e

則方程-d+x+k-3歷x+%+1在區(qū)間J⑼上有解，

e

即方程a-l=x3-3bu在區(qū)間/,<1上有解，

e

設(shè)函數(shù)g(x)=x3-3lnx,其導(dǎo)數(shù)g口)=3/_』=3(1T),

XX

又由可得：當(dāng)時(shí)，g'(x)vO,g(尤)為減函數(shù)，

ee

當(dāng)1Wx<e時(shí)，g'(x)>0,g(x)為增函數(shù)，

故函數(shù)g(x)=x3-3/〃x有最小值8⑴=1,

又由gd)=《+3,g(e)=e3—3；比較可得：g(2)<g(e),

ee'e

故函數(shù)8(力=13-3如有最大值8(6)=/一3,

故函數(shù)g(x)=xJ3/nx在區(qū)間［gel上的值域?yàn)椋?4-3］；

若方程a+1=V一3/收在區(qū)間A,H上有解，

e

必有l(wèi)?a-lWe3—3,則有2?aWe3—2,

即。的取值范圍是［2,/-2］

故答案為：［2,/-2］；

【點(diǎn)睛】

本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題，函數(shù)零點(diǎn)問題的拓展.由于函數(shù)y=/(x)的零點(diǎn)就是方程

/(x)=0的根，在研究方程的有關(guān)問題時(shí)，可以將方程問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點(diǎn)是借助函數(shù)的零點(diǎn),

結(jié)合函數(shù)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想加以解決.

16.①④

【解析】

①AB"￡>G，???A旦〃平面DBQ,得出A4上任意一點(diǎn)到平面DBC1的距離相等，所以判斷命題①；

②由已知得出點(diǎn)尸在面DCG9上的射影在。G上，根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理，可判斷命題②；

③當(dāng)P為A4中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。一孫Z,如下圖所示，運(yùn)用二面角的空間向量求解方法

可求得二面角p-AG-C的余弦值，可判斷命題③；

④過人用作平面A片用交AR于點(diǎn)做點(diǎn)。關(guān)于面A4M對稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面內(nèi)，根據(jù)對稱

性和兩點(diǎn)之間線段最短，可求得當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)片時(shí)，在一條直線上，忸外取得最小值|GB|.可判斷命題

④.

【詳解】

①???43"Z)G，???45〃平面DBC1,所以A4上任意一點(diǎn)到平面DBC1的距離相等，所以三棱錐?！狢/P的體積

不變，所以①正確；

②P在直線A片上運(yùn)動時(shí)，點(diǎn)P在面OCG2上的射影在DG上，所以。尸在面。上的射影在0G上，又

DC,±CD,,所以。PLDC，所以②正確；

③當(dāng)P為AB1中點(diǎn)時(shí)，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角系。一型，如下圖所示，設(shè)正方體的棱長為2.

則：4(2,0,0),Bi(2,2,2),P(2,1,1),A(2,0,2),C,(0,2,2),C(0,2,0),所以

=（-2,2,Q）,PAi=（0,-l,l）,CQ=（0,0,2）,

一沅?而=0f-2x+2y=0

設(shè)面4Gp的法向量為加=（x,y,z）,則{2L1,即1'',令x=i,則y=i,z=i,.?.慶=（1,1,1）,

m-PA^=01—y+z=0

n-AC=0f-2x+2y=0

設(shè)面AG。的法向量為而=（x，y，z）,???上八，即.八...為=（i,i,o）,

n-CC{=02z=0

...cos〈族”>=粵匹=7^尸=邁

,由圖示可知，二面角。-4&-。是銳二面角，所以二面角「-46一。

\m\-\n\V3xV23

的余弦值為如，所以③不正確;

3

④過AB1作平面A用M交4。于點(diǎn)做點(diǎn)。關(guān)于面對稱的點(diǎn)G,使得點(diǎn)G在平面內(nèi)，

則。P=GP,D4=G4,OGJ_A%所以|。?|+怛尸|=|GH+|BP|,當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)片時(shí)，在一條直線上,

|國+|即取得最小值|GB|.

因?yàn)檎襟w的棱長為2,所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為G（2,〃z,〃），DG={2,m,n）,^'=（0,2,2）,所以

DG-AB、=2加+2〃=0，

所以m=—〃，又DA=GA=2,所以m=—y/2,n=V2，

所以G（2,—JI拒），B（2,2,0）,|G8|="2—2、+（一0一2『+（』一0『=加48，故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】

本題考查空間里的線線，線面，面面關(guān)系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運(yùn)用對稱的

思想，兩點(diǎn)之間線段最短進(jìn)行求解，屬于難度題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（1）a“=2〃—l（〃eN）（2）當(dāng)4=3時(shí)，T=----；當(dāng)q=-3時(shí)，T

、/22n44

【解析】

（1）利用數(shù)列a?與5?的關(guān)系，求得氏=2〃-1；

（2）由（1）可得：瓦=1,4=9,算出公比4,利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求出7“.

【詳解】

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，4=4=1,

當(dāng)鹿N2時(shí)，cin—Sn-S“_]

=n2—(n-I)2

=2〃-l,

因?yàn)閝=1適合上式，

所以a“=2〃-1(〃wN).

(2)由(1)得々=1,Z?3=9,

設(shè)等比數(shù)列｛a｝的公比為q,則a=*/=9,解得<7=±3,

113，，

當(dāng)4=3時(shí)，T=-(-)=y_j_>

“1-322

當(dāng)好-3時(shí)，r=l-[l-(-3r]=l.(z3T.

“1-(-3)44

【點(diǎn)睛】

本題主要考查數(shù)列4與S“的關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前〃項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識，考

查運(yùn)算求解能力.

18.(1)有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.見解析(2)分布列見解析，期望為1.

【解析】

(1)由在抽取的5()戶居民中隨機(jī)抽取1戶，抽到分類意識強(qiáng)的概率為()58可得列聯(lián)表，然后計(jì)算K?后可得結(jié)論；

(2)由已知X的取值分別為01,2,3,分別計(jì)算概率得分布列，由公式計(jì)算出期望.

【詳解】

解：(1)根據(jù)在抽取的50戶居民中隨機(jī)抽取1戶，到分類意識強(qiáng)的概率為058,可得分類意識強(qiáng)的有29戶，故可得2x2

列聯(lián)表如下：

分類意識強(qiáng)分類意識弱合計(jì)

試點(diǎn)后20525

試點(diǎn)前91625

合計(jì)292150

因?yàn)镵2的觀測值人喋黑著=需“9.934”879’

所以有99.5%的把握認(rèn)為居民分類意識強(qiáng)與政府宣傳普及工作有很大關(guān)系.

(2)現(xiàn)在從試點(diǎn)前分類意識強(qiáng)的9戶居民中，選出3戶進(jìn)行自覺垃圾分類年限的調(diào)查，記選出自覺垃圾分類年限在12

年以上的戶數(shù)為X,則X=0,1,2,3,

C3SC2C]15

故「吠=0)=消=五，P(X=1)=3=^

23

P(X=2)=誓C'c=±3,P(X=3)=c二=1」,

CJ14仁84

則X的分布列為

X0123

51531

P

21281484

E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=1.

21281484

【點(diǎn)睛】

本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望.考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力和運(yùn)算求解能力.

19-⑴停⑵f

【解析】

(1)利用正弦定理將邊化成角，可得sinC=sin(巴一C)+6,展開并整理可得sin(C-至)=1,從而可求出角C；

36

(2)由余弦定理得C2=〃+^—2"COSC,進(jìn)而可得(。+?2一。。=7,由。+匕=3,可求出出?的值，設(shè)AB邊上的

高為〃，可得的面積為La8sinC=，M,從而可求出

22

【詳解】

(1)由題意，由正弦定理得sinCsinB=sinBsin(二一C)+Gsin6.

3

因?yàn)?e(0,兀)，所以sinB>0,所以sinC=sin(：—0+6,展開得sinC=3cosC—，sinC+百，整理得

322

Tl

sin(C--)=l.

因?yàn)?<。<兀，所以一二<C—色〈如，故。一過=藝，即。=型.

666623

(2)由余弦定理得/=/+從一/cosC,則/+>2+4,=7,得他+。)2一。。=7,故必=(。+。)2-7=9-7=2,

故AABC的面積為LqbsinC=sin—=X3.

232

設(shè)AB邊上的高為〃，有也〃=近,故〃=且，

227

所以A3邊上的高為叵.

7

【點(diǎn)睛】

本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算求解能力，屬于中檔

題.

20.(1)當(dāng)“40時(shí)，.f(x)遞增區(qū)間時(shí)(《,+8),無遞減區(qū)間，當(dāng)a>()時(shí)，f(x)遞增區(qū)間時(shí)(Ina,+8),遞減區(qū)間

時(shí)(-℃,Ina)；(2)440或4=1.

【解析】

(1)求出了‘(X),對。分類討論，先考慮r(x)N0(或f(x)WO)恒成立。的范圍，并以此作為a的分類標(biāo)準(zhǔn)，若

不恒成立，求解/'(%)>,/'(%)<0,即可得出結(jié)論；

(2)ln(ar+a+l)=x+l有解，即/+】-a(x+1)-1=0,令，=x+1,/?)=0,轉(zhuǎn)化求函數(shù)/。)=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,

根據(jù)(1)中的結(jié)論，即可求解.

【詳解】

(1)f^x)-ex-ax-\,f'{x)-ex-a,

當(dāng)。40時(shí)，/'(x)>0恒成立，

當(dāng)a>0時(shí)，f\x)>0,x>Ina,f\x)<0,x<In?,

綜上，當(dāng)。40時(shí)，/(X)遞增區(qū)間時(shí)(-8,+8),無遞減區(qū)間，

當(dāng)。>0時(shí)，“X)遞增區(qū)間時(shí)(lna,+8),遞減區(qū)間時(shí)(-8,Ina)；

(2)ln(ax+6!+l)=x+l<=>ex+x=a(x+l)+l>0,

oe'+i—a(x+1)-1=0

令x+l=r,原方程只有一個(gè)解，只需/Q)=0只有一個(gè)解，

即求/(x)=e*-翻一1只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍，

由(1)得當(dāng)時(shí)，/(X)在(7,+8)單調(diào)遞增，

且7(0)=0,函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，原方程只有一個(gè)解-1,

當(dāng)a>0時(shí)，由(1)得/(X)在x=Ina出取得極小值，也是最小值，

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)min=0,此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，

原方程只有一個(gè)解-1,

當(dāng)a>0且a。1

遞增區(qū)間時(shí)(Ina,+8),遞減區(qū)間時(shí)(—8,Ina)；

/(lna)</(0)=0,當(dāng)x-7,/(x)->+8,

x-