河北省張家口市張?jiān)?lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1河北省張家口市張?jiān)?lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段測(cè)試數(shù)學(xué)試題考試說(shuō)明：1.本試卷共150分.考試時(shí)間120分鐘.2.請(qǐng)將各題〖答案〗填在答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗B〖解析〗因?yàn)樵趻佄锞€(xiàn)上，所以，解得，故拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，所以點(diǎn)到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故選：B.2.已知兩點(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等，則（）A.1 B.-5 C.1或-5 D.1或-8〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線(xiàn)的距離相等，所以或，故選：C.3.雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線(xiàn)的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗令，得，經(jīng)過(guò)一、三象限的漸近線(xiàn)方程為，其傾斜角為.故選：B4.若方程表示雙曲線(xiàn)，則的取值范圍是（）A.或 B.C.或 D.〖答案〗B〖解析〗由題意得，解得.故選：B.5.四棱錐中，底面是平行四邊形，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，若，則（）A.1 B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意，，又，不共面，則.故選：A.6.在拋物線(xiàn)上有三點(diǎn).為其焦點(diǎn)，且為的重心，則（）A.6 B.8 C.10 D.12〖答案〗A〖解析〗為的重心，故.設(shè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為拋物線(xiàn)為其焦點(diǎn)，.，即點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，，，.故選：A.7.若點(diǎn)為圓的弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程為（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則.兩式作差可得，即.又是的中點(diǎn)，則，，即.，直線(xiàn)的方程為，即.經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.故弦所在直線(xiàn)的方程為：.故選：B.8.已知兩點(diǎn)，若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由直線(xiàn)，變形可得，由，解得，可得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，則，若直線(xiàn)與線(xiàn)段有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)斜率的取值范圍為.故選：A.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.對(duì)拋物線(xiàn)，下列描述正確的是（）A.開(kāi)口向下，準(zhǔn)線(xiàn)方程為B.開(kāi)口向下，焦點(diǎn)為C.開(kāi)口向左，焦點(diǎn)為D.開(kāi)口向左，準(zhǔn)線(xiàn)方程為〖答案〗AB〖解析〗由題設(shè)，拋物線(xiàn)可化為，開(kāi)口向下，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為.所以AB正確，CD錯(cuò)誤.故選：AB.10.已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，若橢圓上有4個(gè)點(diǎn)使得，則的離心率可以是（）A. B. C. D.〖答案〗CD〖解析〗設(shè)，依題意有①，又，所以②，易知，所以②除以①的平方得，，所以，即或（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有2個(gè)點(diǎn)使得，故舍去，又橢圓的離心率，所以.故選：CD.11.若是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，為的左?右焦點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為B.若，則三角形的周長(zhǎng)為C.的最小值是D.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離是2〖答案〗BC〖解析〗對(duì)于，由雙曲線(xiàn)得，則，即，故雙曲線(xiàn)實(shí)軸長(zhǎng)為，故錯(cuò)誤；對(duì)于，由，即，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，解得，則的周長(zhǎng)為，故B正確；對(duì)于，易知，故C正確；對(duì)于，由選項(xiàng)知，雙曲線(xiàn)焦點(diǎn)為，漸近線(xiàn)為，即，所以焦點(diǎn)到漸近線(xiàn)的距離為，故錯(cuò)誤.故選：.12.已知點(diǎn)分別在圓和圓上.則（）A.的最小值為3B.的最大值為8C.若成為兩圓的公切線(xiàn)，方程可以是D.若成為兩圓的公切線(xiàn)，方程可以是〖答案〗BC〖解析〗圓的圓心坐標(biāo)，半徑，圓，即的圓心坐標(biāo)，半徑.圓心距，所以?xún)蓤A外離.又在圓上，在圓上則的最小值為，最大值為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離，M到直線(xiàn)的距離，所以是兩圓的公切線(xiàn)，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)榈街本€(xiàn)的距離，所以是圓的切線(xiàn)，但到直線(xiàn)的距離，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，若，則__________.〖答案〗21〖解析〗由，得，得.因?yàn)椋?或，解得（舍去）或.故〖答案〗為：21.14.已知圓與圓和圓均外切，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗當(dāng)圓與圓均外切時(shí)，，所以，則點(diǎn)的軌跡為雙曲線(xiàn)的上支，設(shè)軌跡方程為，則，則，所以軌跡方程為.故〖答案〗為：.15.已知拋物線(xiàn)，一條平行于軸的光線(xiàn)從點(diǎn)射入，經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)過(guò)上的另一點(diǎn)，則的坐標(biāo)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗光線(xiàn)平行于軸,從點(diǎn)射入，則有，根據(jù)拋物線(xiàn)性質(zhì)，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)焦點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，代入拋物線(xiàn)的方程解得或，可得的坐標(biāo)為.故〖答案〗為：16.幾何體結(jié)構(gòu)素描是學(xué)習(xí)素描最重要的一個(gè)階段.某同學(xué)在畫(huà)“切面圓柱體”（用不平行于圓柱底面的平面去截圓柱，圓柱底面與截面之間的部分叫做切面圓柱體）的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)“切面”是一個(gè)橢圓，若切面所在平面與底面成角，則該橢圓的離心率為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗如圖所示：切面與底面的二面角的平面角為，故，設(shè)圓半徑為，則，設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)及短軸長(zhǎng)分別為，故，故，所以.故〖答案〗為：四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.求滿(mǎn)足下列條件的雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且與雙曲線(xiàn)具有相同的漸近線(xiàn)；（2）與橢圓共焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn).解：（1）因?yàn)樗箅p曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)具有相同的漸近線(xiàn)，故設(shè)要求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，代入點(diǎn)，得，則雙曲線(xiàn)的方程為（2）橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，在軸上.所以設(shè)所求雙曲線(xiàn)的方程為.則，解得：，即所求方程為：.18.菱形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為邊所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn).（1）求邊所在直線(xiàn)的方程；（2）求對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程.解：（1）由菱形的性質(zhì)可知:.邊所在直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，則.又點(diǎn)坐標(biāo)，邊所在直線(xiàn)方程為，即.所以邊所在直線(xiàn)的方程為.（2），線(xiàn)段的中點(diǎn)為，且.由菱形的幾何性質(zhì)可知：且為的中點(diǎn).則.所以對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為，即.所以對(duì)角線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為：.19.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線(xiàn)上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線(xiàn)被后人稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn).已知的頂點(diǎn)，且的歐拉線(xiàn)的方程為，若外接圓圓心記為.（1）求圓的方程；（2）過(guò)點(diǎn)引圓的切線(xiàn)，求切線(xiàn)的長(zhǎng).解：（1）因，則的中點(diǎn)為，又，則的中垂線(xiàn)方程為.將其與歐拉線(xiàn)方程聯(lián)立有，解得故的外心為，則外接圓半徑為，故圓的方程為.（2）設(shè)切點(diǎn)為，由題有，故切線(xiàn)長(zhǎng).20.已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)與雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)重合.（1）求的方程；（2）若直線(xiàn)與相交于兩點(diǎn)，求.解：（1）雙曲線(xiàn)即，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，，即.拋物線(xiàn)的方程為；（2）將拋物線(xiàn)方程與直線(xiàn)方程聯(lián)立得，消去，得，，設(shè)，則，故21.如圖，四棱錐中，底面是矩形，，且.（1）求證：平面；（2）若，在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面夾角的余弦值為？若存在，找出點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：（1），，平面，，故平面，平面，故，同理可得，，平面，故平面（2）如圖所示：以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則設(shè)，則，有，，平面的一個(gè)法向量是，設(shè)平面的一個(gè)法向量是，則，取得，即，解得，即存在點(diǎn)滿(mǎn)足條件，是上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn).22.以雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，離心率倒數(shù)的平方為離心率作一橢圓.（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知為的左焦點(diǎn)，過(guò)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)（在上方），且，若，求斜率的取值范圍.解：（1）因?yàn)殡p曲線(xiàn)的頂點(diǎn)為，所以橢圓的焦點(diǎn)為，因?yàn)殡p曲線(xiàn)的離心率為，所以橢圓的離心率為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，橢圓的焦距為，則