青海省西寧市大通縣2024屆高三上學期期中數(shù)學試題（文）（解析版）

PAGEPAGE1青海省西寧市大通縣2024屆高三上學期期中數(shù)學試題（文）一、選擇題1.已知全集，若集合，則（）A.或 B.或C. D.〖答案〗A〖解析〗∵集合，∴或，故選．2.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z的虛部為（）A B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以復數(shù)z的虛部為.故選：C.3.五一國際勞動節(jié)放假三天，甲、乙兩名同學計劃去敬老院做志愿者，若甲同學在三天中隨機選一天，乙同學在前兩天中隨機選一天，且兩名同學選擇互不影響，則他們在同一天去的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗甲同學在三天中隨機選一天共有3種方法，乙同學在前兩天中隨機選一天共有2種方法，所以一共有種方法，他們在同一天去共有2種，所以他們在同一天去的概率為.故選：B.4.記公差為2的等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.4 B.7 C.8 D.9〖答案〗B〖解析〗依題意，，，所以，即，解得，則.故選：B.5.已知平面向量，，且，則（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗C〖解析〗由平面向量，可得，由，可得，即，則，所以.故選：C．6.設，，，則，，的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，故.故選：C.7.已知變量x，y滿足，則的最大值是（）A.4 B.6 C.8 D.12〖答案〗A〖解析〗作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影四邊形（含邊界），，目標函數(shù)，即表示斜率為，縱截距為的平行直線系，畫直線，平移直線到直線，當直線過點時，直線的縱截距最小，最大，即，所以的最大值為4.故選：A8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題設，對稱軸為且圖象開口向下，則在上遞增，上遞減，由，即恒過且，所以上，上，而在上遞增，且上，上，所以的解集為.故選：C.9.設雙曲線，，是雙曲線上關(guān)于坐標原點對稱的兩點，為雙曲線上的一動點，若，則雙曲線的離心率為（）A.2 B. C. D.5〖答案〗C〖解析〗由題意，設，，則，所以，因為，，所以兩式相減可得，即，因為，所以，則.故選：C10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位后，所得函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱，則（）A.－3 B.－1 C.1 D.2〖答案〗D〖解析〗將函數(shù)的圖象向左平移個單位可得，，∴，又，∴，，∴.故選：D.11.已知拋物線的焦點為，過點的直線交于，兩點，則的中點到的準線的距離的最小值為（）A.2 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗如圖，分別過點，，作準線的垂線，垂足分別為，，，則設直線的方程為，，，，.聯(lián)立，整理得，則，..故選：B.12.已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗函數(shù)有三個零點轉(zhuǎn)化為與有三個交點.,當在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，時取到最大值1.作出圖像如下圖，由圖像可知故選：B.二、填空題13.已知，，C為平面內(nèi)的一個動點，且滿足，則點C的軌跡方程為______________．〖答案〗〖解析〗依題意，設，由，得，即，整得得，所以點的軌跡方程為.故〖答案〗為：14.已知圓錐的側(cè)面積為，且圓錐的側(cè)面展開圖恰好為半圓，則該圓錐外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗設圓錐的底面半徑為，高為，母線長為，則側(cè)面積為，底面圓的周長為，解得，，所以，設圓錐外接球的半徑為，畫出軸截面圖形，如圖，由勾股定理得，解得，所以外接球的表面積為.故〖答案〗：.15.在中內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b、c，，，則面積的最大值為______．〖答案〗〖解析〗因為，所以由正弦定理得，因為，所以，所以，則，因為，，所以，又，所以，因為，，所以，則，當且僅當時，等號成立，所以.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)（且a≠1）在上有一個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為________.〖答案〗〖解析〗函數(shù)（且）在有一個極值點，則在有一個變號零點，當時，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以，不符合題意，舍去.當時，令，則，解得，①當，即時，在上單調(diào)遞增，所以舍去；②當時，即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因為，所以，又因為，所以在內(nèi)存在唯一零點，即在有一個零點；綜上可得，實數(shù)a的取值范圍為.故〖答案〗為：三、解答題（一）必考題17已知數(shù)列{an}前n項和Sn＝n2+n．（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）令bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．解：（1）由題意，當n＝1時，a1＝S1＝12+1＝2，當n≥2時，an＝Sn﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，∵當n＝1時，也滿足上式，∴an＝2n，n∈N*．（2）由（1），可得bn＝＝＝＝則Tn＝b1+b2+???+bn＝＝＝＝18.2023上海蒸蒸日上迎新跑于2023年2月19日舉辦，該賽事設有21.6公里競速跑、5.4公里歡樂跑兩個項目．某馬拉松興趣小組為慶祝該賽事，舉行一場小組內(nèi)有關(guān)于馬拉松知識的有獎比賽，一共有25人報名（包括20位新成員和5位老成員），其中20位新成員的得分情況如下表所示（滿分30分）：得分人數(shù)234641得分在20分以上（含20分）的成員獲得獎品一份．（1）請根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將下面的列聯(lián)表補充完全，并通過計算判斷在20位新成員中，是否有的把握認為“獲獎”與性別有關(guān)？沒獲獎獲獎合計男4女78合計（2）若5名老成員的性別相同并全部獲獎，且進行計算發(fā)現(xiàn)在所有參賽人員中，有的把握認為“獲獎”與性別有關(guān)．請判斷這5名老成員的性別？附：參考公式：．臨界值表：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）依題意可得列聯(lián)表如下：沒獲獎獲獎合計男8412女718合計15520由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計算得到，所以沒有的把握認為“獲獎”與性別有關(guān)．（2）當這名老成員中都為女成員時，計算得，不合題意；當名老成員都為男成員時，計算得，符合題意．故這名老成員全是男成員．19.如圖，四邊形為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點，以為折痕把折起，使點C到達點P的位置，且平面.（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積.（1）證明：因為四邊形為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點，所以，又平面平面，且交線為，所以平面，即.又因為，所以.又，，所以平面，又在平面內(nèi)，故.（2）解：過P作，垂足為Q，則平面.因為，所以，所以，故.20.已知橢圓C：的一個焦點為F（2，0），離心率為．過焦點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，線段AB中點為D，O為坐標原點，過O，D的直線交橢圓于M，N兩點．（1）求橢圓C的方程；（2）求四邊形AMBN面積的最大值．解：（1）由題意可得解得,故橢圓的方程為.（2）當直線斜率不存在時,的坐標分別為,四邊形面積為當直線斜率存在時,設其方程為點,點到直線的距離分別為則四邊形面積為,得,則所以，因為所以中點,當時,直線方程為,解得所以.當時,四邊形面積的最大值綜上四邊形面積的最大值為.21.已知函數(shù)．（1），求函數(shù)的最大值；（2）若恒成立，求a的取值集合；解：（1）當時，的定義域為，，令，得，令，得，因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以；（2）令，，若，而，與恒成立矛盾，所以必有，方程中，，方程兩根有，所以方程必有一正根，記作，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，則有，代入方程，解得，所以a的取值集合為.（二）選考題[選修：坐標系與參數(shù)方程]22.C1的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ=4sinθ.（1）把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；（2）求C1與C2交點的極坐標（ρ≥0，0≤θ<2π）.（1）解：曲線C1的參數(shù)方程為，（α為參數(shù)），轉(zhuǎn)換為直角坐標方程為（x-2）2+（y-4）2=4，轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρ2-4ρcosθ-8ρsinθ+16=0；（2）解：曲線C2的極坐標方程為