2022年上海市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析（3月）

2022年上海市高考模擬試卷(3月)

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條

形碼粘貼在答題卡上的指定位置。

2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑，寫(xiě)在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

3.非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、

草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無(wú)效。

4.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。

一、填空題

1.設(shè)集合4={1,2,3,5},B={2,3,6},則AUB=.

2.命題："mx>0,使得x+1>0"的否定為.

3.函數(shù)y=后的定義域?yàn)?

4.曲線y=%-sin%在％=1處的切線的斜率為.

5.若函數(shù)/(%)=2'+於是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

6.已知a>0,函數(shù)f(x)=%(%-Q)?和g(x)=-%2+(a一)1%+a存在相同的極值點(diǎn),

則Q=.

7.已知函數(shù)fQ)=2sin(tox+9)(3>0).若=0,fQ)=2,則實(shí)數(shù)3的最小值為

8.已知函數(shù)/(無(wú))=sinx(x6[0,兀])與函數(shù)。(%)=；tanx的圖象交于4B,C三點(diǎn)，則ZMBC

的面積為.

9.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足

f(2愴；1)>f(-V2),則a的取值范圍是.

10.已知0<yv%<?,且tanxtany=2,siaxsiny=g,則工一y=.

11.在平行四邊形A8CQ中，ACAD=ACBD=3,則線段AC的長(zhǎng)為.

12.已知E<仇V]^</?<p且sin2asi/夕=sin(a+0)cosacosB，則tan(a+0)的

最大值為.

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13?設(shè)aHO,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)八，)=[/：:；；’：：20有零點(diǎn),且所有零

點(diǎn)的和不大于6,則a的取值范圍為.

14.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-a)|x-a|-x|x|+2a+1(a<0).若存在殉e[-1,1],使

f(xo)4。，貝Ua的取值范圍是.

二、解答題

15.已知sin。+cos9=9E(—-,

2\44/

(1)求。的值；

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=sin?%-siMQ+8),xER,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間.

第2頁(yè)共22頁(yè)

16.如圖，在△ABC中，已知AC=7,48=45。，D是邊4B上的一點(diǎn)，AD=3,Z.ADC=

120°,求:

(1)CD的長(zhǎng);

(2)△4BC的面積.

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17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量6=(1,0),b=(0,2)，設(shè)向量x=d+

(1-cos0)&,y=-ka4-b,其中0V。VTL

(1)若k=4,求％〃的值；

6

(2)若%〃y,求實(shí)數(shù)k的最大值，并求取最大值時(shí)。的值.

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18.對(duì)于函數(shù)/'(x),若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x,滿足〃-為=-/(幻，則稱(chēng)/(x)為“局部

奇函數(shù)

(I)已知二次函數(shù)/(x)=ax2+2x-4a(aeR),試判斷/(x)是否為“局部奇函數(shù)”?

并說(shuō)明理由；

(II)若/(久)=2、+m是定義在區(qū)間［-1,1］上的"局部奇函數(shù)"，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍；

(III)若/(x)=4X-m2x+1+m2-3為定義域R上的“局部奇函數(shù)"，求實(shí)數(shù)m的取值范

19.如圖，4、B是海岸線OM、ON上的兩個(gè)碼頭，Q為海中一小島，在水上旅游線力B上.測(cè)

第5頁(yè)共22頁(yè)

7同］

得tan/MON=-3------km.

5

(1)求水上旅游線4B的長(zhǎng);

(2)海中P(PQ=6km,且PQ1。“)處的某試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P,生成t小時(shí)時(shí)的

半徑為r=6V^lkm.若與此同時(shí)，一艘游輪以小時(shí)的速度自碼頭4開(kāi)往碼頭8,

試研究強(qiáng)水波是否波及游輪的航行？

20.已知函數(shù)/'(x)=(4x+2)lnx,g(x)=x2+4x-5.

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(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程；

(2)證明：當(dāng)xHl時(shí)，曲線y=f(x)恒在曲線y=g(x)的下方；

(3)當(dāng)x6(0,田時(shí)，不等式(2上+1)?/(￡)4(2%+1)-90)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

參考答案

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1.{1,2,356}

【解析】

【分析】

直接利用集合并集的定義求解即可.

【詳解】

因?yàn)榧蟈={123,5},B={2,3,6},

所以AUB={1,2,3,5,6},故答案為{1,2,3,5,6}.

【點(diǎn)睛】

研究集合問(wèn)題，一定要抓住元素，看元素應(yīng)滿足的屬性.研究?jī)杉系年P(guān)系時(shí)，關(guān)鍵是

將兩集合的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素間的關(guān)系，本題實(shí)質(zhì)求滿足屬于集合4或?qū)儆诩螧的元素的集

合.

2.Vx>0,x+1<0

【解析】

【分析】

根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，既要改寫(xiě)量詞，又要否定結(jié)論，可得原命題的否定形

式.

【詳解】

因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，

既要改寫(xiě)量詞，又要否定結(jié)論，

故命題"3%>0,x+1>0"

的否定是Vx>0,x+l<0,故答案為Vx>0,x+l<0.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查特稱(chēng)命題的否定，屬于簡(jiǎn)單題.全稱(chēng)命題與特稱(chēng)命題的否定與命題的否定

有一定的區(qū)別，否定全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題時(shí)，一是要改寫(xiě)量詞，全稱(chēng)量詞改寫(xiě)為存在量詞、

存在量詞改寫(xiě)為全稱(chēng)量詞;二是要否定結(jié)論，而一般命題的否定只需直接否定結(jié)論即可.

3.(0,1]

【解析】

【分析】

直接由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0,分式的分母不等于0,列不等式求解即可得結(jié)果.

【詳解】

第8頁(yè)共22頁(yè)

要使函數(shù)y=后有意義，

1一Y

{--°={（1一支若°解得0<x<1,

.?.函數(shù)丫=月的定義域?yàn)椋?,1］,故答案為（0,1］.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查具體函數(shù)的定義域、不等式的解法，屬于中檔題.定義域的三種類(lèi)型及求

法：（1）已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式（組）求解；（2）對(duì)實(shí)際問(wèn)題：由

實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組）求解；（3）若己知函數(shù)的定義域?yàn)椋踑,回，

則函數(shù)f（g（x））的定義域由不等式a<g（x）<b求出.

4.1

【解析】

【分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，可得到曲線y=x—sinx在x=］處的導(dǎo)數(shù)值，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意

義可得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)榍€y=尤一sinx在x=］處的切線的斜率就是曲線y=x-sinx在x=；處的導(dǎo)數(shù)

值，

由y=x-singly'=1-cosx,

???y'L-"=1—cos-=1,

,X-22

即曲線y=x-sinx在x=三處的切線的斜率為1.故答案為1.

【點(diǎn)睛】

本題考查了利角導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線斜率，曲線在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，即為曲線上

以該點(diǎn)為切點(diǎn)的切線的斜率，是中檔題.

5.1

【解析】

【分析】

由函數(shù)/（x）=2,+卷是偶函數(shù)，利用/（-1）=/（1）求得。=1,再驗(yàn)證即可得結(jié)果.

【詳解】

第9頁(yè)共22頁(yè)

,:/(x)=2X+5是偶函數(shù)，

，/(—1)=f(1),即2+]=：+2。，解得Q=1,

當(dāng)a=l時(shí)，/(一%)=2-、+六=2%+5是偶函數(shù)，合題意，故答案為1.

2乂2乂

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的奇偶性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個(gè),

一是利用：(1)奇函數(shù)由f(x)+f(—x)=0恒成立求解，(2)偶函數(shù)由/(x)-A-x)=0恒

成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由f(0)=0求解，偶函數(shù)一般由八1)一/(一1)=0

求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證奇偶性.

6.3

【解析】

【分析】

(1)求出函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)數(shù)，可得極值點(diǎn),通過(guò)與y=g(x)有相同的極值點(diǎn)，列方程求a

的值.

【詳解】

/(%)=x(x—a)2=x3—2ax2+a2x,

則/''(x)—3x2-4ax+a2=(3x—a)(x—d),

令/''(x)=0,得x=a或三，

可得f(x)在(—8,0,(a,+8)上遞增；

可得八x)在竹,a)遞減，極大值點(diǎn)為三，極小值點(diǎn)為a,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=x(x-a)2和g(%)=-%2+(a-)1%+a存在相同的極值點(diǎn)，

而g(x)在x=芋處有極大值，

所以等=或所以a=3,故答案為3.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，屬于中檔題.求函數(shù)/(x)極

值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)/'(%)；⑶解方程尸(x)=0,求出函數(shù)定義域

內(nèi)的所有根；(4)列表檢查7''(;<)在尸(x)=0的根沏左右兩側(cè)值的符號(hào)，如果左正右負(fù)(左增

右減)，那么f(x)在右處取極大值，如果左負(fù)右正(左減右增)，那么f(x)在無(wú)。處取極小值.(5)

第10頁(yè)共22頁(yè)

如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值.

7.3

【解析】

試題分析：由題意得?3,實(shí)數(shù)3的最小值為3

4233T

考點(diǎn)：三角函數(shù)周期

8,包

3

【解析】

聯(lián)立方程/(%)=sinx與g(x)=^tanx可得［tanx=sinx,解之得％=0,n,cosx=1n

sinx=等,所以A(0,0),8(7r,0),C(x,sinx),因AB=兀,C(x,sinx)到x軸的距離為sinx=手,

所以44BC的面積為5=：*兀乂竽=字，應(yīng)填答案與。

九后

【解析】

試題分析：由題意/。)在(0,+8)上單調(diào)遞減，又/Xx)是偶函數(shù)，則不等式/(2丘11)>

f(一煙可化為/(2只臼)>/(煙，則2laT<?|a-l|<p解得六a<|.

【考點(diǎn)】利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

【名師點(diǎn)睛】利用數(shù)形結(jié)合解決不等式問(wèn)題時(shí)，在解題時(shí)既要想形又要以形助數(shù)，常見(jiàn)

的"以形助數(shù)”的方法有：

(1)借助數(shù)軸，運(yùn)用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題，解決數(shù)集的交、并、

補(bǔ)運(yùn)算非常有效.

(2)借助函數(shù)圖象的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象分析問(wèn)題和解決問(wèn)題是數(shù)形結(jié)合的基本方法，

需要注意的問(wèn)題是準(zhǔn)確把握代數(shù)式的幾何意義實(shí)現(xiàn)由"數(shù)"向"形"的轉(zhuǎn)化.

71

10.—

3

【解析】試題分析：由tanxtany=2可得變竺吧上=2.又因?yàn)閟inxsiny=1所以

cosxcosy3

cosxcosy=—.又因?yàn)閏os(x-y)=cosxcosy+sinxsin^=—.又因?yàn)镺vyvxv%所以

62

第11頁(yè)共22頁(yè)

TT

0<x-y<].所以x-y.本小題關(guān)鍵是角的和差的余弦公式的正逆方向的應(yīng)用.

考點(diǎn)：1.余弦和差公式的應(yīng)用2解三角方程.

11.G

【解析】

試題分析：由/?而=而?所得AC-G4萬(wàn)-瓦方=0,即而?通=0,所以AC_LAB,

于是ACJLCD,又急?而=前?(而+函=前?+前?①,BPAC2=3,所以

AC=6；

考點(diǎn)：1.向量的數(shù)量積;

12.-4

【解析】

【分析】

利用同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)sin2asin2/?=sin(a+

0)cosacos0可得tana+tan/?=(tanatan/?)2,由此得tan(a+。)=?:黑黑=:魯:黑

=-[(tanata邛-1)+高扁二]-2,利用基本不等式可得結(jié)果.

【詳解】

vsin2asin2s=sin(a4-/?)cosacos/?,

???tanatan/??sinasin/J=sin(a+/?)

=sinacosp+cosasinp,

11tana+tan/?

tanatan/?-------r-----=--------------

tanatan/?tanatan^

可得tana+tan/?=(tanatan^?)2,

v-<?<-,-<p<-Atanatan^?>1,

424^2f1

tana4-tan/?(tanatan/?)2

tan(a+6)_tanatan^i—tanatan/?

=-[(tanatan/?-l)+tanata^_1]-2

W—21(tanatan￡-1)x；「〃1-2=-4,故答案為-4.

yltanatan/?-l

【點(diǎn)睛】

本題主要考查同角三角函數(shù)的關(guān)系以及兩角和的正弦公式、兩角和的正切公式以及利用

第12頁(yè)共22頁(yè)

基本不等式求最值，屬于難題.求最值問(wèn)題往往先將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù):配

方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖象法、函數(shù)單調(diào)性法求解，，利用基本不等式求

最值，注意應(yīng)用基本不等式的條件是"一正二定三相等

13.(一8,0)u[4,6]

【解析】

【分析】

對(duì)a分四種情況討論，分別判斷函數(shù)的單調(diào)性與最值，根據(jù)單調(diào)性、最值，判斷函數(shù)是

否有零點(diǎn)，若函數(shù)有零點(diǎn)，判斷所有零點(diǎn)的和是否不大于6,綜合各種討論結(jié)果，即可得結(jié)

論.

【詳解】

①a<0,

x<0時(shí)，f，(x)=aex-1<0,二/(x)在(-8,0)單調(diào)遞減，

且/'(0)=a<0,/(x)在(-8,0)有一個(gè)小于0的零點(diǎn)；

x>OBj,/'(x)在(0,+8)單調(diào)遞增，

vf⑴=1,/'(X)在(0,+8)有一個(gè)小于1的零點(diǎn)，因此滿足條件.

②a>0

(1)0<aW>時(shí),/(x)在(一8,0)單調(diào)遞減，

/(0)=a>0,二f(x)在(-8,0]上沒(méi)有零點(diǎn).

又4=a2-4a<0,故f(x)在(0,+8)上也沒(méi)有零點(diǎn)，因此不滿足題意.

(2)l<a<4時(shí)，/(x)在(一8,In：)上單調(diào)遞減，在(in：,0)上單調(diào)遞增，

/(附)=1+Ina>0,f(x)在(-8,0]上沒(méi)有零點(diǎn)，

又：Z)=a2-4a<0,故/(x)在(0,+8)上也沒(méi)有零點(diǎn)，因此不滿足題意.

⑶a=4時(shí)，J(x)在(一8,0]上沒(méi)有零點(diǎn)，

/(久)在(0,+8)上只有零點(diǎn)2,滿足條件.

⑷a>4時(shí)，/(x)在(一8,0]上沒(méi)有零點(diǎn)，在(0,+8)上有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，

且和為a,故滿足題意的范圍是4<a<6.

綜上所述，a的取值范圍為(-8,0)U[4,6],故答案為(-8,0)U[4,6].

【點(diǎn)睛】

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用.屬于難題.分

第13頁(yè)共22頁(yè)

類(lèi)討論思想解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法，是中學(xué)數(shù)學(xué)四種重要的數(shù)學(xué)思想之一，

尤其在解決含參數(shù)問(wèn)題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運(yùn)用這種方法的關(guān)鍵

是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準(zhǔn)突破點(diǎn).充分利用分類(lèi)討論思想方法能夠使問(wèn)題條

理清晰，進(jìn)而順利解答，希望同學(xué)們能夠熟練掌握并應(yīng)用與解題當(dāng)中.

14.[—3,V2—2]

【解析】

【分析】

存在&6使f(Xo)WO,等價(jià)于啟20)[—1刀，化簡(jiǎn)/(無(wú))的解析式，判

斷/(X)的單調(diào)性，討論/(X)的單調(diào)區(qū)間與區(qū)間的關(guān)系，求出/(X)在[-1,1]上的最小值，

令最小值小于或等于零解出a即可.

【詳解】

?.?存在a6[-1,1],W(x0)<0,

???Anin(x)w0,X6[-1,1],

當(dāng)x<a時(shí),/'(x)=(x—a)(a—x)+%2+2a+1=2ax—a2+2a+1,

???/1(x)在(-8,a]上單調(diào)遞減；

當(dāng)a<x<0時(shí),/'(x)=(x—a)2+x2+2a+1=2x2-2ax-a2+2a+1,

/(x)在(a,])上單調(diào)遞減，在償,0)上單調(diào)遞增；

當(dāng)％>0時(shí)，/(%)=(%—a)2+/+2a+1=-2ax4-a2+2a4-1,

???f(x)在。+8)上單調(diào)遞增，

(1)若：4—1，即。工一2時(shí)，/(%)在[-1,1]上單調(diào)遞增，

???/minW=/(-I)=a2+4a+3<0,

國(guó)軍得一3<a<一1,???-3<a<-2；

(2)若—1<^<0,即-2VQV0時(shí),f(%)在卜1,2上單調(diào)遞減,

在得,1]上單調(diào)遞增，

???/minW=/(；)=9+2a+1W0,

解得—2—y[2WaW-2+y/2,：?-2VQW—24-V2,

綜上，a的取值范圍是[—3,—2+&],故答案為[—3,—2+

【點(diǎn)睛】

第14頁(yè)共22頁(yè)

本題主要考查不等式有解問(wèn)題以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)最值，考查了分

類(lèi)討論思想的應(yīng)用，屬于難題.不等式有解問(wèn)題不能只局限于判別式是否為正，不但可以利

用一元二次方程根的分布解題，還可以轉(zhuǎn)化為aS/(X)有解(aWf(%)max即可)或轉(zhuǎn)化為

a2/(x)有解(a2f(x)min即可).

15.(1)—,；(2)[kn-kn+JkeZ

【解析】

【分析】

(1)由sin。+cos0=更二，兩邊平方可得sin28=——,結(jié)合86f--,-Y可得28=

—一即。=一白(2)由(1)知，/(x)=sin2x-sin2利用二倍角的余弦公式以及

36\6/

兩角和與差的正弦公式將函數(shù)/'(X)化為：sin(2x—9,利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可

得到函數(shù)/(無(wú))的遞增區(qū)間.

【詳解】

(1)由sin。+cos。=g」，得(sin。+cos。)？=1—去

BPsin20+2sin0cos0+cos20=1-，，所以sin20=

因?yàn)閑e力，所以2?！耙还?，小，所以28=T，即。=一[

\44/\22/36

(2)由(1)知，/(%)=sin2%—sin2

所以f(%)=|(1-cos2x)-cos(2x-g)]

=|[cos(2x—|)—cos2x]=|sin2x—|cos2x^=:sin(2x—

令21m--<2x--<2/cn+-,

262

得加一三工三加+,所以函數(shù)/⑶的單調(diào)增區(qū)間是M而+引，kwz.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函數(shù)

的單調(diào)性，屬于中檔題,函數(shù)y=Asin3x+9)的單調(diào)區(qū)間的求法：⑴代換法：①若A>

0,3>0,把3%+0看作是一個(gè)整體，由T+2kli<a)x-^-(p<y+2kMk￡Z)求得函數(shù)的減

區(qū)間，一]+2上兀工3%+卬W1+2々兀求得增區(qū)間；②若A>0,3V0,則利用誘導(dǎo)公式先將@

第15頁(yè)共22頁(yè)

的符號(hào)化為正，再利用①的方法，或根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律進(jìn)行求解；⑵圖象法：畫(huà)

出三角函數(shù)圖象，利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

16.(1)5;(2)7"55%

8

【解析】

【分析】

(1)在44CD中，AC=7,AD=3,/.ADC=120。，由余弦定理得7?=32+CD2-2x3-

CDcosl20",解得CD=5；(2)在ZBCD中，由正弦定理得旦解得8。=史也,

sm750sin4502

利用三角形面積公式可得結(jié)果.

【詳解】

(1)在zMCO中，由余弦定理得4c2=4O2+CO2-24O-COCOS44OC72=32+

CD2-2X3-CDcosl20°,解得CD=5.

(2)在/BCD中，由正弦定理得一^=名，果二鼻,

sinZFCDsmBsin75°sm45°

解得BD=平，

所以S4ABe=S^ACD+S/BCD=,CDsinZ-ADC4--CD,BDS\Y\Z-BDC

=-1xc3xL5s?inYlC2C0C.+1-xr-5x5-+-5-^-3s.in/6c0o=7-5-+-5-5>-/-3.

2228

【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.對(duì)余弦定

理一定要熟記兩種形式：(1)a2=b2+c2—2bccosA；(2)cosA=」十：一。，同時(shí)還要熟

2bc

練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住

30。,45。,60。等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.

17.(1)4—4>/3;(2)—

【解析】

試題分析：(1)向量數(shù)量積問(wèn)題可以先求向量的坐標(biāo)，再利用坐標(biāo)運(yùn)算；或者先符號(hào)運(yùn)

算進(jìn)行化簡(jiǎn)，再代入坐標(biāo)；(2)由向量共線得到k與。的關(guān)系式，用。表示出匕再利用導(dǎo)數(shù)

求該函數(shù)的最大值，為了便于運(yùn)算，可以求9的最小值；

k

試題解析：(1)(方法1)當(dāng)k=4,時(shí)，x=(1,2—V3),y=(—4,4),

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則％?y=1x(-4)+(2—6)x4=4—4百.

(方法2)依題意，a?b=0,則％-y=[a+(1—y)h]?(—4a+26)=—4a2+2x(1—

勃2

=-4+2x(l-岑)x4=4-4V3.

(2)依題意，x=(l,2-2cos0),卜"豳標(biāo)3,因?yàn)閤〃y,所以扁=一憶(2-

2cos0),

整理得，[=sin0(cos0—1),令/(。)=sin0(cos0—1),

則/(6)=cos0(cos0—1)+sin0(—sin0)=2cos20—cosd-1=(2cos0+l)(cos0-

1).

令/(6)=0,得cos。=一3或cos。=1,又0V8<TI,故6=g.

列表：

2n2n2n

e(0,y)T(1"，H)

((。)—0+

極小值-#3/

f(。)4

故當(dāng)。=g時(shí)，f(8)min=-學(xué)，此時(shí)實(shí)數(shù)上取最大值一等.

考點(diǎn)：1.向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式；2.向量共線的坐標(biāo)公式：3利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；

18.⑴??./(X)是"局部奇函數(shù)"，理由見(jiàn)解析；(2)[-1-1]；⑶[1一柢2&].

【解析】

試題分析分I)判斷方程f(x)+/(-X)=0是否有解;(II)在方程f(%)+/(-X)=0有

解時(shí)，通過(guò)分離參數(shù)求取值范圍；(HD在不便于分離參數(shù)時(shí)，通二次函數(shù)的圖象判斷一元

二次方程根的分布.

試題解析：/(%)為"局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于％的方程f(x)+/(-%)=0有解.

(I)當(dāng)f(%)=ax2+2%—4a(a6R)時(shí),

方程/(X)+f(-x)=0即3吸'一唯=?|有解x=±2,

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所以/'(%)為“局部奇函數(shù)3分

(II)當(dāng)/'(x)=2久+m時(shí)，/(x)+/(—%)=0可化為2*+2~x+2m=0,

因?yàn)閒(x)的定義域?yàn)閇-1,1]，所以方程2乂+2一+2n1=0在上有解.5分

令t=2'eg2],則一2爪=1+%

設(shè)g(t)=t+p貝W)=1-2=詈,

當(dāng)te(0,1)時(shí)，g'(t)<0,故g(t)在(0,1)上為減函數(shù),

當(dāng)t6(1,+8)時(shí)，g，(t)>0,故g(t)在(1,+8)上為增函數(shù)，.7分

所以teg,2]時(shí)，g(t)6[2,|].

所以一2me[2,|],即me9分

(III)當(dāng)/'(x)=4*—根2*+1+Tn2-3時(shí)，f(x)+/(—x)=0可化為

4X+4r-2m(2x+2-x)+2m2-6=0.

設(shè)t=2X+2~x6[2,+oo),則4*+4~x=t2-2,

從而/-2mt+2m2-8=0在[2,+8)有解即可保證/(x)為“局部奇函數(shù)11分

令尸(t)=t2-2mt+2m2-8,

10當(dāng)F(2)W0,±2-2機(jī)￡+2巾2-8=0在[2,+8)有解，

由尸(2)WO,即2m2-4m-4W0,解得1-BWm<1+B；13分

2。當(dāng)F(2)>0時(shí)，12一2巾1+262-8=0在[2,+8)有解等價(jià)于

Z=4m2_4(2m2-8)>0,

m>2,解得1+V3<m<2&.15分

、F(2)>0

(說(shuō)明：也可轉(zhuǎn)化為大根大于等于2求解)

綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為1-遮2或.16分

考點(diǎn)：函數(shù)的值域、方程解的存在性的判定.

19.(1)9V2/cm：(2)強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.

【解析】

【分析】

(1)以點(diǎn)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線0M為x軸，建立直角坐標(biāo)系，直線ON的方程為y=-3%,

Q(xo,2)(xo>0),由點(diǎn)到直線距離公式得Q(4,2)求得直線AQ的方程為x+y-6=0,

可得交點(diǎn)8(-3,9),結(jié)合4(6,0)由兩點(diǎn)間距離公式可得4B的長(zhǎng)；(2)設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水

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波圓P,生成t小時(shí)，游輪在線段48上的點(diǎn)C處，令Zi(t)=r2-pc2,求得九?)=I8(12t3一

36t2+20t)-68,0<t<I，利用導(dǎo)數(shù)證明h(t)<0,即r<PC恒成立，從而可得結(jié)果.

【詳解】

(1)以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OM為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖所示.

則由題設(shè)得：4(6,0),直線ON的方程為y=-3x,<2(x0,2)(x0>0),

由與祟=等，及a>0得而=4,??.Q(4,2)

?,?直線AQ的方程為y=—(x—6),即％+y-6=0,

由以二匕得｛j蠢'即B(-3,9),

AB=3—6)2+92=9應(yīng)，即水上旅游線的長(zhǎng)為9夜km.

(2)設(shè)試驗(yàn)產(chǎn)生的強(qiáng)水波圓P,生成t小時(shí)，游輪在線段4B上的點(diǎn)C處,

則AC=18&t,0<t<|,AC(6-18t,18t),

令h(t)=r2—PC2,則丫P(4,8),r=6V6tz,

h(t)=(6倔2)2-[(2-18t)2+(18t-8)2]

=18(12t3-36t2+20t)-68,0<t<|,

hz(t)=18(12X3t2-36x2t+20)

=72(9t2-18t+5)

=72(3t-l)(3t-5),0<t<1,

由"(t)=0得t=，或t=|(舍去)

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0<t<:時(shí)，/i(t)<0,即r<PC恒成立，

亦即強(qiáng)水波不會(huì)波及游輪的航行.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查閱讀能力、數(shù)學(xué)建模能力和化歸思想以及直線方程、點(diǎn)到直線距離公式以

及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，屬于難題.與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考

命題的動(dòng)向，這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)是通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書(shū)本知識(shí)，解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是

耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.

20.(1)y=6x-6；(2)證明見(jiàn)解析；(3)(0,1].

【解析】

【分析】

(1)求出:(x)=41nx+：+4,求出f(l)的值可得切點(diǎn)坐標(biāo)，求出尸(1)的值，可得切線

斜率，利用點(diǎn)斜式可得曲線y=〃久)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；(2)要使得當(dāng)x彳1時(shí)，曲

線y=/(x)恒在曲線y=g(x)的下方，即需證f(x)<g(x)(x01),不妨設(shè)F(x)=/(x)-

g(x),則F(x)=(4x+2)lnx-x2-4x+5,利用導(dǎo)數(shù)證明FQ)取得最大值尸(1)=0即可

得結(jié)果；(3)由題意可知k>0,2x+1>0,可得不等式(2k+l)/(x)W(2x+l)g(x)可轉(zhuǎn)化

為2(2k+l)lnxW/+4%—5,構(gòu)造函數(shù)HQ)=2(2k+l)lnx———4%+5,分類(lèi)討論，

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，可證明HQ)的最大值小于零，從而可得結(jié)論.

【詳解】

(1)尸(x)=41nx+：+4,/(1)=6,

故切線方程是y=6x-6.

(2)要使得當(dāng)xM1時(shí)，曲線y=f(x)恒在曲線y=g(x)的下方，

即需證/(%)