廣東省南粵名校聯(lián)考2024屆高三2月普通高中學(xué)科綜合素養(yǎng)評價數(shù)學(xué)試題

24屆廣東省普通高中學(xué)科綜合素養(yǎng)評價2月南粵名校聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．3．請按題號順序在答題卡上各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4．選擇題用2B鉛筆在答題卡上把所選答案的標(biāo)號涂黑；非選擇題用黑色簽字筆在答題卡上作答；字體工整，筆跡清楚．5．考試結(jié)束后，請將試卷和答題卡一并上交．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A． B．C． D．3．已知角的始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．4．在的展開式中，的系數(shù)是（）A． B．4 C． D．125．在中，點(diǎn)在邊上，且．點(diǎn)滿足．若，，則（）A． B． C．12 D．116．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則的最大值為（）A．1 B． C． D．27．已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點(diǎn)，若是正三角形，則雙曲線的漸近線的斜率為（）A． 13． C． D．8．已知函數(shù)存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B， C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．10．若，，，則下列不等式恒成立的是（）A． B．C． D．11．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，，則下列說法正確的是（）A． B．是等比數(shù)列C．是遞增數(shù)列 D．12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有5個零點(diǎn)，，，，，且，，則的可能取值是（）A． B． C． D．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．寫出一個滿足“圖象關(guān)于點(diǎn)對稱”的函數(shù)______．14．已知橢圓的離心率為，且橢圓上的點(diǎn)到其右焦點(diǎn)距離的最小值為．若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，設(shè)拋物線上的動點(diǎn)到直線和的距離分別為，，則的最小值為______．15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，其中，，且在區(qū)間上有且只有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍為______．16．已知棱長為3的正方體表面上動點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡長度為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．17．（本題滿分10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本題滿分12分）在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，．（1）若，證明：；（2）若，求周長的最大值．19．（本題滿分12分）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，直線平面．（1）確定點(diǎn)的位置，并證明；（2）若四棱錐的體積為，求平面與平面所成角的余弦值．20．（本題滿分12分）第五代移動通信技術(shù)（5thGenerationMobileCommunicationTechnology，簡稱5G）是具有高速率、低時延和大連接特點(diǎn)的新一代寬帶移動通信技術(shù)，5G通訊設(shè)施是實(shí)現(xiàn)人機(jī)物互聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)基礎(chǔ)設(shè)施。2023年5月17日，中國電信、中國移動、中國聯(lián)通、中國廣電宣布正式啟動全球首個5G異網(wǎng)漫游試商用。此前，中國移動、中國聯(lián)通和中國電信三大運(yùn)營商分別公布了其5G套餐價格．下面是中國移動公布的5G套餐價格：月費(fèi)（元人民幣）128198298398598流量（GB）3060100150300語音通話（分鐘）20050080012003000備注超出套餐流量5元/GB，滿15元后按照3元/GB計費(fèi)中國移動公司某營業(yè)廳隨機(jī)統(tǒng)計了100名近4個月使用5G套餐客戶實(shí)際月使用流量情況，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖．（假設(shè)每位客戶每月使用流量一樣，同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）．（1）求這100名5G套餐客戶月使用流量的平均值；（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，中國移動5G套餐客戶月使用流量近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，經(jīng)計算得，若從中國移動所有5G套餐客戶中隨機(jī)抽取1000人，記為這1000人中月使用流量小于95GB的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望；（3）針對5G套餐客戶，中國移動根據(jù)客戶訂購的套餐，將客戶分為以下四種：訂購套餐流量（GB）3060100150300對應(yīng)客戶名稱普卡客戶銀卡客戶金卡客戶鉆石卡客戶假設(shè)月使用流量在GB的客戶有一半人訂購30GB套餐流量，另一半人訂購60GB套餐流量，月使用流量在GB的客戶都訂購100GB套餐流量，月使用流量在GB的客戶都訂購150GB套餐流量，月使用流量在GB的客戶都訂購300GB套餐流量．中國移動根據(jù)以上統(tǒng)計的100名客戶情況，準(zhǔn)備今年年底針對這些客戶舉辦返利活動，有以下兩種方案：方案一：按分層抽樣在銀卡客戶、金卡客戶、鉆石卡客戶中共抽取24人，對這些客戶免收一個月套餐費(fèi)（超出套餐流量的部分也免費(fèi)，客戶不改變自己已經(jīng)訂購的套餐且每月使用流量不變）；方案二：通過參與摸球游戲直接反現(xiàn)金給客戶，規(guī)則如下：每次游戲客戶從一個裝有1個紅球、3個白球（球的大小、形狀一樣）的不透明箱子中，有放回的摸3次球，每次摸一個球；若摸到紅球的次數(shù)為1，則可得50元現(xiàn)金，若摸到紅球的次數(shù)為2，則可得100元現(xiàn)金，摸到紅球的次數(shù)為3，則可得150元現(xiàn)金，若沒有摸到紅球，則不返現(xiàn)；每位普卡客戶可參與1次游戲，每位銀卡客戶可參與2次游戲，每位金卡客戶可參與3次游戲，每位鉆石卡客戶可參與4次游戲（每次摸球的結(jié)果相互獨(dú)立）．試問，中國移動應(yīng)選擇哪種方案，投資更少？附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．21．（本題滿分12分）已知雙曲