專題28中點弦及點差法的8種常見考法歸類（原卷版）

專題28中點弦及點差法的8種常見考法歸類1、橢圓與雙曲線的中點弦與點差法（1）根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立直線方程和橢圓方程構(gòu)成方程組，消去一個未知數(shù)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系以及中點坐標(biāo)公式解決；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點坐標(biāo)分別代入橢圓方程，然后作差，構(gòu)造出中點坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：已知弦是橢圓（）的一條弦，中點坐標(biāo)為，則的斜率為，運用點差法求的斜率，設(shè)，；、都在橢圓上，兩式相減得：，即，故（2）弦的斜率與弦中心和橢圓中心的連線的斜率之積為定值：.（3）雙曲線的用點差法同理，可得(焦點在軸上）2、拋物線的中點弦與點差法點差法在圓錐曲線中的理論考點一中點弦所在直線的斜率與方程考點二由弦中點求弦長考點三求圓錐曲線的方程問題考點四求圓錐曲線的離心率問題考點五弦中點的坐標(biāo)問題考點六求弦中點的軌跡方程問題考點七曲線上兩點關(guān)于直線對稱問題考點八弦中點存在性問題考點一中點弦所在直線的斜率與方程1．（2023上·貴州黔東南·高三天柱民族中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓以及橢圓內(nèi)一點，則以為中點的弦所在直線的斜率為（

）A． B． C．4 D．42．（2023上·河南平頂山·高二統(tǒng)考期末）已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為，直線l與C相交于A，B兩點，若線段的中點為，則直線l的斜率為（

）A． B．1 C． D．23．（2023上·新疆伊犁·高二統(tǒng)考期末）過橢圓內(nèi)一點引一條恰好被點平分的弦，則這條弦所在直線的方程是4．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）設(shè)A，B為雙曲線上的兩點，若線段AB的中點為，則直線AB的方程是（

）A． B． C． D．5．（2023上·寧夏·高二六盤山高級中學(xué)校考期中）已知為拋物線上的兩點，且線段AB中點的縱坐標(biāo)為2，則直線AB的斜率為.6．（2023上·福建龍巖·高二校聯(lián)考期中）已知橢圓，過點的直線與交于兩點，且為的中點，則的方程為（

）A． B．C． D．7．（2023上·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線，過點的直線交拋物線于兩點，若為的中點，則直線的方程為.8．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)?？计谥校┮阎本€與雙曲線交于、兩點，若弦的中點為，則直線的方程為.9．（2023上·湖北·高二隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知直線與橢圓在第一象限交于兩點，與軸、軸分別交于，兩點，且，，則的方程為．10．（2023上·福建福州·高三福建省福州格致中學(xué)校考期中）已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是3．(1)求橢圓的方程；(2)是否存在過點的直線交曲線于兩點，使得為中點？若存在，求該直線方程，若不存在，請說明理由．11．（2023下·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，是上一點．(1)求的方程；(2)設(shè)，是上兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，求直線的方程．12．（2023上·四川資陽·高二四川省資陽中學(xué)?？计谥校┻^點作斜率為的直線與橢圓相交于A，B兩點，若M是線段AB的中點，則的值為（

）A． B．C． D．13．（2023下·四川巴中·高三?？计谀┤糁本€y=kx+1與雙曲線交于A?B兩點，且線段AB的中點橫坐標(biāo)為1，則實數(shù)k=．14．（2023下·安徽安慶·高二安徽省宿松中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知雙曲線與直線相交于A、B兩點，弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．考點二由弦中點求弦長15．（2023上·河北·高二校聯(lián)考期中）已知P是圓C：上一動點，過P作x軸的垂線，垂足為Q，點M滿足，記點M的軌跡為E．(1)求E的方程；(2)若A，B是E上兩點，且線段AB的中點坐標(biāo)為，求的值．16．（2023上·高二課時練習(xí)）若橢圓的弦的中點為，則弦的長為（）A． B．C． D．17．（2023下·上海長寧·高二?？计谥校┮阎獟佄锞€與過焦點的一條直線相交于A，B兩點，若弦的中點M的橫坐標(biāo)為，則弦的長18．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線的實軸長為4，離心率為，直線與交于兩點，是線段的中點，為坐標(biāo)原點．若點的橫坐標(biāo)為，則的取值范圍為．19．（2023上·陜西西安·高二長安一中?？计谀┰O(shè)經(jīng)過點的直線與拋物線相交于，兩點，若線段中點的橫坐標(biāo)為，則（

）A． B． C． D．20．（2023·四川·四川省金堂中學(xué)校校聯(lián)考三模）若A，B是拋物線上不同的兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點，則的最大值為．考點三求圓錐曲線的方程問題21．（2023·高二課時練習(xí)）中心在原點，一個焦點為的橢圓被直線截得弦的中點的橫坐標(biāo)為，則橢圓的方程為．22．（2023上·廣東廣州·高二廣州市育才中學(xué)校考期中）若橢圓的中心在原點，焦點在軸，一個焦點為，直線與橢圓相交所得弦的中點坐標(biāo)為，則這個橢圓的方程為.23．（2023·全國·模擬預(yù)測）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，離心率為，過橢圓的上焦點的直線交橢圓于兩點，若線段的中點坐標(biāo)為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．24．（2023上·山西太原·高二山西大附中?？计谥校┮阎獧E圓E：的右焦點為，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，若且，則E的方程為（

）A． B． C． D．25．（2023上·廣東深圳·高二校考期中）已知橢圓方程為，其右焦點為，過點的直線交橢圓與，兩點．若的中點坐標(biāo)為，則橢圓的方程為（

）A． B． C． D．26．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知直線過橢圓C；的一個焦點，與C交于A，B兩點，與平行的直線與C交于M，N兩點，若AB的中點為P，MN的中點為Q，且PQ的斜率為，則C的方程為（）A． B．C． D．27．（2023上·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的中心在原點，且它的一個焦點為，直線與其相交于、兩點，線段中點的橫坐標(biāo)為，求此雙曲線的方程．28．（2023·安徽宿州·統(tǒng)考一模）若拋物線C：存在以點為中點的弦，請寫出一個滿足條件的拋物線方程為.考點四求圓錐曲線的離心率問題29．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓，點為左焦點，點為下頂點，平行于的直線交橢圓于，兩點，且的中點為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．30．（2023上·內(nèi)蒙古包頭·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓，直線依次交軸、橢圓軸于點四點．若，且直線斜率．則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．31．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．32．（2023·陜西西安·西安市大明宮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓C：的焦距為2c，左焦點為F，直線l與C相交于A，B兩點，點P是線段AB的中點，P的橫坐標(biāo)為．若直線l與直線PF的斜率之積等于，則C的離心率為．33．（2023上·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是．34．（2023上·河南南陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓上存在兩點關(guān)于直線對稱，且線段中點的縱坐標(biāo)為，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．35．（2023上·廣東佛山·高二統(tǒng)考期末）過點作斜率為1的直線，交雙曲線于A，B兩點，點M為AB的中點，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．36．（2023·河南·校聯(lián)考三模）已知直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，（不重合），的垂直平分線過點，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．37．（2023下·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習(xí)）直線不與軸重合，經(jīng)過點，橢圓上存在兩點、關(guān)于對稱，中點的橫坐標(biāo)為.若，則橢圓的離心率為.38．（2023上·廣東深圳·高二統(tǒng)考期末）已知O為坐標(biāo)原點，直線與橢圓交于A，B兩點，P為的中點，直線的斜率為，若，則橢圓的離心率的取值范圍為．考點五弦中點的坐標(biāo)問題39．（2023上·高二課時練習(xí)）直線被橢圓所截得的弦的中點坐標(biāo)是（）A． B．C． D．40．（2023·全國·高三專題練習(xí)）過點作斜率為的直線l與橢圓相交于A，B兩點，則線段AB的中點坐標(biāo)為.41．【多選】（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點為，直線與橢圓交于、兩點，則（

）A．的周長為20 B．的面積為C．線段中點的橫坐標(biāo)為 D．線段的長度為42．（2024·陜西寶雞·校考一模）設(shè)，為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段中點的是（

）A． B．C． D．43．（2023上·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關(guān)于直線：對稱，則線段中點的坐標(biāo)為.考點六求弦中點的軌跡方程問題44．（2023上·高二課時練習(xí)）求所有斜率為1的直線被橢圓所截得線段的中點的軌跡．45．（2023·全國·高二課堂例題）求過定點的直線被雙曲線截得的弦AB的中點的軌跡方程.46．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預(yù)測）已知斜率為的動直線與橢圓交于兩點，線段的中點為，則的軌跡長度為．47．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線l與橢圓交于A，B兩點，已知直線的斜率為1，則弦AB中點的軌跡方程是．考點七曲線上兩點關(guān)于直線對稱問題48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓C：，若橢圓C上有不同的兩點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的取值范圍是.49．（2023上·湖北荊州·高二沙市中學(xué)校考階段練習(xí)）已知橢圓，若橢圓上存在兩點、關(guān)于直線對稱，則的取值范圍是（

）A．B． C． D．50．（2023上·江蘇泰州·高二統(tǒng)考期中）已知橢圓的焦距為，左右焦點分別為、，圓與圓相交，且交點在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點，且線段AB的中點為M，直線OM的斜率為．(1)求橢圓E的方程；(2)若，試問E上是否存在P、Q兩點關(guān)于l對稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請說明理由．51．（2023·四川內(nèi)江·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若雙曲線上存在兩個點關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍為.52．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若拋物線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.53．（2023·高二課時練習(xí)）已知直線與雙曲線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點在圓上，則的值是.考點八弦中點存在性問題54．（2023上·江蘇南通·高二啟東中學(xué)校考期中）在①離心率為，且經(jīng)過點；②半長軸的平方與半焦距之比等于常數(shù)，且焦距為這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，若問題中的直線存在，求出的方程；若問題中的直線不存在，說明理由.問題：已知曲線：的焦點在軸上，______，是否存在過點的直線，與曲線交于，兩點，且為線段的中點？注：若選擇條件①和條件②分別解答，按第一個解答計分.55．（2023上·江蘇常