新教材數(shù)學(xué)人教A版學(xué)案5-1-1任意角

第五章三角函數(shù)5．1任意角和弧度制5．1.1任意角【素養(yǎng)目標(biāo)】1．了解任意角的概念，能區(qū)分各類角的概念．(數(shù)學(xué)抽象)2．掌握象限角的概念，并會(huì)用集合表示象限角．(直觀想象)3．理解終邊相同的角的含義及表示，并能解決有關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4．能夠根據(jù)任意角的概念，結(jié)合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，為以后的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)．(邏輯推理)【學(xué)法解讀】在本節(jié)學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來理解角的定義，其關(guān)鍵是抓住角的終邊和始邊，在學(xué)習(xí)時(shí)提升自己的數(shù)學(xué)抽象及直觀想象等素養(yǎng)．必備知識(shí)·探新知基礎(chǔ)知識(shí)知識(shí)點(diǎn)1角的概念角可以看成一條射線繞著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所成的圖形．思考1：定義中當(dāng)射線旋轉(zhuǎn)時(shí)有幾種旋轉(zhuǎn)方向？提示：根據(jù)旋轉(zhuǎn)方向，射線在旋轉(zhuǎn)時(shí)，有逆時(shí)針、順時(shí)針和不作任何旋轉(zhuǎn)三種旋轉(zhuǎn)方向．知識(shí)點(diǎn)2角的表示頂點(diǎn)：用O表示；始邊：用OA表示，用語言可表示為起始位置；終邊：用OB表示，用語言可表示為終止位置．思考2：(1)當(dāng)角的始邊和終邊確定后，這個(gè)角就被確定了嗎？(2)你能說出角的三要素嗎？提示：(1)不是的．雖然始、終邊確定了，但旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量的大小(旋轉(zhuǎn)圈數(shù))并沒有確定，所以角也就不能確定．(2)角的三要素是頂點(diǎn)、始邊、終邊．知識(shí)點(diǎn)3角的分類類型定義圖示正角一條射線繞其端點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角負(fù)角一條射線繞其端點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角一條射線沒有作任何旋轉(zhuǎn)，稱它形成了一個(gè)零角思考3：(1)正角、負(fù)角、零角是根據(jù)什么區(qū)分的？(2)如果一個(gè)角的終邊與其始邊重合，這個(gè)角一定是零角嗎？提示：(1)角的分類是根據(jù)組成角的射線的旋轉(zhuǎn)方向確定的．(2)不一定．零角的終邊與始邊重合，但終邊與始邊重合的角不一定是零角，如360°，－360°等，角的大小不是根據(jù)始邊、終邊的位置，而是根據(jù)射線的旋轉(zhuǎn)．知識(shí)點(diǎn)4象限角如果角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，就說這個(gè)角是第幾象限角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何一個(gè)象限．思考4：把一個(gè)角放在平面直角坐標(biāo)系中時(shí)，這個(gè)角是否一定就是某一個(gè)象限的角？提示：象限角是指當(dāng)角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合時(shí)，終邊在哪個(gè)象限，我們就說這個(gè)角是第幾象限角．如果一個(gè)角的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，我們認(rèn)為這個(gè)角不在任何象限內(nèi)，又叫軸線角．知識(shí)點(diǎn)5終邊相同的角所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合！??！S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．思考5：反過來，若角α，β滿足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}時(shí)，角α，β是否是終邊相同的角？提示：當(dāng)角α，β滿足S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}時(shí)，表示角α與β相隔整數(shù)個(gè)周角，即角α，β終邊相同．基礎(chǔ)自測(cè)1．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的個(gè)數(shù)是(B)A．1 B．2C．3 D．4[解析]正角有126°，99°共2個(gè)．2．將射線OM繞端點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°所得的角為(A)A．120° B．－120°C．60° D．240°3．(2021·濟(jì)南外國(guó)語期中)下列各角中，與－1110°的角終邊相同的角是(D)A．60° B．－60°C．30° D．－30°[解析]－1110°＝－3×360°－30°，所以與－30°的角終邊相同．4．若－30°角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，現(xiàn)將－30°角的終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)2周，則所得角是690°.[解析]因?yàn)槟鏁r(shí)針方向旋轉(zhuǎn)為正角，所以α＝－30°＋2×360°＝690°.5．圖中從OA旋轉(zhuǎn)到OB，OB1，OB2時(shí)所成的角度分別是390°、－150°、60°.[解析]題圖中(1)中的角是正角，α＝390°，題圖中(2)中的角，一個(gè)是負(fù)角、一個(gè)是正角，β＝－150°，γ＝60°.關(guān)鍵能力·攻重難題型探究題型一任意角的概念例1下列命題正確的是(C)A．終邊與始邊重合的角是零角B．終邊和始邊都相同的兩個(gè)角一定相等C．在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β不一定是鈍角D．小于90°的角是銳角[分析]角的概念推廣后確定角的關(guān)鍵是抓住角的旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)量．[解析]終邊與始邊重合的角還可能是360°，720°，…，故A錯(cuò)；終邊和始邊都相同的兩個(gè)角可能相差360°的整數(shù)倍，如30°與－330°，故B錯(cuò)；由于在90°≤β<180°范圍內(nèi)的角β包含90°角，所以不一定是鈍角，C正確；小于90°的角可以是0°，也可以是負(fù)角，故D錯(cuò)誤．[歸納提升]關(guān)于角的概念問題的處理正確解答角的概念問題，關(guān)鍵在于正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等的概念，弄清角的始邊與終邊及旋轉(zhuǎn)方向與大?。硗庑枰莆张袛嘟Y(jié)論正確與否的技巧，判斷結(jié)論正確需要證明，而判斷結(jié)論不正確只需舉一個(gè)反例即可．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(1)(多選題)下列說法，不正確的是(ACD)A．三角形的內(nèi)角必是第一、二象限角B．始邊相同而終邊不同的角一定不相等C．鈍角比第三象限角小D．小于180°的角是鈍角、直角或銳角(2)經(jīng)過2個(gè)小時(shí)，鐘表的時(shí)針和分針轉(zhuǎn)過的角度分別是(B)A．60°，720° B．－60°，－720°C．－30°，－360° D．－60°，720°[解析](1)對(duì)A,90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角；B正確；對(duì)C中鈍角大于－120°，但－120°的角是第三象限角，故C錯(cuò)誤；對(duì)D,0°角小于180°，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，故D錯(cuò)誤．(2)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)為負(fù)角，eq\f(2,12)×360°＝60°，2×360°＝720°，故鐘表的時(shí)針、分針轉(zhuǎn)過的角度分別為－60°，－720°.題型二終邊相同的角例2已知α＝－1845°，在與α終邊相同的角中，求滿足下列條件的角．(1)最小的正角；(2)最大的負(fù)角；(3)－360°～720°之間的角．[解析]因?yàn)椋?845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角與－45°角的終邊相同，所以與角α終邊相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}，(1)最小的正角為315°.(2)最大的負(fù)角為－45°.(3)－360°～720°之間的角分別是－45°，315°，675°.[歸納提升](1)一般地，可以將所給的角β化成k·360°＋α的形式(其中0°≤α<360°，k∈Z)，其中的α就是所求的角．(2)如果所給的角的絕對(duì)值不是很大，可以通過如下方法完成：當(dāng)所給角是負(fù)角時(shí)，采用連續(xù)加360°的方式；當(dāng)所給角是正角時(shí)，采用連續(xù)減360°的方式，直到所得結(jié)果達(dá)到要求為止．特別提醒：表示終邊相同的角時(shí)，k∈Z這一條件不能省略．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?(2020·濟(jì)南高一檢測(cè))下列各角中，與角30°終邊相同的角是(B)A．－390° B．－330°C．330° D．570°[解析]－330°＝－360°＋30°，與30°終邊相同．題型三終邊在給定直線上的角的集合例3寫出終邊落在直線y＝x上的角的集合S，并把S中適合不等式－360°≤β<720°的元素β寫出來．[分析]先在0°～360°內(nèi)找到終邊在y＝x上的角；再推廣到任意角；最后找出－360°≤β<720°內(nèi)的角．[解析]直線y＝x與x軸的夾角是45°，在0°～360°范圍內(nèi)，終邊在直線y＝x上的角有兩個(gè)：45°，225°。因此，終邊在直線y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋n·180°，n∈Z}．所以S中適合－360°≤β<720°的元素是：45°－2×180°＝－315°；45°－1×180°＝－135°；45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；45°＋2×180°＝405°；45°＋3×180°＝585°.注意解題過程的規(guī)范性：①終邊在直線y＝x上注意討論兩種情況．②這種形式的兩個(gè)集合取并集時(shí)合并為一個(gè)集合．[歸納提升](1)求適合某種條件且與已知角終邊相同的角，其方法是求出與已知角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出k的值．(2)求終邊在給定直線上的角的集合，常用分類討論的思想，即分x≥0和x<0兩種情況討論，最后再進(jìn)行合并．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?寫出終邊在直線y＝－eq\r(3)x上的角的集合．[解析]S＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋120°，k2∈Z}＝{α|α＝k1·360°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝k2·360°＋180°－60°}＝{α|α＝2k1·180°－60°，k1∈Z}∪{α|α＝(2k2＋1)·180°－60°}＝{α|α＝n·180°－60°，n∈Z}．題型四區(qū)域角的表示例4已知，如圖所示．(1)分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；(2)寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．[解析]①終邊落在OA位置上的角的集合為{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，終邊落在OB位置上的角的集合為{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．②由題干圖可知，陰影部分(包括邊界)的角的集合是由所有介于－30°到135°之間的與之終邊相同的角組成的集合，故可表示為{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[歸納提升]1.表示區(qū)域角的三個(gè)步驟第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界．第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的－360°～360°范圍內(nèi)的角α和β，寫出最簡(jiǎn)集合{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角α，β再加上360°的整數(shù)倍，即得區(qū)域角集合．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?如圖所示的圖形，那么陰影部分(包括邊界)表示的終邊相同的角的集合如何表示？[解析]在0°～360°范圍內(nèi)、陰影部分(包括邊界)表示的范圍是：150°≤α≤225°，則滿足條件的角α為{α|k·360°＋150°≤α≤k·360°＋225°，k∈Z}．題型5象限角的確定例5若α是第一象限角，則2α，eq\f(α,2)分別是第幾角限角？[分析]由α是第一象限角可知k·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，則2α，eq\f(α,2)的范圍分別為2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)，k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)．再通過對(duì)整數(shù)k分類討論即可得結(jié)果．[解析]因?yàn)閗·360°<α<k·360°＋90°(k∈Z)，所以2k·360°<2α<2k·360°＋180°(k∈Z)．所以2α是第一、二象限角或終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角．又k·180°<eq\f(α,2)<k·180°＋45°(k∈Z)，所以當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n·360°<eq\f(α,2)<n·360°＋45°.所以eq\f(α,2)是第一象限角．當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n·360°＋180°<eq\f(α,2)<n·360°＋225°，所以eq\f(α,2)是第三象限角．故eq\f(α,2)是第一、三象限角．[歸納提升]已知α角所在象限，判斷nα，eq\f(α,n)(n∈Z)所在象限的方法(1)若已知角α是第幾象限角，判斷eq\f(α,2)，eq\f(α,3)等是第幾象限角，主要方法是解不等式并對(duì)整數(shù)k進(jìn)行分類討論．求解題的思維模式應(yīng)是：由欲求想需求，由已知想可知，抓住內(nèi)在聯(lián)系，確定解題方略．(2)由α的象限確定2α的象限時(shí)，應(yīng)注意2α可能不再是象限角，對(duì)此特殊情況應(yīng)特別指出．如α＝135°，而2α＝270°就不再是象限角．【對(duì)點(diǎn)練習(xí)】?若φ是第二象限角，那么eq\f(φ,2)和90°－φ都不是(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]∵φ是第二象限角，∴k·360°＋90°<φ<k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°<eq\f(φ,2)<k·180°＋90°，k∈Z，即eq\f(φ,2)終邊是第一或第三象限角，而－φ顯然是第三象限角，∴90°－φ是第四象限角，故選B．課堂檢測(cè)·固雙基1．與－457°角終邊相同的角的集合是(C)A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}[解析]－457°與－97°角終邊相同，又－97°角與263°角終邊相同，又263°角與k·360°＋263°角終邊相同，∴應(yīng)選C．2．－215°是(B)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角[解析]由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，則－215°也是第二象限角．3．下列各組角中，終邊相同的是(B)A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3000°，－840°4．若角