有限元分析教程

有限元分析教程2024-01-20目錄CONTENTS有限元法基本原理有限元模型建立線性靜力學分析非線性分析及應用動力學分析與穩(wěn)定性問題熱傳導與熱應力問題多物理場耦合問題簡介01有限元法基本原理有限元法是一種數(shù)值分析方法，用于求解各種復雜工程問題的近似解。它將連續(xù)的求解域離散為一組有限個、且按一定方式相互連接在一起的單元的組合體。由于單元能按不同的連接方式進行組合，且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域。有限元法概述有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解域離散為一組有限個單元，并在每個單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解。在求解域上的近似解就通過變分原理或加權余量法，使得誤差的某種泛函達到最小值或加權平均值為零來獲得。整個計算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個單元基函數(shù)組成的，則整個計算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。有限元法基本思想123區(qū)域單元剖分建立積分方程確定單元基函數(shù)有限元法求解步驟根據(jù)變分原理或方程余量與權函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價的積分表達式。根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實際問題的物理特點，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元劃分是采用有限元方法的前期準備工作，這部分工作量比較大，除了給計算單元和節(jié)點進行編號和確定相互之間的關系之外，還要表示節(jié)點的位置坐標，同時還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點序號和相應的邊界值。根據(jù)單元中節(jié)點數(shù)目及對近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法使用的基函數(shù)一般是由不同權函數(shù)和插值函數(shù)組成的線性組合，采用線性組合方式的主要優(yōu)點是利于實現(xiàn)計算機編程和計算。1234單元分析邊界條件的處理總體合成解有限元方程有限元法求解步驟將各個單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達式進行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對單元區(qū)域進行積分，可獲得含有待定系數(shù)（即單元中各節(jié)點的參數(shù)值）的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進行累加，形成總體有限元方程。一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件（狄里克雷邊界條件）、自然邊界條件（黎曼邊界條件）、混合邊界條件（柯西邊界條件）。對于自然邊界條件，一般在積分表達式中可自動得到滿足。對于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對總體有限元方程進行修正滿足。根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當?shù)臄?shù)值計算方法求解，可求得各節(jié)點的函數(shù)值。02有限元模型建立結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格混合網(wǎng)格網(wǎng)格劃分技術適用于形狀規(guī)則的模型，網(wǎng)格生成速度快，質(zhì)量好。常見的結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格有四邊形和六面體網(wǎng)格。適用于復雜形狀的模型，能夠自動適應模型的幾何特征。常見的非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格有三角形和四面體網(wǎng)格。結(jié)合結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格的優(yōu)點，根據(jù)模型的不同區(qū)域采用不同的網(wǎng)格類型，以提高計算精度和效率。01020304一維單元二維單元三維單元特殊單元單元類型選擇及特性用于模擬桿、梁等一維結(jié)構(gòu)，常見的一維單元有桿單元和梁單元。用于模擬平面應力、平面應變等問題，常見的二維單元有三角形單元、四邊形單元等。用于模擬特定問題，如板殼單元用于模擬薄板、薄殼結(jié)構(gòu)，接觸單元用于模擬接觸問題等。用于模擬實體結(jié)構(gòu)，常見的三維單元有四面體單元、六面體單元等。定義模型的約束條件，如固定約束、位移約束等。邊界條件的施加需要符合實際問題的物理背景。邊界條件在模型上施加外部作用力或內(nèi)部作用力，如集中力、均布力、壓力等。載荷的施加需要考慮作用位置、方向及大小等因素。載荷施加針對某些特定問題，如瞬態(tài)分析、非線性分析等，需要設置初始條件，如初始溫度、初始位移等。初始條件邊界條件與載荷施加03線性靜力學分析03在線性靜力學分析中，通常忽略慣性效應（如質(zhì)量和加速度）以及阻尼效應。01線性靜力學分析是研究和求解結(jié)構(gòu)在靜載荷作用下的響應，如位移、應力和應變等。02線性靜力學分析基于線性彈性力學理論，假設材料行為是線性的，即應力和應變之間呈線性關系。線性靜力學問題概述010203剛度矩陣是描述結(jié)構(gòu)剛度特性的數(shù)學表達式，它反映了結(jié)構(gòu)內(nèi)部各元素之間的相互約束關系。載荷向量表示作用在結(jié)構(gòu)上的外部載荷，如重力、壓力、溫度載荷等。在有限元分析中，通過組裝單元剛度矩陣和載荷向量，形成整體剛度矩陣和整體載荷向量，進而求解結(jié)構(gòu)響應。剛度矩陣與載荷向量123求解方法及收斂性準則求解線性靜力學問題的方法主要有直接法和迭代法兩種。直接法通過求解線性方程組得到精確解，適用于小規(guī)模問題；迭代法通過逐步逼近的方式得到近似解，適用于大規(guī)模問題。在迭代法中，常用的算法有雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法和共軛梯度法等。這些算法具有不同的收斂速度和適用范圍。收斂性準則是判斷迭代過程是否達到預定精度要求的標準。常用的收斂性準則有殘差準則、位移準則和能量準則等。當滿足收斂性準則時，認為迭代過程已經(jīng)收斂，可以得到問題的近似解。04非線性分析及應用材料非線性材料本構(gòu)關系為非線性，如彈塑性、超彈性、粘彈性等。幾何非線性結(jié)構(gòu)變形引起剛度變化，如大變形、大轉(zhuǎn)動、屈曲等。接觸非線性物體間接觸狀態(tài)改變導致邊界條件變化，如摩擦、碰撞、間隙等。非線性問題分類及特點彈塑性模型描述材料在彈性階段和塑性階段的力學行為，如屈服準則、流動法則、硬化法則等。超彈性模型描述橡膠等高分子材料在大變形下的力學行為，基于應變能函數(shù)進行描述。粘彈性模型描述材料在時間和溫度影響下的力學行為，如蠕變、松弛等。材料非線性行為描述基于連續(xù)介質(zhì)力學，考慮結(jié)構(gòu)變形對平衡方程的影響，適用于大變形問題。大變形理論通過引入共旋坐標系，消除剛體轉(zhuǎn)動對平衡方程的影響，適用于大轉(zhuǎn)動問題。共旋坐標法通過追蹤結(jié)構(gòu)失穩(wěn)后的平衡路徑，研究結(jié)構(gòu)的屈曲和后屈曲行為。穩(wěn)定路徑法幾何非線性行為描述05動力學分析與穩(wěn)定性問題質(zhì)量矩陣和剛度矩陣通過有限元方法將連續(xù)體離散化，構(gòu)造質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，分別反映結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度特性。阻尼矩陣考慮結(jié)構(gòu)阻尼對動力響應的影響，引入阻尼矩陣，描述結(jié)構(gòu)內(nèi)部能量耗散的過程。動力學方程的建立根據(jù)牛頓第二定律和達朗貝爾原理，建立結(jié)構(gòu)動力學方程，描述結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷作用下的響應。結(jié)構(gòu)動力學基本原理特征值問題將動力學方程轉(zhuǎn)化為特征值問題，求解結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型，反映結(jié)構(gòu)的固有振動特性。模態(tài)疊加法利用模態(tài)振型的正交性，將動力學方程解耦為多個單自由度方程，通過疊加各階模態(tài)的貢獻求解結(jié)構(gòu)的動力響應。模態(tài)截斷與模態(tài)綜合針對大型復雜結(jié)構(gòu)，采用模態(tài)截斷技術減少計算量，同時結(jié)合模態(tài)綜合方法提高計算效率。特征值提取和模態(tài)疊加法動態(tài)穩(wěn)定性分析考慮結(jié)構(gòu)在動態(tài)載荷作用下的穩(wěn)定性問題，采用數(shù)值積分方法求解結(jié)構(gòu)的動力響應，并分析其穩(wěn)定性。分岔與混沌現(xiàn)象研究結(jié)構(gòu)在特定參數(shù)條件下的分岔與混沌現(xiàn)象，揭示結(jié)構(gòu)失穩(wěn)的內(nèi)在機理和演化規(guī)律。靜態(tài)穩(wěn)定性分析通過求解結(jié)構(gòu)在靜態(tài)平衡狀態(tài)下的穩(wěn)定性問題，判斷結(jié)構(gòu)是否會發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象。穩(wěn)定性問題求解方法06熱傳導與熱應力問題傅里葉定律描述了熱量在物體內(nèi)部傳遞的規(guī)律，即熱流密度與溫度梯度成正比。熱傳導基本定律基于能量守恒定律和傅里葉定律，可以建立熱傳導微分方程，用于描述物體內(nèi)部的溫度分布。熱傳導微分方程在求解熱傳導問題時，需要給出物體邊界上的溫度或熱流密度條件，以及初始時刻的溫度分布。邊界條件與初始條件熱傳導基本原理123包括平衡方程、幾何方程和物理方程，用于描述熱應力問題中的應力、應變和位移關系。熱彈性力學基本方程在物體邊界上，需要給出應力、位移或溫度等邊界條件。熱應力邊界條件首先進行熱傳導分析，得到溫度分布；然后將溫度作為體載荷施加到結(jié)構(gòu)上，進行結(jié)構(gòu)分析，得到應力和位移分布。熱應力計算步驟熱應力計算流程順序耦合方法01首先進行熱傳導分析，得到溫度分布；然后將溫度作為邊界條件施加到結(jié)構(gòu)上，進行結(jié)構(gòu)分析。該方法忽略了結(jié)構(gòu)變形對熱傳導的影響。完全耦合方法02同時考慮熱傳導和結(jié)構(gòu)分析的相互作用，通過迭代計算得到溫度、應力和位移的分布。該方法能夠更準確地模擬熱-結(jié)構(gòu)耦合問題。有限元實現(xiàn)03在有限元軟件中，可以通過定義熱-結(jié)構(gòu)耦合單元或采用多物理場耦合分析方法，實現(xiàn)熱-結(jié)構(gòu)耦合問題的求解。熱-結(jié)構(gòu)耦合分析方法07多物理場耦合問題簡介多物理場耦合概述定義多物理場耦合是指兩個或多個物理場之間通過相互作用而彼此影響的現(xiàn)象。重要性在工程和科學領域中，許多實際問題都涉及到多物理場耦合，如壓電效應、流固耦合等。因此，理解和分析多物理場耦合問題對于準確預測和優(yōu)化設計具有重要意義。某些晶體在受到機械應力作用時會產(chǎn)生電荷，反之，當受到電場作用時會產(chǎn)生機械變形，這種現(xiàn)象稱為壓電效應。壓電效應具有壓電效應的材料稱為壓電材料，如石英、陶瓷等。壓電材料壓電材料在傳感器、執(zhí)行器、換能器等領域有廣泛應用，如壓電陶瓷用于制作超聲波換能器