陜西省寶雞市2024屆高三上學(xué)期高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（文）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省寶雞市2024屆高三上學(xué)期高考模擬檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試題（文）第I卷（選擇題）一、選擇題1.若集合中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)（）A.1 B.0 C.2 D.0或1〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，由可得，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由只有一個(gè)根需滿足，解得.綜上，實(shí)數(shù)的取值為0或1.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)，為z的共軛復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面表示的點(diǎn)在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗，，，所以，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D3.設(shè)向量，，若向量與共線，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗向量，，則，若向量與共線，有，解得，則，所以.故選：A.4.函數(shù)的部分圖像大致為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由于函數(shù)的定義域?yàn)椋士膳懦鼳BD，故選：C.5.第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至10月8日在中國(guó)杭州舉行，中國(guó)代表團(tuán)共獲得201枚金牌，111枚銀牌，71枚銅牌，共383枚獎(jiǎng)牌的歷史最好成績(jī).某個(gè)項(xiàng)目的比賽的六個(gè)裁判為某運(yùn)動(dòng)員的打分分別為95，95，95，93，94，94，評(píng)分規(guī)則為去掉六個(gè)原始分的一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，剩下四個(gè)有效分的平均分為該選手的最后得分，設(shè)這六個(gè)原始分的中位數(shù)為，方差為，四個(gè)有效分的中位數(shù)為，方差為，則下列結(jié)論正確的是（）A.， B.，C.， D.，〖答案〗D〖解析〗容易求出這六個(gè)原始分95，95，95，93，94，94的中位數(shù)為，方差為；四個(gè)有效分95，95，94，94的中位數(shù)為，方差為；根據(jù)方差的定義知四個(gè)有效分的波動(dòng)性變小，所以．故選：D．6.在空間中，下列說(shuō)法正確是（）A.若兩邊分別與的兩邊平行，則B.若棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則該棱錐可能是正六棱錐C.若直線平面，直線，則D.到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)，，，距離均相等的平面有且僅有7個(gè)〖答案〗D〖解析〗A.若的兩邊分別與的兩邊平行，則或，故A錯(cuò)誤；B.若六棱錐所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，故B錯(cuò)誤；C.若直線平面，直線，則，則可能在內(nèi)，故C錯(cuò)誤；D.對(duì)于四個(gè)頂點(diǎn)，平面的劃分有兩種情況，1+3型和2+2型，1+3型，就一個(gè)點(diǎn)在一側(cè)，另三個(gè)點(diǎn)在另一旁，這三個(gè)頂點(diǎn)張成一個(gè)平面，見下圖，很顯然，點(diǎn)和面中間的平面構(gòu)成一個(gè)解，四個(gè)頂點(diǎn)輪換，所以這種情況共有4個(gè)解，2+2型，這個(gè)的解是兩組異面直線的中間那個(gè)平面，見下圖，每一個(gè)頂點(diǎn)拉出了三條線，這條線的對(duì)側(cè)構(gòu)成另外一條線。所以這種劃分有3種解，故總共有7個(gè)解，不會(huì)有0+4型，因?yàn)槠矫嬉粋?cè)到一個(gè)面上距離相等的點(diǎn)，必然都在一個(gè)平面上。而正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成立體空間，不在一個(gè)平面上，故D選項(xiàng)正確.故選：D.7.已知直線和圓交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則“”是“的面積為”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗圓的圓心為，半徑，則圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以若，則或.故選：B8.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意知，可得，可得，又由.故選：C.9.三棱錐中，平面，為等邊三角形，且，，則該三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如圖，點(diǎn)為外接圓的圓心，過(guò)點(diǎn)作平面的垂線，點(diǎn)為的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作線段的垂線，所作兩條垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)為三棱錐外接球的球心，因?yàn)槠矫?，且為等邊三角形，，所以四邊形為矩形，，，所以，即三棱錐外接球的半徑，則該三棱錐外接球的表面積為.故選：B10.過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，則（）A.2 B.3 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，∵直線傾斜角為，∴直線的方程為：.設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，∴,，聯(lián)立方程組,消去y并整理,得解得,，∴，故選:B．11.已知函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的值可能是（）A.5 B.9 C.13 D.15〖答案〗B〖解析〗函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則有且，解得且，選項(xiàng)中只有符合條件.故選：B12.設(shè)，是橢圓與雙曲線（，）的公共焦點(diǎn)，P為它們的一個(gè)交點(diǎn)，，分別為，的離心率，若，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不妨設(shè)點(diǎn)是，在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，則，，所以，，在中，由余弦定理可得：，即，故令，則，所以，故,故選：A.第II卷（非選擇題）二、填空題13.命題“任意，”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗若命題“任意，”為真命題，則，設(shè)，，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)單調(diào)遞增，，，所以，即，所以命題“任意，”為假命題，則的取值范圍為.故〖答案〗為：14.設(shè)，滿足約束條件，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗由約束條件作出可行域如圖所示：化為.由圖可知，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線在軸上的截距最大，此時(shí)有最小值.故〖答案〗為：.15.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，且，則_________.〖答案〗〖解析〗，由正弦定理得，即，又，，，，，，又，.又，.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若且，則的最大值為__________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以，且當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，是一次函數(shù)，所以的大致圖象如下：因?yàn)?，為使取得最大值，必然異?hào)，不妨設(shè)，同時(shí)結(jié)合圖象可知，其中滿足，由于，所以，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；由于，所以，則的最大值為.故〖答案〗為：.三、解答題（一）必考題17.隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的迅速發(fā)展，人工智能也滲透到生活的方方面面，如：線上繳費(fèi)、指紋識(shí)別、動(dòng)態(tài)導(dǎo)航等，給人們的生活帶來(lái)極大的方便，提升了生活質(zhì)量.為了了解市場(chǎng)需求，某品牌“掃地機(jī)器人”公司隨機(jī)調(diào)查了1000人，記錄其年齡與是否使用“掃地機(jī)器人”得到如下統(tǒng)計(jì)圖表：（分區(qū)間，，……統(tǒng)計(jì)）（1）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99%的把握認(rèn)為使用“掃地機(jī)器人”與年齡有關(guān)？是否使用掃地機(jī)器人年齡是否（2）從這1000個(gè)年齡在的人中按年齡段采取分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)從這5人中隨機(jī)，抽取3人做深度采訪，求這3人中恰有2人年齡在年齡在的概率.附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828解：（1）由圖1可知：年齡在的人數(shù)為，其中使用掃地機(jī)器人的人數(shù)由圖2可知為，不使用的人數(shù)為.年齡在的人數(shù)為，其中使用掃地機(jī)器人的人數(shù)由圖2可知為，不使用的人數(shù)為，完成列聯(lián)表如下：是否使用掃地機(jī)器人年齡是否440110270180故而有99%的把握認(rèn)為使用“掃地機(jī)器人”與年齡有關(guān)；（2）由條件可知抽取5人中，有3人在，記為1，2，3，2人在，記為4，5.從中抽取3人的結(jié)果有：（123），（124），（125），（134），（135），（145），（234），（235），（245），（345）共10種，恰有2人年齡在年齡在占6種，故?18.已知四棱錐中，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）若，，求四面體的體積.（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，，，，又，，，又，平面，平面，又平面，，又，，四邊形為矩形，且，分別為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）解：延長(zhǎng)，過(guò)過(guò)交于，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，平面，所以平面，所以到平面距離為，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.19.已知數(shù)列，若，且.（1）求證：是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.（1）證明：，又，是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，，；（2）解：，且結(jié)合（1）得，，，，是遞增數(shù)列，，.20.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)分別在軸，軸上運(yùn)動(dòng)，且，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）設(shè)，，，，，,即，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.（2）設(shè)，,聯(lián)立,可得：,由得，化簡(jiǎn)得,又因?yàn)?，，，所以，即，化?jiǎn)得，滿足，所以.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）已知，求證：當(dāng)時(shí)，恒成立.（1）解：當(dāng)時(shí)，，其中，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.即的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明：因?yàn)椋?，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?，即存在唯一，使，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)榍遥瑒t，則，所以時(shí)，恒成立，即.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)，），且直線l和曲線C交于M，N兩點(diǎn)．（1）求曲線C的普通方程及直線l經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，若，求直線l的普通方程．解：（1）由，將兩個(gè)方程左右兩邊平方后相加，可得曲線C的直角坐標(biāo)方程為．由得，直線l經(jīng)過(guò)的